偃师市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

偃师市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ． B ．
C ．
D ．3536120
121
2． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（
）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
3． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式
为（
）
A ．y=x+2
B ．
y=C ．y=3x D ．y=3x 3
　4． 设集合（
）
A ．
B ．
C ．
D
．
5． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4
），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
6． 命题：“若a 2+b 2=0（a ，b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A ．若a ≠b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
B ．若a=b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
C ．若a ≠0且b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
D ．若a ≠0或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
7． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
8． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
9． 设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）
A ．y 2=4x 或y 2=8x
B ．y 2=2x 或y 2=8x
C ．y 2=4x 或y 2=16x
D ．y 2=2x 或y 2=16x
10．设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
12．函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2
()45f x x x =-+[]0,m m A ．
B ．
C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]
0,2二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 14．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
15．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆
恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
16．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．17．定积分
sintcostdt= ．
18．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=
，b a a b =，则a b += ▲ ．
三、解答题
19．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ：
+y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依
次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．（Ⅰ） 若点A 横坐标为
，且BD ∥AE ，求m 的值；
（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆
+y 2=（
）2上．
20．（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变
C 2sin cos 10ρθρθ+=1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩α换后得到曲线．32x x
y y
'=⎧⎨
'=⎩2C （1）求曲线的参数方程；
2C
（2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
M 2C M C 21．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f （x ）＝2x 3－3（a +1）x 2＋6ax ，a ∈R ．（Ⅰ）曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意x ∈（0，+∞），f （x ）＋f （－x ）≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a ＞1，设函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M （a ）、m （a ），记h （a ）＝M （a ）－m （a ），求h （a ）的最小值．
22．如图，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起至△ACP 位置，并使平面PAC ⊥平面ABC ．
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，若∠ABC=60°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）求四面体PABC 体积的最大值．　
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．
24．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
偃师市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．
，∴数列的前项和为
n
a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
n
，∴，选C
．1111
1)1)52222
+++=-= 120n =2． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：：
=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．　
3． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x 的图象上．故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．　
4． 【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，集合B 中的解集为x ＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
5．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；
故选D．
【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．
7．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
9．【答案】C
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|==，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
10．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
11．【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
12．【答案】B
【解析】
m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4
的右端点为，故的取值范围是.
考点：二次函数图象与性质．
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x
-==当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=
，
∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =
．
故答案是：
．
15．【答案】　[1，5）∪（5，+∞）　．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y 2=5m 得到y 2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y ≥1即是y 2≥1
得到m ≥1
∵椭圆方程中，m ≠5
m 的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．　
16．【答案】[]
2,4-
考
点：利用函数性质解不等式1111]17．【答案】 ．
【解析】解： 0sintcostdt=0sin2td （2t ）=（﹣cos2t ）|=×（1+1）=．
故答案为：　
18．【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），因此
3a b =，因为b a a b =，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==a b +=考点：指对数式运算
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD ∥AE ，AE ⊥AC ，∴BD ⊥AC ，可知A （），
故
，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B （﹣x 0，y 0），C （﹣x 0，﹣y 0），D （x 0，﹣y 0），四边形ABCD 为矩形，设E （x 1，y 1），由于A ，E 均在椭圆T 上，则
，
由②﹣①得：（x 1+x 0）（x 1﹣x 0）+（m+1）（y 1+y 0）（y 1﹣y 0）=0，
显然x 1≠x 0，从而
=
，
∵AE ⊥AC ，∴k AE •k AC =﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．　
20．【答案】（1）（为参数）；（2
3cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩【解析】
试
题解析：（1）将曲线（为参数），化为
1cos :sin x C y α
α=⎧⎨
=⎩
α，由伸缩变换化为，221x y +=32x x y y '=⎧⎨'=⎩1312
x x y y ⎧
'=⎪⎪⎨⎪'
=⎪⎩代入圆的方程，得到，2
11132x y ⎛⎫⎛⎫
''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()22
2:
194x y C ''+=可得参数方程为；
3cos 2sin x y α
α
=⎧⎨=⎩
考点：坐标系与参数方程．21．【答案】（1）a ＝
（2）（－∞，－1－]．（3）121e 827
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立，所以－（a ＋1）≥．22ln x
x
令g （x ）＝
，x ＞0，则g '（x ）＝．2
2ln x x
()3212ln x x -令g '
（x ）＝0，解得x ．
当x ∈（0
）时，g '（
x ）＞0，所以g （x ）在（0）上单调递增；当x
∞）时，g '
（x ）＜0，所以g （x ∞）上单调递减．
所以g （x ）max ＝g ，1e
所以－（a ＋1）≥
，即a ≤－1－，1e 1e
所以a 的取值范围为（－∞，－1－
]．1e
（3）因为f （x ）＝2x 3－3（a ＋1）x 2＋6ax ，
所以f ′（x ）＝6x 2－6（a ＋1）x ＋6a ＝6（x －1）（x －a ），f （1）＝3a －1，f （2）＝4．令f ′（x ）＝0，则x ＝1或a ． f （1）＝3a －1，f （2）＝4．
②当
＜a ＜2时，5
3
当x ∈（1，a ）时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（1，a ）上单调递减；当x ∈（a ，2）时，f '（x ）＞0，所以f （x ）在（a ，2）上单调递增．
又因为f （1）＞f （2），所以M （a ）＝f （1）＝3a －1，m （a ）＝f （a ）＝－a 3＋3a 2，所以h （a ）＝M （a ）－m （a ）＝3a －1－（－a 3＋3a 2）＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h ' （a ）＝3a 2－6a ＋3＝3（a －1）2≥0．所以h （a ）在（，2）上单调递增，5
3
所以当a ∈（
，2）时，h （a ）＞h （）＝．5353827
③当a ≥2时，
当x ∈（1，2）时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（1，2）上单调递减，
所以M （a ）＝f （1）＝3a －1，m （a ）＝f （2）＝4，所以h （a ）＝M （a ）－m （a ）＝3a －1－4＝3a －5，所以h （a ）在[2，＋∞）上的最小值为h （2）＝1．综上，h （a ）的最小值为
．827
点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接PO ，BO ，由于四边形ABCD 为菱形，∴PA=PC ，BA=BC ，∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又PO ∩BO=O ，
∴AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥PB ．
（Ⅱ）∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC=AC ，PO ⊂平面PAC ，PO ⊥AC ，∴PO ⊥面ABC ，∴OB ，OC ，OP 两两垂直，故以O 为原点，以方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD
的边长为2，∴
，
，
设平面PBC 的法向量，直线AB 与平面PBC 成角为θ，
∴，取x=1，则
，于是
，
∴
，∴直线AB 与平面PBC 成角的正弦值为
．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，
，
又PO ⊥平面ABC ，∴ =
（），
∴
，
∴
，当且仅当
，即
时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．。