河南省豫南九校高三数学上学期12月联考试题理新人教A版

高三上学期12月联考数学（理）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一：选择题：（每题5分，共60分）．
1.设{}{}
R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则 （ ） A.Q P ⊆
B.P Q ⊆
C.Q P C R ⊆
D.P C Q R ⊆
2已知,p q 为两个命题，则“p 是真命题”是 “p q ∨是真命题”的（ ）
A ．充分不必要条
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数
)(x f y =的大致图象如图所示， 则函数)(x f y =的解析式应为（ ）
A.()ln x
f x e x =
B. ()ln ||x
f x e
x -= C. ||
()ln ||x f x e x =
D. ()ln ||x
f x e x =
4.已知0,0x y >>，若
m m y
x x y 22922+≥+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13-≤≥m m 或 B ．13≤≤-m C ．31-≤≥m m 或 D ．31≤≤-m
5. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ）
6. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=-
-在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤ ⎥⎝⎦
7.设n N *∈，曲线()x x y n
-=1在2=x 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n a ，则=4a ( )
A.80 B 32 C. 192 D. 256
8. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
正视图 侧视图
俯视图（圆和正方形） A. 4+
2π B. 4+32π C. 4+52
π D. 4+π 9．已知a =(cos
32π, sin 3
2
π), b a OA -=, b a OB +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）
A ．1
B ．
2
1
C ．2
D ．
2
3 10. 在椭圆122
22=+b y a x （ａ＞b ）中，记左焦点为F,右顶点为A ，短轴上方的端点为B ，若角
30=∠BFA ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
3
1 B ．
2
1 C ．
5
3 D ．
2
3 11．在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB BB 21=,则1AB 与B C 1所成的角的大小是（ ）
A 30
B 60
C 90
D 120
12．如果直线1+=kx y 与圆042
2=-+++my kx y x 交于M,N 两点，且M,N 关于直线0
2=-y x 2
2
3
1
2
2
1
对称，动点P(a ，b)在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≥+-0
00
2y m y kx y kx 表示的平面区域内部及边界上运动，则点12--a b 取
值范围是（ ）
A [)+∞,2
B ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-32,
C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,32
D ⎥⎦⎤
⎝⎛-∞-32,⋃[)+∞,2
二：填空题：（每题5分，共20分）．
13.计算定积分1
1
e cos dx x
x -+⎰
（）=________．
14.夹在
60的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是6，则这个球的半径为_______．
15.记函数()f x 的导数为()
()1f
x ，()()1f x 的导数为()()(
)
()
21,
,n f x f x -的导数为
(
)
()()*n f x n N ∈。

若()f x 可进行n 次求导，则()f x 均可近似表示为：
()()()()()()()()(
)
()1
2
3
23
000001!2!3!
!
n n f f f f f x f x x x x n ≈++++
+
若取5=n ，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e ≈_____（用分数表示）．
16.定义在R 上的函数()x f 满足()2
5
1=
f ，且对于任意实数y x ,，总有 ()()()()y x f y x f y f x f -++=成立。

则下列命题正确序号为____
①()20=f ； ②()x f 为奇函数; ③()x f 为偶函数;
④若()()n f n f a n -+=12 () ,3,2,1=n ， 则{}n a 为等差数列． 三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的过程.
17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）
（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.
18.（本小题满分12分） 已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x x x -==，设函数x f ⋅=)(,（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角,若
)(A f 2
3
)62sin(21=-++
πA ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．
19．（本小题满分12分）现有如下两个命题：命题p ：函数()a ax ax x x f -++=23，既有极大值又有极小值．命题q ：直线0243=-+y x 与曲线012222=-++-a y ax x 有公共点．若命题“p 或q 为”真，且“p 且q ”为假，试求a 的取值范围．
20．（本小题满分12分）如图，在，中，4==∆BC AB ABC Rt 点AB E 在线段上，过点E 做
EF //，于点交F AC BC 将PEF EF AEF ∆∆折起到沿的位置（重合与点点P A ），
使得60PEB ∠=.
(1)求证：PB EF ⊥ （2）试问：当点AB E 在线段上移动时，二面角B FC P --的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知椭圆222214
x y a +=（a ＞4），离心率为53．
（1）求椭圆的方程．（2）过其右焦点F 任作一条斜率为k （0≠k ）的直线交椭圆于A ，B 两点，问在F 右侧是否存在一点D
(),0m ，连AD 、BD 分别交直线3
25
=
x 于M,N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数2
1()ln (2)2
f x x x a x =+
-+的两个极 值点，其中m n <，a R ∈．（Ⅰ） 求()()f m f n +的取值范围； （Ⅱ）
若2a ≥
-，求()()f n f m -的最大值． 注：e 是自然对数的底数．
A
B
C
E P
B
E
F C
豫南九校2012-----2013学年高三12月份联考 理科数学参考答案 一、选择题
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 1
1sin 2--+e e ； 14. 15.
163
60
； 16. ①③ . 17．（本小题满分10分） 解：（1） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 3
1
1=∴+n n a a )2(≥n . …………3分
又 11=a ，32312=+a a ，解得 3
12=a .
∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3
1
=q 的等比数列. 1
1
131--⎪⎭
⎫
⎝⎛==∴n
n n q a a （n 为正整数）. ……………5分
（2）由（Ⅰ）知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
∴n n S )31(123 ……………8分 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n
k 31123，
数列⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n
311单调递增， 当1=n 时，该数列中的最小项为32，
∴ 必有1≤k
，即实数k 的最大值为1. ……………… 10分
18解：（Ⅰ）由题意得：
21cos 2()sin cos 222
x f x x x x x -==
-
1sin(2)26
x π
=
-+ ……………………………5 （Ⅱ）由)(A f 2
3)62sin(21=-++πA 得：23
)62s i n ()62
s i n (1=-++-ππA A ，化简得：212cos -=A , 又因为02
A π
<<，解得：
3
π
=
A …………………………………………8分
由题意知：32sin 2
1
==
∆A bc S ABC ，解得8=bc ，………………10分 又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+
1
4928(1)252
=-⨯⨯+=
故所求边a 的长为5。

