中考数学知识点知识必备11图形的对称、平移与旋转(知识清单易错清单15个考试清单真题专练)(解析版)

知识必备11图形的对称、平移与旋转
易错点：图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错.
【例1】如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转,则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).
A. π
B. 13π
C. 25π
D. 25
【解析】
连接BD ,B'D ,首先根据勾股定理计算出BD 长,再根据弧长计算公式计算出 BB
’ BB ”的长,然后再求和计算出点B 在两次旋转过程中经过的路径的长即可.连接BD ,B'D ,
∵　AB=5,AD=12,∴　BD==13.
13901313180290126180
BD BB BB \==\====g g g g Q 。

ππ’π”π，13256.22
B \+=ππ
点在两次旋转过程中经过的路径长是
π【答案】
A
【误区纠错】
此题主要考查了弧长计算,以及勾股定理的应用,关键是掌握弧长计算公式180
n
r l =
π
A ．()
20212021
2,2
3--
【详解】
A．
2022
5
5
2
æö
´ç÷
ç÷
èø
B．2æ´çç
è
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得【详解】解：∵四边形ABCD
A．（2022，0）
【答案】()
2022
2022
2
,2--【分析】根据题意得出B 点坐标变化规律，进而得出点【详解】解：AOB D Q 是等腰直角三角形，1AB OA \==，(1,1)B \，
【答案】()
20232023
2,2
-【分析】先求出()1,1B ，再按规律进行求解，找出【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，\1AB AO ==，\()1,1B ，
\()2,2B -，()222,2B --，()332,2B -，【答案】()30361，
一．轴对称图形（共2小题）
1．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为( )
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
2．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共4小题）
3．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，
-，则B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(6,2)
点B的坐标为( )
--C．(2,6)D．(2,6)
-
A．(6,2)B．(6,2)
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A
的坐标为(6,2)
-，则点B的坐标为(6,2)．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是( )A ．(2,3)
--B ．(2,3)
-C ．(2,3)
-D ．(2,3)
【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点(,)P x y 关于x 轴的对称点P ¢的坐标是(,)x y -，进而得出答案．
【解答】解：点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是(2,3)．故选：D ．
【点评】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确掌握关于x 轴对称点的坐标特点是解题关键．
5．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，ABC D 各点坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(4,4)C -．先作ABC D 关于x 轴成轴对称的△111A B C ，再把△111A B C 平移后得到△222A B C ．若2(2,1)B ，则点2A 坐标为( )
A ．(1,5)
B ．(1,3)
C ．(5,3)
D ．(5,5)
【分析】先根据轴对称的性质求出1A ，1B ，1C 的坐标，根据平移的性质即可求出2A 的坐标．
【解答】解：(2,1)A -Q ，(1,3)B -，(4,4)C -关于x 轴对称的点的坐标为1(2,1)A --，1(1,3)B --，1(4,4)C --，又2(2,1)B Q ，
\平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，\点2A 坐标为(23,14)-+-+，即(1,3)．
故选：B ．
【点评】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性
质和平移的性质．
6．（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A ，B 的坐标分别是(3,3)-，(1,2)，将点B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ¢，则关于点A ，B ¢的位置描述正确的是( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点O 对称
D ．关于直线y x =对称
【分析】根据平移规律确定B ¢的坐标即可得出结论．
