[理学]矩阵论简明教程习题答案

习 题 一
1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22
- 为A =-A 22O 的特征值, 故022=-λλ. 即 λ=0或2.
2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1
-AP =B , Q
1
-CQ =D .令
T =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Q O O P 则 T 是可逆矩阵,且
T 1
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C O O A T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Q O O P C O O A Q O O P 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B 3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1
-A 左乘得 i i i x A x 1-λ=.即
i i i x x A 1
1--λ=
故
1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n .
4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ,
=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--104003214, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-2111
AP P .
(2) 不可以.
(3) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=110101010P , ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-1221
AP P . 5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2
=0. 从而 b =a .又
1
1
11
1
-λ----λ----λ=-λa a a
a A I =)223(22+---a λλλ 将λ=1, 2 代入上式求得 A =0.
(2) P =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-101010101.
6. A I -λ=)1()2(2
+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1.
λ=2所对应的方程组 (2I －A )x =0 有解向量
p 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛041, p 2=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛401
λ=－1所对应的方程组 (I +A )x =0 有解向量
p 3=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛001
令 P =(p ,1p ,2p 3)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛140004111, 则 P 1
-=⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4416414
030
121. 于是有 A 100=P ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛122100100P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅-⋅---12412244023012122431100
100100100
100100100.
7． (1)A I -λ=)1(2+λλ=D 3(λ), λI －A 有2阶子式
17
211
1----λ=λ－4
λ－4不是D 3(λ)的因子, 所以D 2(λ)=D 1(λ)=1, A 的初等因子为λ－1, 2λ. A 的
Jordan 标准形为
J =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-000100001
设A 的相似变换矩阵为P =(p 1,p 2,p 3), 则由AP =PJ 得 ⎪⎩⎪
⎨⎧==-=23
21
1p
Ap Ap p Ap 0 解出
P =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----241231111
; (2) 因为),2()1()(23--=λλλD 1)()(12==λλD D ，故
A ～J =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛200010011
设变换矩阵为 P =(321,,p p p ), 则
⎪⎩⎪
⎨⎧=+==33212112p Ap p p Ap p Ap ⇒P =⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50251
380
3 (3) ),2()1()(2
3-+=-=λλλλA I D ,1)(2+=λλD 1)(1=λD .A 的不变因子是
,11=d ,12+=λd )2)(1(3-+=λλd
A ～J =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--211 因为A 可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量： 当λ=－1时，解方程组 ,0)(=+x A I 求得两个线性无关的特征向量
,1011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=0122p
当λ=2时，解方程组 ,0)2(=-x A I 得
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1123p , P =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---101110
221 (4) 因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-41131621λλλλA I ～⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--2)1(11λλ, 故
A ～J =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛10111 设变换矩阵为P =),,(321p p p , 则
⎪⎩⎪
⎨⎧+===323
2
21
1p
p Ap p Ap p Ap 21,p p 是线性方程组 0=-x A I )(的解向量，此方程仴的一般解形为 p =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-t s t s 3 取
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111p , ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1032p
为求滿足方程 23)(p p A I -=-的解向量3p , 再取 ,2p p = 根据 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------t s t s 3113113622～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----t s t s s 000330003
11 由此可得 s =t , 从而向量 T 3213),,(x x x =p 的坐标应満足方程
s x x x -=-+3213
取 T 3)0,0,1(-=p , 最后得
P =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--01000
1131 8. 设 f (λ)=4322
458-++-λλλλ. A 的最小多项式为 12)(3
+-=λλλA m ,作带余除法
得 f (λ)=(1495422
35-+-+λλλλ),
)(λA m +1037242+-λλ, 于是
f (A )=I A A 1037242
+-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----3461061950
26483
. 9. A 的最小多项式为 76)(2+-=λλλA m , 设 f (λ)=3729191222
34+-+-λλλλ,则
f (λ)=)()52(2λλA m ++2+λ. 于是 [f (A )]1
-=1)2(-+I A .由此求出
[f (A )]1
-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3217231 10. (1) λI －A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+41131
621λλλ标准形⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--2)1(00010001
λλ, A 的最小多项式为 2)1(-λ; 2) )1)(1(+-λλ; (3) 2
λ.
