浙江省余姚中学高二数学下学期期中试题 理(扫描版,无答案)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A ．0 B ．π6C ．π3D ．π2【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B.【考点】利用导数研究函数在闭区间上的最值. 【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点. 2．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()0,∞+【答案】C【解析】求出函数21ln 2y x x =-的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解. 【详解】函数21ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x+--=-==′， ()()1100x x xx ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<， 所以函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为()0,1. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.3．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）．A ．假设()n k k N +=∈，证明1n k =+命题成立B ．假设n k =（k 是正奇数），证明1n k =+命题成立C ．假设()21n k k N +=+∈，证明1n k =+命题成立D ．假设n k =（k 是正奇数），证明2n k =+命题成立 【答案】D【解析】根据n 是正奇数的条件，依次判断选项中的假设是否满足正奇数，由此得到结果. 【详解】对于A ，当()n k k N +=∈时，1k +表示除1以外的所有正整数， A 错误； 对于B ，当n k =（k 是正奇数）时，1k +表示正偶数，B 错误；对于C ，当()21n k k N +=+∈时，不包含1，且1k +表示正偶数，C 错误； 对于D ，当n k =（k 是正奇数）时，2k +表示下一个正奇数，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题. 4．1180被9除的余数为（ ） A ．1-B ．1C ．8D ．8-【答案】C【解析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.5．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为（ ） A ．288 B ．144 C ．360 D ．180【答案】A【解析】由题意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，第三步将剩下4 人安排其余的位置上，再由分步原理可求得结果. 【详解】解：由题意知分三步：第一步，先安排甲，在6个位置中任选一个即，有166C =种选法；第二步，在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，有122C =种选法；第三步，将剩下4 人安排其余的位置上，有4424A =种安排方法由分步原理可知，甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为6224288⨯⨯=种 故选：A 【点睛】此题考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受限制的元素，属于基础题. 6．在341(2)x x x-+的展开式中常数项为（ ） A ．28 B ．28-C ．56-D ．56【答案】A【解析】()2242311212x x x x x x xx--+-+==，故可通过求()821x -展开式中的4x 的系数来求常数项. 【详解】因为()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故()82434112xx x x x-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又()821x -的展开式中4x 的系数为()628128C -=，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数. 7．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于1【答案】D【解析】通过反例可排除,,A B C ；采用反证法，利用()11f <和()21f <，结合不等式的性质可证得()31f >，由此知D 正确. 【详解】当2m =-，0n =时，()222f x x x =-，则()10f =，()24f =，()312f =，可知,A C 错误；当0m n ==时，()22f x x =，则()12f =，()28f =，()318f =，可知B 错误；假设()11f <，()21f <，()31f <，由()11f <得：21m n ++<，即31m n -<+<-…①， 由()21f <得：421m n ++<，即523m n -<+<-…②，由①得：13m n <--<…③，由②+③得：40m -<<，1230m ∴-<<， 由③得：2226m n <--<…④，由②+④得：33n -<-<，33n ∴-<<，1533m n ∴-<+<，318321m n ∴<++<()31831f m n ∴=++>，与()31f <矛盾，可知至少有一个不小于1，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.8．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为．9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x'-<恒成立.则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．()()2,02,-+∞ B ．()()2,00,2- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】B【解析】根据当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦可知()f x x 在()0,∞+上单调递减，结合()20f =可确定()0f x x >在()0,∞+上的解集；根据奇偶性可确定()0f x x>在(),0-∞上的解集；由此可确定结果.【详解】()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦， ()f x x∴在()0,∞+上单调递减， ()20f =，()202f ∴=，()0f x x∴>在()0,∞+上的解集为()0,2， 即()0xf x >在()0,∞+上的解集为()0,2； 又()f x 为R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x--∴==--， ()f x x ∴为()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，()0f x x∴>在(),0-∞上的解集为()2,0-， 即()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-； 当0x =时，()0xf x =，不合题意； 综上所述：()0xf x >的解集为()()2,00,2-.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集. 10．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<． 又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--． 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.二、填空题11．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【答案】2 ；-2【解析】((0))(4)2f f f ==；(1)2AB f k '==-．12．北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______. 【答案】2940【解析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解. 【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680C C C A A ⋅=种， 第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C C A A ⋅=种， 所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=.故答案为：2940 【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 13．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【答案】120【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，最后利用分类加法计数原理得到结果. 【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花， 若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法. 故答案为：120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.14．已知a R ∈，函数()1,0{,0x a x f x x e x -+>=<，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(,-∞-【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则方程()ex f x =-存在三个不相等的实根，当0x <时，x e ex -=-解得1x =-，所以当0x >时，1a ex x +=-有两个不等的实根，即1a ex x =-- 令()1g x ex x=--在0,e e ⎛⎫⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x e =时，()g x =-所以要有两个交点则a <-故答案为(,-∞-点睛：本题考查了分段函数零点问题，考查了转化思想，函数与方程思想，转化为函数图像的交点，参数分离是常用的处理方法,属于中档题.三、双空题15．在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答） 【答案】20- 0【解析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和. 【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0 故答案为：(1). 20- (2). 0 【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题.16．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ示他遇到红灯的次数，则()E ξ=______.（用数字作答） 【答案】10 53【解析】先用组合数表示出所有的分布情况，计算出结果即可；随机变量1(5,)3B ξ，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可. 