【解答】解：Q 点B ¢由点(1,2)B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到\此时B ¢坐标为(3,3)．
A \与
B ¢关于y 轴对称．故选：B ．
【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．三．作图-轴对称变换（共1小题）
7．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB 关于直线CD 对称的线段11A B ；
（2）将线段AB 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段22A B ，画出线段22A B ；（3）描出线段AB 上的点M 及直线CD 上的点N ，使得直线MN 垂直平分AB ．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段
A B如图所示；
11
（2）线段
A B如图所示；
22
（3）直线MN即为所求．
【点评】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
四．利用轴对称设计图案（共1小题）
8．（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．五．翻折变换（折叠问题）
（共5小题）9．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD ，其中3AB =，4BC =，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD 折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E 的直线折叠，使点C 落在对角线BD 上的点H 处，如图④．则DH 的长为( )
A ．
3
2
B ．
85
C ．
53
D ．
95
【分析】过点M 作MG BD ^于点G ，根据勾股定理求得5BD =，由折叠可知1
22
BE CE EH BC ===
=，90C EHM Ð=Ð=°，CM HM =，进而得出BE EH =，EBH EHB Ð=Ð，利用等角的余角相等可得
HDM DHM Ð=Ð，则DM HM =，于是可得13
22
DM HM CM CD ====，由等腰三角形的性质可得2DH DG =，
易证明MGD BCD D D ∽，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：如图，过点M 作MG BD ^于点G ，
Q 四边形ABCD 为矩形，3AB =，4BC =，3AB CD \==，90C Ð=°，
在Rt BCD D 中，5BD ===，根据折叠的性质可得，1
22
B E
C E BC ===，90C EHM Ð=Ð=°，2CE EH ==，CM HM =，2BE EH \==，
BEH \D 为等腰三角形，EBH EHB Ð=Ð，90EBH HDM Ð+Ð=°Q ，
90EHB DHM Ð+Ð=°，
HDM DHM \Ð=Ð，
DHM \D 为等腰三角形，DM HM =，13
22DM HM CM CD \====，
MG BD ^Q ，
2DH DG \=，90MGD BCD Ð=Ð=°，MDG BDC Ð=ÐQ ，MGD BCD \D D ∽，
\DG DM
CD BD =
，即3235DG =，9
10
DG \=
，925
DH DG \==
．故选：D ．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出DM HM =，以此得出点M 为CD 的中点是解题关键．
10．（2023•襄阳）如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 是AC 的中点，将BCD 沿BD 折叠得到BED D ，连接AE ．若
D E AB ^于点F ，10BC =，则AF 的长为
【分析】取BC 中点H ，连接AH ，作DG BC ^，DM BE ^，设E F a =，由折叠的性质得到AD CD D E x ===，得到cos cos ABC BED Ð=Ð，从而推导出25a x =
，由三角形中位线定理得到15
2
BG =，从而推导出()EMD CGD AAS D @D ，得到四边形MBGD 是正方形，15
2
DG =
，15AH =，最后利用勾股定理解答即可．【解答】解：取BC 中点H ，连接AH ，过点D 作DG BC ^于点G ，DM BE ^于点M ．
设E F a =，AD CD D E x ===，则DF x a =-．AB AC =Q ，
2AB x \=，ABC ACB Ð=Ð，5BH HC ==．
又由折叠得ACB BED Ð=Ð，10B E BC ==，ABC BED \Ð=Ð，cos cos ABC BED \Ð=Ð，即BH EF
AB EB
=
，\
5210
a
x =
，解得：25a x
=
，25DF x a x x
\=-=-
，D Q 是AC 中点，DG BC ^，DG \是AHC D 的中位线，
15
22CG CH \==，
152
BG \=
，由折叠知DEM DCG Ð=Ð，ED CD =，在EMD D 和CGD D 中，DEM DCG DM E DGC ED CD Ð=Ðìï
Ð=Ðíï=î
，()EMD CGD AAS \D @D ，DG MD \=．
D E AB ^Q ，90EFB \Ð=°，90DEB EBF \Ð+Ð=°
．
又90CAH ACB Ð+Ð=°Q ，且ACB DEB Ð=Ð，EBF CAH \Ð=Ð，90EBF ABC \Ð+Ð=°，90DMB MBG BGD \Ð=Ð=Ð=°\四边形MBGD 是正方形，
152
DG BG \==
，215AH DG \==．
在Rt AHC D 中，222AH HC AC +=，
