高考数学压轴专题运城备战高考《坐标系与参数方程》经典测试题含答案

【最新】数学《坐标系与参数方程》高考知识点
一、13
1．若点P
的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则
2ρ=
=
，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+
经过直角
坐标系下的伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x
''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程2
2212
3+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为22
(2))143x ''+=，
即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
3．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2
ρ的最大值为（ ） A ．
7
2
B ．4
C ．
92
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
将2
2
3cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为2
2x
y + 的最大
值。

【详解】
223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得
22332y x x =-，则()2222211919
369(3)22222
x y x x x x x +=-+=--++=--+.由
223
302
y x x =-…，可得02x 剟
，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系
是( ) A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆
心 【答案】D 【解析】
【分析】
分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】
圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=
圆心到直线的距离为：9
25
d r =
<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
5．参数方程
（为参数）所表示的图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 由
，得
，代入
，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程
中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

【详解】 由题意知将代入
，得
，
解得，因为
，所以
.故选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

6．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点对应的极角分别为，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22
162
x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36
π
ρθ+
=M 的极坐标方
程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2
2
11OA
OB
+
的
最大值为（ ） A ．
3
4
B ．
25
C ．
23
D ．
13
【答案】C 【解析】
分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=，设A 、B 两
点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线C 的方程为22
162
x y +=，即2236x y +=，
∴曲线C 的极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=
设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，
联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22
2222
12cos 111112sin 663OA OB
πθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+
1+1cos 21cos 23sin 23666
ππθθθ⎛⎫⎛
⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，即可得其最大值为2
3
，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
8．已知点()1,2A -，()2,0B ，P
为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-
C
．1,3⎡+⎣
D
．1,3⎡-+⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】
解：设(),P x y
则由y =()221043x y y +=≥，
令2cos ,x y θθ==，[]
(0,θπ∈，
()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v
，
124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝
⎭u u u v u u u v ，
0θπ≤≤Q ，
7666
πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 14sin 376πθ⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.
9．设曲线:sin x C y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ
为参数）与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上
的动点，且点P 不在坐标轴上，则直线PM 与PN 的斜率之积为（ ） A ．
1
3
B ．13
-
C ．
34
D ．43
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由曲线C 的参数方程，求得曲线C 的普通方程为2
213x y +=，可设
(M N ，,sin )P ϕϕ，再根据斜率公式，得到
22sin 3cos 3
PM PN
k k ϕϕ⋅=-，即可求解． 【详解】
由题意，曲线:sin x C y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），所以曲线C 的普通方程为2213x
y +=，
又由曲线C 与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴
上，
可设(,sin )M N P ϕϕ， 则直线PM 与PN 的斜率之积：
2
2
sin 13cos 33PM PN
k k ϕϕ⋅===--，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ） A ．
12
B ．
13
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++„
， 1sin 3
BAM ∴∠„
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】
由题得2
2
(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理
能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪
⎨=
⎪⎩
,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直
角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉22
0x y +=.
12．在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
AP x AB y AD =+u u u v u u u v u u u v
，则x y +的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，可得出圆C 的方程为()()2
2
222x y -+-=，可设点P 的坐标为()
22cos
,22sin θθ++，根据向量的坐标运算可将x y +用θ的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出x y +的最大值. 【详解】
设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，
则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为
22
1x y
+=，即20x y +-=，
点C 到直线BD 的距离为2
2
211
d =
=+，
则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()2
2
222x y -+-=，
设点P 的坐标为()
22,22θθ+，由AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r
，
得()
()()()22,222,00,22,2x y x y θθ+=+=，2
12
1x y θθ⎧
=+⎪⎪
∴⎨
⎪=+⎪⎩
， 所以，22cos 2sin 2224x y πθθθ⎛⎫+=
++=++ ⎪⎝
⎭， 因此，x y +的最大值为3. 故选：C.
本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
13．曲线1cos {2sin x y θ
θ
=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）
A ．在直线2y x =上
B ．在直线2y x =-上
C ．在直线1y x =-上
D ．在直线1y x =+上
【答案】B 【解析】
试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在
，半径为1的圆，其对称中心为
，逐个代入选项可知，点
满足
，故选B.
考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.
14．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2
π B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
15．将点的直角坐标(－2，3化成极坐标得( )． A ．(4，
23
π) B ．(－4，
23
π) C ．(－4，
3
π) D ．(4，
3
π) 【答案】A 【解析】
由条件求得ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵点的直角坐标(2-
∴4ρ=
==，21
cos 42x
θρ
-=
=
=-
，sin y θρ=== ∴可取23
πθ=
∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
故选A. 【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
(θ由(),x y 所在象限确定).
16．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b +=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l
交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E
=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[2,5]
C ．[2,4]
D ．[3,4]
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】
由题意可知，(D c
，7,5E c ⎛- ⎝⎭
，
将,D E 代入椭圆方程得222
222
222
2
112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=
⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ，
设()cos ,sin P θθ，
则12PF PF ⋅== 所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5].
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.
17．在极坐标系中，圆cos()3
π
ρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π
- B ．1(,)23π C ．(1,)3π- D ．(1,)3
π 【答案】A
【解析】
由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=，
化为2211()(44x y -+=，
∴圆心为1
(,4，半径r=12．
∵tan α=3
π-， ∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1
(,)23π-．
故选A ．
18．椭圆22
:1169
x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )
A ．185+
B ．165-
C ．185-
D ．165
+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案.
【详解】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，
则点P 到直线l
的距离12cos 12sin 185d θθ++==
1818455
πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=
. 所以当54πθ=
时，d
取得最小值185
-. 故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.
19．椭圆22
1164
x y +=
上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ） A ．3
B
C
．D
【答案】D
【解析】
【分析】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案．
【详解】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ） 则点P
到直线20x y +=的距离
=，
max d ==，故选D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
20．参数方程21,11x t y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）所表示的曲线是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线.
【详解】
将1t x =代入y =，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致，
故选:D.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。