黄金分割(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.12 黄金分割（知识讲解）
【学习目标】
1、理解黄金分割的概念；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。

【要点梳理】
黄金分割的定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
特别说明：
512AC AB =≈0.618AB(叫做黄金分割值).
作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 特别说明：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、黄金分割的作法
1．作出线段AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】
作法：（1）延长线段AB 至F ，使AB BF =，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG AB ⊥，在BG 上取点D ，使2AB BD =；（2）连接AD ，在AD 上截取DE DB =．（3）在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB
的512
黄金分割点．
解：如图，点C 即为所求．
【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．
【变式】如图，设线段AC ＝1. （1）过点C 画CD⊥AC ，使CD 12
＝AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．
（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC ＝1，则DE ＝DC 2＝，利用勾股定理得到AD 5＝AE 51-＝则AB 51-＝B 是线段AC 的黄金分割点． 解：（1）如图，点B 为所作；
（2）点B 是线段AC 的黄金分割点．
理由如下：设AC ＝1，则CD 12
＝， ∴DE ＝DC 12
＝， 2
21512⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∴AE ＝AD ﹣DE 51512-＝ ∴AB 51-＝ BC 35-＝ 35
51251
BC AB --=-＝ 51
5121AB AC --=＝ 即BC AB AB AC
＝， ∴点B 是线段AC 的黄金分割点．
【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键
【变式2】如图，以矩形ABCD 的宽为边作正方形AEFD ，若矩形EBCF 的宽与长的比值等于矩形ABCD 的宽与长的比值，则将矩形ABCD 称为“黄金矩形”．若AD ＝2，求BE 的长．
51
【分析】由正方形的性质得AE ＝AD ＝2，由“黄金矩形”的定义求出AB 得长，即可得出BE 的长．
解：∴四边形AEFD 是正方形，
∴AE ＝AD ＝2，
∴矩形ABCD 为黄金矩形，
∴AD 51-=
， 即
251-=，
解得：AB 5=1，
∴BE ＝AB ﹣AE 5=1﹣25=1．
51-是解题的关键． 类型二、由黄金分割点求线段长
2．已知线段AB=10cm ，点C 是AB 上的黄金分割点，求AC 的长是多少厘米？
【答案】（555）cm 或（15−55cm
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC 5110555-=或AC ＝10−（555）＝15−5 解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，
当AC 是较长线段时，AC 5110555-=； 当AC 是较短线段时，则AC ＝10−（555）＝15−55
故答案为：（555）cm 或（15−55cm ．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
【变式1】如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点（且11AP BP <，即
211PB AP AB =⋅），则1
PB =__________；点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段2AP 的黄金分割点（323AP P P <），…依此类推，则线段n AP 的长度是__________．
51- 352n
⎛- ⎝⎭
【分析】
（1）根据211PB AP AB =⋅，设P 1B=x,列出方程解出即可；
（2）由BP 151-，得出AP 151-3-5AP 23-52，AP 33-53，… 依此类推，则线段AP n 的长度是3-5
解：（1）∴211PB AP AB =⋅,AP 1=AB -P 1B, 1AB =设P 1B=x,
∴x 2=1×(1-x)
解得：x 151-,x 25+1舍去)， 51-； （2）根据黄金比的比值，BP 151-， 则AP 151-3-5 同理可得AP 23-52， AP 33-53， …
依此类推，则线段AP n 的长度是3-5 故答案为35n -⎝⎭．
【点拨】本题考查了黄金分割的概念，一元二次方程的解法，解题关键是理解黄金分割的概念．
【变式2】已知线段2AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为_____．
51或35
【分析】根据点C 是线段A 的黄金分割点，得到比例，再分AC BC >和两种情况解答即可.
解：点C 是线段AB 的黄金分割点，
∴当AC BC >时，如图
∴51BC AC AC AB -== ∴51AC = ∴当AC BC <时，如图
∴
51AC BC BC AB -==， ∴35AC AB -=∴35AC =综上：AC 51或35
【点拨】本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式3】如图，点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB BC >，若2AC =，求AB BC 、的长．
【答案】AB =15-+，BC =35
【分析】由黄金分割的定义可得AB 2=BC ·AC ，设AB =x ，则BC =2-x ，代入求解即可 解：∴点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＞BC ，
∴BC AB AB AC
=， ∴AB 2=BC ·AC ．
设AB =x ，则BC =2-x ，
∴x 2=(2-x )×2，
∴x 2+2x -4=0， 解得：x 1=15-x 2=15-
∴x ＞0，
∴x =15-即AB =15-， ∴BC =35
答：AB =15-，BC =35
【点拨】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
类型三、证明黄金分割点
3．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
【答案】是，证明见解析
【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
解：M是AB的黄金分割点，理由如下：
∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE＝1
∴AE225
+=
AB BE
∴EF＝BE＝1，
∴AF＝AE﹣EF5
=1，
∴AM＝AF5
=1，
∴AM：AB51）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
【点拨】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫
51
-
）叫做黄金比．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，51
AD=，且四边形ABFE是一个正
AB=，2
方形，试问点F是BC的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）
解：点F 是BC 的黄金分割点.