11. 将方程组写成矩阵形式:
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321188034011d d d d d d x x x t x t x t x , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x , ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=t x t x t x t d d d d d d d d 321x , A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----188034011 则有
J =PAP 1
-=⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-10001
0011, .其中 P =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛124012001. 令 x =Py , 将原方程组改写成 : ,d d Jy y
=t
则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==3
3212
11
d d d d d d y
t
y y y t
y y t y 解此方程组得: y 1=C 1e t
+C 2T e t
, y 2=C 2e t
, y 3=C 3e
t
-. 于是
x =Py =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++-t t t t
t t
t c )t (c c )t (c c t c c e e 24e 4e 12e 2e e 3212121. 12. (1) A 是实对称矩阵. A I -λ=2
)1)(10(--λλ,A 有特征值 10, 2, 2. 当λ=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I －A )x =0的系数矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--542452
228～⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛000110102
由此求出特征向量p 1=(－1, －2, 2)T
, 单位化后得 e 1= (3
2,32,
31--)T . 当λ=1时, 对应的齐次线性方程组 (I －A )x =0的系数矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----44244
222
1～⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-000000221 由此求出特征向量 p 2=(－2, 1, 0)T
, p 3=(2, 0, 1)T
. 单位化后得 e 2=(0,5
1
,52
-)T , e 3=(
5
35
,
5
34,
5
32)T
. 令
U =⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---53503253451325325231, 则 U 1
-AU =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1110. (2) A 是Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵
U =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
---
212
12
12i 2i 2i 21210, U 1-AU =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22
. 13. 若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得
U H
AU =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n λλλ
2
1
, i λ﹥0, I =1, 2, , n . 于是
A =U ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛n λλλ
21U H
= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛n λλλ
2
1U H 令
B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛n λλλ
2
1U H 则 A =B 2
.
反之,当 A =B 2
且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正
定矩阵,故A 是Hermit 正定的.
14. (1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得
U H
AU =diag(n λλλ,,,21 )
令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是
x H
Ax =y H (U H
AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, , n ).
(2)⇒(3).
A =U diag(n λλλ,,,21 )U H
=U diag(n λλλ,,,21 )diag(n λλλ,,,21 )U H
令 P =diag(n λλλ,,,21 )U H , 则 A =P H P .
(3)⇒(1). 任取x ≠0, 有
x H Ax =x H P H
Px =22
Px
≧0.
习 题 二
1. 1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2
+-+-+-+=23,
∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.
2. 当 x ≠0时, 有 x ﹥0; 当 x ﹦0时, 显然有 x =0. 对任意∈λC , 有
x λ=
x n
k k
k
n
k k
k
λξω
λ
λξω
==∑∑==1
2
1
2
.
为证明三角不等式成立,先证明Minkowski 不等式: 设 1≦p ﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k =1, 2, , n )有
p
n
k p
k k y x 11
)(∑=+≦∑∑==+n
k p
p
k n
k p
p
k y x 1
11
1)()(
证 当 p =1时，此不等式显然成立. 下设 p ﹥1, 则有
∑=+n
k p
k
k y x 1
≦
∑∑=-=-+++n
k p k
k k n
k p k
k k y x y y x x 1
1
1
1
对上式右边的每一个加式分别使用H ölder 不等式, 并由 (p －1)q =p , 得
∑=+n
k p
k
k
y x
1
≦q
n
k q p k
k p
n
k p
k q
n
k q p k
k p
n
k p k
y x y y x x
1
1
)1(11
1
1)1(11)()()()(
∑∑∑∑=-==-=+++
=q
n
k p k k p
n
k p
k p
n k p k
y x y x
11
11
11
)]()()[(
∑∑∑===++
再用 q
n
k p k k
y x
11
)(
∑=+ 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.
现设任意 y =(n ηηη,,,21 )T ∈C n
, 则有
∑=+=
+n
k k k k
y x 1
2
ηξω
=
∑=+n
k k k k 1
2
)(
ηξω≦
∑=+n
k k k k k 1
2
)(
ηωξω
≦
∑∑==+
n
k j k n
k k k 1
2
1
2
(
)(
ηωξω=y x +.
3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:
max(A , B )=
)(2
1
b a b a -++ max(),b a y x y x ++≦max(b b a a y x y x ++,)
=
)(21
b b a a b a b a y x y x y y x x --+++++ ≦)(21
b a b a b a b a y y x x y y x x -+-++++ =)(2
1
)(21b a b a b a b a y y y y x x x x -+++-++ =max( b a x x ,)+max( b a y y ,)
(2) 只证三角不等式.
k 1a y x ++k 2b y x +≦k 1a x +k 1a y +k 2b x +k 2b y =( k 1a x +k 2b x )+( k 1a y +k 2b y ) . 4. 218132i 453i 11
m +=+++++++=A
;
66132i 453i 1222
222
F =+++++++=A ; 15m =∞
A
;
=1A 列和范数(最大列模和)=27+;∞A =行和范数(最大行模和)=9 ;
5. 非负性: A ≠O 时S
1
-AS ≠O , 于是 m
1
AS
S A -=＞0. A =O 时, 显然 A =0;
齐次性: 设λ∈C , 则 λλλ==-m
1
)(S A S A m
1AS S -=λA ;
三角不等式: m
11m
1
)(BS
S AS S S
B A S B A ---+=+=+
≦B A BS
S AS
S +=+--m
1m
1
;
相容性: m
11m 1
)(BS
ASS S S
AB S AB ---==≦m
1m
1
BS
S AS
S --=A B .
6. 因为I n ≠O , 所以n I ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:
n n n I I I =≦n I n I ,即n I ≧1.