222155(2)x \+=，
解得：x =
，
a \=，x a -=
，即AD =DF =
在Rt AFD D 中，AF ==．
【点评】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
11．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片ABC 中，AB AC =，20B Ð=°，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B ¢处，当B D BC ¢^时，BAD Ð的度数为
25°或115°　．
【分析】分两种情况，一是点B ¢在直线BC 的下方，则90BDB Т=°，所以135ADB ADB Т=Ð=°，则18025BAD B ADB Ð=°-Ð-Ð=°；二是点B ¢在直线BC 的上方，则45ADB ADB Т=Ð=°，所以180115BAD B ADB Ð=°-Ð-Ð=°，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点B ¢在直线BC 的下方，如图1，B D BC ¢^Q ，90BDB \Т=°，
36090270ADB ADB \Т+Ð=°-°=°，
Q 将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B ¢处，1
2701352
ADB ADB \Т=Ð=
´°=°，
20B Ð=°Q ，
1801802013525BAD B ADB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；
当点B ¢在直线BC 的上方时，如图2，B D BC ¢^Q ，90BDB \Т=°，
Q 将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B ¢处，1
90452
ADB ADB \Т=Ð=
´°=°，1801802045115BAD B ADB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，
故答案为：25°或115°．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出BAB Т的度数是解题的关键．
12．（2023•徐州）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，3CA CB ==，点D 在边BC 上．将ACD D 沿AD 折叠，使点C
落在点C ¢处，连接BC ¢，则BC ¢的最小值为
3　．
【分析】由折叠性质可知3AC AC ¢==，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：90C Ð=°Q ，3CA CB ==，
\AB ==，
由折叠的性质可知3AC AC ¢==，
BC AB AC ¢¢-Q …，
\当A 、C ¢、B 三点在同一条直线时，BC ¢取最小值，最小值即为3BC AB AC ¢¢=-=-，
故答案为3-．
【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键．
13．（2023•成都）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB //D E BC 交AC 于点
E ，将DEC D 沿DE 折叠得到DE
F D ，DF 交AC 于点
G ．若
7
3
AG GE =，则tan A =
【分析】过点G 作GM DE ^于M ，证明DG E CGD D D ∽，得出2DG G E GC =´，根据//AD GM ，得7
3
AG DM E G E M ==，设3G E
k =，7AG k =，3E M n =，7DM n =，则10EC DE n ==，在Rt DGM D 中，
222GM DG DM =-，在Rt GME D 中 222GM GE EM =-，则 2222DG DM GE EM -=-，解方程求得 3
4
n k =
，则9
4
E M k =，3G E k =，用勾股定理求得GM ，根据正切的定义，即可求解．【解答】解：过点G 作GM DE ^于M ，如图，
CD Q 平分ACB Ð交AB 于点D ，//D E BC ，
12\Ð=Ð，23Ð=Ð，13\Ð=Ð，E D E C \=，
Q 将DEC D 沿DE 折叠得到DEF D ，34\Ð=Ð，
14\Ð=Ð，
又DG E CGD Ð=ÐQ ，DG E CGD \D D ∽，\
DG GE
CG DG
=
，2DG G E GC \=´，90ABC Ð=°Q ，//D E BC ，
AD DE \^，//AD GM \，\
AG DM
GE EM =
，MG E A Ð=Ð，Q 7
3AG GE =，\
7
3
DM EM =，设3G E k =，3E M n =，则7AG k =，7DM n =，10EC DE n \==，
223(310)930DG G E GC k k n k kn \=´=´+=+，
在Rt DGM D 中，222GM DG DM =-，在Rt GME D 中，222GM GE EM =-，2222DG DM GE EM \-=-，即2222930(7)(3)(3)k kn n k n +-=-，解得：3
4
n k =
，9
4E M k \=，
3G E k =Q
，
GM \===
，
tan tan EM A EGM GM \=Ð===．
【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．六．胡不归问题（共1小题）
14．（2023•湘西州）如图，O e 是等边三角形ABC 的外接圆，其半径为4．过点B 作B E AC ^于点E ，点P 为线段BE 上一动点（点P 不与B ，E 重合）
