2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二文科下学期数学期中考试试卷
天津市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷一、选择题：1. 已知、、是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程，，至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A. 三个方程都没有两个相异实根B. 一个方程没有两个相异实根C. 至多两个方程没有两个相异实根D. 三个方程不都没有两个相异实根【答案】A【解析】试题分析：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此本题选C．考点：反证法．2. 已知复数，则对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先计算出z,再代入计算得到对应点所在的象限.详解：由题得所以=，所以对应的点为，在第二象限.故答案为：B3. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.详解：，所以，切线方程为：即.令，则；令，则，故面积为，故选A.点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.4. 下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.详解：对于A中的函数，有，当时，的符号有正有负，故在上不是增函数；对于B，，当时，，故在上不是增函数；对于C，，当时，，故在上不是增函数；对于D，，当时，，故在上是增函数；故选D.点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .详解：令，则，从而为上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.6. 若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．详解：令y=f（x）=ax2+3x﹣lnx，由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1，∴=1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴=1有正根，∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根∴2ax2+2x﹣1=0有正根∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根，最后分离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.详解：设且到直线的距离最小，又，令，则，故.此时到直线的距离为，故选B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.8. 设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出 ，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.详解：，因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.当时，，此时，当时，， 当时，故在处取极大值. 当时，应为的较小的正根，故，故；当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.综上，的取值范围为，故选A.点睛：对于上的可导函数， （1）若在处取极大值，则且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负； （2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.9. 函数的大致图象如图所示,则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.详解：由图像可知有三个实数解，分别为，故，所以.注意到为的极值点，故它们也是的两个根.又，故C.点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：详解：，所以，，故在内存在零点，也就是在内存在零点.令，故.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故在上的值域为，故选B.点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.二、填空题11. 已知，为虚数单位，为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．【答案】【解析】为实数，则.【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.12. 已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据导数的运算法则计算出和f(1),再计算出的值.详解：由题意f（1）=+2+2f（1），化简得f（1）=﹣﹣2，而=2x+2，所以=2+2，得=﹣2，故f（1）=0，所以f（x）=﹣2x2+2x，所以=﹣4x+2，所以=﹣6.点睛：(1)本题主要考查导数的运算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题的关键是找到关于和f(1)的方程，解答出它们的值.13. 设，若函数有大于零的极值点，则的范围为__________．【答案】【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．详解：，令，则方程有正根，即．又的值域为，故即．填．点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．14. 观察下面一组等式，，，......根据上面等式猜测，则_________．【答案】25【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②由①②解得a=4，b=﹣3，∴a2+b2=16+9=25，故答案为：25点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.15. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3.点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.16. 设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，∵g（x）=，∴=，当x＜1时，＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，∵不等式恒成立且k＞0，∴，∴k≥1.故答案为：k≥1点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.三、解答题17. 已知函数的极值点为2 ．（1）求实数的值；（2）求函数的极值；（3）求函数在区间上的最值．【答案】（1）；（2）极小值为；（3）【解析】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．详解：（1）∵,∴又函数的极值点为2，∴，解得．经验证得符合题意，∴.（2）由（1）得.∴，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴当时，有极小值，且极小值为（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴．点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.18. 已知函数（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为，应为其子集，故可求实数的范围.（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.因为函数在上为增函数，所以，所以.（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故方程在区间内恰有两个相异的实根即方程在区间内恰有两个相异的实根.令，则，当时，，在为减函数；当时，，在为增函数.的图像如图所示：要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.19. 已知函数，且（1）求的解析式；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）证明函数的图象在图象的下方.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.详解：（1）易知，所以，又∴.∴.（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立.令，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；∴时，有最大值，∴，即的取值范围为.（3）要证明函数的图象在图象的下方，即证：恒成立，即：.由（2）可得：，所以，要证明，只要证明，即证：令中，则，当时，，所以单调递增，∴即，所以，从而得到，所以函数的图象在图象的下方.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.20. 已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；（2）设，对于,都有求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.详解：（1），设切点为得得到，所以所以.（2）∵∴时，，所以，在上为增函数.不妨设则，，所以，可化为,即，设，则在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则∴∴所以在上为增函数，所以∴.点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.。
天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二下学期
2016-2017学年度第二学期期中六校联考高二数学（文）试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,4C ．{}1,2D ．{}0,1,22.已知函数()f x 的定义域为R ，命题p ：1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<，则p ⌝是（ ）A ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -->B ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --≥C ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --≥D ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<3.设x R ∈，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知研究x 与y 之间关系的一组数据如表所示，则y 对x 的回归直线方程y bx a =+必过点（ ）A ．(2,2)B ．(,0)2C ．(1,2)D ．(,4)25.已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．z y x <<6.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有(2)()f x f x +=-，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2015)(2018)f f +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.已知函数()1xf x e =-，2()43g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）A．2⎡⎣B．(22+C ．[]1,3D ．(1,3)8.设x ，y R ∈，1a >，1b >，若3x ya b ==，a b +=则11x y+的最大值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．12第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.计算32ii-=+ ．（i 为虚数单位） 10.数列{}n a 的第一项11a =，且1(11nn na a n a +==+，2，3，…），这个数列的通项公式n a = ．11.设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则不等式()2f x ≤的解集是 ．12.若函数()|2|f x x a =+在区间[3,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 13.给出下列命题： ①若0ab >，a b >，则11a b<； ②若||a b >，则22a b >；③若a b >，c d >，则a c b d ->-； ④对于正数a ，b ，m ，若a b <，则a a m b b m+<+． 其中真命题的序号是： ． 14.已知偶函数()f x 满足1(1)()f x f x -=，且当[]1,0x ∈-时，2()f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数3z bi =+（b R ∈），且(13)i z +⋅为纯虚数． （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若2ziω=+，求复数ω的模||ω.16. 已知函数()f x 的定义域为A ，函数1()()2xg x =（10x -≤≤）的值域为B . （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{}|21C x a x a =≤≤-，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．17.某公司计划2014年在A ，B 两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，A ，B 两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定A ，B 两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？18.解关于x 的不等式：2(2)20mx m x --->． 19.已知函数2()1ax b f x x +=+是定义域为(1,1)-上的奇函数，且1(1)2f =. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义证明：()f x 在(1,1)-上是增函数；（Ⅲ）若实数t 满足(21)(1)0f t f t -+-<，求实数t 的范围.20.已知函数|ln |,0,()2ln ,,x x e f x x x e <≤⎧=⎨->⎩若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，求a b c ++的取值范围.2016-2017学年度第二学期期中六校联考高二数学（文）试卷答案 一、选择题1-5:BBADC 6-8:BBC二、填空题9.1i - 10.1n11.[0,)+∞ 12.[6,)-+∞ 13.①②④14.(3,5)三、解答题15.解：（Ⅰ）(13)(3)(33)(9)i bi b b i ++=-++w ， ∵(13)i z +⋅是纯虚数， ∴330b -=，90b +≠， ∴1b =，∴3z i =+． （Ⅱ）3(3)(2)712(2)(2)55i i i i i i i ω++-===-++-，∴||ω== 16.解：（Ⅰ）由条件知{}|2A x x =≥，{}|12B y y =≤≤，{}2A B =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知{}|12B y y =≤≤，又C B ⊆； ①当21a a -<时，1a <，C =∅，满足题意； ②当21a a -≥，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1,212,a a ≥⎧⎨-≤⎩解得312a ≤≤.综上所述，3(,]2a ∈-∞.17.解：设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得300,50020090000,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数30002000z x y =+，二元一次不等式组等价于300,52900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.作直线l ：300020000x y +=，即320x y +=，平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值. 联立300,52900,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得100,200,x y =⎧⎨=⎩∴点M 的坐标为(100,200)，∴max 30001002000200700000z =⨯+⨯=，即该公司在A 电视台做100分钟广告，在B 电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．18.解：化简为(2)(1)0mx x +->，当0m >时，解集为2(,)(1,)m -∞-+∞； 当20m -<<时，解集为2(1,)m-；当2m =-时，解集为∅； 当2m <-时，解集为2(,1)m-；当0m =时，解集为(1,)+∞．19.解：（Ⅰ）∵函数2()1ax bf x x +=+是定义域为(1,1)-上的奇函数，∴(0)0f =， 所以0b =，又1(1)2f =，∴1a =，∴2()1xf x x=+． （Ⅱ）任取1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，221211221212221212()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在(1,1)-上是增函数．（Ⅲ）(21)(1)0f t f t -+-<，∴(21)(1)f t f t -<--， 又由已知2()1xf x x =+是(1,1)-上的奇函数， ∴(21)(1)f t f t -<-， ∵2()1xf t x=+是(1,1)-上的增函数， ∴211,1211,111,t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩∴203t <<.20.解：作出函数|ln |,0,()2ln ,0,x x e f x x x <≤⎧=⎨->⎩的大致图象，如图所示.由题意，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，可知不妨设a b c <<，则01a <<，1b e <<，得ln ,01,()ln ,1,2ln ,.x x f x x x e x x e -<<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以ln ln a b -=，即1ab =，1b a =同理ln 2ln a c -=-，即2c e a=，2c ae =， 所以2211(1)a b c a ae e a a a++=++=++，又01a <<，1b e <<，1b a =，所以11a e <<，令函数21()(1)g x e x x =++（11x e<<），显然在区间1(,1)e 上单调递增，所以1()()(1)g g x g e<<， 从而2122e a b c e e+<++<+.。
