向心加速度推导过程

向心加速度推导过程
高中物理一年级中学到匀速圆周运动。

有关圆周运动有几个概念：
1.运动半径R；
2.线速度V ：质点沿切向的即时速度；
3.角速度ω：质点绕某点运动通过弧度角与所用时间的比值；
4.向心加速度a：速度变化与时间的比值；
5.圆心角θ；
现在对向心加速度公式进行推导：如图
现设一质点以R为半径作匀速圆周运动，质点的线速度为V，周期为T，角速度为ω。

当质点运动一周时，周角为2π，是间为T，由定义有：ω＝2π/T
∵V ＝L/T=2πR/T＝ωR
∴V=ωR (1)
如图甲，质点在时间差Δt内从a点运动到b点，则它的速度变化量为ΔV，
如图乙。

速度变化的角等于圆心角θ。

在Va、Vb、ΔV组成的小三角形成中，
把它补成小扇形。

在数学上有弧长等于半径与圆心角的积。

当θ足够小时，则可以认为弧长等于弦长。

这时ΔV相当扇形的弦，Va＝Vb＝V相当于半径
所以有
ΔV＝θV……………………………………（２）
因为圆心角等于角速度与时间的积
θ=ωΔt……………………………………（３）
由（１）、（２）、（３）可得
a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω２R 即
a=ω２R
还可以推出
a＝ω２R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V２/R
即
a=ωV＝ω２R＝V２/R
证明完毕，愿对你有所帮助。

捧真心于2011年11月15日。