，则1
2
CP BP +的最小值为6　．
【分析】过点P 作PD AB ^，连接CO 并延长交AB 于点F ，连接AO ，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到4OA OB ==，CF AB ^，然后利用含30°角直角三角形的性质得到1
22O E OA ==，进而求出
6BE BO EO =+=，然后利用1
2
CP BP CP PD CF +
=+…代入求解即可．【解答】如图所示，过点P 作PD AB ^，连接CO 并延长交AB 于点F ，连接AO
ABC D Q 是等边三角形，B E AC ^，\1
302
AB E CB E ABC Ð=Ð=
Ð=°，O Qe 是等边三角形ABC 的外接圆，其半径为4，4OA OB \==，CF AB ^，30OBA OAB \Ð=Ð=°，\1
302
OA E OAB BAC Ð=Ð=
Ð=°，B E AC ^Q ，\1
22
O E OA =
=，6BE BO EO \=+=，
PD AB ^Q ，30ABE Ð=°，\1
2
PD PB =
，1
2
CP BP CP PD CF \+
=+…
\1
2
CP BP +
的最小值为CF 的长度，ABC D Q 是等边三角形，B E AC ^，CF AB ^，6CF BE \==，\1
2
CP BP +
的最小值为6．故答案为：6．
【点评】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
七．利用平移设计图案（共1小题）
15．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a 通过平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据平移的定义逐个判断即可．
【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，观察图形可知，选项B 中图形是由图形a 通过平移得到，A ，C ，D 均不能由图形a 通过平移得到，故选：B ．
【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．八．生活中的旋转现象（共1小题）
16．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA 长约为6米，辐条
尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处（舀水）转动到B 处（倒水）所经过的路程是
5p 米．
（结果保留)
p
【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．【解答】解： 1506
5180AB p p °´==°
（米)．
故答案为：5p ．
【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．九．旋转的性质（共6小题）
17．（2023•无锡）如图，ABC D 中，55BAC Ð=°，将ABC D 逆时针旋转(055)a a °<<°，得到ADE D ，DE 交AC 于F ．当40a =°时，点D 恰好落在BC 上，此时AFE Ð等于( )
A ．80°
B ．85°
C ．90°
D ．95°
【分析】由旋转的性质可得BAC DAE Ð=Ð，40BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，C E Ð=Ð，由等腰三角形的性质可求70B Ð=°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：Q 将ABC D 逆时针旋转(055)a a °<<°，得到ADE D ，BAC DAE \Ð=Ð，40BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，C E Ð=Ð，70B \Ð=°，55C E \Ð=Ð=°，
180554085AFE \Ð=°-°-°=°，
故选：B ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（2023•天津）如图，把ABC D 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE D ，点B ，C 的对应点分别是点D ，E ，且点E 在BC 的延长线上，连接BD ，则下列结论一定正确的是( )
A ．CAE BED Ð=Ð
B ．AB AE =
C ．AC E A
D
E Ð=ÐD ．C E BD
=【分析】由旋转的性质可得ABC ADE Ð=Ð，BAD CAE Ð=Ð，由三角形内角和定理可得BED BAD CAE Ð=Ð=Ð．【解答】解：如图，设AD 与BE 的交点为O ，Q 把ABC D 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE D ，ABC ADE \Ð=Ð，BAD CAE Ð=Ð，
又AOB DOE Ð=ÐQ ，BED BAD CAE \Ð=Ð=Ð，
故选：A ．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（2023•通辽）如图，将ABC D 绕点A 逆时针旋转到ADE D ，旋转角为(0180)a a °<<°，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若D E AC ^，24CAD Ð=°，则旋转角a 的度数为( )
A ．24°
B ．28°
C ．48°
D ．66°