【详解】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有2510C =种；因为随机变量1(5,)3B ξ，所以()15533E ξ=⨯=故答案为：10；53【点睛】此题考查了组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题. 17．已知()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则4a =______；123452345a a a a a ++++=______．（用数字作答）【答案】16 81 【解析】将()()4212x x --转化为()()()441211211x x x --+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再利用二项式定理，即可求得4a ；将已知等式两边分别求导，令2x =，即可求出1225235a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【详解】()()()()()()()4444212211111211211x x x x x x x --=-+--=--+--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，展开后含有()41x -的项为()()()()()()34444104412121321161161x x x x x x C C -⋅⋅--⋅-=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以416a =；()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，等号两边分别求导，得()()()()()()342412254212221213151x x x a a x a x a x -⨯⨯-+-=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()41225221235a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即122523581a a a a +++⋅⋅⋅+=. 故答案为：16；81. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.四、解答题18．设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+，1,2,3,n =⋅⋅⋅（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）根据递推公式即可得2a ，3a ，4a 的值，根据2a ，3a ，4a 的值可猜想n a 的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】解:（1）由题可得；25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+． （2）下面用数学归纳法证明21n a n =+． ①当1n =时，13211a ==⨯+猜想成立； ②假设n k =时，等式也成立，即21k a k =+．则1n k =+时()()()2212221221211k k k a a ka k k k k +=-+=+-⋅-+=++．即1n k =+时也猜想成立.由①②知等式21n a n =+成立. 【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19．已知a 是实数，函数()()2f x xx a =-.（1）若()13f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）求()f x 在区间[]0,2上的最大值.【答案】（1）0a =；320x y --=（2）max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩【解析】（1）求函数()f x 的导数，由()13f '=，计算可得a 和()1f ，根据点斜式即得在点()()1,1f 处的切线方程；（2）由导数()232f x x ax '=-，令()0f x '=，可得10x =，223ax =，讨论a 的取值范围，利用函数单调性即得. 【详解】（1）()232f x x ax '=-.因为()1323f a '=-=，所以0a =.又当0a =时，()11f =，()13f '=，则切点坐标()1,1，斜率为3，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()131y x -=-化简得320x y --=.（2）()232f x x ax '=-，令()0f x '=，解得10x =，223a x =. 当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[]0,2上单调递增，从而()max 284f f a ==-. 当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，从而()max 00f f ==. 当2023a <<，即0<<3a ，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，从而max84,020,23a a f a -<≤⎧=⎨<<⎩. 综上所述，max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题. 20．(12分) 由0，1，2，3，4，5这六个数字。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分类变量和的列联表如下，则(A)越小，说明与的关系越弱(B)越大，说明与的关系越强(C)越大，说明与的关系越强(D)越接近，说明与关系越强参考答案：C2. 不等式log(–x ) < 2的解集是（）（A）[ - 1，) （B）( - 1，) （C）(，) （D）[ - 1，)参考答案：A2.下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是A. 23B. 24C. 25D. 26参考答案：C【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，正数a，b满足，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是25．本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6. 直线,当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为（▲）A．(－2,1) B．(1,2) C．(1,－2) D．(2,1)参考答案：A7. 已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定参考答案：B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.8. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，第6组为，故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．故选：C．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有________参考答案：576种略12. 在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：略13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：4514. 坐标原点到直线4x+3y﹣15=0的距离为_________．参考答案：3略15. 已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则参考答案：3略16. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则= .参考答案：4略17. 设的夹角为;则等于______________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(整理版)余姚高二数学期中试卷(理科)
余姚高二数学期中试卷〔理科〕第 一 学 期一．选择题〔共10题，每题5分〕： 1．圆()1122=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是〔 〕 A ．21 Ｂ．23 Ｃ．１ Ｄ．3 ２．两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 垂直的充要条件是〔 〕 A ．02121=+B B A A Ｂ．02121=-B B A A Ｃ．121-=A AＤ．121=BB ３．一个棱锥的三视图如下图，那么该棱锥的全面积〔单位2cm 〕为〔 〕A．21248+ Ｂ．22448+ Ｃ．21236+ Ｄ．22436+４．在棱长为２的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为〔 〕A ．510 Ｂ．515Ｃ．54 Ｄ．32〔第3题图〕6666ABCDA 1B 1C 1D 1OFE〔第4题图〕５．对于平面α和共面的直线n m 、A ．假设α⊥m ，n m ⊥，那么α//n Ｂ．假设α//m ，α//n ，那么n m // Ｃ．假设α⊂m ，α//n ，那么n m // Ｄ．假设n m 、与α所成角相等，那么n m // ６．平面内到两定点的距离之比为１:２的动点的轨迹是〔 〕 A ．线段 Ｂ．直线 Ｃ．圆 Ｄ．椭圆７．直线l 方程为()0,=y x f ，点),(111y x P 、),(222y x P 分别在l 上和l 外，那么方程()()()0,,,2211=--y x f y x f y x f 表示〔 〕A ．过点1P 且与l 垂直的直线 Ｂ．与l 重合的直线 Ｃ．过点2P 且与l 平行的直线 Ｄ．不过点2P ，但与l 平行的直线 8．多面体ABCDEF 中，面ABCD 是边长为3的正方形，AB EF //,23=EF ,EF 与面AC 的距离为2，那么该多面体的体积为〔 〕A ．29 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．2159．假设直线1=+by a x 与圆122=+y x 有公共点，那么〔 〕A ．122≤+b a Ｂ．122≥+b a Ｃ．11122≤+b a Ｄ．11122≥+ba①设l 、m 位直线，α为平面，假设直线m l //，且α⊂m ，那么α//l ； ②假设一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； ③设n m 、是一对异面直线，那么存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ④假设一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的平面角相等或互补．A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二．填空题〔共7题，每题4分〕：11．1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，假设1222=+B F A F ，那么=AB _________．12．正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面CD B A 11所成的角为_________． 13．集合{}0103|2≤--=x x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，假设B 是A 的充分条件，那么m 的取值范围是_________．