和静县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

和静县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是
（ ）A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
2． 已知函数f （x ）＝（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝{
a x －1，x ≤1
log a 1
x ＋1
，x ＞1
)
（
）
A ．－
B ．－141
2C ．－
D ．－345
4
3． 已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（
）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
4． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（
）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2）
5． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为（ ）
120.51
x
y
z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 若方程C ：x 2+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（
）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
7． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在
面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
9． 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C -1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
AB 1
CC A
B
D ．
34
10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，63sin(2)(π+=x x f 4
π
)(x g 则的解析式为（ ）
)(x g A ． B ．343sin(
2)(--=π
x x g 3)43sin(
2)(++=πx x g C ．
D ．3)123sin(2)(+-=π
x x g 3
)12
3sin(2)(--=π
x x g 【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.11．记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，{
}
22
(,)1A x y x y =+£{}
(,)1,0,0B x y x y x y =+£³³ 若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1
2p
1
p
2p
13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
12．在等差数列中，，公差，为的前项和.若向量，，{}n a 11a =0d ≠n S {}n a n 13(,)m a a =133(,)n a a
=-且，则的最小值为（ ）
0m n ×=2163
n n S a ++
精选高中模拟试卷
A ．
B ．
C ．
D ．
43232-9
2
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在n 考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．
二、填空题
13．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．
14．已知函数f （x ）=
恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．
　15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．　
16．与圆2
2
:240C x y x y +-+=外切于原点，且半径为 的圆的标准方程为
17．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．
18．三角形中，，则三角形的面积为
.
ABC 2,60AB BC C ==∠=
ABC 三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．
()|21|f x x =-（1）若不等式的解集为，求实数的值；1(21(0)2
f x m m +≤+>(][),22,-∞-+∞ m （2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++,x y R ∈a 0,1n =()s n n
=+⋅1n n +3?>输出s
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：
，以椭圆的左顶点为圆心作圆：
22221(0)x y a b a b +=>>C T T （），设圆与椭圆交于点、．[_]
222(2)x y r ++=0r >T C M N （1）求椭圆的方程；
C （2）求的最小值，并求此时圆的方程；
TM TN ⋅
T （3）设点是椭圆C 上异于、的任意一点，且直线，分别与轴交于点（为坐标P M N MP NP x R S 、O 原点），求证：为定值．
OR OS
⋅【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
21．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.87910.83
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．
（1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
23．已知函数f （x ）=lnx ﹣kx+1（k ∈R ）．
（Ⅰ）若x 轴是曲线f （x ）=lnx ﹣kx+1一条切线，求k 的值；（Ⅱ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围．　
24．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
和静县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A 解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A ．2． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2.若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 2＝－3，∴＝，∴b ＝7.
1b ＋11b ＋118
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－，故选C.
34
3． 【答案】B 【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B ．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．　
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=．
所以x+y+z=++=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．　
6．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：D．
8．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
9．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
10．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将的图象向左平移个单位得到函数的图
)(x f 4
π
)4
(π
+
x f 象，再将的图象向上平移3个单位得到函数的图象，因此
4
(π
+
x f 3)4
(++
π
x f =)(x g 3)4
(++
π
x f .
3)4
3sin(2364(31sin[2++=+++=π
ππx x 11．【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示及其内部，OAB D
由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为，故选A.
1
1
2P ==p 2p
12．【答案】A
【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】　②③　．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
14．【答案】　（﹣3，0）　．
【解析】解：由题意，a≥0时，
x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；
x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，
∴a≥0，不符合题意；
﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；
a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；
a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．
故答案为（﹣3，0）．
15．【答案】　4+　．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt △OMO 1中，OO 1=4，，
∴
=
，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+
．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．　
16．【答案】 20
)4()2(2
2=-++y x 【解析】由已知圆心),(b a 在直线上，所以圆心
x y 2-=，又因为与圆22:240C x y x y +-+=外切于原点，
)2,(a a -
且半径为，可求得
52)2(2
2
=-+a a ，舍去。

42=a 2,2=-=a a 所以圆的标准方程为20
)4()2(2
2
=-++y x 17．【答案】　5　．
【解析】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ，∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，
在RT △ACE ，CE==
=
，
由
得BC=2CE=5
，
在RT △BCD 中，BD==
=10，
则AD=5，故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．　
18．【答案】【解析】
试题分析：因为中，，，又ABC ∆2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
1sin 2A =
，即，所以，∴，，．BC AB <A C <30C =︒90B =︒AB BC ⊥1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
ab 2
b 2
a 弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式
，，，等等．1sin 2ab C 12ah 1()2a b c r ++4abc R
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
20．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =，c e a =
=
1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ．　
（3分）
（3）设 由题意知：，.
),(00y x P 01x x ≠01y y ≠±直线的方程为MP ),(01
01
00x x x x y y y y ---=
-令 得,同理：，
0=y 101001y y y x y x x R --=1
01
001y y y x y x x S ++=.（10分）
∴2
1
2
02
1
202021y y y x y x x x S R --=
⋅又点在椭圆上，故
P M ,，
)1(4),1(42
1212
02
0y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==即OR OS ⋅为定值４. （13分）
21．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
总计7525100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．
∵3.030＜3.841，
∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j（j=1，2）表示女性．
设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．
∴P（A）=．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），
令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），
又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，
所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分
由，解得x=﹣70 （舍去）9分
由，解得x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．　
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=﹣k=0，∴x=，
由ln ﹣1+1=0，可得k=1；
（2）当k ≤0时，f ′（x ）=﹣k ＞0，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；
当k ＞0时，若x ∈（0，）时，有f ′（x ）＞0，若x ∈（，+∞）时，有f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．k ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数，而f （1）=1﹣k ＞0，f （x ）≤0不成立，故k ＞0，∵f （x ）的最大值为f （），要使f （x ）≤0恒成立，则f （）≤0即可，即﹣lnk ≤0，得k ≥1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．　
24．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，由C 2：ρ＝
得
2
sin （θ＋π
4
）
ρ（sin θ＋cos θ）＝2，即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，将θ＝代入上式得
3π4
ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，
34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.
22
2∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.
1212
22即△PMN 的面积为3.。