……12分
19.解：由()a ax ax x x f -++=23，知()a ax x x f ++='232，()x f 既有极大值又有极 小值，转化为()x f '有两个不同的零点，即()2
2a =∆a 12-＞0
解得a ＞3或a ＜0.即当a ＞3或a ＜0，命题p 为真。

………………4分
01222=-++-a y ax x 可整理为()122
=+-y a x ，直线0243=-+y x 与()122
=+-y a x 有
公共点等价于
15
23≤-a ，解得
371≤
≤-a 。

即当3
7
1≤≤-a 时，命题q 为真。

………………8分
由题，若p 真q 假， ⎪⎩⎪
⎨⎧>-<<>3710
3a a a a 或或，解得a ＞3或a ＜-1；………………10分
若p 假q 真⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤37
13
0a a ，解得370≤≤a 。

综上，a 的取值范围为解得a ＞3或a ＜-1或3
7
0≤≤a ………………12分 20.解：（1）在Rt ABC ∆中，
//,.EF BC EF AB ∴⊥
,,EF EB EF EP ∴⊥⊥又
,EB EP E EF ⋂=∴⊥平面PEB.
又PB ⊂平面PEB, .EF PB ∴⊥………………4分
（2）在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ，由（1）知EF ⊥面PEB,
∴EF ⊥PD.∴PD ⊥面BCEF.在面PEB 内过点B 作直线BH//PD,则BH ⊥面BCFE.以B 点为坐标原点，
,,BC BE BH 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………6分
设PE=x （0＜x ＜4）又
4,4,AB BC BE x EF x ==∴=-=
在Rt PED ∆
中，0
160,x,22
PED PD ∠=∴=
()(
)13
34x-x=4-x,400x,4-x,0,04.22
22BD C F P
⎛⎫
∴=-∴- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，， 从而(
)3x 44x,044.22CF CP ⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
，， ………………8分 设()
1000n =x ,y z ，是平面PCF 的一个法向量，由1n 0CF ∙=，1n 0CP ∙=，
得()(
)000000000440
0,
,30,44022x x y x x y z x x y ⎧-+-=-=⎧⎪⎪∴⎨⎛
⎫-=-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩
取01,y =得
(1n =是平面PFC 的一个法向量. ……………10分
又平面BCF 的一个法向量为()
20,0,1.n =
设二面角B FC P --的平面角为α，则〉〈=21,cos cos n n α5
15
=
因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角B FC P --的平面角的余弦值为定值
5
15 ………………12分
21.（1）由椭圆142222=+y a x （a ＞4），离心率为53，易知a=5，椭圆的方程为14
522
22=+y x
…………………………………4分
（2）存在5=m ，理由如下：由题知，()0,3F 设AB 的方程为()3-=x k y 。

设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
-=116
25)3(2
2y x x k y ()
040022515025162222=-+-+⇒k x k x k 得
22212516150k k x x +=+，2
2212516400225k k x x +-=；()()
2
2212
21251625633k k x x k y y +-=--= ----------------------6分
设⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,325,325y N y M ，由M 、A 、D 共线，()()1133253x m y m y -+=
，同理()()2
233253x m y m y -+= ……………8分
又,,3163⎪⎭⎫
⎝⎛=y ,,3164⎪⎭
⎫
⎝⎛=y 由已知得⇒⊥0=∙得 ()()()
21212
43439253,9256
x m x m y y m y y y y --+=
-=而， 即有()()()⨯--+=-212
92539256x m x m m 222516256k
k +- ………………10分 整理得 (
)()
m m m
k
5,04001612
2
±=∴=-+＞3，5=∴m ………12分
22．(Ⅰ)解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(2)1
()(2)x a x f x x a x x
-++'=+-+=．
依题意，方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ，n （其中m n <）．故
2(2)40
020
a a a ⎧+->⇒>⎨
+>⎩，并且2,1m n a mn +=+=． 所以，221()()ln ()(2)()2
f m f n mn m n a m n +=++-++
2211
[()2](2)()(2)1322
m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-． …………5分
(Ⅱ)解:
当2a ≥
-时，21
(2)2a e e +≥++．若设(1)n t t m =>，则
22
2
()11
(2)()22m n a m n t e mn t e
++=+==++≥++．
于是有111
()(1)0t e t e t e t e te
+≥+⇒--≥⇒≥ …………8分
222211
()()ln ()(2)()ln ()()()22
n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-
2222
111ln ()ln ()ln ()
22211ln ()
2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t
-=--=-=--=--………10分 构造函数11
()ln ()2g t t t t
=--（其中t e ≥），则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-
<． 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减，1
()()122e g t g e e
≤=-+．
故()()f n f m -的最大值是1
122e e
-+． …………12分。