ABCDE F(第8题图)14．球O 的面上四点D C B A 、、、，⊥DA 平面ABC ，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，那么球O 的体积为_________．15．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，那么b 的取值范围是_________．16．正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都为2，过底面上一边AB 作平面α，使α与底面ABC 成︒60的二面角，那么正三棱柱被平面α截得的截面面积为_________．17．过点()3,2P 作圆122=+y x 的两条切线PB PA 、，B A 、为切点，那么直线AB 的方程为_________．三．解答题〔共5大题，共72分〕：18．〔14分〕在△ABC 中，()2,5-A ，()3,7B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．求： 〔1〕顶点C 的坐标； 〔2〕直线MN 的方程．19．〔14分〕0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减；Q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ．假设P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．20．〔14分〕某几何体的一棱长为7，它在正视图中的射影长为6，它在侧视图、俯视图中的投影分别为a 、b ．联想长方体…… 〔1〕求22b a +的值；〔2〕求b a +的最大值． 21．〔15分〕在四棱锥ABCD P -中，△PBC 为正三角形，⊥AB 平面PBC ，CD AB //，DC AB 21=，BC DC 3=，E 为PD 中点．〔1〕求证：直线//AE 平面PBC ；〔2〕求证：平面⊥APD 平面PDC ；〔3〕求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 22．〔15分〕设二次函数()m x x x f ++=22的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ． 〔1〕求实数m 的取值范围；〔2〕求圆C 的方程．问圆C 是否经过定点？假设有，求出定点的坐标，并证明你的结论．ABCD(第14题图)A DB CEP(第21题图)。
浙江省余姚中学高二数学下学期期中试题(无答案)
浙江省余姚中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题（无答案）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是（ # ）A ．{}0,1AB ⋂=B ．{}0,A B ⋃=+∞C ．()(),0R C A B ⋃=-∞D ．(){}1,0R C A B ⋂=-2．已知函数=)(x f 32x ax bx c +++),,(R c b a ∈，则下列结论中错误的是（ # ） Ａ．∃0x R ∈,)(0x f =0Ｂ．函数)(x f y =的图像是中心对称图形Ｃ．若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间（-∞, 0x ）单调递减 Ｄ．若0x 是)(x f 的极值点，则 'f (0x )=03．有一段演绎推理是这样的:“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”,结论显然是错误的，是因为 （ # ）Ａ．大前提错误 Ｂ．小前提错误 Ｃ．推理形式错误 Ｄ．非以上错误 4．设()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x >时,()()12xf x =,则函数()()sin F x f x x =-在[]ππ-，上的零点个数为（ # ） A ．2B ．3C ．4D ．55．“已知R d c b a ∈,,,，且1=+=+d c b a ，1>+bd ac ，则d c b a ,,,中至少有一个是负数．”用反证法证明此命题的假设应该是（ # ）Ａ．d c b a ,,,中至多有一个是负数 Ｂ．d c b a ,,,都是非负数 Ｃ．d c b a ,,,都是负数 Ｄ．d c b a ,,,都是正数 6．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点1A ，作第2个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第3个正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（ # ）Ａ．2015235⎪⎭⎫⎝⎛⨯Ｂ．2015495⎪⎭⎫⎝⎛⨯Ｃ．2016235⎪⎭⎫⎝⎛⨯Ｄ．2016495⎪⎭⎫⎝⎛⨯7．已知函数()y xf x='的图象如右图所示（其中()f x'是函数)(xf的导函数）．下面四个图象中，)(xfy=的图象大致是（#）A． B．Ｃ．Ｄ．8．设函数)(xf的定义域为R，)0(≠xx是)(xf的极大值点，以下结论一定正确的是（#）A．x-是)(xf--的极小值点B．x-是)(xf-的极小值点C．x-是)(xf-的极小值点D．()()0,x R f x f x∀∈≤二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共36分）9．已知函数()()222, 1,2, 1,x xf xx x⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩则()()3f f=▲，()f x的单调递减区间是▲．10．在等差数列{}n a中，若010=a，则有等式nnaaaaaa-+++=+++192121ΛΛ),19(*Nnn∈<成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b中，若19=b，则有等式▲成立．11．若函数21()f x x axx=++在),2(+∞上不单调，则实数a的取值范围是▲．12．设函数221)(+=xxf，则(6)(5)(0)(6)(7)f f f f f-+-+++++=L L▲．（提示：参考课本中等差数列前n项求和公式的推导）-11O xy1３．已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程是 ▲ ．1４．设()g x 是定义在R 上以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[]10,0上的值域为 ▲ ．15．若在曲线0),(=y x f 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线0),(=y x f 的“自公切线”.下列方程：①221x y -=；②2||y x x =-，③2||14x y +=-；④3sin 4cos y x x =+对应的曲线中存在“自公切线”的有 ▲ ．（写出所有符合条件的序号）三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分14分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．（1）求集合A ，B ；（2）若集合A ，B 满足A B B =I ，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知()||,=-+∈R f x x x a b x .（1）当1,1a b ==时，若45)(=x f ，求x 的值； （2）若21-=b ，且对任何]1,0(∈x 不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知{}n b 是等差数列，且11b =，1210100b b b +++=L ．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n a 的通项为1lg 1n n a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，记n S 为数列{}n a 的前n 项的和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．19．（本小题满分15分）已知函数232211(),()3222a a f x x x g x x ax =-=-+．（1）当函数()y f x =在区间[0,1]上的最小值为13-时，求实数a 的值；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分15分）设函数2()ln 2f x x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使()f x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，求实数k的取值范围．。
浙江省余姚中学高二数学下学期期中试题 理(实验班)(无答案)新人教A版
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集U R =，集合(){}1231lg 1A x x B y y x ⎧⎫=≤-==+⎨⎬⎩⎭和，则()U C A B ⋂=（ ）A.{}10x x x ≤-≥或 B.(){},1,0x y x y ≤-≥ C.{}0x x ≥D.{}1x x >-2.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为（ ）.A.80B.40C.380 D.3403．已知4cos 25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为（ ）A ．2425- B. 247± C. 247- D. 2474.函数()lg |sin |f x x =是 （ ） .A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数5．数列{}n a 满足11=a ， 11++=+n a a n n (*N n ∈)，则201321111a a a +++ 等于（ ） A. 20132012 B. 20134024 C. 10072013 D. 100710066．从1，2，3，…9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数2()f x ax bx c =++的系数，则满足(1)2f Z ∈的函数()f x 共有（ ） A ．263个B ．264个C ．265个D ．266个7.设a,b,c 是空间三条直线， ,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）A.当c α⊥，若c β⊥，则//αβB.当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C.当b α⊂，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D.当,b c αα⊂⊄且时，//c α，则b//c8.已知a R ∈，则“2a ≤”是“2x x a -->有解”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是（ ）A. [)0,1 B ．[1,1)- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成1.0米,2.0米,3.0米,…,8.1米或9.1米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成； (3)当设置的步长为a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是（ ）. A.48.6秒 B.49秒 C.48秒 D.49.4秒二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________.12．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________.13．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点为F （3，0），且点(3,2-在椭圆C 上，则椭圆C 的标准方程为 ．14. 幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间[]1,0上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点)1,0(),0,1(B A ,连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数βαx y x y ==,的图像三等分，即有.NA MN BM ==那么，αβ= .15．设5260126(1)(12)x x a a x a x a x ，则2a 。