天津市静海县第一中学2016-2017学年高二下学期期末终结性检测数学(文)试题(word版含答案)
静海一中2016-2017第二学期高二文科数学（7月）学生学业能力调研卷2017年6月考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（ 122分）和第Ⅱ卷提高题（ 28分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
知 识 技 能学习能力习惯养成 总分内容 集合、逻辑 线性规划 不等式、向量函数 三函、解三角形 转化化归卷面整洁150 分数 1513355631503-5分 第Ⅰ卷 基础题（共120分）一、 选择题: （每小题5分，共40分）1、 已知集合2{|03,},{|1}A x x x N B x y x =<≤∈==-，则集合A B 为 A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,32.已知集合},1{a A = ,]3,2,1{=B ,则""B A ⊆是"3"=a 的（ ）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.将函数2cos 2sin3)(x x x f -=的图像向右平移32π个单位长度得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的一个单调减区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4ππB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππD. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,234.设函数1log 2-=x y 与x y -=22的图象的交点为()00,y x ，则0x 所在的区间是（ ） A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,35.在ABC ∆ 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且满足1sin sin sin sin sin sin ≥+++BA CC B A ，则角B 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0πB. ⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πC.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,3D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6 6．如图，在平行四边形ABCD 中，已知2,3,5,8=⋅===BP AP PD CP AD AB ， 则AD AB ⋅的值是A ．8B ．12C ．22D ．247．已知函数x x x f --=2ln )(，则关于的不等式)121(ln 21-<⎪⎭⎫⎝⎛m f 的解集为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 C ．()2,0 D ．()()2,00,2 -8．若函数)0(cos sin )(>+=ωωωx a x x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3πM 对称，且在6π=x 处有最小值，则ω+a 的一个可能的取值是（ ）．（A ）9 （B ）6 （C ）3 （D ）0 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．设全集R U =，集合{}1|2<=x x A ，{}02|2>-=x x x B ，则()B C A R = ． 10.设向量b a ,满足10=+b a 6=-b a ，则b a ⋅＝________.11.已知实数b a ,满足b a >，且2=ab ，则ba b a -++122的最小值是 ．12．曲线2x e y =在点()2,4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________13．函数2)()(m x x x f -=在1=x 处取得极小值，则m = ．14.定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠-=)4(,1)4(,4lg )(x x x x f ，若关于的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同的实根54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++=___________ 三、解答题（本大题共4题，共53分）15. （13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,22m ，()x x n cos ,sin =，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx . (1)若n m ⊥，求x tan 的值； (2)若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 16．（13分）某钢厂打算租用B A ,两种型号的火车车皮运输900吨钢材，B A ,两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用y x ,表示租用B A ,两种车皮的个数． (Ⅰ)用y x ,列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)分别租用B A ,两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金． 17、（13分）在ABC ∆，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知 60=B ，7b =，33sin sin 14A C -=． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求)2cos(B A -的值．18．( 13分 )设函数1124cos 24cos 4tan )(22+⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅=πx x x x f（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.第Ⅱ卷 提高题（共27分）19. ( 14 分 )已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在1-=x 处取得极值，且函数m x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1)13()()(+-+=x a x f x h ，证明过点()1,2P 可以作曲线)(x h 的三条切线．20.（14分）设函数x a x x f ln )(2-=，x a x g )2()(-=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点21,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)求证：0221,>⎪⎭⎫⎝⎛+x x F .2016-2017学年度第二学期高二数学文7月学生学业能力调研卷答题纸知识与技能学法题卷面总分得分框第Ⅰ卷基础题（共82分）二、填空题（每题5分，共30分）9.______ _ 10._____ __ 11._______12. _ _____ _ 13. 14.三、解答题（本大题共4题，共52分）15.（13分）16.（13分）17.（13分）18．（13分）第Ⅱ卷提高题（共28分）19. （14分）20. （14分）静海一中2016-2017第二学期高二文科数学（7月） 学生学业能力调研卷(答案）1、已知集合2{|03,},{|1}A x x x N B x y x =<≤∈==-，则集合A B 为 A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,3 答案：B2.已知集合A={1，a }，B={1，2，3}，则“A ⊆B ”是“a=3”的（ ）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件答案：B3.将函数2cos 2sin 3)(xx x f -=的图像向右平移32π个单位长度得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的一个单调减区间是( )A.)2,4(ππ-B.),2(ππC.)4,2(ππ--D.)2,23(ππ答案：C 4.设函数2log 1y x =-与22x y -=的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C 【解析】考点：函数图象，函数的零点.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin A sin B ＋sin C ＋sin Csin A ＋sin B≥1，则角B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 答案 B解析 由正弦定理，得a b ＋c ＋c b ＋a ≥1，化简得a 2＋c 2－b 22ac ≥12，由余弦定理，得cos B ≥12，所以0<B ≤π3.6、如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅=，则AB AD ⋅的值是A ．8B ．12C ．22D ．24 答案：A7、已知函数()2ln f x x x =--，则关于的不等式11()2(ln 1)2f m <-的解集为A ．1(0,)2B ．11(,0)(0,)22- C ．(0,2) D ．(2,0)(0,2)-答案：B（8）若函数f (x )=sin ωx +a cos ωx （ω＞0）的图象关于点M (3π，0)对称，且在x=6π处有最小值，则a +ω的一个可能的取值是（ ）．（A ）9 （B ）6 （C ）3 （D ）0 答案：A 填空9．设全集U=R ，集合A={x |x 2＜1}，B={x |x 2﹣2x ＞0}，则A ∩（∁R B ）= ． 【解答】解：集合A={x |x 2＜1}=（﹣1，1），B={x |x 2﹣2x ＞0}=（﹣∞，0）∪（2，+∞）， 即∁R B=[0，2]， 故A ∩（∁R B ）=[0，1） 故答案为：[0，1）．10.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________.111.已知实数,a b 满足a b >，且2ab =，则221a b a b++-的最小值是 ．答案：2512．曲线y ＝2x e 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________e 213．函数f （x ）=x （x ﹣m ）2在x=1处取得极小值，则m= 1 ． 【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】通过对函数f （x ）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f'（1）=0，解得m 的值，再验证可得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x ）=3x 2﹣4mx +m 2， ∴f'（1）=3﹣4m +m 2=0，解得m=1，或m=3，当m=1时，f'（x ）=3x 2﹣4x +1=（3x ﹣1）（x ﹣1），函数在x=1处取到极小值，符合题意；当m=3时，f'（x ）=3x 2﹣12x +9=3（x ﹣1）（x ﹣3），函数在x=1处取得极大值，不符合题意， ∴m=1， 故答案为：1．14.定义在R 上的函数()()()lg 4414x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于的方程()()20f x bf x c ++=有5个不同的实根12345,,,,x x x x x ，则()12345f x x x x x ++++=___________lg1615.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，又x∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，∴x 的值为512π. 16.某钢厂打算租用B A ,两种型号的火车车皮运输900吨钢材，B A ,两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用,x y表示租用B A ,两种车皮的个数．(Ⅰ)用,x y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)分别租用B A ,两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金．16．解：(Ⅰ)由已知y x ,满足的数学关系式为3660900,21,7,00.x y x y y x x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩………………4分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示． …………………………………7分 (Ⅱ)设租金为z 元，则目标函数 1.6 2.4z x y =+，所以25312y x z =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为512z 的一族平行直线. …………………………………9分 当512z 取最小值时，z 的值最小，又因为y x ,满足约束条件，所以由图可知，当直线 1.6 2.4z x y =+经过可行域中的点M 时，截距512z 的值最小，即z 的值最小. …………11分 解方程组36609007x y y x +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为(5,12)M ，…………………………………12分所以min 1.65 2.41236.8z =⨯+⨯=(万元)．答：分别租用A 、B 两种车皮5个,12个时租金最小，且最小租金为36.8万…………………17.在ABC △中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知60B =?，7b =，33sin sin 14A C -=．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求)2cos(B A -的值．解：（Ⅰ）由正弦定理得7143sin sin sin sin 603a cb A C B ====︒，...............................1分 所以14314333(sin sin )33314a c A C -=-=⨯=，....................................................2分 由余弦定理得222cos6049a c ac +-︒=，即2249a c ac +-=，............................................................................................................3分 所以2()49a c ac -+=，即949ac +=，所以40ac =，...............................................5分由340a c ac -=⎧⎨=⎩可得8=a ．......................................................................................................6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得8=a ，3a c -=，所以5=c ..................................................................7分所以2221cos 27b c a A bc +-==；...................................................................................9分 从而243sin 1cos 7A A =-=...................................................................................10分 B A B A B A sin 2sin cos 2cos )2cos(+=-A A A cos sin 3)1cos 2(212+-=9823734713)14912(21-=⨯⨯+-⨯=．…………………………………………13分18．（本小题满分13分）设函数()22tan cos 2cos 144412x x x f x π⎛⎫=⋅-++ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.解：（Ⅰ）()2sincos cos 4426x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………2分31sin cos sin cos sin 3sin 2262222226x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………4分由得的定义域为………6分（k Z ∈占1分 ）故的最小正周期为……7分（Ⅱ）0x π-≤≤ 23266x πππ∴-≤-≤- ……8分2,,()26326x x f x πππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分 0,()26266x x f x ππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分 min ()()36f x f π∴=-=- ……11分而33(0)()22f f π∴=--=-， ……12分 max 3()(0)2f x f ∴==-. ……13分 （注：结果正确，但没写单调区间扣2分）19．