高中数学《向量的坐标表示》教案2 苏教版必修4

第 7 课时：§2.3.2 向量的坐标表示（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2.能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3.通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.
二、过程与方法
1. 教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；
2.最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
三、情感、态度与价值观
1. 通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；
2.设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点. 【教学重点与难点】：
重点：平面向量线性运算的坐标表示. 难点：对平面向量的坐标表示的理解。

【学法与教学用具】：
1.学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.教法：引导发现、合作探究. 3.教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题
1．平面向量基本定理：如果1e r ，2e r
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+r r r
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
3.若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量：若向量不以原点为起点呢？
4.两个向量相等的条件是什么？（两个向量坐标相等）
二、研探新知 1.平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r
作为基
底。

任作一个向量a r ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a r =x i r +y j r
我们把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作a r
),(y x = 其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标， 【说明】：（1）对于a r ，有且只有一对实数),(y x 与之对应
（2）相等向量的坐标也相同；
（3）i r )0,1(=，j r
)1,0(=，0r )0,0(=；
（4）从原点引出的向量−→
−OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标。

【问题】：已知11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r
，你能得出a b +r r ,a b -r r ,λa r 的坐标吗？ 解：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++r r r r r r r r 即()1212,a b x x y y +=++r r ．同理：1212(,)a b x x y y -=--r r
．
【结论】：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

2．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）； （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标； （3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。

3．向量的坐标计算公式：
已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→
−AB 的坐标． −→
−AB =−→
−OB -−→
−OA =-),(22y x ),(11y x 2121(,)x x y y =--
【结论】：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； （2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

4．实数与向量的积的坐标：
已知(,)a x y =r 和实数λ，求()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=r r r r r
【结论】：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
O
x
22(,)B x y
11
(,)A x y y
O
x
a r
A 1
2b r c r d u r
例1 如图，用基底i r ，j r 分别表示向量a r 、b r 、c r 、d u r
， 并求出它们的坐标。

解：由图知：22(2,2)a i j =+=r r r
； 22(2,2)b i j =-+=-r r r
；
22(2,2)c i j =--=--r r r
；
22(2,2)d i j =-=-u r r r
．
例2（教材71P 例2）已知)4,3(),1,4(),3,1(),3,1(D C B A --，求向量−→
−OA ,−→
−OB ,−→
−AO ,−→
−CD 的坐标。

例3. 已知(2,1)a =r ，(3,4)b =-r
，求a b +r r ，a b -r r ，34a b +r r 的坐标．
解：a b +r r =(2,1)(3,4)(1,5)+-=-；a b -r r
(2,1)(3,4)(5,3)=--=-；
34a b +r r
3(2,1)4(3,4)(6,19)=+-=-．
例4.（教材72P 例3）用向量的坐标运算解2.3.1小节例2
例5. （教材72P 例4）已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，
且λ=−→
−P P 1−→
−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标。

例 6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-、(1,3)-、(3,4)，求顶点D 的坐标。

解：设顶点D 的坐标为(,)x y ．∵)2,1()13),2(1(=----=−→−AB ，)4,3(y x DC --=−→
−,由
=−→
−AB −→
−DC ，得(1,2)(3,4)x y =--．∴1324x y =-⎧⎨
=-⎩，2
2x y =⎧⎨=⎩
，∴顶点D 的坐标为(2,2)．
例7 （1）已知a r 的方向与x 轴的正向所成的角为120o
，且||6a =r ，则a r 的坐标为______ （2）已知(1,2)a =-r ，(3,1)b =-r ，(11,7)c =-r ，且c xa yb =+r r r
，求x ，y ．
解：（1）(3,33)-，(3,33)--．
（2）由题意，(11,7)(1,2)(3,1)(3,2)x y x y x y -=-+-=--+，
∴11372x y x y =-⎧⎨
-=-+⎩ ∴2
3
x y =⎧⎨=-⎩．
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知向量2
(3,34)a x x x =+--r 与−→
−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；
2．已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→
−AC −→
−BD 2，则____=+y x
3.与向量a r
)4,3(=平行的单位向量为_____
4.已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且3=−→
−CM −→
−CA ,=−→
−CN −→
−CB 2，求点M ,N 和−→
−MN 的坐标； 5．已知点)3,2(),2,3(),1,2(),2,1(--D C B A ，请以−→−AB ,−→−AC 为一组基底来表示−→−AD +−→−BD +−→
−CD 6.已知O 是坐标原点，)4,1(),2,3(B A ,若点C 满足−→
−OC =α−→
−OA +β−→
−OB ，其中R ∈βα,，且
1=+βα，求C 点的轨迹方程；
7.已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O ，及−→
−OP =−→
−OA +t −→
−AB ，试问： （1）当t 为何值时，点P 在x 轴上；在y 轴上；在第二象限？
（2）四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应t 的值；若不能，请说明理由。

五、归纳整理，整体认识
1．正确理解平面向量的坐标意义； 2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示） 3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题 六、承上启下，留下悬念 预习向量共线 七、板书设计（略） 八、课后记：。