【分析】由旋转的性质可得66B ADE Ð=Ð=°，AB AD =，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．【解答】解：D E AC ^Q ，24CAD Ð=°，66ADE \Ð=°，
Q 将ABC D 绕点A 逆时针旋转到ADE D ，66B ADE \Ð=Ð=°，AB AD =，66B ADB \Ð=Ð=°48BAD \Ð=°，
故选：C ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
20．（2023•张家界）如图，AO 为BAC Ð的平分线，且50BAC Ð=°，将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ¢¢¢，且100OAC Т=°，则四边形ABOC 旋转的角度是
75°　．
【分析】依据AO 为BAC Ð的平分线可知，1
252BAO CAO BAC Ð=Ð=Ð=°，依据旋转的性质可知
25C AO CAO Т¢=Ð=°，旋转角为OAO Т，OAO OAC C AO Т=Т-Т¢代入数据即可得解．
【解答】解：AO Q 为BAC Ð的平分线，50BAC Ð=°，1
252
BAO CAO BAC \Ð=Ð=
Ð=°，依据旋转的性质可知25C AO CAO Т¢=Ð=°，旋转角为OAO Т，1002575OAO OAC C AO \Т=Т-Т¢=°-°=°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键．
21．（2023•北京）在ABC D 中，(045)B C a a Ð=Ð=°<<°，AM BC ^于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2a 得到线段DE ．
（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；
（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF Ð的大小，并证明．
【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE a Ð=，利用三角形外角的性质求出DEC C a Ð==Ð，可得D E DC =，等量代换得到DM DC =即可；
（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH D 的中位线，然后求出B ACH Ð=Ð，设DM D E m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()ABF ACH SAS D @，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线
合一证明A E FH ^即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE a Ð=，C a Ð=Q ，
DEC MDE C a \Ð=Ð-Ð=，C DEC \Ð=Ð，D E DC \=，
DM DC \=，即D 是MC 的中点；
（2）90AEF Ð=°，
证明：如图，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，
DF DC =Q ，
DE \是FCH D 的中位线，//D E CH \，2CH DE =，
由旋转的性质得：DM DE =，2MDE a Ð=，2FCH a \Ð=，B C a Ð=Ð=Q ，
ACH a \Ð=，ABC D 是等腰三角形，B ACH \Ð=Ð，AB AC
=设DM D E m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，.DF CD n ==，
FM DF DM n m \=-=-，AM BC ^Q ，BM CM m n \==+，
()2BF BM FM m n n m m \=-=+--=，CH BF \=，
在ABF D 和ACH D 中，AB AC B ACH BF CH =ìï
Ð=Ðíï=î
，()ABF ACH SAS \D @D ，AF AH \=，FE EH =Q ，
A E FH \^，即90AEF Ð=°，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
22．（2023•自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M ，N 分别是斜边DE ，AB 的中点，2DE =，4AB =．
（1）将CDE D 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；（2）将CDE D 绕顶点C 逆时针旋转120°（如图2)，求MN
的长．
【分析】（1）以C 为圆心，CM 长为半径画圆，连接CN 交DE 于1M ，延长NC 交圆于2M ，由等腰直角三角形的性质，推出CN 平分ACB Ð，114222CN AB ==´=，1M 是DE 中点，111
2122
CM DE ==´=，即可求出M 、N 距离的最小值和最大值；
（2）连接CM ，CN ，作NH MC ^交MC 延长线于H ，由等腰直角三角形的性质推出1
22
CN AB ==，112CM DE =
=，由旋转的性质得到18060NCH MCN Ð=°-Ð=°，由直角三角形的性质得到1
12
CH CN ==，
NH ==，由勾股定理即可求出MN ==．
【解答】解：（1）以C 为圆心，CM 长为半径画圆，连接CN 交DE 于1M ，延长NC 交圆于2M ，ACB D Q 是等腰直角三角形，N 是AB 中点，CN \平分ACB Ð，11
4222
CN AB =
=´=，DCE D Q 是等腰直角三角形，
1M \是DE 中点，
111
2122
CM DE \=