7. 设 A =(A ij )∈C n
n ⨯, x =∈ξξξT 21),,,(n C n
, 且 A =ij j
i a ,max , 则
∑∑=i
k k
ik Ax ξa
1≦∑∑i
k
k ik a ξ=∑∑k
i
ik k a ][ξ≦n A ∑k
k ξ=∞
m
A 1x ;
∑∑=
i
k
k
ik Ax
22
ξ
a
≦
∑∑i
k
k ik
a
2][ξ=
∑∑i
k
k
a 22][ξ
=n A 2x ≦n A =∞
m A
2x .
8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A =(a ij ), B =(b ij )∈C
n
m ⨯,
C =(c st )∈C
l
n ⨯且 A =ij j
i a ,max , B =ij j i a ,max , C =st t
s c ,max . 则
M
B
A +=max{m ,n }ij ij j
i b a +,max ≦max{m ,n })(max ,ij ij j
i b a +≦max{m ,n }(A +B )
=max{m ,n }A +max{m ,n }B =M
M B
A +;
M
AC
=max{m ,l }∑k kt
ik t
i c a
,max
≦max{m ,n }}{max ,∑k
kt ik t
i c a
≦max{m ,n }}{
max 2
2
,∑∑⋅
k
kt k
ik t
i c a (Minkowski 不等式)
=max{m ,n }n AC ≦max{m ,n }max{n ,l }AC =M
M C
A .
下证与相应的向量范数的相容性.
设 x =∈ξξξT 21),,,(n C n
, d =k
max {k ξ}, 则有
∑∑=i
k
k ik a Ax ξ1≦∑∑i k k ik a ξ=∑∑k
i ik
k
a
)(ξ
≦
∑k
k
na ξ
=n A
∑k
k
ξ
≦max{m ,n }A
∑k
k
ξ
=1M
x A
;
2Ax =
∑∑i
k
k
ik a 2
ξ≦
∑∑i
k
k ik a 2)(ξ≦
∑∑∑i
k
k
k ik
a )(2
2
ξ (H ölder 不等式)
=
∑∑∑⋅
k
k
i
k
ik
a
22ξ
≦mn A 2x
≦max{m ,n }A 2x =2M
x A
;
}{max 1
∑=∞
=n
k k ik i
Ax
ξa ≦∑=n k k ik i
a 1
}{max ξ
≦}{
max 2
2
∑∑⋅
k
k k
ik i
a ξ≦}max{22nd na i
⋅
=n AD ≦max{m ,n }AD =∞
x
A M .
9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A =(a ij )∈C n
m ⨯, B =(b st )∈C
l
n ⨯,
x =∈ξξξT 21),,,(n C n
且 A =ij j
i a ,max , B =st t
s b ,max , 则
∑=≤≤≤≤=n
k kt ik l
t m i AB
11,1G
max
b a
ml ≦}{max ,kt k
ik t
i b a ml ∑
≦}{
max 2
2
,∑∑⋅
k
kt k
ik t
i b a ml (Minkowski 不等式)
≦ml n ab =))((b nl a mn =G
G B
A .
∑∑===
m i n
k k
ik Ax 12
12ξ
a
≦
∑∑i
k
k ik
a
2)(ξ
≦
∑∑∑⋅i
k
k
k ik a )(2
2
ξ （H ölder 不等式）
≦
∑∑⋅i
k
k
na )(22
ξ
=mn A 2x
=2G x A .
10. 利用定理2.12得
12
2
H 2
===n
I U
U U
.
11.
A 1
-=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
-0110211214321 cond 1(A )=2
2525511
1=⋅
=-A
A ; cond ∞(A )=10251
=⋅=∞-∞A
A . 12．设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m
m λ=.又设 v ⋅是C n 上与矩阵范数⋅相容的向
量范数,那么
v
m v
m v m
x A x x ==λλ
≦v m x A
因 v x ＞0, 故由上式可得 m
λ≦m A ⇒λ≦m m
A .
习 题 三
1. 2
c λc λλ))(2(+-=-A I , 当c λρ=)(﹤1时, 根据定理3.3, A 为收敛矩阵. 2. 令S
)
N (=
∑=N
)
(k k A
, )
(lim N N S
+∞
→=S , 则
0)(lim lim )()()(=-=+∞
→+∞
→k k k k k S S A .
反例: 设 A )(k =k
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0001k , 则因 ∑+∞=01k k 发散, 故 ∑+∞
=0)
(k k A 发散, 但 )(lim k k A +∞
→=O .
3. 设 A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛6.03.07.01.0, 则 )(A ρ≦=∞A 行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7,
∑∞+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛06.03.07.01.0k k
=(I －A )1
-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛937432.