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣1，a ≠0． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）在x=﹣1处取得极值，且函数g （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设h （x ）=f （x ）+（3a ﹣1）x +1，证明过点P （2，1）可以作曲线h （x ）的三条切线． 【解答】（Ⅰ）解：f'（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），…（1 分） 当a ＜0时，对于x ∈R ，f'（x ）＞0恒成立，所以，当a ＜0时，f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增； …（2 分）当a ＞0时，由f'（x ）＞0，解得或，由f'（x ）＜0，解得，所以，当a ＞0时，f （x ）在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．…（4 分）（Ⅱ）解：因为f （x ）在x=﹣1处取得极值，所以f'（1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，故a=1．…（5 分）则f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，f'（x ）=3x 2﹣3， 由f'（x ）=0，解得x=﹣1或x=1．由（Ⅰ）中f （x ）的单调性，可知f （x ）在x=﹣1处取得极大值f （﹣1）=1， 在x=1处取得极小值f （1）=﹣3．…（7 分） 因为函数g （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 而在极大值点左侧存在f （﹣3）=﹣19＜f （1）， 在极小值点右侧存在f （3）=17＞f （﹣1）， 所以m ＜f （﹣1）且m ＞f （1），即实数m 的取值范围（﹣3，1）．…（9 分） （Ⅲ）证明：依题意，h （x ）=（x 3﹣3ax ﹣1）+（3a ﹣1）x +1=x 3﹣x ，… 则h （x ）=x 3﹣x 在点（t ，h （t ））处的切线方程为y=（3t 2﹣1）x ﹣2t 3．… 若切线过点P （2，1），则1=2（3t 2﹣1）﹣2t 3，即2t 3﹣6t 2+3=0． 过点P （2，1）可以作曲线h （x ）的三条切线等价于方程2t 3﹣6t 2+3=0有三个不同解．…设ϕ（t ）=2t 3﹣6t 2+3，则ϕ'（t ）=6t 2﹣12t=6t （t ﹣2），因为ϕ（t ）在R 上有唯一极大值ϕ（0）=3＞0和唯一极小值ϕ（2）=﹣5＜0， 且在极大值点左侧存在ϕ（﹣1）=﹣5＜0，在极小值点右侧存在ϕ（3）=3＞0， 因此方程ϕ（t ）=0有三个不同解．所以过点P （2，1）可以作曲线h （x ）的三条切线．…20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()()22'20a x af x x x x x-=-=>． ……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分 当0a >时，由()'0f x >，得22a x >，()'0f x <，得202ax <<， 所以函数()f x 的单调增区间为2,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为20,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.……3分 （Ⅱ）（1）()()()22221F'220a x a x a x a x x x a x x x x---+=---==>-（）（)(）．因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分 所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分 （2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=--即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分因为F'02a ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >， 故只要证122x x ＋＞2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<． 令()22ln 1t m t t t =-－＋，则()()()22211411t m t t t t t -'=-=++（）.因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分 当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数．又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分小卷答案已知函数3()f x ax x a =+-，a R ∈．（Ⅰ）若a ＝－1，求函数()y f x =在 [0，＋∞)的单调区间； （Ⅱ）方程4()f x x =有3个不同的实根，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >时，若对于任意的[]1,1x a a ∈+，都存在[)21,x a ∈++∞，使得12()()1024f x f x =，求满足条件的正整数a 的取值的集合．20．解：（Ⅰ）当[)1,0,a x =-∈+∞时，1)(3++-=x x x f ，从而233()31333f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………2分 33()0,,()00,33f x x f x x ⎛⎫⎛⎫''∴<⇒∈+∞>⇒∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………3分)(x f ∴的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0，)(x f ∴的单调减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,33……………………4分 （Ⅱ） 方程 4)(x x f =，即)(,343a x x a x x a x a x -=-=-+即 …………………………5分 所以当1≥a 时，方程有两个不同的解1,-a ； ……………………………6分 当11<<-a 时，方程有三个不同的解,1,1a -； ……………………………7分 当1a ≤-时，方程有两个不同的解1,a ． …………………………………８分 综上，当11<<-a 时，方程有三个不同的解,1,1a - ……………………………9分 （Ⅲ）当0>a ，),(+∞∈a x 时，a x ax x f -+=3)(，013)(2>+='ax x f ，所以函数)(x f 在),(+∞a 上是增函数， …………………………………10分 且0)()(4>=>a a f x f ．所以当[]1,+∈a a x 时，4(),(1)f x a f a ⎡⎤∈+⎣⎦， …………………………………11分当[)+∞+∈,1a x 时，[)+∞+∈),1()(a f x f所以⎥⎦⎤⎝⎛+∈)1(1024,0(1024a f x f ） ， …………………………………12分 因为对任意的[]1,1+∈a a x ，都存在[)+∞+∈,12a x ，使得1024)()(21=x f x f ， 从而)1()1(1024+≥+a f a f ， …………………………………13分所以32)1,1024)1(2≤+≤+a f a f （即，即321)1(3≤++a a （0>a ）因为3()(1)1g a a a =++为(0,)+∞单调递增， 且(1)932g =≤满足，而(2)5532g =≥，不满足题意， 所以2≥a 时，均不满足题意． 所以满足条件的正整数a 的取值的集合为{}1． …………………………………14分 2．（本小题满分15分）已知函数()xxx r +-=11， （1）若()()x x r x f ln =，求函数()x f 的单调区间和最大值； （2）若()()x ar xx f ln =，且对任意)1,0(∈x ,恒有2)(-<x f ,求实数a 的取值范围. 2（1）()x x xx f ln 11+-=，定义域为()∞+,0，………………………1分 ()()()x x xx x x f +-++-='11ln 122………………………2分 易知，当1=x 时，()0='x f ，………………………3分 当1>x 时，()()()011ln 122<+-++-='xx xx x x f ，函数()x f 的减区间为()∞+,1……4分 当10<<x 时，()()()011ln 122>+-++-='x x xx x x f ，函数()x f 的增区间为()1,0……5分所以，1=x 是函数()x f 的极大值点，也是最大值点，最大值为()01=f ．………………6分 （2）已知函数x x a x x f ln )1(1)(-+=，显然0≠a ，∵ )1,0(∈x ，∴0ln 11<-+x xx．当0<a 时，0)(>x f ，不合题意．………………………8分 当0>a 时，由2)(-<x f 可得，01)1(2ln <+-+xx a x ，设=)(x g x x a x +-+1)1(2ln ， 则22)1(1)42()(x x x a x x g ++-+='，………………………9分 设1)42()(2+-+=x a x x h ，则)1(16-=∆a a若]1,0(∈a ，则0≤∆，0)(≥x h ，0)(≥'x g ，∴)(x g 在)1,0(内单调递增，又0)1(=g ，∴ 0)1()(=<g x g ∴10≤<a 符合题目要求；………………………11分 若),1(∞+∈a ，则0>∆，∵01)0(>=h ，0)1(4)1(<-=a h ， ∴存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x h ．………………………12分对任意)1,(0x x ∈，∵0)(<x h ，∴0)(<'x g ，则)(x g 在)1,(0x 内单调递减，又0)1(=g ∴当)1,(0x x ∈时，()01)(=>g x g ，不合题目要求．………………………13分 综上,，实数a 的取值范围是10≤<a ．………………………14分。
【全国校级联考】天津市六校(宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中、四十七中)2017
天津市六校2017届高三上学期期中联考理数试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.在等差数列{}n a 中，533a =，公差3d =，则201是该数列的第（ ）项． A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】B考点：等差数列通项公式2.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +＝（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．10 【答案】B 【解析】试题分析：因为0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=，所以|(3,1)|a b +=-=，选B. 考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 3.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC ∆的面积为（ ）A. 3 C. 233 D. 33 【答案】C 【解析】试题分析：22222()626c a b c a b ab =-+⇒=+-+，由3π=C 得222222cos3c a b ab a b ab π=+-=+-，因此2222266a b ab a b ab ab +-=+-+⇒=，ABC ∆的面积为1sin 23ab π= C.考点：余弦定理【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．4.已知函数()()21log 4,412,4x x x f x x -⎧-<=⎨+≥⎩则()()20log 32f f +=（ ） A ．19 B ．17 C ．15 D ．13 【答案】A考点：分段函数求值【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5.将函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象．则()y g x =图象一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．23x π=【答案】C 【解析】试题分析：函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得3sin(2)6y x π=+，再向右平移6π个单位长度，得3sin(2())3sin(2)666y x x πππ=-+=-，对称轴为2(),(),6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈，所以选C.考点：三角函数图像变换与性质【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z).6.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()cos cos f f αβ<D ．()()sin cos f f αβ> 【答案】D考点：函数综合性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系7.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ> B ．32λ> C ．32λ< D ．23λ< 【答案】D考点：等比数列定义，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列. ②用作商比较法，根据+1n na a 与1的大小关系及n a 符号进行判断. ③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 8.，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A． ()0,e D ．()1,e 【答案】B 【解析】 试题分析：2ln 1ln ()()0x x f x f x x e x x -'=⇒==⇒=，因此当0x e <≤时，1()f x e≤；当x e >时10()f x e <<，因此2()10g t t mt =+-=有两个根，其中1211(0,),(,0]{}t t e e∈∈-∞，因为(0)1g =-，所以11()0g m e e e>⇒>-，选B.考点：利用导数研究方程的根 【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 ． 【答案】考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi10.计算11(2)ex dx x+=⎰．【答案】【解析】 试题分析：2211(2)(ln )1ee x dx x x e x+=+=⎰考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．11.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则()2015f =________．【答案】1 【解析】试题分析：因为1(2)()1(4)()T 4(2)f x f x f x f x f x +⋅=⇒+==⇒=+，因此()2015(3)(1)(1)f f f f ==-=；而2(2)()1(12)(1)1(1)1,()0(1)1f x f x f f f f x f +⋅=⇒-+⋅-=⇒=>⇒= 所以()20151f =考点：函数奇偶性与周期性质 12.若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= ．【答案】考点：两角和正切公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．74．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）6．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3二、填空题、（每小题5分，共30分）9．不等式|2x﹣1|＜3的解集为．10．在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．11．数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．13．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．14．已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．17．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．18．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．19．已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k 的取值范围．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b【考点】72：不等式比较大小．【分析】根据不等式的性质分别判断即可【解答】解：当c＜0时，A选项不正确；当a＜0时，B选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C选项错误．所以选D．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理求出cosB的值，进而求出B．【解答】解：∵，∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B为．故选A．3．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．5．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8 即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C6．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】不等式等价转化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，得1＜x＜a，当a＜1时，得a＜x＜1，由此根据解集中恰有3个整数，能求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得，sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．