=´=，M \、N 距离的最小值是11211NM CN CM =-=-=，M 、N 距离的最大值是22213NM CN CM =+=+=．（2）连接CM ，CN ，作NH MC ^交MC 延长线于H ，ACB D Q 是等腰直角三角形，N 是AB 中点，
1
22
CN AB \=
=，同理：1
12
CM DE =
=，CDE D Q 绕顶点C 逆时针旋转120°，120MCN \Ð=°，
18060NCH MCN \Ð=°-Ð=°，
1
12CH CN \==，
NH \==2MH MC CH =+=Q ，
MN \==．
【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以C 为圆心，CM 的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．一十．中心对称（共1小题）
23．（2023春•兴化市月考）如图，正方形网格中，ABC D 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△111A B C 与ABC D 关于坐标原点O 成中心对称，则1B 的坐标为(2,2)　．
（2）△111A B C 的面积为 ．
（3）将ABC D 绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为2(1,2)A --，2(1,3)B -，2(0,5)C -，则旋转中心的坐标为 ．
【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征求救；（2）利用割补法求三角形的面积；（3）利用作图观察求解．【解答】解：（1）(2,2)B --Q ，1(2,2)B \．
故答案为：(2,2)．
（2）△111A B C 的面积为：1
2.5
2
=故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：(0,1)-．故答案为：(0,1)-．
【点评】本题考查了函数图象与坐标的关系，结合三角形的面积，中心对称来求解是解题的关键．一十一．中心对称图形（共2小题）
24．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A 、B 、C 都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．25．（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
一十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
P-关于原点对称的点P¢的坐标是( )
26．（2023•凉山州）点(2,3)
-
A．(2,3)B．(2,3)
-D．(2,3)
--C．(3,2)
--，即关于原点的对称点，横纵坐标
x y
P x y，关于原点的对称点是(,)
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点(,)
都变成相反数．
-．
【解答】解：点(2,3)
P-关于原点对称的点P¢的坐标是(2,3)
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
一十三．坐标与图形变化-旋转（共4小题）
27．（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6,0)，将ABO
D绕着点B顺时针旋转D，则点C的坐标是( )
60°，得到DBC
A．，3)B．(3，C．(6,3)D．(3,6)
【分析】作CM x
==，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的^轴于M，再利用旋转的性质求出6
BC OB
一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：作CM x ^轴于M ，Q 点B 的坐标为(6,0)，6BC OB \==，60OBC Ð=°Q ，
1
32
BM BC \=
=，CM ==633OM OB BM \=-=-=，
(3C \，．故选：B ．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解直角三角形，求出OM 、CM 的长度是解题的关键．
28．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标(8,4)，连接OB ，将OB 绕点O 逆时针旋转90°，得到OB ¢，则点B ¢的坐标为
(4,8)-　．
【分析】分别过点B 、B ¢向x 轴作垂线，垂足分别为M 、N ．
（方法一）利用AAS 证明Rt OMB Rt D @△B NO ¢，根据对应边相等求解；（方法二）利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解．【解答】解：分别过点B 、B ¢向x 轴作垂线，垂足分别为M 、N ．
（方法一）90BOB Т=°Q ，90BOM B ON \Ð+Т=°．
又90BOM OBM Ð+Ð=°Q ，
B ON OBM \Т=Ð．
在Rt OMB D 和Rt △B NO ¢中，OMB B NO OBM B ON OB B O Ð=Тìï
Ð=Тíï=¢î
，Rt OMB Rt \D @△()B NO AAS ¢，8B N OM \¢==，4ON BM ==，\点B ¢的坐标为(4,8)-．
（方法二）根据题意，得OB OB ¢====
．
sin sin(90)cos BM BOM B ON B ON OB Ð=°-Т=Т=
==
，cos cos(90)sin OM BOM B ON B ON OB Ð=°-Т=Т=
==
．cos 4ON OB B ON \=¢×Т==
