2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课件：第2课时分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的应用

点评 应用两个计数原理解题的注意点：在运用分类加法计数原理和 分步乘法计原理解决一些简单的实际问题时，首先必须认清是“分 类 ” 还是 “ 分步 ” ，其次要搞清 “ 分类 ” 或 “ 分步 ” 的标准是什 么，选择合理简捷的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏.
变式训练 1 (1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每 人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能 的结果？
点评 对于组数问题的计数，一般按特殊位置 (末位或首位)由谁占领 分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出 总数，再减去不符合条件的数去计数.
变式训练 2 用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数 字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？
(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四 步：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；第 二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；第三步： 选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；第四步：选取左 边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法．由分步乘法计数原理， 可以组成不同的四位密码共有 N＝5×4×3×2＝120(个)．
2 新视点· 名师博客 类型一 选(抽)取与分配问题 【例 1】 (1)8 本不同的书，任选了 3 本分给 3 个同学，每人 1 本，有多少种不同的分法？ (2)将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ (3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有 8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝ 8×7×6＝336(种)． (2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3 个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有 3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第 四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投 法共有N＝3×3×3×3＝81(种)． (3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方 法共有N＝4×4×4＝64(种).
解析： (1) 要完成的是 “4 名同学每人从三个项目中选一项报 名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人 分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为 3 种，所以 共有 3×3×3×3＝81 种报名方法． (2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只 能有一人获得， 三项冠军都有得主， 这件事才算完成， 于是应以“确 定三项冠军得主 ” 为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一 人，有 4 种可能情况，于是共有 4×4×4＝64 种可能的情况.
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步定个位，只能从 1,3 中任取一个有 2 种方法；第二步定首位， 把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有 3 个可任取一个有 3 种方法； 第三 步、第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方 法，再排十位有 2 种方法．由分步乘法计数原理共有 2×3×3×2 ＝36(个)．
知识点二 分类加法原理与分步乘法计数原理的选择 1.完成一件事情有 n 类办法，若每一类办法中的任何一种方法 均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用 分类加法原理． 2．完成一件事情有 n 个步骤，若每一步的任何一种方法只能 完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这 n 步后， 才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原 理． 3．正确区分完成一件事情是分类还是分步.
类型二 组数问题 【例 2】 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的 4 位偶数？
解析：法一：按末位是 0,2,4 分为三类： 第一类：末位是 0 的有 4×4×3＝48(个)； 第二类：末位是 2 的有 3×4×3＝36(个)； 第三类：末位是 4 的有 3×4×3＝36(个)． 则由分类计数原理有 N＝48＋36＋36＝120(个)． 法二：按千位是 2,3,4,5 分四类： 第一类：千位是 2 的有 2×4×3＝24(个)； 第二类：千位是 3 的有 3×4×3＝36(个)； 第三类：千位是 4 的有 2×4×3＝24(个)； 第四类：千位是 5 的有 3×4×3＝36(个)． 则由分类计数原理有 N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步： 第一步：从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有 4 种不同的 选取方法； 第二步： 从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一 个数字作百位数字，有 4 种不同的选取方法； 第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法； 第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有 2 种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有 N＝ 4×4×3×2＝96(个)．
目标导航 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计 数原理解决一些简单的实际问题．
1 新知识· 预习探究 知识点一 分类加法原理与分步乘法计数原理的共同点与不同 点 1.共同点是，它们都是研究完成一件事情共有多少种不同的方 法． 2．不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理 是“分类完成”，即任何一类办法中的任何个方法都能完成这件 事．乘法原理是“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺 次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情．
法三：间接法． 用 0,1,2,3,4,5 可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是 0 的有 5×4×3＝60(个)； 第二类：末位是 2 或 4 的有 2×4×4×3＝96(个)． 共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有： 千位是 1 的共有 3×4×3＝36(个)． 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个).