浙江省余姚中学-度高二数学期中(文)试卷(无答案)
６ ５ ３余姚中学2008学年度第一学期期中考试 高二数学（文）一．选择题：本大题共１０小题，每小题５分．1．本赛季，甲，乙两名篮球运动员都参加了１１场比 赛，他们每场比赛的得分情况用如图所示的茎叶图表 示，则甲，乙两名运动员的中位数分别为 （ ） Ａ．１９ ，１３ Ｂ．１３ ，１９ Ｃ．２０ ，１８ Ｄ．１８ ，２０ 2．用秦九韶算法求多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++在0.4x =的值时，需要做的乘法和加法次数分别是（ ）Ａ．５，６ Ｂ．６，６ Ｃ．５，５ Ｄ．６，５３．若平面四边形ＡＢＣＤ中，满足0AB CD +=，()()0AB AD AB AD -+=，则该四边形一定是 （ ）Ａ．直角梯形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形 ４．某校共有学生２０００名，各年级男女生人数如右表所示．已知在全校学生中随机抽取一名，抽到二年级女生的概率是０.１９，．现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在三年级抽取的人数为（ ）Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１６ Ｄ．１２５．下列叙述中，正确．．的有 （ ） Ａ．已知事件Ａ和事件Ｂ互斥，则当事件Ａ不发生时，事件Ｂ一定发生 Ｂ．已知事件Ａ和事件Ｂ互斥，则两事件可能同时不发生 Ｃ．已知事件Ａ和事件Ｂ对立，则两事件可能同时不发生 Ｄ．若Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝１，则事件Ａ和事件Ｂ对立６．一个各面涂有油漆的正方体被锯成６４个同样大小的小正方体．若将这些小正方体均匀地混合在一起，则任意取出一个小正方体，至少一面有油漆的概率为 （ ）Ａ．18 Ｂ． 38 Ｃ． 78 Ｄ．58７．下列说法中：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的高度等于相应小组的频率，其中错误．．的个数有 （ ） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ８．将函数sin(6)4y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的３倍，再向右平移8π个单位，得到函数图象的一个对称中心是 （ ） Ａ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ Ｂ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｃ．,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｄ．,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭９．在Ｒ上定义运算⊕：(1)x y x y ⊕=-，若不等式()()1x a x a -⊕+<对任意实数x 成立，则 （ ）Ａ．11a -<< Ｂ．02a << Ｃ．1322a -<< Ｄ．3122a -<< １０．在ABC 所在平面内有一点Ｐ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC 与ABC 的面积之比是 （ ） Ａ．13 Ｂ．12 Ｃ．23 Ｄ．34二．填空题：本大题共７小题，每小题４分．１５．阅读以下程序：ＩＮＰＵＴ “please input a integer ：”；x ＩＦ x>9 AND x<100 THENa=x\10 b=x MOD 10 x=10*b+a PRINT x END IF END注：算术运算符分＼和ＭＯＤ分别用来取商和求余数 若输入的x 为３８，则输出的结果为＿＿＿＿＿＿．１６． 若不等式组2202x yx y y x y a≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．１７．按如右图所示的程序框图进行运算：（１）若输入x=8，则输出k ＝＿＿＿＿＿＿；（２）若输出k=2，则输入x 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．三．解答题：本大题共５小题，共７２分．１８．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，（１）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（２）若a 是从区间[]0,3中任取的一个数，b 是从区间[]0,2中任取的一个数，求上述方程有实数解的概率．１９．已知函数2()2cos cos 1()f x x x x x R =+-∈ （１）求函数()f x 的单调增区间及对称轴方程；（２）若关于x 的方程()0f x a +=在区间[]0,π中有两个实数根，求实数a 的取值范围并求所得两根之和．２０．一次口试，每位考生要在8道试题中随机抽出2道回答，若答对其中1题即为及格． （１）现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？ （２）如果一位考生及格的概率小于50％，则他最多只会几道题？（１７题）２２．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，2()2416g x x x =--． （１）若关于x 的方程()0g x t +=在(0,4)x ∈时有解，求t 的取值范围； （２）若|()||()|f x g x ≤对x R ∈恒成立，求证：2,8a b =-=-；（３）在（２）的条件下，若对一切2x >，均有()()215f x m x m ≥+--成立，求实数m 的取值范围．余姚中学2008学年度第一学期期中考试 高二数学答题卷（文）一．选择题：（５⨯１０）学号二．填空题：（４ ７）１１．＿＿＿＿＿＿＿＿１２．＿＿＿＿＿＿＿＿１３．＿＿＿＿＿＿＿＿１４．＿＿＿＿＿＿＿＿１５．＿＿＿＿＿＿＿＿１６．＿＿＿＿＿＿＿＿１７．＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿三．解答题：１８．１９．２０．２１．２２．。
浙江省余姚中学高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.复数iiz +-=131的虚部是( ) A ． 2B ． 2-C ．i 2D ．i 2-2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设都是偶数 B ．假设都不是偶数C ．假设至多有一个是偶数 D ．假设至多有两个是偶数3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．12 B ．35 C ．23 D ．34 4．若关于x 的方程2(12)30x i x m i ++++=有实根，则实数m 等于( )A ．112B ．112iC ．112-D ．112i -5.设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是（ ）A.3B.4C.221+D.326. 已知函数22()ln f x x a x x=++在（1，4）上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．36a ≤．263-<a C ． 263-≤a D ．36a <7.设函数f (x)＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x)＋f ′(x)为奇函数，则φ＝（ ）A. 3πB. 23πC. 56πD. 6π8.定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，()b f =１，2(2)c f =--，则（ ）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>9．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )ξ 1 2 3 4 P14mn112A.4760 B.3760 C.2760D.1810. 已知函数f (x )＝sin x ＋e x＋x 2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋exC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11.已知i 2i1z+=+,则复数z = 12.函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为 13.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 14. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…， 则a 10＋b 10＝15．设随机变量X ～B(2，p)，Y ～B(4，p)，若P(X ≥1)＝59，则P(Y ≥1)＝____ ____.16. 设f (z)=2z(cos π6 +icos 2π3 )，这里z 是复数，用A 表示原点，B 表示f (1+ 3 i)所对应的点，C 表示点-i 4所对应的点，则∠ABC= 。
【精准解析】浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
