历年高考数学真题精选28 异面直线所成角

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（学生版）
一．选择题（共12小题）
1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )
A ．15
B C D 2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )
A B C D 3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )
A B C D ．13
4．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )
A ．
1
4
B C D ．
12
5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A ．
1
10
B ．
25
C D ．
2
6．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )
A ．
1
6
B C ．13
D 7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )
A ．
55
B ．
53
C ．
25
5 D ．35
8．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱12A A AB =，M 、N 分别是BC 、1
CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A ．
10
B ．15
C ．
310
D ．35
11．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直
线的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．(0,2)
B ．(0,3)
C ．(1,2)
D ．(1,3)
二．填空题（共5小题）
13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ．
14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大
值是 ．
15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．
16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．
17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，
则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．
三．解答题（共5小题）
18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．
19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3
π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．
（1）求三棱锥111C O A B -的体积；
（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（教师版）
一．选择题（共12小题）
1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为(
) A ．15
B ．
5 C ．
5 D ．
2 【答案】C
【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， Q 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，
(1A ∴，0，0)，1(0D ，0，3)，(0D ，0，0)，1(1B ，1，3)，
1(1AD =-u u u u r ，0，3)，1(1DB =u u u u r
，1，3)，设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ，
则1111||5cos ||||25
AD DB AD DB θ===u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，∴异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5．故选：C ．
2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 3
B 15
C 10
D 3 【答案】C
【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,])2π
，
可知1152MN AB =
=
，112
2NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =Q ，1
2
MQ AC =
，ABC ∆中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠g g 1
41221()2=+-⨯⨯⨯-7=，
7AC ∴=，7MQ ∴=
；在MQP ∆中，2211MP MQ PQ =+=； 在PMN ∆中，由余弦定理得
2222
2
2
5211(
)()()
10222cos 252
2MN NP PM
MNP MN NP
+-+-∠=
=
=-⨯⨯
g g ； 又异面直线所成角的范围是(0，]2
π
，1AB ∴与1BC 所成角的余弦值为10．
3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( ) A ．
3
B ．
2 C ．
3 D ．13
【答案】A
【解析】如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，Q △11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒． 则m 、n 所成角的正弦值为：
3．
4．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，
CD β⊂，C l ∈，
135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )
A ．
14
B ．
2 C ．
3 D ．
12
【答案】B
【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做
EF AE ⊥，连接BF ，AE l ⊥Q 90EAC ∴∠=︒
//CD AF Q 又135ACD ∠=︒45FAC ∴∠=︒45EAF ∴∠=︒
在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，
在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆中，则2BF a =，
∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，
222222(2)(2)(2)2
cos 2222AB AF BF a a a BAF AB AF a a
+-+-∴∠===
⨯⨯g ．故选：B ．
5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．
1
10
B ．
25
C 30
D 2 【答案】C
【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：
BC 的中点为O ，连结ON ，//111
2
MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所
成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==Q ，
设12BC CA CC ===，1CO ∴=，5AO 5AN
222211(2)26MB B M BB =+=+
在ANO ∆中，由余弦定理可得：222630
cos 210256
AN NO AO ANO AN NO +-∠===⨯⨯g ．
6．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．
1
6
B ．
3 C ．13
D ．
3 【答案】B
