优化方案高中数学第三章概率章末演练轻松闯关学案新人教A版必修3

【优化方案】2016年高中数学 第三章 概率 章末演练轻松闯关学案
新人教A 版必修3
[A.基础达标]
1．以下事件是随机事件的是( ) A ．下雨屋顶湿 B ．秋后柳叶黄 C ．买彩票中奖 D ．水结冰体积变大
解析：选C.A 、B 、D 是必然事件．
2．设A ，B 为两个事件，且P (A )＝0.3，若P (B )＝0.7，则A 与B 的关系是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 C ．A ⊆B D ．A 不包含B
解析：选D.概率和为1不能判断是否同时发生，故不能选A 、B ，A 发生的可能性小于B ，显然D 正确．
3．函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5，5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( )
A.310
B.15
C.25
D.45
解析：选A.由f (x 0)≤0，即x 2
0－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈[－5，5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝3
10
.
4．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )
A ．0.5
B ．0.4
C ．0.004
D ．不能确定
解析：选C.由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出的2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比
2
500
＝0.004. 5．(2014·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选C.取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，
概率为610＝3
5
.故选C.
6．袋中有5个白球，n 个红球，从中任意取一个球，恰好是红球的概率为2
3
，则n ＝________．
解析：由题意，
n
5＋n ＝2
3
，解得n ＝10. 答案：10
7．(2014·高考浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
解析：记“两人都中奖”为事件A ，
设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P (A )＝26＝1
3
.
答案：13
8．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴
影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________．
解析：设阴影部分的面积为S ，向正方形内随机投掷1个点，落在阴影部分的概率的估计值是200800＝14，则S S 正方形＝14
，又正方形的面积是36，则S ＝1
4
×36＝9.
答案：9 9．(2015·常德质检)空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由
(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染)；
(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量类别不都是轻度污染的概率．
解：(1)空气受到污染的概率P ＝1230＋430＋230＝1830＝3
5
.
(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个
数分别为2，3，1.
设它们的数据依次为a 1，a 2，b 1，b 2，b 3，c 1，则抽取2个数据的所有基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 3，c 1)，共15种．
设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A ，则A 中的基本事件数为12，
所以P (A )＝1215＝45，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为4
5
.
10．设关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0，若a 是从区间[0，4]上任取的一个数，b
是从区间[0，3]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2
＝0有实根”．
则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2
. 又∵a ≥0，b ≥0， ∴a ≥b .
试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤4，0≤b ≤3}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤4，0≤b ≤3，a ≥b }，即如图所示的阴影部分：
所以P (A )＝3×4－12×3
2
4×3＝5
8
.
[B.能力提升]
1．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为( ) A.12 B.23 C.22
D.24
解析：选C.如图，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝AC ′AB ＝AC AB ＝2
2
，所以AM 的长小于AC 的长的概率为
22
. 2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.25
解析：选A.记2个红球分别为a 1，a 2，2个白球分别为b 1，b 2，则基本事件空间为{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，
a 2)，(
b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)}，共16个基本事件．记事件A ＝“取出的两个球同色”＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，
(b 2，b 1)，(b 2，b 2)}共8个基本事件．所以P (A )＝816＝1
2
.
3．某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛，甲、乙两名同学夺得第一名的概率分别是38和1
3
，则该班同学夺得第一名的概率为________．
解析：甲同学夺得第一与乙同学夺得第一是互斥事件，故该班同学夺得第一的概率P ＝
3
8＋13＝1724
. 答案：1724
4．(2014·高考江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________ .
解析：取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况．
乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种情况．
所求事件的概率为26＝1
3.
答案：13
5．(2014·高考福建卷)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为 4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：
(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准； (2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．
解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为1
a
(8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋
6 000×0.15a ＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20a )＝6 400.
因为6 400∈[4 085，12 616)，
所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．
设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，
则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个，所以所求概率为P (M )＝310
. 6．(选做题)(CB 即CitizenBand 市民波段的英文缩写)两个CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
解：设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30，0≤y ≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．
因此构成该事件的点由满足不等式x 2
＋y 2
≤25的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2
≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1 200平方公里，
而事件的面积为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14π·(25)2
＝625π4(平方公里)，
于是有P ＝625π/41 200＝625π4 800＝25π
192.。