余姚中学2019学年第二学期期中考高二数学试卷一、选择题1.函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A. 0 B.π6C.π3D.π2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点. 2.函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A. ()1,1- B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()0,∞+【答案】C 【解析】 【分析】求出函数21ln 2y x x =-的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解. 【详解】函数21ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+，()()21111x x x y x x x x+--=-==′， ()()1100x x xx ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<， 所以函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.3.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，nnx y +能被x y +整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）．A. 假设()n k k N +=∈，证明1n k =+命题成立B. 假设n k =（k 是正奇数），证明1n k =+命题成立C. 假设()21n k k N +=+∈，证明1n k =+命题成立D. 假设n k =（k 是正奇数），证明2n k =+命题成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据n 是正奇数的条件，依次判断选项中的假设是否满足正奇数，由此得到结果. 【详解】对于A ，当()n k k N +=∈时，1k +表示除1以外的所有正整数， A 错误； 对于B ，当n k =（k 是正奇数）时，1k +表示正偶数，B 错误；对于C ，当()21n k k N +=+∈时，不包含1，且1k +表示正偶数，C 错误； 对于D ，当n k =（k 是正奇数）时，2k +表示下一个正奇数，D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题. 4.1180被9除的余数为（ ） A. 1- B. 1 C. 8 D. 8-【答案】C【解析】 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.5.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为（ ） A. 288 B. 144 C. 360 D. 180【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，第三步将剩下4 人安排其余的位置上，再由分步原理可求得结果.【详解】解：由题意知分三步：第一步，先安排甲，在6个位置中任选一个即，有166C =种选法；第二步，在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，有122C =种选法；第三步，将剩下4 人安排其余的位置上，有4424A =种安排方法由分步原理可知，甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为6224288⨯⨯=种 故选：A【点睛】此题考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受限制的元素，属于基础题. 6.在341(2)x x x-+的展开式中常数项为（ ） A. 28 B. 28-C. 56-D. 56【答案】A 【解析】 【分析】()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故可通过求()821-x 展开式中的4x 的系数来求常数项.【详解】因为()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故()82434112x x x x x-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又()821-x 的展开式中4x 的系数为()628128C -=，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数. 7.已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）A. 没有一个小于1B. 至多有一个不小于1C. 都不小于1D. 至少有一个不小于1【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可排除,,A B C ；采用反证法，利用()11f <和()21f <，结合不等式的性质可证得()31f >，由此知D 正确.【详解】当2m =-，0n =时，()222f x x x =-，则()10f =，()24f =，()312f =，可知,A C 错误；当0m n ==时，()22f x x =，则()12f =，()28f =，()318f =，可知B 错误；假设()11f <，()21f <，()31f <，由()11f <得：21m n ++<，即31m n -<+<-…①， 由()21f <得：421m n ++<，即523m n -<+<-…②，由①得：13m n <--<…③，由②+③得：40m -<<，1230m ∴-<<， 由③得：2226m n <--<…④，由②+④得：33n -<-<，33n ∴-<<，1533m n ∴-<+<，318321m n ∴<++<()31831f m n ∴=++>，与()31f <矛盾，可知至少有一个不小于1，D 正确.故选：D .【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.8.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 A. 51()2B. 2551()2CC. 14/E mgd q =D.235551()2C C【答案】B 【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-．9.设函数()f x 是定义在R 上奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x'-<恒成立.则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. ()()2,02,-+∞B. ()()2,00,2-C. ()(),22,-∞-+∞D. ()(),20,2-∞-【答案】B 【解析】 【分析】根据当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦可知()f x x 在()0,∞+上单调递减，结合()20f =可确定()0f x x >在()0,∞+上的解集；根据奇偶性可确定()0f x x>在(),0-∞上的解集；由此可确定结果.【详解】()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦， ()f x x∴在()0,∞+上单调递减， ()20f =，()202f ∴=，()0f x x∴>在()0,∞+上的解集为()0,2，即()0xf x >在()0,∞+上的解集为()0,2；又()f x 为R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x--∴==--， ()f x x ∴为()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，()0f x x∴>在(),0-∞上的解集为()2,0-， 即()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-； 当0x =时，()0xf x =，不合题意；综上所述：()0xf x >的解集为()()2,00,2-.故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.10.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1(ln,)2e+∞ B. (1,)-+∞ C. (1,)+∞D.(ln 2,)-+∞【答案】A 【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<． 又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--． 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键. 二、填空题11.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【答案】2 ；-2 【解析】((0))(4)2f f f ==；(1)2AB f k '==-．12.在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】 (1). 20- (2). 0 【解析】 【分析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和.【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0故答案为：(1). 20- (2). 0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ示他遇到红灯的次数，则()E ξ=______.（用数字作答） 【答案】 (1). 10 (2).53【解析】 【分析】先用组合数表示出所有的分布情况，计算出结果即可；随机变量1(5,)3B ξ，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可.【详解】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有2510C =种；因为随机变量1(5,)3B ξ，所以()15533E ξ=⨯=故答案为：10；53【点睛】此题考查了组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题.14.已知()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则4a =______；123452345a a a a a ++++=______．（用数字作答）【答案】 (1). 16 (2). 81 【解析】 【分析】 将()()4212x x --转化为()()()441211211x x x --+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再利用二项式定理，即可求得4a ；将已知等式两边分别求导，令2x =，即可求出1225235a a a a +++⋅⋅⋅+的值. 【详解】()()()()()()()4444212211*********x x x x x x x --=-+--=--+--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，展开后含有()41x -的项为()()()()()()34444104412121321161161x x x x x x C C -⋅⋅--⋅-=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以416a =；()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，等号两边分别求导，得()()()()()()342412254212221213151x x x a a x a x a x -⨯⨯-+-=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()41225221235a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即122523581a a a a +++⋅⋅⋅+=.故答案为：16；81.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.15.北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______. 【答案】2940【解析】【分析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680C C CAA⋅=种，第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C CAA⋅=种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=. 