【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E Q 为AB 的中点，//EF DB ∴， 则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，
ABCD Q 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，CE CF ∴=．
设正四面体的棱长为2a ，则EF a =，22(2)3CE CF a a a ==-=．
在CEF ∆中，由余弦定理得：22222
3
cos 223CE EF CF CEF CE EF a +-∠===⨯g ．故选：B ．
7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )
A
B
C
D ．35
【答案】A
【解析】分别以CA 、1CC 、CB 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图坐标系， 12CA CC CB ==Q ，∴可设1CB =，12CA CC ==
(2A ∴，0，0)，(0B ，0，1)，1(0B ，2，1)，1(0C ，2，0) ∴1(0BC =u u u u r ，2，1)-，1(2AB =-u u u u r
，2，1)
可得110(2)22(1)13BC AB =⨯-+⨯+-⨯=u u u u r u u u u r g
，且1||BC =u u u u u u r 1||3AB =u u u u u r
， 向量1BC u u u u r 与1AB uuu u r
所成的角（或其补角）就是直线1BC 与直线1AB 夹角，
设直线1BC 与直线1AB 夹角为θ
，则1111cos ||||||
BC AB BC AB θ==u u u u r u u u u r g u u u u u u r u u u u u u r g A ．
8．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -
中，侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1
CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒
【答案】C
【解析】在正三棱柱111ABC A B C -中，
侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中过点A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，
建立空间直角坐标系，设1A A ==， 则(0A ，0，0)
，B ，12，0)
，1B 1
2
，(0C ，1，0)， (0N ，1
，M 34，0)，
∴1AB =u u u u r ，12
，(MN =u u u u r 1
4
，
设异面直线1AB 与MN 所成的角为θ
，则113
||1
cos 2
||||
AB MN AB MN θ==
u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，60θ∴=︒． ∴异面直线1AB 与MN 所成的角等于60︒．故选：C ．
9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C
【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形， 1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，
又112A D A B DB AB ===，则三角形1A DB 为等边三角形，160DA B ∴∠=︒故选：C ． 10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A 10
B ．15
C 310
D ．35
【答案】C
【解析】Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，
设122AA AB ==，则11A E =，22112BE =+，221125A B =+=
2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠=g g 252
=⨯⨯310
=
． ∴异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为
310
．故选：C ．
11．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直
线的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，
与直线1BC 异面的直线有：11A B ，AC ，1AA ，共3条．故选：C ．
12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12a ，且长为a 的棱与长2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．2) B ．3)
C ．2)
D ．3)
【答案】A
【解析】设四面体的底面是BCD ，BC a =，1BD CD ==，顶点为A ，2AD = 在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：02a << （1） 取BC 中点E ，E Q 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，
所以在三角形AED 中，21()2a
AE ED ==-
Q 两边之和大于第三边∴2
221()
2
a
<- 得02a << （负值0值舍）（2）
由（1）（2）得02a <<． 二．填空题（共5小题）
13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ． 【答案】
3
π
【解析】分别取AD 、BD 、AC 的中点E 、F 、G ，连结EF 、EG 、BG 、DG ， 设2AB BC ==，则2AD CD ==，112EF AB =
=，1
12
EG CD ==， BG AC ⊥，DG AC ⊥，BGD ∴∠是二面角B AC D --的平面角， B AC D --Q 为直二面角，2
BGD π
∴∠=，2BG DG ==，222BD ∴=+=，1FG ∴=，
EFG ∴∆是等边三角形，
//EF AB Q ，//EG DC ，FEG ∴∠是异面直线AB 与CD 所成角， Q 3
FEG π
∠=
，∴异面直线AB 与CD 所成角为
3π．故答案为：3
π
．
14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大
值是 ．
【答案】
66
【解析】如图所示，取AC 的中点O ，3AB BC ==Q ，BO AC ∴⊥， 在Rt ACD ∆'中，221(5)6AC =+=．作D E AC '⊥，垂足为E ，15306
6
D E ⨯'=
=
． 62CO =
，21666
D C C
E CA '===，6
3EO CO CE ∴=-=． 过点B 作//BF AC ，作//FE BO 交BF 于点F ，则EF AC ⊥．连接D F '．FBD ∠'为直线AC 与BD '所成的角．则四边形BOEF 为矩形，6
3
BF EO ∴==
． 226303(
)22
EF BO ==-=．则FED ∠'为二面角D CA B '--的平面角，设为θ． 则222303*********(
)()2cos 5cos 626233
D F θθ'=+-⨯⨯=-…，cos 1θ=时取等号． D B ∴'的最小值2106
()233
=
+=． ∴直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值6
6
326
BF D B '===．
15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．
【答案】
7
8
【解析】连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则//ME AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是EMC ∠，
22AN =Q ，2ME EN ∴==，22MC =，
又EN NC ⊥Q ，223EC EN NC ∴=+=，
2222837
cos 28
2222EM MC EC EMC EM MC +-+-∴∠===⨯⨯g ．
16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．
【答案】
2
5