4. 我们用用两种方法求矩阵函数e A
:
相似对角化法. 2
2a λλ+=-A I , a -a i ,i =λ
当 =λi a 时, 解方程组 (i a －A )x =0, 得解向量 p 1=(i, 1)T
. 当 λ=－i a 时, 解方程组 (i a +A )x =0, 得解向量 p 2=(－i, 1)T
.令
P =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-11i i , 则P 1
-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 1i 1i 21, 于是 e A
=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a a
i 0
0i P 1-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛a a a -a cos sin sin cos . 利用待定系数法. 设e λ=(2
λ+a 2)q (λ)+r (λ), 且 r (λ)=b 0+b 1λ, 则由
⎩⎨⎧=-=+-a
a
a b b a b b i 10i 10e
i e i ⇒b 0=cos a , b 1=a
1
sin a .于是
e A
=b 0I +b 1A =cos a ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛11+a 1sin a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a a a a cos sin sin cos . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设
f (λ)=cos λ, 或 sin λ
则有
⎩⎨
⎧=-=+a -a b b a
a b b sini i sini i 1
010 与 ⎩⎨
⎧=-=+a a b b a
a b b i cos i i cos i 1
010 由此可得
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==a a b b sini i 0
10 与 ⎩⎨
⎧==0i cos 1
0b a
b 故
(
a 2i
sini a )A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0isini isini 0a
a =sin A 与
(cosi a )I =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛a a
cosi 0
0cosi =cos A .
5. 对A 求得
P = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013013111, P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-24633011061, P 1-AP =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-211
根据p69方法二,
e At =P diag(e t -,e t ,e t 2)P 1
-=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--++---------t t t
t t
t t t t t t t
t t e 3e 3e 3e 30
e 3e 3e 3e 30
e e 3e 2e e 3e 4e 661222t
sin A =P diag(sin(－1),sin1,sin2)P 1-=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 61
6. D 3(λ)=10
10
1
1----λλλ=2)1(-λλ, D 2(λ)=D 1(λ)=1, A ~J =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛000010011. 现设
r (λ,t )=b 0+b 1λ+b 2λ
2
, 则有
⎪⎩
⎪⎨⎧==+=++1e 2e 021210b t b b b b b t t ⇒b 0=1, b 1=2e t －t e t －2, b 2=t e t －e t +1. 于是
e t A =r (A , t )=b 0I +b 1A +b 2A 2=I +(2e `t －t e t －2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100011+(t e t －e t
+1)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100100111
=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--t
t e 001e 101e e 1e e t
t t t t
同理,由
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=++1sin 2cos 021210b t t b b t b b b ⇒b 0=1, b 1=t sin t +2cos t －2, b 2=1－t sin t －cos t . 将其代入 cos A t =b 0I +b 1A +b 2A 2
, 求出
cos A t =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----t t t t t t t cos 001cos 10
cos sin 11cos cos 7. 设 f (A )=
∑+∞
=0k k
A k
a
,S N
=∑=N
k k A 0
k a .则 f (A )=N N S +∞
→lim 并且由于
(S N
)T
=T
)(
∑=N
k k k
A a
=∑=N
k k k A 0
T )(a
所以, f (A T )=T
)(lim N
N S +∞
→=f (A )T
.
8, (1) 对A 求得
P =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111, P 1
-=P , J =⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛1111111 则有
e t
A =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛t t t
t t t
t t
t
t t t t t t t e e e e 2e e e 6e 2e 2
32e
P 1-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛t t
t
t t t t
t t e e e 2
e 6
0e e e 200e e 000
e 232t t t t t t t
sin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t t t t t t t t t sin cos sin sin 2cos sin cos 6sin 2cos sin 23
2P 1-=⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t t t t t t t t t sin cos sin 2cos 6sin cos sin 2sin cos sin 232
cos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----t t t t t t t t t t t t t t t t cos sin cos cos 2
sin cos sin 6cos 2sin cos 2
32P
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----t t t t t t t t t t t t t t
t t
cos sin cos 2sin 60cos sin cos 200cos sin 000cos 2
32 (2) 对A 求出
P =P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛01
00100000100001, J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--010212 则有
e At
=P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---11e e e 222t t t
t t
P 1-=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---10
00100
00e 000e e 222t t t
t t
sin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002sin 2cos 2sin t t t t t P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--0000
000002sin 0
002cos 2sin t t t t t
cos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012cos 2sin 2cos t t t t P 1-=⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛10000100002cos 0002sin 2cos t t t t 9. (1) sin 2A +cos `
2A =[)e (e i 21i i A A --]2=[)(e 2
1i i A A e -+]2
=)e e e (e 4
1)e e e
(e 41i 2i 2i 2i 2O
O A A O O A A ++++--+--- =e O
=I
(2) sin(A +2πI )=sin A cos(2πI )+cos A sin(2πI )
=sin A [I －
!21(2πI )2+!41(2πI )4－…]+cos A [2πI －!31(2πI )3+!51(2πI )5
－…] = sin A [1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I +cos A [2π－!31(2π)3+!
51(2π)5
－…]I
=sin A cos2π+cos A sin2π
（3）的证明同上.