故答案为：2940【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，最后利用分类加法计数原理得到结果.【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花， 若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法. 故答案为：120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.17.已知a R ∈，函数()1,0{,0x a x f x x e x -+>=<，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(,-∞- 【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则方程()ex f x =-存在三个不相等的实根，当0x <时，x e ex -=-解得1x =-，所以当0x >时，1a ex x +=-有两个不等的实根，即1a ex x =-- 令()1g x ex x=--在⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x =()g x =-所以要有两个交点则a <-故答案为(,-∞-点睛：本题考查了分段函数零点问题，考查了转化思想，函数与方程思想，转化为函数图像的交点，参数分离是常用的处理方法,属于中档题. 三．解答题18.设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+，1,2,3,n =⋅⋅⋅（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式即可得2a ，3a ，4a 的值，根据2a ，3a ，4a 的值可猜想n a 的通项公式； （2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】解:（1）由题可得；25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+． （2）下面用数学归纳法证明21n a n =+． ①当1n =时，13211a ==⨯+猜想成立； ②假设n k =时，等式也成立，即21k a k =+．则1n k =+时()()()2212221221211k k k a a ka k k k k +=-+=+-⋅-+=++．即1n k =+时也猜想成立. 由①②知等式21n a n =+成立.【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19.已知a 是实数，函数()()2f x xx a =-.（1）若()13f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）求()f x 在区间[]0,2上的最大值.【答案】（1）0a =；320x y --=（2）max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩【解析】 【分析】（1）求函数()f x 的导数，由()13f '=，计算可得a 和()1f ，根据点斜式即得在点()()1,1f处的切线方程；（2）由导数()232f x x ax '=-，令()0f x '=，可得10x =，223ax =，讨论a 的取值范围，利用函数单调性即得.【详解】（1）()232f x x ax '=-.因为()1323f a '=-=，所以0a =.又当0a =时，()11f =，()13f '=，则切点坐标()1,1，斜率为3，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()131y x -=-化简得320x y --=.（2）()232f x x ax '=-，令()0f x '=，解得10x =，223a x =. 当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[]0,2上单调递增，从而()max 284f f a ==-. 当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，从而()max 00f f ==. 当2023a <<，即0<<3a ，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，从而max84,020,23a a f a -<≤⎧=⎨<<⎩. 综上所述，max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题. 20. 由0，1，2，3，4，5这六个数字． （1）能组成多少个无重复数字的四位数？ （2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？ （4）组成无重复数字四位数中比4032大的数有多少个？ 【答案】解：（1）；(2)31125244156A A A A +=；(3)11233421A A A +=；(4)312154431112A A A A +++=【解析】（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有15C 种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有35A 种结果，根据乘法原理得到结果．（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有24A 种结果，根据加法原理得到结果．（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果． 解：（1）………………………………………………3分(2)31125244156A A A A +=……………………………………………………6分 (3)11233421A A A +=……………………………………………………………9分(4)312154431112A A A A +++=…………………………………………………12分21.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望． 【答案】（1）548（2）5716【解析】【详解】（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格 记A={前四项均合格}，B={前四项中仅有一项不合格} 则4121()()(1)2348P A =-=⋅ 3141121()1122312P B C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A 、B 互斥，故所求概率为4115()(128)48p P A P B =+=+=， 所以该生被录取的概率是548；（2）该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5.111(2)224P X ==⨯=，121111(3)(1)2224P X C ==-⨯⨯= 2231113(4)(1)22216P X C ==-⨯⨯=，1135(5)1441616P X ==---=X2 3 4 514 14 316 516113557()234544161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：本题考查了随机变量的概率与期望点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键22.已知函数()()32ln 2123x f x ax x ax =++--()a R ∈（1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()3113x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值．【答案】（1）0a =；（2）3130,4⎡+⎢⎣⎦；（3）0. 【解析】 分析】（1）根据(2)0f '=建立关于a 的方程求出a 的值.（2）本小题实质是()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦+'=≥在区间[)3,+∞上恒成立，进一步转化为()()22214420ax a x a +--+≥在区间[)3,+∞上恒成立,然后再讨论0a =和0a ≠两种情况研究.（3）12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x--=可化为2ln (1)(1)b x x x x --+-=,问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,∞+上有解，利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解. 【详解】解：（1）()()()222214422222121x ax a x a af x x x a ax ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=+--=++因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=，即22041aa a -=+，解得0a =. 又当0a =时，()(2)f x x x '=-，从而2x =为()f x 的极值点成立． （2）因为函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦+'=≥在[)3,+∞上恒成立.①当0a =时，()()20f x x x '=-≥在[)3,+∞上恒成立， 所以()f x 在[)3,+∞上为增函数，故0a =符合题意.②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立， 故只能0a >，所以()()22214420ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立.令函数()()()2221442g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-， 因为0a >，所以1114a-<，要使()0g x ≥在[)3,+∞上恒成立，只要()30g ≥即可， 即()234610g a a =-++≥a ≤≤因为0a >，所以0a <≤. 综上所述，a的取值范围为30,4⎡⎢⎣⎦.（3）当12a =-时，方程()()3113x b f x x--=+可化为()()2ln 11b x x x x --+-=. 问题转化为()()223ln 11ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,∞+上有解，即求函数()23ln g x x x x x =+-的值域.因为函数()23ln g x x x x x =+-，令函数()2ln h x x x x=+-()0x >，则()()()211112x x h x x x x+-'=+-=， 所以当01x <<时，()0h x '>，从而函数()h x 在()0,1上为增函数， 当1x >时，()0h x '<，从而函数()h x 在()1,+∞上为减函数， 因此()()10h x h ≤=.而0x >，所以()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键.。
浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}15M x x =-<<，{}1,N y y x x M ==-∈，则M N ⋃=（ ） A ．(2,5)- B ．(1,4)- C ．(2,4)-D ．(1,5)-2．命题“x ∃∈R ，2460x x -+<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，2460x x -+< B ．x ∃∈R ，2460x x -+≥ C ．x ∀∈R ，2460x x -+< D ．x ∀∈R ，2460x x -+≥3．若2:01xp x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．12x -≤≤ B ．1x > C ．2x >D ．25x <≤4．函数()2sin 2log y x x =⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（ ）A ．3B ．9C ．4D ．86．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()131,0212,23x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦恰有4个不相等的实数根，则实数m 的值是（ ）A ．23-B ．23C ．0D ．23±7．若关于x 的不等式2ln e x x ax b +≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．⎡⎣C ．[]1,eD ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设函数()f x ，()f x '的定义域均为R ，且函数()21f x -，()2f x '-均为偶函数.若当[]1,2x ∈时，()34f x ax '=+，则()90f '的值为（ ）A ．42-B ．35-C ．28-D ．21-二、多选题9．若11<<0a b，给出下列不等式正确的是（ ）A ．11<a b ab+ B ．0a b +> C ．11a b a b->- D ．22ln ln a b >10．“[]x ”表示不大于x 的最大整数，例如：[]3.83=，[]1.42-=-，[]44-=-.下列关于[]x 的性质的叙述中，正确的是（ ）A ．[][][]x y x y -≤-B ．若[][]1y x ≤，则1x y -<C ．若函数()f n 的解析式为()f n =，*n ∈N ，则()6412080n f n ==∑D ．23202422223333M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 被3除余数为111．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且()()01,2,,i P X i p i n ==>=L ，11n i i p ==∑，定义X 的信息熵()21log ni i i H X p p ==-∑.下列正确的为（ ）A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若()11,2,,i p i n n==L ，则()H X 随着n 的增大而增大 D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+=L ，则()()H X H Y ≥三、填空题12．已知函数()1f x +为偶函数，当1x >时，()241f x x x =-+，则当1x <时的解析式()f x =. 13．已知函数()322xf x =⋅+，对于任意的[]20,1x ∈，都存在[]10,1x ∈，使得()()12213f x f x m ++=成立，则实数m 的取值范围为．14．已知函数()332f x x a x x a x x x=-+++---+.若函数()6f x ≥对一切x +∈R 均成立，则实数a 的取值范围.四、解答题15．已知集合[]{}416,2,3A y y x x ==-∈，{}22330,0B x x x a a a =+-->>.(1)当4a =时，求A B ⋂；(2)若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织A 、B 两团体运动员进行比赛.其中A 团体的运动员3名，其中种子选手2名；B 团体的运动员5名，其中种子选手()15m m ≤≤名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)已知2m =，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体A 的概率；(2)已知1m =，设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列及其期望. 17．已知函数()()240,12x x a a f x a a a a+-=>≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；(3)[]1,2x ∃∈，使得()22xt f x ⋅≥-成立，求实数t 的取值范围.18．已知函数()(1)e x f x ax =-，R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，求证：当1x >-时，()e ln(1)1x f x x x ≥+--.19．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 (1)若()()595P X P X ===，求数学期望()E X ；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数()01θθ<<的取值有关.团队A 提出函数模型为()22ln 13p θθ=+-，团队B 提出函数模型为()11e 2p θ-=-.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅表示第i 组被感染的白鼠数，将随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅的实验结果()1,2,,10i x i =⋅⋅⋅绘制成频数分布图，如图所示.（i ）试写出事件“11221010,,,X x X x X x ==⋅⋅⋅=”发生的概率表达式（用p 表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数0θθ=时使得概率()11221010,,,P X x X x X x ==⋅⋅⋅=最大，称0θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：3ln 0.40552≈.。
浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高二下学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某兴趣小组研究光照时长x （单位：小时）和向日葵种子发芽数量y （单位：颗）
之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（ ）
A ．x 与y 的线性相关性变强
B ．样本相关系数r 变小
C ．残差平方和变大
D ．决定系数R 2变大
10．已知正方体1111
ABCD A B C D -，则（ ）
四、双空题
16．北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·
五、解答题
17．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2a 是14,a a 的等比中项，5611a a +=.
(1)求数列{}n
a 的通项公式；
(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列{}n
b 的前n 项和n S .
①2n a n n
b a =×；。
浙江省余姚中学高二数学下学期第一次质量检测试题
余姚中学 高二数学第一次质量检测试卷选择题（每题5分，共50分）1．已知集合2{|ln(1),}A y y x x R ==+∈，那么=A C R ( ) A.∅ B.(,0]-∞ C.(,0)-∞ D.[0,)+∞ 2．假设集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，那么实数k 的值是 ( )A.-2B.-2或-1C.2或-1D.±2或-13. 已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件4．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是 ( ) A ．]1,0[B ．]1,21[C ．]2,1[-D ．]2,0[5 已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，那么以下函数的图象错误的选项是 （ ） 6．假设命题“()p q ⌝∧”为真命题，那么 （ ） A ．p q 、 均为真命题 B ．p q 、中至少有一个为真命题 C ．p q 、中最多有一个为真命题 D ．p q 、均为假命题7.已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点，那么m 的取值范围是（ ） A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2]8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，假设将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位取得函数()y g x =的图象，那么()y g x =是减函数的区间为（ ）A ．(,0)3π-B ．(,)44ππ-C ． (0,)3πD ．(,)43ππ2013学年 第二学期9．已知函数()2xf x =的概念域为[]b a ,)(b a <，值域为[]1,4，那么在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 （ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．210．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，那么函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B.7C. 6D.无穷多个二．填空题（每题4分共28分）11. 函数)56(log )(221+-=x x x f 的单调递减区间是 ．12．已知角ϕ的终边通过点()12P -，，函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，那么π12f ⎛⎫⎪⎝⎭= ．13．设函数()f x 知足：2132()()f x f x x -=，那么函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值为 14.已知3(0,),cos()245ππαα∈+=，那么cos cos2αα＝15.设集合|{t P =数列2*(N )n a n tn n =+∈单调递增}，集合|{t Q =函数tx kx x f +=2)(在区间),1[∞+上单调递增}，假设“t P ∈”是“t Q ∈”的充分没必要要条件，那么实数k 的最小值为 ． 16.已知函数32)(2--=x x x f ,假设1<<b a ，且)()(b f a f =，那么b a u +=2的取值范围为 ．17、以下图展现了一个由区间（0，1）到实数集R 的映射进程：区间（0，1）中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1），如图①；将线段AB 围成一个圆，使两头点A 、B 恰好重合，如图②；再将那个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为（0，1），在图形转变进程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点N （,0n ），那么m 的象确实是n ，记作().f m n =DD给出以下命题：①1()14f =； ②1()02f =； ③()f x 是奇函数； ④()f x 在概念域上单调递增，那么所有真命题的序号是______________.