【解答】解：由正弦定理，有===2R，又2c•cosB=2a+b，得2sinC•cosB=2sin A+sinB，由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cos C+sinB=0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=﹣，因为0＜C＜π，得C=，则△ABC的面积为S△=ab sinC=ab，即c=3ab，由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=9a2b2，∵a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．故答案选：B．二、填空题、（每小题5分，共30分）9．不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．【考点】R1：不等式；R2：绝对值不等式．【分析】将2x﹣1看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．10．在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q====．故答案为：．11．数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】根据累加法和等比数列的前n项和公式求出a n即可．【解答】解：由题意a n﹣a n﹣1=，则当n≥2时，a2﹣a1=，a3﹣a2=，…，a n﹣a n﹣1=，这n﹣1个式子相加，就有a n﹣a1=++…+==，即a n=，当n=1时，a1=1也满足上式，所以a n=，故答案为：．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【考点】HR：余弦定理．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．13．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．【考点】8E：数列的求和．【分析】a n+1=S n S n+1，可得S n+1﹣S n=S n S n+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．14．已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得x+1＞0，且（x+1）+2y=2，可得+=（+）[（x+1）+2y]=+[+]，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，∴x+1＞0，且（x+1）+2y=2，∴+=（+）[（x+1）+2y]=+[+]≥+×2=当且仅当=时取等号，故+的最小值为：故答案为：三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为18万元．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故答案为：18．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，可得x=1与x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，利用韦达定理即可求出实数a，b的值（2）将（1）中的a，b的值带入，对c讨论求解不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系数的关系，可得：．解得：a=1，b=2．（2）由（1）可知a=1，b=2，∴原不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，可化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．18．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2S n+1，得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1=3a n（n≥2），a2=2S1+1=2a1+1=3，满足=3．利用等比数列的通项公式即可得出a n．（2）由（1）知a n=3n﹣1，故b n=log3a n+1=log33n=n，可得=．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）由a n+1=2S n+1，得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，故a n+1=3a n（n≥2），所以当n≥2时，{a n}是以3 为公比的等比数列．因为a2=2S1+1=2a1+1=3，∴=3．所以{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，a n=3n﹣1．（2）证明：由（1）知a n=3n﹣1，故b n=log3a n+1=log33n=n，∴=．T n=1+2×+3×+4×+…+n×，①T n=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×．②①﹣②，得T n=1++…+﹣n×=﹣n×，∴T n=﹣．19．已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）{a n}是等比数列，利用a n+a n+1=9•2n﹣1求出a1和q，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据{a n}是等比数列求出b n的通项公式，利用相消法可得数列{b n}的前n项和T n；（3）根据等比数列的前n项和公式求出S n，由不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，分离参数k，转化为函数问题，利用单调性可得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵a n+a n+1=9•2n﹣1，令n=1，可得a1+a2=9…①令n=2，可得a2+a3=18，即…②由①②解得：q=2，a1=3．∴等比数列{a n}的通项公式为：．（2）∵a n+a n+1=9•2n﹣1，b n=（﹣1）n，∴b n=×（﹣1）n=∴数列{b n}的前n项和T n=…+=∵．∴．∴T n=（3）由（1）知不等式S n＞ka n﹣2，即3（2n﹣1）＞k•3×2n﹣1﹣2对任意正整数n恒成立．可得：对任意正整数n恒成立．令f（n）=，根据反比例的性质可知：f（n）随n的增大而增大．∴当n=1时，f（n）取得最小值为．∴k．故得实数k的取值范围是（﹣∞，）．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n 可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．2017年6月20日。
(精品)2016-2017学年天津市宝坻一中杨村一中、静海一中等六校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，4}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知函数f（x）定义域为R，命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0，则￢p 是（）A．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0 B．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 C．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 D．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）yA．（2，2） B．（，0）C．（1，2） D．（，4）5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．（5分）已知函数的定义域为R，对任意x都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2015）+f（2018）的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．（5分）已知函数f（x）=e﹣x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若f（a）=g（b），则b的取值范围是（）A． B． C．[1，3]D．（1，3）8．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（填空题答案写在答题纸上，每题5分，共30分）9．（5分）计算复数：=．（i为虚数单位）10．（5分）已知数列{a n}的第1项a1=1，且a n+1=，（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式a n=．11．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．12．（5分）若函数f（x）=|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．13．（5分）给出下列命题：①若ab＞0，a＞b，则＜；②若a＞|b|，则a2＞b2；③若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；④对于正数a，b，m，若a＜b，则其中真命题的序号是：．14．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x﹣1）=，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有3个零点，则实数a的取值范围．三、解答题（解答题要写出必要的推理证明过程或必要的语言叙述）15．（13分）已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若w=，求复数w的模|w|．16．（13分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=（﹣1≤x≤0）的值域为B．（1）求A∩B；（2）若C={x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值范围．17．（13分）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？18．（13分）解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．19．（14分）已知函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．20．（14分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求a+b+c的取值范围．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2017春•天津期中）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，4}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}={1，4，9，16}，∴A∩B={1，4}．故选：B．2．（5分）（2017春•天津期中）已知函数f（x）定义域为R，命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0，则￢p是（）A．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0 B．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 C．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 D．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，故选：B3．（5分）（2017春•天津期中）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2．∴“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）（2014秋•大连期末）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（2，2） B．（，0）C．（1，2） D．（，4）【解答】解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，4）故选：D．5．（5分）（2012•大纲版）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．6．（5分）（2017春•天津期中）已知函数的定义域为R，对任意x都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2015）+f（2018）的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）周期为4，∴f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（2018）=f（2）=﹣f（0）=0，∴f（2015）+f（2018）=﹣1．故选B．7．（5分）（2011•湖南）已知函数f（x）=e﹣x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若f（a）=g（b），则b的取值范围是（）A． B． C．[1，3]D．（1，3）【解答】解：∵f（x）=e x﹣1，在R上递增∴f（a）＞﹣1，则g（b）＞﹣1∴﹣b2+4b﹣3＞﹣1即b2+4b+2＜0，解得b∈（2﹣，2+），故选：B．8．（5分）（2009•天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C二、填空题（填空题答案写在答题纸上，每题5分，共30分）9．（5分）（2017春•天津期中）计算复数：=1﹣i．（i为虚数单位）【解答】解：=．故答案为：1﹣i．10．（5分）（2016春•松桃县校级期末）已知数列{a n}的第1项a1=1，且a n+1=，（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式a n=．【解答】解：由题意，得=即∴是以1为首项，1为公差的等差数列．∴∴．故答案为：．11．（5分）（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．12．（5分）（2017春•天津期中）若函数f（x）=|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[﹣6，+∞）．【解答】解：f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在[﹣，+∞）上单调递增，∵函数f（x）=|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数，∴﹣≤3，解得a≥﹣6．故答案为[﹣6，+∞）．13．（5分）（2017春•天津期中）给出下列命题：①若ab＞0，a＞b，则＜；②若a＞|b|，则a2＞b2；③若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；④对于正数a，b，m，若a＜b，则其中真命题的序号是：①②④．【解答】解：对于①，若ab＞0，则＞0又a＞b，∴＞，∴＜，∴①正确；对于②，若a＞|b|≥0，则a2＞b2，∴②正确；对于③，若a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，∴﹣d＞﹣c，∴a﹣d＞b﹣c，∴a﹣c＞b﹣d不成立，③错误；对于④，对于正数a，b，m，若a＜b，则成立，即a（b+m）＜b（a+m）∴am＜bm，∴a＜b，④正确；综上，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．14．（5分）（2017春•天津期中）已知偶函数f（x）满足f（x﹣1）=，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有3个零点，则实数a的取值范围（3，5）．【解答】解：∵偶函数f（x）满足，f（x﹣1）=，∴f（x﹣2）=f（x﹣1﹣1）==f（x），∴函数f（x）周期为2，由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有3个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2）有3个交点，所以可得log a（3+2＜1，且log a（1+2）＞1，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5），故答案为：（3，5）．三、解答题（解答题要写出必要的推理证明过程或必要的语言叙述）15．（13分）（2014•浦东新区校级模拟）已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若w=，求复数w的模|w|．【解答】解：（1）复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．即（1+3i）•（3+bi）=3﹣3b+（9+b）i为纯虚数，∴3﹣3b=0，9+b≠0，解得b=1．∴z=3+i．（2）w====，∴复数w的模|w|==．16．（13分）（2013•东至县一模）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=（﹣1≤x≤0）的值域为B．（1）求A∩B；（2）若C={x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：A=x|x≥2（2分），B=y|1≤y≤2，A∩B={2}（2）由（1）知：17．（13分）（2017•和平区校级二模）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解答】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．18．（13分）（2017春•天津期中）解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．【解答】题：不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0化为（mx+2）（x﹣1）＞0；当m≠0时，不等式对应方程为（x+）（x﹣1）=0，解得实数根为﹣，1；当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；当﹣2＜m＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且1＜﹣，∴不等式的解集为（1，﹣）；当m=﹣2时，﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；当m＜﹣2时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣，1）；当m=0时，不等式化为2（x﹣1）＞0，解得x＞1，∴不等式的解集为（1，+∞）；综上，m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；﹣2＜m＜0时，不等式的解集为（1，﹣）；m=﹣2时，不等式的解集为∅；m＜﹣2时，不等式的解集为（﹣，1）；m=0时，不等式的解集为（1，+∞）．19．（14分）（2017春•天津期中）已知函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）又f（1）=，∴a=1；…（5分）∴…（5分）（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则x2﹣x1＞0，于是f（x2）﹣f（x1）=﹣=，又因为﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1x2＞0，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）；…（6分）又由已知函数f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t）…（8分）∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t）…（3分）由（2）可知：f（x）是（﹣1，1）上的增函数，…（10分）∴2t﹣1＜1﹣t，t＜，又由﹣1＜2t﹣1＜1和﹣1＜1﹣t＜1得0＜t＜综上得：0＜t＜…（13分）20．（14分）（2017春•天津期中）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求a+b+c的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的大致图象，如图所示：不妨设a＜b＜c，则0＜a＜1，1＜b＜e．∵f（a）=f（b），即﹣lna=lnb，∴ab=1，即b=，同理﹣lna=2﹣lnc，∴=e2，即c=ae2．∴a+b+c=a++ae2=（e2+1）a+，又0＜a＜1，1＜b＜e，b=，∴＜a＜1，令函数g（a）=（e2+1）a+（＜a＜1），则g′（a）=e2+1﹣＞0，∴g（a）在（，1）上单调递增，∴g（）＜g（a）＜g（1），即2e+＜g（a）＜e2+2．∴2e+＜a+b+c＜e2+2．:zlzhan；whgcn；沂蒙松；刘长柏；wfy814；zhczcb；豫汝王世崇；wdnah；sxs123；rxl；lily2011；742048；minqi5；qiss（排名不分先后）菁优网2017年6月29日。