(4) 因为 A （2πi I ）=(2πi I )A ,所以根据定理3.10可得 e
I
A i π2+=e A
e
I
πi 2=e A
[I +(2πI )+
!21(2πi I )2+!
31(2πi I )3
+…] =e A {[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!51(2π)5
－…]}I
=e A
{cos2π+isin2π}I
=e A
此题还可用下列方法证明:
e I A πi 2+=e ⋅A e I i π2=e ⋅A
P ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛i π2i
π2πi 2e e e P 1-=e ⋅A PIP 1-=e A
用同样的方法可证: e I A πi 2-=e A e I
πi 2-. 10. A T
=－A , 根据第7题的结果得 (e A
)T
=e
T
A =e
A
-, 于是有
e A
(e A
)T
=e A
e T
A =e A
A -=e O
=I
11. 因A 是Herm(i A )H =－i A H
=－i A , 于是有
e A i (e A i )H =e A i e A i -=e O =I 12. 根据定理3.13, A
1
-t t A e d d =e At
, 利用定理3.14得 ⎰t A 0d e ττ
=⎰-t A A 01d e d d τττ=A 1-τττd e d d 0A t ⎰=A 1-(e -At I ).
13. t d d
A (t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---t t t t sin cos cos sin , t
d d (det A (t ))=t d d (1)=0, det(t d d
A (t ))=1, A 1
-(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t cos sin sin cos , t d d A 1-(t )=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---t t t t sin cos cos sin
14. ⎰t A 0d )(ττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰⎰-00d 30d e 2d e d d e d e 00
200
2002t t t t
t t ττττττττττ
τττ=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---002301e e
1311e e )1(e 212
232t t t t t t t t 15. 取 m =2, A (t )=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛t t t 02, 则 A 2(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+22340t t t t , t d d (A (t ))2
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t 2023423≠2A (t )t d d A (t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t 2022423. 困为
++==--21)]()[(d d )()]()[(d d )]()()([d d )]([d d m m A A A A A A A A A t t t
t t t t t t t t t t m +)(d d )]
([1t t
t A A m - 所以当(t d d A (t ))A (t )=A (t )t d d
A (t )时, 有
)(d d
)]([)(d d )]([)(d d )]([)]([d d 111t t
t t t t t t t t t A A A A A A A m m m m ---++= =m [A (t )]
)(d d 1t t
A m - 16. (1) 设
B =(ij b )n m ⨯, X =(ij ξ)m n ⨯, 则 BX =(
∑=n
k kj ik
1ξb
)m m ⨯,于是有
tr(BX )=
∑∑∑===++++n
k km mk n
k kj jk n
k k k
1
1
1
11ξξξb b b
ij
BX ξ∂∂)
tr(=ji b (i =1,2,…,n ;j =1,2,…,m )
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn n m BX X b b b b 1111)(tr(d d
=T B 由于 BX 与 T
T T )(B X BX =的迹相同，所以
T T T ))(tr(d d ))(tr(d d B BX X B X X == (2) 设A =(ij a )n n ⨯,f=tr(AX X T
), 则有
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=nm m
n X ξξξξ
1111T ，AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∑∑∑∑k km nk k
k nk km k
k
k k ξξξξa a a
a
1111
f =
∑∑∑∑∑∑++++l
k
km lk lm l
k
kj lk lj l
k
k lk l ξξξξξξa a a
1
1
)]()([][∑∑∑∑∑∂∂
⋅+⋅∂∂=∂∂=∂∂k kj lk l
k ij lj kj lk ij lj l k kj lk lj ij ij ξξξξξξξξξξa a a f =
∑∑+k
lj li k
kj
ik ξξa a
m
n ij X ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
ξf f d d =X A A X A AX )(T T +=+ 17. 设A =(ij a )m n ⨯, 则 F (x )=(
∑∑∑===n
k kn k n k k n
k k k
1
21
1,,,a a a 1
k ξξξ
),且
A d F F F x F nn n n n n n =⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a 2
122221
1121121d d d d d d d ξξξ 18. ()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---------=='t t t
t t t t
t t t t t t t t t t
t At
At
A 222222222e 4e 3e 3e 6e 3e 6e 2e e e 4e e 2e 2e e e 2e e 4e
e
在上式中令t =0, 则有
A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=133131113e O
A
19. A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50261
3803, x (0)=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛111, A 的最小多项式为 2)1()(+=λλϕ. 记f (λ)=t λe ,并设 f (λ)=g(λ))(λϕ+)(10λb b +, 则
⎩
⎨⎧==---t
t
e e 110t b b b ⇒ t
t --=+=e ,)1(10t b e t b 于是
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=---t t t t t t t t 41026138041e e e )1(e t t t At
A I , x (t )=At
e x (0)=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-t t t 6191121e t
20. A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101024012, f (t )=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1e 21t , x (0)=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-111, =)(λϕdet(λI －A)=2
3λλ-. 根据
O A =)(ϕ,可得； 252423,,A A A A A A ===,….于是
23232)!
