漳县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

漳县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ）
A ．
B ．20
C ．21
D ．31
3． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆
xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1(3(22=-++y x 2
π
=
∠APB 31≤≤n x x
x f 3log 4
)(-=
内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
)4,3(A ． B ． C ．
D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(q
p ∨⌝)(4． 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
2O O A ．
B ．
C ．
D ．π4π6π8π
105． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．16． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．±
7． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
8． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
，且获得一等奖
的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）
A ．最多可以购买4份一等奖奖品
B ．最多可以购买16份二等奖奖品
C ．购买奖品至少要花费100元
D ．共有20种不同的购买奖品方案
9． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1
B ．
C ．
D ．
10．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（
）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．5.6%11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（
）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
12．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3456y 2.534 4.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ． =0.7x+0.35
B ． =0.7x+1
C ． =0.7x+2.05
D ． =0.7x+0.45
二、填空题
13．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.
14．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
15．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．　
16．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；
⑤M中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
17．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
18．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是 ．　
三、解答题
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
20．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
xOy(2,0)y
21．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨C
迹为曲线．
C
（1）求曲线的方程；111]
(1,0)C A B C E F
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点与曲线交于，两点，AB EF M N MN P P
线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
22．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
23．如图，在四棱柱中，底面，，，．
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若
，判断直线
与平面是否垂直？并说明理由．
24．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在岁间，旅游途中导游发现该[10,60]旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按分成5组，分[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]别记为，其频率分布直方图如下图所示．
,,,,A B C D E
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在三组中用分层抽样的方法抽取了名团员负责全团协调，然后从这6名团员中,,C D E 6随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自组的概率．
C
漳县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”，∴命题P 是真命题，∴命题P 的逆否命题是真命题；￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，
∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题．故选：B ．　
2． 【答案】C
【解析】解：由a n+1=a n +2n ，得a n+1﹣a n =2n ，又a 1=1，∴a 5=（a 5﹣a 4）+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1=2（4+3+2+1）+1=21．故选：C ．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．　
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以
p 2
π
=
∠APB AB ()()
113
2
2
=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()x
x
x f 3
log 4-=
()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 3
4
333>-=
f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆
P 2
π
=
∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
1)1(3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
x x
x f 3log 4
)(-=4． 【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
5．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，
∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则==±=±．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
7．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
8．【答案】D
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，
则根据题意有：，作可行域为：
A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．
最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A、B、C正确，D错误。

故答案为：D
9．【答案】D
【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得
=
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选D
【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．
10．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56
故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
11．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．
故选A．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
二、填空题
13．【答案】120
【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．14．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．　
15．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B 1﹣AA 1D 1的体积是=
，
三角形AB 1D 1的面积为4，设点A 1到平面AB 1D 1的距离等于h ，则
，
则h=
故点A 1到平面AB 1D 1的距离为．
故答案为：
．
16．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P 1（0，1），P 2（0，0），P 3（1，0），P 4（1，1）．
∵集合M={x|x=
且i ，j ∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x=
=（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
17．【答案】　（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）　．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
18．【答案】 ．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b，
即有a=，
则椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），
由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，
即为t2﹣2k2＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
20．【答案】
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，
∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）=（6分）
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）
若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）
又，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，
此时b＞1（11分）
综上，b 的取值范围是（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，转化为g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，e]上的最小值．　
21．【答案】（１） ；（２）证明见解析；．2
4y x =(3,0)【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，11(,)A x y 22(,)B x y 则直线：，，(1)y k x =-1212
(
,)22
x x y y M ++由得，24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222
(24)0k x k x k -++=，
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当不含参数时，可通过解不等式)(x f )
0)((0)('
'
<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥参数的取值是不恒等于的参数的范围．
)('
x f 22．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数
的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
23．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面，底面，
所以．
又因为，，
所以平面．
又因为底面，
所以．
（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．
证明：假设平面，
由平面，得．
由棱柱中，底面，
可得，，
又因为，
所以平面，
所以．
又因为，
所以平面，
所以．
这与四边形为矩形，且矛盾，
故直线与平面不垂直．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．。