2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二理科下学期数学期中考试试卷
2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分） 1. 复数 2i 1+i2等于 A. 2iB. −2iC. 4iD. −4i2. 正弦函数是奇函数，因为 f x =sin x +1 是正弦函数，所以 f x =sin x +1 是奇函数．以上推理 A. 结论正确B. 大前提错误C. 小前提错误D. 以上都不对3. 当 x 在 −∞,+∞ 上变化时，导函数 fʹ x 的符号变化如下表：x−∞,1 1 1,4 4 4,+∞ fʹ x −0+0−则函数 f x 的图象的大致形状为 A. B.C. D.4. 已知函数 f x =a x −3 a >0,且a ≠1 ，f x 0 =0，若 x 0∈ 0,1 ，则实数 a 的取值范围是 A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,+∞5. 若 ∫1a2x +1x d x =3+ln2，则 a 的值是 A. 6B. 4C. 3D. 26. 若函数 f x =ax 2x−1 x >1 有最大值 −4，则 a 的值是 A. 1B. −1C. 4D. −47. 设 f x ，g x 在 a ,b 上可导，且 fʹ x >gʹ x ，则当 a <x <b 时有 A. f x >g xB. f x <g xC. f x +g a >g x +f aD. f x +g b >g x +f b8. 将正奇数1，3，5，7，⋯排成五列（如下表），按此表的排列规律，2017所在的位置是 A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列二、填空题（共6小题；共30分）9. 设i是虚数单位，若1+a i是纯虚数，则实数a的值是．2+i10. 若函数f x=e x−ax x>0有极值，则实数a的取值范围是．11. 对任意的正数x的函数f x满足f xy=f x+f y，且f8=3，则f2=．12. 底面是正方形，容积为256的无盖水箱，它的高为时最省材料．13. 若曲线f x=ax3+ln−2x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．，14. 定义：如果函数y=f x在区间a,b上存在x1,x2a<x1<x2<b，满足fʹx1=f b−f ab−a fʹx2=f b−f a，则称函数y=f x在区间a,b上是一个双中值函数，已知函数f x= b−a1x3−x2+a是区间0,a上的双中值函数，则实数a的取值范围是．3三、解答题（共6小题；共78分）x2在第一象限内交点为P．15. 已知曲线C1:y2=2x与C2:y=12（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．2a−1x2−6x a∈R．16. 设函数f x=ax3+32（1）当a=1时，求曲线y=f x在点 −1,f−1处的切线方程；时，求f x的极大值和极小值．（2）当a=1317. 已知函数f x=x2−2ln x，g x=x2−x+a．（1）求函数f x的极值；（2）设函数 x=f x−g x，若函数 x在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．18. 已知数列8×11×3，8×23×5，⋯，8n2n−1⋅2n+1，S n为该数列的前n项和．（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明．19. 已知直线l:y=x+m与函数f x=ln x+2的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f x的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f a+f c与2f b的大小关系，并证明你的结论．20. 巳知函数f x=1x+a，g x=bx2+3x．（1）若曲线 x=f x−g x在点1,0处的切线斜率为0，求a，b的值；（2）当a∈3,+∞，且ab=8时，求函数φx=g xf x的单调区间，并求此函数在区间−2,−1上的最小值．答案第一部分 1. A 2. C3. C【解析】从表中可知 f x 在 −∞,1 上单调递减，在 1,4 上单调递增，在4,+∞ 上单调递减．4. D【解析】本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由 f x 0 =0，得 a x 0−3=0， 所以 x 0=log a 3， 又 x 0∈ 0,1 ，所以 0<log a 3<1，解得 a >3． 5. D【解析】原式= ∫1a2x d x +∫1a 1xd x =x 2 1a+ln x 1a=a 2−1+ln a =3+ln2，所以 a =2．6. B7. C【解析】因为 fʹ x >gʹ x ，所以 fʹ x −gʹ x >0，所以 f x −g x 在 a ,b 上是增函数． 因为 a <x <b ，所以 f x −g x >f a −g a ， 所以 f x +g a >g x +f a ． 8. B第二部分 9. −210. 1,+∞ 11. 1【解析】因为 f 8 =f 2×4 =f 2 +f 4 =f 2 +f 2 +f 2 =3，所以 f 2 =1． 12. 413. 0,+∞ 14. 32,3 第三部分15. （1） 由 y 2=2x ,y =12x2 得 x =2,y =2, 所以 P 2,2 ，所求切线方程为 2x −y −2=0． （2） 由题知 S =∫022x d x−∫0212x 2d x =13 2x 3202−16x 3 02=43． 16. （1） 当 a =1 时，f x =x 3+32x 2−6x ，fʹ x =3x 2+3x −6，k =fʹ −1 =3−3−6=−6，f −1 =132，所以 y −132=−6 x +1 ．即 12x +2y −1=0 为所求切线方程．（2）当a=13时，f x=13x3−12x2−6x，fʹx=x2−x−6．令fʹx=0得x=−2或x=3．所以f x在−∞,−2上递增，在−2,3上递减，在3,+∞上递增．所以f x的极大值为f−2=223，f x的极小值为f3=−272．17. （1）因为fʹx=2x−2x，令fʹx=0，因为x>0，所以x=1．x0,111,+∞fʹx−0+f x↘极小值↗所以，当x=1时，函数f x有极小值f1=1，函数f x没有极大值．（2） x=f x−g x=−2ln x+x−a，所以 ʹx=−2x+1，令 ʹx=0得x=2，当x∈1,2时， ʹx<0，当x∈2,3时， ʹx>0，故 x在x∈1,2上递减；在x∈2,3上递增，所以 1≥0, 2<0, 3≥0,即a≤1,a>2−2ln2, a≤3−2ln3,所以2−2ln2<a≤3−2ln3，实数a的取值范围是2−2ln2,3−2ln3．18. （1）S1=89，S2=2425，S3=4849，S4=8081．（2）猜想S n=2n+12−12n+12n∈N∗，用数学归纳法证明如下：①当n=1时，S1=2+12−12+1=89，猜想成立；②假设当n=k时，猜想成立，即S k=2k+12−12k+12，当n=k+1时，S k+1=S k+8k+122=2k+12−1+8k+1=2k+12−12k+32+8k+1 2k+12⋅2k+32=2k+122k+32−2k+12 2k+12⋅2k+32=2k+32−1 2k+32=2k+1+12−12.故当n=k+1时，猜想成立．由①②可知，对于任意的n∈N∗，S n=2n+12−12n+12都成立．19. （1）设切点为P x0,x0+m，则fʹx0=1，由fʹx=1x+2，有1=1x0+2，解得x0=−1，于是m−1=0，得m=1．（2）构造函数g x=x+1−ln x+2，其导数gʹx=1−1x+2=x+1x+2，当x∈−2,−1时，gʹx<0；当x∈−1,+∞时，gʹx>0，所以g x在区间−2,−1单调递减，在区间−1,+∞单调递增，所以g x>g−1=0，因此对于x∈−2,−1∪−1,+∞，总有x+1>ln x+2，即除切点−1,0外，直线l总在函数f x的图象的上方．（3）因为a，b，c是两两不相等的正实数，所以a+c>2ac，又因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，于是a+c>2ac=2b，而f a+f c=ln a+2c+2=ln ac+2a+c+4，2f b=2ln b+2=ln b2+4b+4，由于ac+2a+c+4=b2+2a+c+4>b2+4b+4，且函数f x=ln x+2是增函数，因此ln ac+2a+c+4>ln b2+4b+4，故f a+f c>2f b．20. （1）函数 x的定义域为−∞,−a∪−a,+∞．则 ʹx=fʹx−gʹx=−1x+a2−2bx−3，则 ʹ1=−11+a−2b−3=0, ⋯⋯①又 1=11+a−b+3=0, ⋯⋯②联立式①，式②，解得a=0,b=−2.或a=−43,b=−6.（2）φx=g xf x =bx2+3x1x+a=x+a bx2+3x x≠−a．因为ab=8，所以b=8a，故φx=x+a8ax2+3x x≠−a，则φʹx=1a 24x2+22ax+3a2=1a4x+3a6x+a．令φʹx=0，得x=−3a4或x=−a6．因为a∈3,+∞，所以−3a4<−a6，则函数φx在−∞,−a, −a,−3a4， −a6,+∞ 上单调递增，在−3a4,−a6上单调递减．又−3a4≤−94，−a6≤−12，以下讨论导函数的零点与区间的位置关系来确定最值．①当−a6≤−2时，即a≥12时，因为φx在−2,−1上单调递增，所以φx在区间−2,−1上的最小值为φ−2=−64a+44−6a；②当−2<−a6<−1时，即6<a<12时，因为函数φx在 −2,−a6上单调递减，在 −a6,−1上单调递增，所以φx在区间−2,−1上的最小值为φ −a6=−25108a2；③当−a6≥−1时，即3≤a≤6时，因为函数φx在区间−2,−1上单调递减，所以φx在区间−2,−1上的最小值为φ−1=−a8+11−3a．综上所述，当3≤a≤6时，φx的最小值为−a8+11−3a；当6<a<12时，φx的最小值为−25108a2；当a≥12时，φx的最小值为−64a+44−6a．。
天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二(下)期末数学试卷
天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，有6组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的5组数据的线性相关性最大()A. AB. BC. CD. D【答案】C【解析】解：根据题意，由散点图可得：A、B、D、E、F五个点都分布在一条直线的附近且贴近某一条直线，C点离得较远些，则去掉C点后剩下的4组数据的线性相关性最大．故选：C．根据线性相关的意义，当所有的数据在一条直线附近排列时，这些事件具有很强的线性相关关系，由此判断可得答案．本题考查数据线性相关的判断，涉及散点图的性质，属于基础题．2.如果ξ～N(μ,σ2)，且P(ξ<1)=P(ξ>3)成立，则μ=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：∵ξ～N(μ,σ2)，∴正态分布曲线的对称轴为x=μ，又P(ξ<1)=P(ξ>3)成立，=2．∴对称轴x=μ=1+32故选：B．由P(ξ<1)=P(ξ>3)成立，得对称轴x =μ=1+32=2．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．3. 用1，3，5，7中的任意一个数作分子，2，4，8，9中任意一个数作分母，可构成真分数的个数为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】解：将2作为分母，则有12，1个真分数， 将4作为分母，则有14，34，2个真分数， 将8作为分母，则有18，38，58，78，4个真分数， 将9作为分母，则有19，39，59，79，4个真分数， 故构成真分数的个数为1+2+4+4=11， 故选：D ．由排列组合知识及真分数的定义得：构成真分数的个数为1+2+4+4=11，得解． 本题考查了排列组合知识及真分数的定义，属简单题．4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )①从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，他一定患有肺病；②从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误；③若K 2的观测值得到有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有95人患有肺病．A. ①B. ②C. ③D. ②③【答案】B【解析】解：①从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能推断出现错误，我们不能说某人吸烟，他一定患有肺病，故①不正确； ②从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误；故②正确；③若K2的观测值得到有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，不能说在100个吸烟的人中必有95人患有肺病，故③不正确．故选：B．从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能推断出现错误．本题考查了独立性检验，属中档题．5.从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有()A. 11种B. 15种C. 30种D. 36种【答案】C【解析】解：先从6名同学中选出2名同学，共C62=15种选法，再将这2名学生担任正、副组长共A22=2种排法，即从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有15×2=30种，故选：C．由排列组合中的分步原理得：先从6名同学中选出2名同学，共C62=15种选法，再将这2名学生担任正、副组长共A22=2种排法，从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有15×2=30种，得解．本题考查了排列组合中的分步原理，属中档题．6.在(x−1)6的二项展开式中，x3的系数是()A. −20B. 20C. 15D. −15【答案】A【解析】解：设(x−1)6的二项展开式的通项为T r+1，则T r+1=C6r⋅x6−r(−1)r，令6−r=3得r=3，∴x3的系数是(−1)3⋅C63=−20．故选：A．由(x−1)6的二项展开式的通项T r+1=C6r⋅x6−r(−1)r可求得x3的系数．本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，考查转化与运算能力，属于基础题．7.某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀)，则E(2X+1)=()的学生数X～B(6,13A. 13B. 12C. 5D. 4【答案】C【解析】解：∵X～B(6,13)，∴E(X)=np=6×13=2，∴E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5．故选：C．根据二项分布的期望公式E(X)=np以及E(2X+1)=2E(X)+1可得．本题考查了二项分布与n此独立重复试验的模型，属中档题．8.某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于()A. 0.064B. 0.144C. 0.216D. 0.432【答案】B【解析】解：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于：p=1×0.4×0.6×0.6=0.144．故选：B．利用相互独立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查计算能力，是基础题．二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）9.某班3名同学，分别从5个选科组合中选择1个组合进行学习，则不同选法的种数为______.(用数字作答)【答案】125【解析】解：3名同学，分别从5个选科组合中选择1个组合进行学习，则不同选法的种数为5×5×5=53=125，故答案为：125．由分步计数原理得：3名同学，分别从5个选科组合中选择1个组合进行学习，则不同选法的种数为5×5×5=53=125，得解．本题考查了分步计数原理，属中档题．