，sin 8B N OB B ON ¢=¢×Т==．\点B ¢的坐标为(4,8)-．
故答案为：(4,8)-．
【点评】本题考查坐标与图形的变化-旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．
29．（2023•兰州）如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a 、b ，则b a -=
3
【分析】
利用正方形的面积求得OA =，3OD =
，根据旋转的性质得出a OA ==，3b OD ==
，从而求得3b a -=-．
【解答】解：Q 正方形OABC 和正方形ODEF 的面积分别为7和9
，OA \=
3OD =，
a OA \==，3
b OD ==，
3b a \-=-
故答案为：3-【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键．
30．（2023•宿迁）如图，ABC D 是正三角形，点A 在第一象限，点(0,0)B 、(1,0)C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120°至1CP ；将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120°至2BP ；将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120°至
3AP ；将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120°至4CP ；¼以此类推，则点99P 的坐标是
(-　．
【分析】首先画出图形，发现旋转3次为一循环，由此得到点99P 在射线CA 延长线上，点100P 在x 轴正半轴上，然后利用旋转的性质得到99100CP =，最后利用勾股定理和含30°角直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，画出前4次旋转后点P 的位置，
由图象可得，点1P ，4P 在x 轴正半轴上，\旋转3次为一个循环，
99333¸=Q ，
\点99P 在射线CA 延长线上，点100P 在x 轴正半轴上，
(1,0)C Q ，ABC D 是正三角形，\由旋转的性质可得，11AC CP ==，
112BP OC CP \=+=，1(2,0)P \，212BP BP \==，
3223AP AP OP AO \==+=，433314CP CP CA AP \==+=+=，445BP BC CP \=+=，4(5,0)P \，
\同理可得，7(8,0)P ，10(11,0)P ，
100(101,0)P \，100101BP \=，1001011100CP \=-=，
\由旋转的性质可得，99100CP =，\如图，过点99P 作99P E x ^轴于点E ，
60ACB Ð=°Q ，
9930E P C \Ð=°，
991
502
E C P C \=
=，
49EO EC OC \=-=，99P E ==，
\点99P 的坐标是(-．
故答案为：(-．
【点评】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确确定每次旋转后，点与旋转中心的距离是解题的关键．一十四．作图-旋转变换（共3小题）
31．（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，ABC D 的顶点均在小正方形的格点上．（1）将ABC D 向下平移3个单位长度得到△111A B C ，画出△111A B C ；（2）将ABC D 绕点C 顺时针旋转90度得到△222A B C ，画出△222A B C ；（3）在（2）的运动过程中请计算出ABC D 扫过的面积．
【分析】（1）按平移变换的性质分别确定A ，B ，C 平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（2）按旋转变换的性质分别确定A ，B ，C 绕点C 顺时针旋转90度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；（3）将ABC D 扫过的面积用规则图形的面积和差表示，求出即可．【解答】解：（1）△111A B C 如图所示；
（2）△222A B C 如图所示；
（3）1115
232121312222
ABC S D =´-´´-´´-´´=，
AC ==Q
\2
52
CAA S p ==扇形，
\在（2）的运动过程中ABC D 扫过的面积255
22
ABC CAA S S p D =+=+扇形．
【点评】本题考查网格作图-平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．32．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到的线段OB ，连接AB ；（2）画出与AOB D 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；（3）填空：OCB Ð的度数为
45°　．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 的对称点B ，从而得到OB ；（2）延长AO 到C 点使OC OA =，则COB D 满足条件；
（3）先根据旋转的性质得到OB OA =，90AOB Ð=°，则可判断OAB D 为等腰直角三角形，所以45OAB Ð=°，然后利用对称的性质得到OCB Ð的度数．【解答】解：（1）如图，OB 为所作；（2）如图，COB D 为所作；
（3）Q 线段OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到的线段OB ，。