【解析】根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则： (0A ，0，0)，(1E ，0，0)，(2F ，1，0)； M 在线段PQ 上，设(0M ，y ，2)，02y 剟； ∴(1,,2),(2,1,0)EM y AF =-=u u u u r u u u r
；
2cos |cos ,|55
EM AF y θ∴=<>=
+u u u u r u u u r
g ；
设2
()55
f y y =
+g ，2
2
()5(5)5
f y y y '=
++；
函数()25g y y =--是一次函数，且为减函数，(0)50g =-<； ()0g y ∴<在[0，2]恒成立，()0f y ∴'<； ()f y ∴在[0，2]上单调递减；
0y ∴=时，()f y 取到最大值
25
．
17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．
【答案】90︒
【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，
则(0D ，0，0)，(0N ，2，1)，(0M ，1，0)，1(2A ，0，2)，(0DN =u u u r ，2，1)，1(2A M =-u u u u r
，
1，2)-
10DN A M =u u u r u u u u r g ，所以1DN A M ⊥u u u r u u u u r ，即1A M DN ⊥，异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是90︒，
故答案为：90︒．
三．解答题（共5小题）
18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．
解：（1）M Q ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，
在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，
可得2223
cos 2223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯g ，
AC ∴与MN 的夹角为3
arccos
； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =
，2
13
AO AN ==． 22213PO ∴=-=．
∴11
33333224
P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=
．
19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3
π
，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．
（1）求三棱锥111C O A B -的体积；
（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．
解：（1）连结11O B ，则1111113
O A B AO B π
∠=∠=
，∴△111O A B 为正三角形，
∴1113O A B S =
V ，111111113
3C O A B O A B V OO S -=⨯⨯=V ． （2）设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连结1BB ，则11//BB AA ， 1BB C ∴∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角），111BB AA ==， 连结BC 、BO 、OC ，1113
AOB AO B π
∠=∠=
，23AOC π∠=
，3
BOC π
∴∠=， BOC ∴∆为正三角形，1BC BO ∴==，1tan 1BB C ∴∠=，
∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒．
20．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
【答案】B
【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG 、EF 、FG ， 在菱形ABCD 中，不妨设1BG =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==
BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，
所以3EG =，且EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得2BE =2DF =， 在直角三角形FDG 中，可得6
FG =
， 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =2
FD =可得222322(2)2EF =+-= 从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， （或由2
tan tan 21EB FD EGB FGD BG DG ∠∠=
=g g g ， 可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥ AC FG G =I ，可得EG ⊥平面AFC ，
由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度， 建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0A ，3-0)，(1E ，02)， (1F -，02
)，(0C 30)， 即有(1AE =u u u r 32)，(1CF =-u u u r
，3-2)2， 故cos AE <u u u r ，3||||9
62
AE CF CF AE CF >===⨯
u u u r u u u r
u u u r g u u u r u u u r g ． 则有直线AE 与直线CF 3．
21．（2014•湖南）如图，已知二面角MN αβ--的大小为60︒，菱形ABCD 在面β内，A 、
B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=︒，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O ．
（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ODE ；
（Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．
【答案】B
【解析】（1）证明：如图DO ⊥Q 面α，AB α⊂，DO AB ∴⊥， 连接BD ，由题设知，ABD ∆是正三角形，
又E 是AB 的中点，DE AB ∴⊥，又DO DE D =I ，AB ∴⊥平面ODE ； （Ⅱ）解：//BC AD Q ，
BC ∴与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即ADO ∠是BC 与OD 所成的角，
由（Ⅰ）知，AB ⊥平面ODE ，
AB OE ∴⊥，又DE AB ⊥，于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角，
从而60DEO ∠=︒，不妨设2AB =，则2AD =，易知3DE =，
在Rt DOE ∆中，3
sin 602
DO DE =︒=，连AO ，在Rt AOD ∆中，3
32cos 24OD ADO AD ∠=
==， 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为
3
4
．
22．（2010•湖南）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 是棱1CC 的中点．
（Ⅰ）求异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面11A B M ．
解：（1）如图，因为1111//C D B A ，所以11MA B ∠为异面直线1A M 和11C D 所成的角， 11A B ⊥Q 面11BCC B 1190A B M ∴∠=︒ 111A B =Q ，12B M =11tan 2MA B ∴∠=即异面直线1A M 和11C D 2． （Ⅱ）11A B ⊥Q 面11BCC B ，BM ⊂面11BCC B 11A B BM ∴⊥①
由（1）知12B M =2BM =，12B B = 1BM B M ∴⊥② 1111A B B M B =Q I
∴由①②可知BM ⊥面11A B M
BM ⊂Q 面ABM
∴平面ABM ⊥平面11A B M ．。