10.若身高x(单位：m)与体重y(单位：kg)之间的回归直线方程为ŷ=85x−a(a∈R)，样本点的中心为(1.2,30)，当身高为1.7m时，预计体重为______kg．【答案】72.5【解析】解：由ŷ=85x−a，且样本点的中心为(1.2,30)，得30=85×1.2−a，则a=72．∴回归直线方程为ŷ=85x−72，取x=1.7，得ŷ=85×1.7−72=72.5kg．故答案为：72.5．把样本点的中心坐标代入线性回归方程求得a，得到回归方程，取x=1.7求得y值即可．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．11.有三张《流浪地球》观影券，要在7人中确定3人去观影，则不同方法的种数为______.(用数字作答)【答案】35【解析】解：由排列组合知识可得：要在7人中确定3人去观影，则不同方法的种数为C73=35，故答案为：35．由排列组合知识得：要在7人中确定3人去观影，则不同方法的种数为C73=35，得解．本题考查了排列组合知识，属中档题．12.在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率是______．【答案】35【解析】解：由题意，第1次抽到理科题，则剩下3道理科题和2道文科题，所以第2次抽到理科题的概率是35故答案为：35第1次抽到理科题，则剩下3道理科题和2道文科题，故可求第2次抽到理科题的概率．本题考查条件概率，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13.若C n3=C n4，则(2x+1)n的展开式的第4项的系数为______.(用数字作答)【答案】560【解析】解：∵C n3=C n4，则n=3+4=7，(2x+1)n=(2x+1)7的展开式的第4项的系数为T4=C73⋅24=560，故答案为：560．由题意利用组合数的性质求得n，再利用二项展开式的通项公式求得展开式的第4项的系数．本题主要考查组合数的性质，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.从4名男生和3名女生中选出4人去参加辩论比赛，则选出的4人中至少有2名男生的概率为______.(用数字作答)【答案】3135【解析】解：从4名男生和3名女生中选出4人去参加辩论比赛，基本事件总数n=C74=35，选出的4人中至少有2名男生包含的基本事件个数为：m=C42C32+C43C31+C44=31，则选出的4人中至少有2名男生的概率为p=mn =3135．故答案为：3135．基本事件总数n=C74=35，选出的4人中至少有2名男生包含的基本事件个数为m= C42C32+C43C31+C44=31，由此能求出选出的4人中至少有2名男生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查计算能力，是基础题．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.若(x2+1)(x−1)8=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a10(x−2)10．(Ⅰ)求a1+a2+a3+⋯+a10的值；(Ⅱ)求a1+a3+a5+a7+a9的值．【答案】解：(Ⅰ)在(x2+1)(x−1)8=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a10(x−2)10中，令x=2，则a0=5．再令x =3，则a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 10=2560 ①， 所以a 1+a 2+a 3+⋯+a 10=2555．(Ⅱ)在所给的等式中，令x =1，则a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=0 ②， 由①②可得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=1280．【解析】(Ⅰ)在所给的等式中，分别令x =2，x =3，即可求的a 1+a 2+a 3+⋯+a 10的值．(Ⅱ)在所给的等式中，令x =1，结合(Ⅰ)中的结论，可得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．16. 某高中生每天骑电动自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13． (Ⅰ)求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X 的分布列：(Ⅱ)求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率． 【答案】解：(Ⅰ)由已知，有X ～B(4,13)…………………………………….(1分)可得P(X =k)=C 4k(13)k (23)4−k (k =0,1,2,3,4) 所以随机变量X 的分布列为……………………………………………….(6分)(Ⅱ)设“在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗”的事件记为A ，它表示这名学生在上学途中前3个交通岗不是红灯，第4个交通岗遇到红灯的情况． 则P(A)=(13)3(23)=281. ……………………………………………….(12分) 【解析】(Ⅰ)根据X 服从二项分布B(4,13)可得概率，分布列； (Ⅱ)根据独立重复试验的概率公式可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．17. 某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．(Ⅰ)设A 为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级“.求事件A 发生的概率；(Ⅱ)设X 为选出的4人中男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】解：(Ⅰ)由已知，有P(A)=C 22C 32+C 32C 32C 84=635所以事件A 发生的概率为635．(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4， P(X =k)=C 5k C 34−kC 84(k =1,2,3,4)，所以随机变量X 的分布列为：所以随机变量X 的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52． 【解析】(Ⅰ)由已知，有P(A)=C 22C 32+C 32C 32C 84=635，所以事件A 发生的概率为635；(Ⅱ)根据超几何分布的概率公式求得概率，得分布列和期望． 本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．18. 一个盘子里有大小相同的3个红球和3个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分． (Ⅰ)若从盒子里一次随机取出3个球，求得2分的概率；(Ⅱ)若从盒子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望．【答案】解：(Ⅰ)设“一次随机取出3个球得(2分)”的事件记为A ，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球的情况，则P(A)=C 32C 31C 63=920…………………………………….(5分)(Ⅱ)由题意，ξ的可能取值为0、1、2、3.…………………………………….(6分) 因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为12，每次取到黑球的概率为12.则ξ～B(3,12)…………………………………….(7分)P(ξ=k)=C 3k (12)3(k =0,1,2,3) ∴ξ的分布列为………………………………(11分)所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=1×38+2×38+3×18=32. …………………………………………….(13分)【解析】(Ⅰ)设“一次随机取出3个球得(2分)”的事件记为A ，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球的情况，则P(A)=C 32C 31C 63=920；(Ⅱ)根据独立重复试验的概率公式求得概率和分布列，期望． 本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．。
2016-2017年天津市宝坻一中、静海一中等六校联考高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．74．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6B．7C．8D．97．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为．10．（5分）在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．11．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．13．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．14．（5分）已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．17．（13分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．18．（13分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．19．（14分）已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k的取值范围．20．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b【解答】解：当c＜0时，A选项不正确；当a＜0时，B选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C选项错误．所以选D．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵，∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B为．故选：A．3．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．7【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选：B．4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．5．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x ＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选：C．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：由正弦定理，有===2R，又2c•cosB=2a+b，得2sinC•cosB=2sin A+sinB，由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=﹣，因为0＜C＜π，得C=，=ab sinC=ab，即c=3ab，则△ABC的面积为S△由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=9a2b2，∵a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．故选：B．二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2} ．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．10．（5分）在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．【解答】解：∵a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q====．故答案为：．11．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．【解答】解：由题意a n﹣a n=，﹣1则当n≥2时，a2﹣a1=，a3﹣a2=，…，a n﹣a n﹣1=，这n﹣1个式子相加，就有a n﹣a1=++…+==，即a n=，当n=1时，a1=1也满足上式，所以a n=，故答案为：．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S==bc=，化为bc=24，△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．13．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，+1∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．14．（5分）已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，∴x+1＞0，且（x+1）+2y=2，∴+=（+）[（x+1）+2y]=+[+]≥+×2=当且仅当=时取等号，故+的最小值为：故答案为：三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为18万元．【解答】：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故答案为：18．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）17．（13分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系数的关系，可得：．解得：a=1，b=2．（2）由（1）可知a=1，b=2，∴原不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，可化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．18．（13分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．=2S n+1，【解答】解：（1）由a n+1得a n=2S n﹣1+1（n≥2），﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，两式相减得a n+1=3a n（n≥2），故a n+1所以当n≥2时，{a n}是以3 为公比的等比数列．因为a2=2S1+1=2a1+1=3，∴=3．所以{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，a n=3n﹣1．（2）证明：由（1）知a n=3n﹣1，故b n=log3a n+1=log33n=n，∴=．T n=1+2×+3×+4×+…+n×，①T n=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×．②①﹣②，得T n=1++…+﹣n×=﹣n×，∴T n=﹣．19．（14分）已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，=9•2n﹣1，∵a n+a n+1令n=1，可得a1+a2=9…①令n=2，可得a2+a3=18，即…②由①②解得：q=2，a1=3．∴等比数列{a n}的通项公式为：．=9•2n﹣1，b n=（﹣1）n，（2）∵a n+a n+1∴b n=×（﹣1）n=∴数列{b n}的前n项和T n=…+=∵．∴．∴T n=（3）由（1）知不等式S n＞ka n﹣2，即3（2n﹣1）＞k•3×2n﹣1﹣2对任意正整数n恒成立．可得：对任意正整数n恒成立．令f（n）=，根据反比例的性质可知：f（n）随n的增大而增大．∴当n=1时，f（n）取得最小值为．∴k．故得实数k的取值范围是（﹣∞，）．20．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1∴a n﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n→﹣∞，无最小值．﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
天津市六校高二数学下学期期中联考试卷(含解析)