（填出所有真命题的序号） 解答题（5题共72分）18．（本小题总分值14分）已知sin α，13cos()14βα-=，且02πβα<<<．（1）求tan2α的值； （2）求β的值．19．（本小题总分值14分）已知函数()(0)f x kx b k =+≠的图象别离与,x y 轴相交于两点,A B ,且向量22AB =+i j（,i j 别离是与,x y 轴正半轴同方向的单位向量），又函数2()2()g x x x a a =-+-∈R ．（1）求,k b 的值；（2）假设不等式()21()g x f x +≤的解集为(,2)[1,3]-∞--，求a 的值20．(此题总分值14分)设2()6cos 2().f x x x x R =∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC 中,角A,B,C 的对边别离为a,b,c,锐角A知足()3f A =-12B π=，求ac 的值.21．（本小题总分值15分）设()x f 是概念在R 上的偶函数，且当0≥x 时，()xx f 2=.假设对任意的[]2,+∈a a x ,不等式()()2f x a f x +≥恒成立, 求实数a 的取值范围22．（本小题总分值15分）已知函数41,0,()41,0x x xf x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩．（1）判定函数()f x 的奇偶性；（2）试用函数单调性概念说明函数()f x 在区间(0,2]和[2,)+∞上的增减性； （3）假设12,x x 知足：1214,14x x ≤≤≤≤，试证明：12()()1f x f x -≤．余姚中学 高二数学第一次质量检测试卷2013学年 第二学期一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）二、填空题（共7小题，每题4分,共28分）11． 12． 13． 14． 15．16．17．三、解答题（共5题，共72分） 18．（14分） 19．（14分） 20．（14分） 21．（15分）22．（15分）余姚中学 高二数学第一次质量检测试卷参考答案CDCAD ，CBDCC二．11.(5,)+∞12.13.3 14.4815.3216.3⎡--⎣ 17.②④三．18.解：（1）由sin α=，02πα<<，得1cos7α===， 2分 ∴sin 7tan cos 1ααα==4分 ∴22tan tan 21tan ααα===- 7分2013学年 第二学期（2）由02πβα<<<，得02πβα-<-<，又∵13cos()14βα-=， 8分∴sin()βα-==， 9分 由()ββαα=-+得cos cos[()]ββαα=-+cos()cos sin()sin βααβαα=---=13111472⨯+=，13分 ∴由02πβ<<得.3πβ=19.解：（1）由条件可知两点坐标为(,0),(0,)bA B b k - 2分 ∴(,),bAB b k =∵22(2,2)AB =+=i j 5分 ∴2,2,b kb ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴1,2.k b =⎧⎨=⎩ 8分 （2）由（1）可知()2f x x =+，∵2()21()2g x x x af x x +-+=≤+， 9分∴22202x x a x -+-≤+ ， ∵其解集为(,2)[1,3]-∞--， 10分∴1,3-是方程222x x a -+-0=的两个实数根 12分∴23a -=-， 1.a =- 14分20．（I ）3)62cos(32)(++=πx x f故)(x f 的最大值为332+，最小正周期为ππ==22T .(II)由323)(-=A f得)336A π++=-， 故cos(2)16A π+=-，又由20π<<A ，解得125π=A 。
浙江省余姚中学10-11学年高二数学下学期第一次质量检测模拟押题 理 新人教A版
2022学年度余姚中学高二数学质量检测试卷第 二 学 期一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列曲线中离心率为26的是 （ ） （A ）14222=-y x （B ）12422=-y x （C ）16422=-y x （D ）110422=-y x 2．若向量(1,,2),(2,1,2)a b λ→→==-的夹角为2π，则λ= （ ） （A ）6 （B ）6- （C ）4 （D ）4-3．已知函数()sin af x x ππ=-，且0(1)(1)2lim h f h f h→+-=，则a 的值为 （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C 2 （D ）任意正数4．若，则“”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线” 的（A ）充分不必要条件 （ B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件 5．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）（A ）y x 215±= （B ）x y 215±= （C ）y x 43±= （D ）x y 43±= 6．如右图，在正方体ABCD -1111A B C D 中，p 为DC 的中点，则1D P 与1BC 所在直线所成角的余弦值等于（ ）（A ）45 （B 10 （C ）12 （D 57．,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）（A ）若,m n 与l 都垂直，则m ∥n （B ）若m ∥α，//m n ，则n ∥α（C ）若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥ （D ）若γ与平面,αβ所成的角相等，则//αβ8．已知0>a ，且1≠a ，()x a x x f -=2，当()1,1-∈x 时均有()21<x f ，则实数a 范围是 （ ）（A ）[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0 （ B ）(]4,11,41⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡ （C ）(]2,11,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡ （D ）[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,441,0 9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是10．已知函数243,1()1,1x x x f x x x ⎧-+>=⎨-≤⎩，则函数2()()log h x f x x =-的零点个数为（ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4二．填空题（每小题4分共28分）11．函数()sin cos f x x x x =⋅+，则'()2f π= 12．抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在轴上，直线=与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为13．在正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为111,,A D AB BB 的中点，则直线AG 与平面EFG 所成角的余弦值等于14．已知直线1x my =+与椭圆2212x y a +=恒有公共点，则a 的取值范围为 15．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ．16．已知点x y 42=1d 1)3()3(22=-++y x 212,d d d +则a →⊥b →0a b →→⋅=2380x y -+=2()x f x e x -=(0)f )2(f 0541022=-+-+y x y x 关于直线52ax y a --=的对称点M '也在该圆上．所有正确命题的个数为 ．三．解答题：（第18题12分，其余均为15分）18．斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，求双曲线的离心率e 的取值范围19．如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．Ⅰ求O 点到面ABC 的距离；Ⅱ求异面直线BE 与AC 所成的角的余弦值；Ⅲ求二面角E AB C --的余弦值．20．已知函数)(,321cos 34)(23R x x x x f ∈+-=θ，其中θ为参数，且20πθ≤≤， Ⅰ当0cos =θ时，判断函数)(x f 是否有极值Ⅱ要使函数)(x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；Ⅲ若对Ⅱ中所求的取值范围内的任意参数θ，函数)(x f 在区间),12(a a -内都是增函数，求实数a 的取值范围．21．已知圆O ：122=+y x ，点O 为坐标原点,一条直线l ：)0(>+=b b kx y 与圆O 相切并与椭圆1222=+y x 交于不同的两点A 、B （1）设)(k f b =,求)(k f 的表达式；（2）若32=⋅OB OA ，求直线l 的方程； （3）若)4332(≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围22．已知函数)(3),,(8ln 6)(2x f x b a b x ax x x f 为且为常数=+--=的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数f 的单调减区间（Ⅲ）若= f 的图象与轴有且只有3个交点，求b 的取值范围2022学年度 余姚中学 高二数学质量检测试卷第 二 学 期Ａ Ｏ Ｅ Ｃ Ｂ二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11． 12．13． 14．15． 16．17．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18本题满分12分19 本题满分15分ＡＯ Ｅ ＣＢ20 本题满分15分21．本题满分15分22 本题满分15分。
2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题(解析版)
令 x y 1 即可.
14．市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊 5 名同学随机
坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用
数字作答）3 位同学相邻，另 2 位同学也相邻，但 5 位同学不能坐在一起的不同的坐
法种数为______.（用数字作答）
12．若函数
f
x
x3
3ax
1
在
x
1 处的切线与直线
y
6x
6 平行，则实数
a __________．当 a 0 时，若方程 f x 15 有且只有一个实根，则实数 a 的取值
范围为____________________．
【答案】1 4, 0
【解析】由函数
y
f
x 的图象在
x
1 处的切线与直线
48 125
本题选择 C 选项.
6．已知随机变量 的分布列为（ ）
1
2
3
4
1
1
1
1
P
4
3
6
4
D
则
的值为（ ）
29 A． 12
121 B． 144
179 C． 144
17 D． 12
【答案】C
【解析】利用随机变量的分布列计算出 E ，再利用方差公式可求得 D 的值.
【详解】
E 1 1 2 1 3 1 4 1 29
y
f
x 的图象在
x
1 处的切线与直线
y
6x
6 平行，则
f 1 3 3a 6 ，解得 a 1.
①若 a
0
，则
f
x