理由如下：
⊥四边形ABFE 是一个正方形，⊥51BF AB ==.
又⊥在矩形ABCD 中，2BC AD ==，⊥
BF BC
=______. ⊥点F 是BC 的黄金分割点.
51- 【分析】根据正方形性质，51BF AB ==，2BC AD ==，得BF BC =51-. 解：点F 是BC 的黄金分割点.
理由如下：
∴四边形ABFE 是一个正方形，
∴51BF AB ==.
又∴在矩形ABCD 中，2BC AD ==，
∴BF BC =51-. ∴点F 是BC 的黄金分割点.
【点拨】考核知识点：黄金分割点.理解意义是关键.
【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．
（1）求AM DM ，的长； （2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）AM51，DM=352）是，理由见解析
【分析】
（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF PF AP
=-，415
PF PD
=+，则51
AM AF
=，35
DM AD AM
=-=
（2）根据（1）中的数据得：
51
AM
AD
-
=M是AD的
黄金分割点．
解：（1）在Rt APD中，1
AP=，2
AD=，由勾股定理知22415
PD AD AP
++
51
AM AF PF AP PD AP
∴==-=-，
35
DM AD AM
=-=
故AM51，DM的长为35
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于
51 AM
AD
-
=
∴点M是AD的黄金分割点．
【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【变式3】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
【答案】（151，352）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点
【分析】
（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：
AM DM AD AM
=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点．
解：（1）∴P 为边AB 的中点，
∴AP ＝12AB ＝1，
∴PD 22AP AD +2212+5
∴PF ＝PD 5AF ＝PF －AP 51，∴AM ＝AF 51，
∴DM ＝AD －AM ＝35
（2）证明：∴AM 2＝51)2＝6－5
AD ·DM ＝2(35＝6－5
∴AM 2＝AD ·DM ．
（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：
∴AM 2=AD •DM ， ∴51AM DM AD AM -== ∴点M 是AD 的黄金分割点．
【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
类型四、黄金分割点的应用
4．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【答案】她应该选择大约8厘米的高跟鞋．
【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．
解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99（厘米），
设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得
99 165y y
+
+
＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．
【点拨】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
【变式1】如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，1S表示AE为边长的正方形面积，2S表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，3S表示正方形ABCD 除去1S和2S剩余的面积，求3S：2S的值．
51
-
．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （BC ＞AC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51AC AB -=，由定义可得：2AE AB BE =，设1,1,AB BE AB AE AE ==-=- 求解,AE BE ，从而可得答案． 解：如图，设1AB =，
点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，
2AE AB BE ∴=，
2AE AB AE ∴=-，
210,AE AE ∴+-=
AE ∵＞0，
51AE GF -∴== 正方形ABCD ,正方形AEFG ，
,,AB AD AE AG ∴==
,DG BE ∴=
35BE DG AB AE -∴==-=， 3S ∴：()2S GF DG =⋅：()BC BE ⋅
5135--=⎝⎭：351⎛- ⎝⎭
51-= 【点拨】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
【变式2】如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC 51-，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金“右割“点，根据图形不难发现，
线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD
51
-
＝，则称点D
是线段AB的黄金“左割”点．
请根据以上材料．回答下列问题
（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC=，DC= ．
（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m
＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求p q
的值．
【答案】（1）12﹣5516；（2455
-455
-
【分析】
（1）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．其中AC
51
-
＝，并且线段AB的黄金分割点有两个．把AB＝8代入
式子可以AC 和BD，用减法可以分别求BC和DC；
（2）在数轴上，由于m的取值不确定，需要分类讨论；同时根据上述的黄金“右割”点、
黄金“左割”点，可以列出：
51
PN
-
＝；
51
MQ
-
，接着求出PN＝n﹣p；MQ
＝q﹣m；MN＝n﹣m；最后代入求出p和q及p
q
的值．
解：（1）∴点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，∴AC＝BD51-51-
＝8＝5-4，
∴BC＝8﹣（5-4）＝12﹣5
∴DC＝BD﹣BC＝（54）﹣（12﹣55-16；
故答案为12﹣5516；
（2）由（1）和题意可知：
51
PN
-
，
51
MQ
-
＝，
∴在数轴上，m＜p＜q＜n，n＝3|m|，
∴PN＝n﹣p，MQ＝q﹣m，MN＝n﹣m，
当m ＞0时，n ＝3m ，即3m ﹣p 51513251m m m m ---()＝＝()， ∴根据被减数﹣差＝减数：p ＝3m 51m -()＝4m 5m -，
同理可求q 5m ＝，
∴
p q 45454554555555m m m ---⋅-⋅()＝＝＝， 当m ＜0时，n ＝﹣3m ， ∴3m ﹣p 513215m m m ---()＝()， ∴根据被减数﹣差＝减数：p ＝﹣3m ﹣2（15-m ＝﹣5m ＋5， 同理可求q ＝3m 25m -，
可得：455P q -＝， ∴p q 455-455- 【点拨】本题考查了黄金分割、分类讨论的思想；把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段
AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC 51-，并且线段AB 的黄金分割点有两个．利用分类讨论的思想，全面考虑不同的M 值时，p q 的值．。