2016-2017学年天津市六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数等于（）A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i2．正弦函数是奇函数，因为f（x）=sin（x+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x+1）是奇函数．以上推理（）A．结论正确 B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对3．当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：1 （1，4） 4 （4，+∞）x （﹣∞.1）f′（x）﹣0 + 0 ﹣则函数f（x）的图象的大致形状为（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（）A．0个B．1个C．两个 D．三个5．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．26．已知函数有最大值﹣4，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣47．设f（x），g（x）在上可导，且f'（x）＞g'（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b） D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）8．将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式，则f'（2）的值等于．12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为时最省材料．13．若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是．14．定义：如果函数y=f（x）在区间上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3﹣x2是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．16．（13分）设．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极大值和极小值．17．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．18．（13分）已知数列，，…，，…，S n为该数列的前n项和，（1）计算S1，S2，S3，S4，（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．19．（14分）已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；（2）当a＜e时，函数f（x）在区间上的最小值是，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x0，证明直线AB的斜率k＞g'（x0）．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数等于（）A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简分式，分子、分母分别平方，化简可得结果．【解答】解：．故选C．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．2．正弦函数是奇函数，因为f（x）=sin（x+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x+1）是奇函数．以上推理（）A．结论正确 B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得答案．【解答】解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x+1）是正弦函数，因为该函数f（x）=sin（x+1）不是正弦函数，故错误；结论：f（x）=sin（x+1）是奇函数，故错误．故选：C．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式．3．当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：x （﹣1 （1，4） 4 （4，+∞）∞.1）f′（x）﹣0 + 0 ﹣则函数f（x）的图象的大致形状为（）A ．B ．C ．D ．【考点】52：函数零点的判定定理；51：函数的零点．【分析】f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，故f（0）是函数的极小值，同理可得f（4）是函数的极大值，由此得出结论．【解答】解：由图表可得函数f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，即函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f（0）是函数的极小值．同理，由图表可得函数f′（x）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0，即函数f（x）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f（4）是函数的极大值，故选C．【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题．4．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（）A．0个B．1个C．两个 D．三个【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2 ，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可．【解答】解：由题意可知函数的导函数为f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（2），故函数f（x）的极值点的个数是1个，故选：B．【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题．5．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】67：定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．6．已知函数有最大值﹣4，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】5A：函数最值的应用．【分析】利用换元法，结合基本不等式，根据函数有最大值﹣4，即可求得a的值．【解答】解：令x﹣1=t（t＞0），则x=t+1，∴y==a×（+2）∵t＞0，∴≥2，∴ +2≥4∵知函数有最大值﹣4，∴a=﹣1故选B．【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．7．设f（x），g（x）在上可导，且f'（x）＞g'（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b） D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在给定的区间上的单调性，F（x）在给定的区间上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在上f'（x）＞g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，∴F（x）在给定的区间上是增函数．∴当x＞a时，F（x）＞F（a），即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．8．将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列【考点】F1：归纳推理．【分析】该数列是等差数列，a n=2n﹣1，四个数为一行，由通项公式算多少行比较容易；偶数行在第一列有数，并且，数的大小都是从右往左逐增．从而能求出2017是哪列．【解答】解：由题意，该数列是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=（2017+1）÷2=1008，∴由四个数为一行得1008÷4=252，∴由题意2017这个数为第252行2列．故选：B【点评】本题考查了数字的排列规律，找到相应行和相应列的规律是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为﹣2 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由已知得=+，从而得到，由此求出a=﹣2．【解答】解： ==+，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．10．若函数f（x）=e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，原函数有大于0的极值点等价于导函数f′（x）=0有大于零的根【解答】解：∵y=e x﹣ax，∴y'=e x﹣a．由题意知e x﹣a=0有大于0的实根，由e x=a，得a=e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法．属于中档题11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式，则f'（2）的值等于．【考点】63：导数的运算．【分析】求导数，然后令x=1，即可求出f′（1）的值，再代值计算即可【解答】解：∵f（x）=+3xf′（1），∴f′（x）=﹣+3f′（1），令x=1，则f′（1）=﹣1+3f′（1），∴f′（1）=，∴f′（2）=﹣+=故答案为：．【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（1）是个常数，通过求导构造关于f′（1）的方程是解决本题的关键．12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为2时最省材料．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底面是正方形为x，则它的高为，从而它的表面积S=x2+，由此利用基本不等式能求出结果．【解答】解：设底面是正方形为x，∵容积为16，∴它的高为，∵底面是正方形，容积为16的无盖水箱，∴它的表面积S==x2+=≥=，∴当x2=，即x=时，最省材料．故答案为：．【点评】本题考查无盖长方体水箱用料最省时它的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合理运用．13．若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是（0，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=ax3+ln（﹣2x）的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=3ax2+（x＜0），∵曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）=3ax2+=0有负解，即a=﹣有负解，∵﹣＞0，∴a＞0，故答案为（0，+∞）．【点评】本题考察了导数的几何意义，转化化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法．14．定义：如果函数y=f（x）在区间上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3﹣x2是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题目给出的定义得到，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质能求出a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=3x2﹣2x，∵函数f（x）=x3﹣x2是区间上的双中值函数，∴区间上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解，令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a），则，解得，∴实数a的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2017春•天津期中）已知曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】（1）先通过解方程组求交点P的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．（2）先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线C1：y2=2x与C2：y=所围图形的面积．【解答】解：（1）曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P（2，2）C2：y=的导数y'=xy'|x=2=2而切点的坐标为（2，2）∴曲线C2：y=在x=2的处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），即2x﹣y﹣2=0．（2）由曲线C1：y2=2x与C2：y=可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：S=（﹣）dx=（×x﹣）=．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．16．（13分）（2011秋•北碚区校级期末）设．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极大值和极小值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=1时，先对函数求导，然后可求切线斜率，可求切线方程（2）当时，对函数求导，结合导数研究函数的单调性，进而可求函数的极大与极小值【解答】解：（1）当a=1时，切线斜率∴切点为（﹣1，）∴切线为（2）当时，x＜﹣2时，f′（x）＞0；﹣2＜x＜3时，f′（x）＜0；x＞3时，f′（x）＞0∴x=﹣2时，f（x）的极大值为8，x=3时，f（x）的极小值为【点评】本题主要考查了导数的基本应用：求解切线方程，求解函数的单调性，求解函数的极大与极小值17．（13分）（2014•青岛一模）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在上的单调性，根据函数k（x）在上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x﹣，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．（Ⅱ）∵x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）_ 0 +f（x）减 1 增又∵k（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx+x﹣a，∴k′（x）=﹣+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈上递增．（10分）∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]（15分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．（13分）（2012春•莘县期末）已知数列，，…，，…，S n为该数列的前n项和，（1）计算S1，S2，S3，S4，（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）按照数列和的定义计算即可（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．【解答】解：（1）S1==，S2==，S3=S2+=，S4=S3+=．推测S n=（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（1）当n=1时，S1==，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即S k=，那么当n=k+1时，S k+1=S k+=+====也就是说，当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．19．（14分）（2017春•天津期中）已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为P（x0，x0+m），根据切点在两条曲线上，及f（x）=ln（x+2）于点P 处的导数为1，列式求得m=1．（2）构造函数g（x）=x+1﹣ln（x+2），证明g（x）＞0即可．（3）可得．b2=ac，即．，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，故ln＞ln（b2+4b+4），f（a）+f（c）＞2f（b）．【解答】解：（1）设切点为P（x0，x0+m），则f'（x0）=1．由，有，解得x0=﹣1，于是m﹣1=0，得m=1．…（2分）（2）构造函数g（x）=x+1﹣ln（x+2），其导数．当x∈（﹣2，﹣1）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣1，+∞）时，g'（x）＞0；所以g（x）在区间（﹣2，﹣1）单调递减，在区间（﹣1，+∞）单调递增．所以g（x）＞g（﹣1）=0．因此对于x∈（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），总有x+1＞ln（x+2），即除切点（﹣1，0）外，直线l总在函数f（x）的图象的上方．…（7分）（3）因为a，b，c是两两不相等的正实数，所以．又因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，于是．而f（a）+f（c）=ln=ln，2f（b）=2ln（b+2）=ln（b2+4b+4）．由于ac+2（a+c）+4=b2+2（a+c）+4＞b2+4b+4，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，因此ln＞ln（b2+4b+4），故f（a）+f（c）＞2f（b）．…（14分）【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了转化思想、不等式的性质，属于中档题．20．（14分）（2017春•天津期中）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；（2）当a＜e时，函数f（x）在区间上的最小值是，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x0，证明直线AB的斜率k＞g'（x0）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f'（x），讨论其符号，确定单调区间（2）在上，分如下情况讨论：当1＜a＜e时，a≤1时，求出最值，列式计算，（3）．又，不妨设x2＞x1，要比较k与g'（x0）的大小，即比较与的大小，又因为x2＞x1，令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=根据h（x）在上，分如下情况讨论：当1＜a＜e时，函数f（x）在上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为，得．…（8分）当a≤1时，函数f（x）在上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（1）=a=＞1，故不存在综上，得．（3）证明：，．又，不妨设x2＞x1，要比较k与g'（x0）的大小，即比较与的大小，又因为x2＞x1，所以即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=，∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又，∴h（）＞h（1）=0，∴，即k＞g'（x0）．…（14分）【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．。
天津市2016_2017学年高二数学下学期期中试题文PDF
11．观察下列各式：
C10 = 40 C30 + C31 = 41 C50 + C51 + C52 = 42 ;
C70 + C71 + C72 + C73 = 43
……
照此规律，当 n Î
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN*
时， C20n-1
+
C1 2 n-1
+
C2 2 n-1
+L +
C n-1 2n -1
=
__________．
若 p Ú q 为真命题， p Ù q 为假命题，求实数 m 的取值范围
18．已知函数 f (x) = x + a + ln x ， a Î R . x
（1）若 f ( x) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围； （2）讨论函数 g( x) = f ¢(x) - a 的单调性
x
19．已知关于
∴m
>
e 2
∴ m < -2 or m > 2
∵p∨q 为真 p∧q 为假
∵p、q 一真一假
ïìe í
>
e 2
or
ïìm í
<