31
!21()(!31)(!21)(e A A I A A A I At ++++=+++
+=t t t t t t
=2)1(e A A I t t t --++
=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---++--t t t e 1e e 210124021t t t t t
t x (t )=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰
-t t t t f e )1(11]02111[e ]d 021)0([]d )(e )0([e 0
At t
At t
A At
x e x ττττ
习 题 四
1. Doolite 分解的说明,以3阶矩阵为例:
11r 12r 13r 第1框 21l 22r 23r 第2框 31l 32l 33r 第3框
计算方法如下:
(ⅰ) 先i 框，后i +1框,先r 后l .第1框中行元素为A 的第1行元素；
（ⅱ）第2框中的j r 2为A 中的对应元素j a 2减去第１框中同行的21l 与同列的j r 1之积．第3框中的33r 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13r 之积，再减去第2框中同行的32l 与同列的23r 之积；
（ⅲ）第2框中的32l 为A 中的对应元素32a 先减去第1框中同行的31l 与同列的12r 之积，再除以22r . 计算如下:
1 3 0
2 -
3 0 2 2 -6
A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛60003
0031
122012001 2.Crout 分解的说明,以3阶矩阵为例:
11l 12u 13u 第1框 21l 22l 23u 第2框 31l 32l 33l 第3框
(ⅰ) 先i 框,后i +1框.每框中先l 后r .第1框中的列元素为A 的第1列的对应元素; (ⅱ)第2框中的2i l 为A 中对应元素2i a 减去第1框中同行的1i l 与同列的12u 之积;
(ⅲ)第2框中的23u 为A 中的对应元素23a 减去第1框中同行的21l 与同列的13u 之积,再除以
22l .第3框中的33l 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13u 之积,再减去第2框中同行的32l 与同列的23u 之积.
计算如下:
1 3 0
2 -
3 0
2 -6 -6
A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10001003166203
2001 2. 先看下三角矩阵的一种写法:
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3332
31
2221
11
000a a a a a a =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛33221122
3211
311121
00000101001a a a a a a a a a , ii a ≠0 对本题中的矩阵A 求得Crout 分解为
A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1002105452115240512005
利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得
A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021054521100051000512540152001
=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1002105452110005
1
0005100051000512540152001
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛
--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--10052510545251525405152005 3.对A 的第1列向量)
1(β, 构造Householder 矩阵1H 使得
=)
1(1βH 12)1(e β, 31C e ∈
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)
1(β, ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01112)1()1(e ββ, u =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--01121212)
1()1(1
2)
1()1(e e ββββ
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=1000010102T
1uu I H , ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2301401111A H , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23141A
对1A 的第1列向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=34)2(β, 类似构造Householder 矩阵2H :
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
--=
311012
2)
2)2(12)2()2ββββe u , 2
1C e ∈, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=4334512T 22uu I H ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=102512A H
令12001H H H ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=, 则有 ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=100250111HA =R 并且
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---10025011154530
00153540001001T
2T 112111R H H R H H R H A =QR
4. 对A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202)
1(β, 构造Givens 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2102101021021
13T ,
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0022)
1(13βT , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=1132221210220232322A O A T 对1A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=212)
2(β
, 构造 ⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-
=
32231313
22~12T ,
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=023~)2(12βT , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=34023723
~112A T 令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12T
12~1T O O T , 则有 ⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
==34002372302323221312R A T T . 于是 QR R T T A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==34002
37230232322322312
13123403223121
H
13H 12 5. 设A =),,(i i 0i 0i 0i 1321ααα=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----, 对向量组321,,ααα施行正交化, 令
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0i 111αβ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=i 212i 0i 12i i 0i ],[]
,[1111222ββββααβ,
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=323i
232i 212i 3i 0i 1211i 0],[],[],[],[222231111333ββββαββββααβ
于是
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
++=+-==3213212113i 212i βββαββαβα
写成矩阵行式
K ),,(1003i 10212i 1),,(),,(321321321ββββββααα=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---
-=326
32316
i 20
3i 612i 316i 21),,(321βββ 最后得
A =K ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----326
32316i 203i 612i 316i 21
=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----32006i 630212i 2316
i 20
3i 612i 316i 21=QR 6. 令
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
==100
05
152********T T 则
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=011
0005205
5011402201100
0515*******A T 再令
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-==3050
61010
61030
5132T T , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=301030
50
00061061
612A T T 最后令
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=010100
0013T , R A T T T =⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=00
30103050610616123
A =⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---=00
301030506106160305
6151302625230161H
3H 2H 3R T T T =QR 7.
=)1(β(0, 1)T , 12
)
1(=β, u =2
12
1
)1(1
)1(=--e e ββ(－1, 1)T
, H 1=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-01
102T 2uu I , H =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛1001H 则有
HAH T
=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001111210
121010100001 =⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--120111211, H 是Householder 矩阵. 同理, 对)
1(β, 取 c =0, s =1, T 12=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0110, T =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛12001T , 则 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='-0101000011112101210101000011TAT T TA
=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---120111
211, T 是Givens 矩阵. 8. 对 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1612)
1(β, 计算
u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--215120202
1)1(1)1(e e ββ, H =I －2uu T
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-344351 令 Q =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛H 001, 则
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=075075600200200T QAQ
同理，对
)
1(β,为构造Givens 矩阵，令c =53, s =54, ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=535
4545
312T ，则 当⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=120
01
T T 时，='T TA ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--075075600200200
.
1. (1) 对A 施行初等行变换
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1004242010112
0001032
1～⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---1420000021
02121100111201 S=,1420210011⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-- A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121101201422021
(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10001111010011110010111100011111～
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-----1100000000110
00002102111100210210001 S=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---110
00011021021021021, A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----1110000111111111 （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000126420100632100101264200016321～⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---101000000
10100000011000000016
321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1010010100110001S , ()632121
21⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 10. (1) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=000000005T
A A 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量321,,e e e ,从而V=I,
),(11p V = ∑=(5), 11AV U =∑1-=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2151. 令,12512⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=U ()21U U U =, 则 I U A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=000005
(2)⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=2112T A A 的特征值是，，1321==λλ对应的特征向量分别为T
T
11,11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是 ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1003， ⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121V =1V , 11AV U =∑1-=⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-06221612161 取 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3131312U , 构造正交矩阵()21U U U ==⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---3106
231216
1
31216
1 ‘
所以，A 的奇异值分解为
T 001003V U A ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
11. 根据第一章定理1.5, A A H
的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F －范数的定义
A A A A A
H
H
2F
)tr(==的特征值之和=∑=r
i i 1
2σ
习 题 五
1．设x =T 21),,,(n ηηη 为对应于特征值λ的单位特征向量，即
(QD )x =λx
两边取转置共轭：H H H H x Q D x =与上式左乘得
2
H
H λ=Dx D x
即 2
2
2
22
22
12
12
n n ηηηd d d λ+++= ,由此立即有
2
min i i
d ≤2
λ≤2
max i i
d
从而 i d i min ≤λ≤i d i
max .
后一不等式的另一证明：根据定理2.13，
λ≤)(QD ρ≤2
QD i d i
m ax 最大特征值的H 2
2.11
定理==D D D
2. A 的四个盖尔园是 1G : 9-z ≤6, 2G : 8-z ≤2, 3G : 4-z ≤1, 4G : 1-z ≤1.
由于4G 是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值. 321G G G ⋃⋃是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值 .
3. A 的四个盖尔园
:1G 1-z ≤
2713, :2G 2-z ≤2713, :3G 3-z ≤2713, :4G 4-z ≤27
13 是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数.
4．设 =λβαi +为A 的待征值，则有盖尔园k G ,使得k G ∈λ.若α≤0, 则
kk a -α≤βαi )(+-kk a ≤k R
故 kk a +-)(α≤k R ,即 kk a ≤α+kk R ≤kk R , 这与A 是严格对角占优的条件矛盾.
5. （1）当两个盖尔园的交集中含有两个特征值时; (2) 当两个盖尔园相切且切点是A 的单特征值时.
6. A 的盖尔园 2:1-z G ≤3, 10:2-z G ≤2, 20:3-z G ≤10. 因1G 是与32G G ⋃分离 的，故1G 中恰有一个实特征值∈1λ[－1, 5].
A 的列盖尔园 :'1G 2-z ≤9, 10:'2-z G ≤4, 20:'
3-z G ≤2. 因'
3G 是与'2'1G G ⋃分离 的，故 '3G 中恰有一个实特征值
∈3λ[18, 22].
选取 D =diag(1, 1,
2
1), 则 1-DAD 的盖尔园 ''G 1 : 2-z ≤4, :'
'2G 10-z ≤3, :''3G 20-z ≤5. 这三个盖尔园是相互独立的，故必然有
∈1λ[－2, 6], ∈2λ[7, 13], ∈3λ[15, 25]
与上面所得的结果对照可知利用Gerschgorin 定理，特征值的最隹估计区间为
∈1λ[－1, 5], ∈2λ[7, 13], ∈3λ[18, 22] 7. 因为
det(λB －A )=)23)(2(422
+-=----λλλ
λλλ
所以广义特征值为1λ=2,
2λ=－3
2.分别求解齐次线性方程组
0=-x A B )(1λ , 0=-x A B )(2λ
可得对应于1λ与2λ的特征向量分别为
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛121k (01≠k ), ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122k (02≠k ) 8. 先证明一个结果：若A 是Hermit 矩阵，n λλ,1分别是A 的最大、最小特征值，则
)(max )(max 1
12x R x R x x =≠==λ, )(max )(max 1
2x R x R =≠==x x n λ
事实上，Ax x x x x Ax
x x x x Ax
x x x x x H 1H 22
H 2
20H
H 00
2max 11
max max )(max =≠≠≠===x R 下证1λ＞1μ,
n λ＞n μ. 令 Q =A －B , 则
)(max max H H 1
H 1
122Qx x Bx x Ax x x x +====λ＞Bx x x H 1
2max ==1μ
( Q 正定，Qx x H
＞0 )
同理可证
n λ＞n μ.
现在设 1＜s ＜n , 则根据定理5.10及上面的结果,有
)max(min max min H H H 1021Qx x Bx x Ax x x x P s +====λ＞s x x P Bx x μ===H 1
021max min
9. 显然，A B 1
-的特征值就是A 相对于B 的广义特征值. 设为n λλλ,,,21 且
j j j Bq Aq λ=, 0≠j q , j =1, 2, …,n
其中 n q q q ,,,21 是按B 标准正交的广义特征向量. 当
)(1A B -ρ＜1时，对任意 x =0≠+++n n q q q c c c 2211
)()(2211H
H 22H 11H n n n n q q q A q q q Ax x c c c c c c ++++++=
=))((222111H
H 22H 11n n n n n Bq Bq Bq q q q λλλc c c c c c ++++++ =
2
222211n
n c c c λλλ+++
≤i i
λmax )(2
2
2
2
1n c c c ++⋅
=Bx x A B H 1)(-ρ＜Bx x H
反之，若对任意 x ≠0, Ax x H
＜Bx x H 成立，并且
)(1A B -=ρλ, Bq Aq λ=,0≠q ,
则取 x=q , 于是有
λ=Aq q H ＜1H =Bq q
10. 若λ是BA 的特征值，q 是对应于λ的特征向量，即
(BA )q =λq =λIq
由此可知，λ是BA 的相对于单位矩阵I 的广义特征值 ，因此
BAx x Ix x BAx
x x R BA x x I x H 1H H 11
1222max max )(max )(======λ
=)(max H H 1
2Ax Bxx x x =≤)(max )(max H
1
H 1
22Ax x Bx x x x ==
=)()(11A B λλ
同理
)(min )(min )(H H 1
1
22Ax Bxx x x R BA x I x n ====λ
≥)(min )(min H 1
H 1
22Ax x Bx x x x ==
=)()(A B n n λλ
11. 由于x ≠0时，1
2)()(==x x R x R ，从而5.24式等价于
}0,1)(min{max H 22)
(2===-⨯∈x P x x R r n n P r C λ
我们约定，下面的最小值都是对12
=x
来取的. 令x =Qy , 则
y y Ax x x R Qy P x P x P ΛH H H
2H 2H 2min min )(min 0
===== 由于 n
r n Q P ⨯-∈)(H 2C
, 则在齐次线性方程组 0=Qy P H
2中，方程的个数小于未知量的个数，
根据 Cramer 法则，它必有非零解. 设),,,,0,,0(~1n r r y ηηη +=，(1~2
=y )为满足方程
的解(容易证明这种形式的解必存在)，则
)(min ~min 22112~
H ~H 2H 2n n r r r r y Q P y Q P y y ηληληλ ++=++==0
Λ≤r λ
注意到 ⊆==}1~,
~~{2H 2y y Q P y 0}1,{2H 2==y Qy P y 0,从而
)(min H 2x R x P 0
==)(min H 2y R Qy P 0
=≤y y y R y Q P y Q P ΛH ~
~~min )~(min H 2H 20
===≤r λ 特别地，取),,(12n r q q P +=时，根据定理5.9
)(min H 2x R x P r 0
==λ
故(5.24)式成立.
12. 我们约定：以下的最小值是对单位向量来取的，即证
},1)(min{max H 22)
(20C ===-⨯∈Bx P x x R r n n P r λ
成立. 令 x =Qy , 则有
y y x R BQy P B Bx P ΛH 0
H 2H
2min )(min === 设齐次线性方程组 0=BQy P H 2有形如 1~),,,,,0,,0(~2
1==+y y n r r ηηη 的解（不难证
明这样的解一定存在），则因 })({}~)(~{H 2H 200=⊆=y BQ P y y BQ P y
所以
)(m i n H 2x R B Bx
P ≤2
2112
H ~
~~min H 2n n r r r r y BQ P y y ηληληλ+++=++= Λ0
≤r λ
特别地，取 ),,,(21H 2n r r q q q P ++=时，根据定理5.12可得
r B Bx P x R λ==)(min H 20
由此即知（5.44）成立.
习 题 六
求广义逆矩阵{1}的一般方法： 1）行变换、列置换法
利用行变换矩阵S 和列置换矩阵P , 将矩阵A 化成
SAP =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O O K I r
则
S L O
O I P A r
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=)1(, 其中L 可取任意矩阵； 2）标准形法
利用行、列的初等变换将A 化成标准形
SAT =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛O O
O I r 则
S L L L I T A
r ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=222112)
1(, 其中 ij L 为任意适当阶的矩阵. 3） 行变换法
利用行变换将A 化成
SA =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⨯n r m n r O D )(。