e 2
ïî- 2 £ m £ 2 ïîm < -2 or m > 2
e ∴2
5－1 B．
2
C． 5－1
D． 5＋1
10．已知 f (x) = x3 - 3x + m 在区间[0, 2] 上任取三个数 a, b, c ，均存在以
f (a), f (b), f (c) 为边长的三角形，则 m 的取值范围是
A． m > 2
天津市静海一中、宝坻一中等五校联考2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＜1或x≥4}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜4}D．{x|x＜4}2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A．1 B．2 C．4 D．74．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．下列四种说法正确的是（）①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“∀x∈R，（）x≤0”③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数．则p∧q为真．A．①②③④B．①③C．①③④ D．③6．把函数y=sin（5x﹣）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）A．B．C．D．7．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且＞2，则不等式f（x）＞x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，1）8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0二、填空题（每小题5分）9．若复数z=（i为虚数单位），则|z|=______．10．已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=______．11．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为______．12．定义在R上的函数f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=______．13．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是______．14．已知函数f（x）=2x3﹣x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为______．三、解答题.15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．16．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10．（Ⅰ）求证：AC=2AB；（Ⅱ）求AD•DE的值．17．p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+，x∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0，]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（Ⅲ）n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．2015-2016学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＜1或x≥4}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜4}D．{x|x＜4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可．【解答】解：∵集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，∴∁U A={x|x＜1}∴（∁U A）∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=3﹣（﹣1）=4，f（f（﹣1））=f（4）==2．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出s，i的值，第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．【解答】解：执行程序框图，有n=4，s=1，i=1第一次循环后：s=1，i=2；第二次循环后：s=2，i=3；第三次循环后：s=4，i=4；第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．故选：D．4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质．【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．5．下列四种说法正确的是（）①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“∀x∈R，（）x≤0”③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数．则p∧q 为真．A．①②③④B．①③C．①③④ D．③【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据全称的否定是特称进行判断，③根据逆否的定义进行判断，④根据复合的真假关系进行判断．【解答】解：①若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立，必要性成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=[x]，满足f（x+1）＞f（x），而f（x）不是增函数．充分性不成立．即“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故①错误，②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“存在x∈R，（）x≤0”，故②错误，③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”，故③正确，④p：在△ABC中，因为0＜A，B＜π，所以0＜2A，2B＜2π，故若cos2A=cos2B，则A=B 为真，q：y=sinx在第一象限不具备单调性，故q是假，则p∧q为假．故④错误，故选：D6．把函数y=sin（5x﹣）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数为y=sin[5（x﹣）]=sin（5x﹣），再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，故选D．7．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且＞2，则不等式f（x）＞x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，1）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定f（2）=0，令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，函数在R上单调递减，即可求出不等式f（x）＞x﹣1的解集．【解答】解：∵f（x+2）是奇函数，∴f（x）关于（2，0）对称，f（2）=0∵＞2，∴0＜f′（x）＜．令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，函数在R上单调递减，∵g（2）=f（2）﹣1=﹣1，∴不等式f（x）＞x﹣1可化为g（x）＞g（2），∴x＜2，故选：A．8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．【解答】解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．二、填空题（每小题5分）9．若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z====﹣1+2i．∴|z|=．故答案为：．10．已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=3．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）==﹣1，tanα=2，∴=﹣1，整理得：2+tanβ=﹣1+2tanβ，解得：tanβ=3．故答案为：311．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为135°．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】要求∠AQP的大小，可以先求其邻补角∠CQP的大小，即∠OAC+∠OPQ的大小，根据切线的性质，及已知条件，结合三角形内角和定理，我们不难分析出图中众多角之间的数量关系，最终求出答案．【解答】解：连接OC，如下图所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC又∵∠APC的角平分线为PQ∴∠OPQ=∠CPQ在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°又∵∠OCP=90°∴∠OAC+∠OPQ=45°∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°∴∠AQP=135°故答案为：135°12．定义在R上的函数f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=﹣1．【考点】函数的值．【分析】24＜20＜25，可得log220∈（4，5）．由于定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），周期T=4．利用奇偶性周期性经过变形即可得出．【解答】解：∵24＜20＜25，∴log220∈（4，5）．定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），周期T=4．∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220）=﹣=﹣=﹣=﹣1．故答案为：﹣1．13．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是（﹣∞，]．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】不等式等价变化为2a≤=+，由x∈[1，2]及y∈[1，4]，求得≤≤4，运用基本不等式求得+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣2axy+y2≤0等价为2a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，4]，∴≤≤1，即≤≤4，∴≤t≤4，则+=t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=，即t=∈[，4]时取等号．∴2a≤2，即a≤，故答案为：（﹣∞，]．14．已知函数f（x）=2x3﹣x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为（0，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=6x2﹣ax+a，根据题意便知方程6x2﹣ax+a=0有两个不同的正实根，这样根据韦达定理便可得出关于a的不等式，从而得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=6x2﹣ax+a；∵f（x）在（0，+∞）上有两个极值；∴方程6x2﹣ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同实数根；∴根据韦达定理；∴a＞0；∴实数a的取值范围为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．三、解答题.15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．16．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10．（Ⅰ）求证：AC=2AB；（Ⅱ）求AD•DE的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；（Ⅱ）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB．又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴，∴AC=2AB…（Ⅱ）解：由切割线定理得：PA2=PB•PC∴PC=20又PB=5，∴BC=15…又∵∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5…又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…17．p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】对于p：由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范围．由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，可得m，可得f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知a的取值范围．由“p且q”为假，“p 或q”为真，可知：p，q恰一真一假．【解答】解：对于p：∵关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0，解得，由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，即，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．由“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．当p真q假时，，∴a≤﹣1或a＞3，当p假q真时，，∴，综上可得，．18．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+，x∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0，]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由f（x）的最小正周期T==，即可求得f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性，即可求得[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）由，求得，则f（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，由函数图象即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，=，=…∴…又因为，∴．…当k=0时；当k=﹣1时，∴函数f（x）在[﹣π，π]的单调递减区间为和…（Ⅱ）由，所以，∴，…f（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即函数与y=﹣k﹣2在区间上有且只有一个交点，由函数的图象可知﹣k﹣2=1∴…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f'（1）=3，求出a的值，根据f（1）=2求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为f（x1）max＜g（x2）max，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣ax得，f'（1）=3⇒1﹣a=3⇒a=﹣2，则f（x）=lnx+2x，f（1）=2点（1，2）为切点，则2=3+b⇒b=﹣1，（Ⅱ）由f（x）=lnx﹣ax，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a；②当≥2，即时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a；③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，∴当＜a＜ln2时，最小值是f（1）=﹣a，当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a；综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a，（Ⅲ）由条件得f（x1）max＜g（x2）max，又∵g（x2）max=2，∴f（x1）max＜2．若a≤0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→+∞，f（x）→+∞，不符题意；∴a＞0由Ⅱ可知，得：．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（Ⅲ）n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的导数，求出a的值，得到对任意x＞1恒成立，令，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值；（Ⅲ）当n＞m≥4，得到，整理即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，f'（x）=a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；…（Ⅱ）因为f（x）=ax+xlnx（a∈R），所以f'（x）=a+lnx+1f（x）在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1…当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式，即对任意x＞1恒成立，令则．令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，…即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，，…∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3…证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是[4，+∞）上的增函数，所以当n＞m≥4，…整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+n﹣m因为n＞m，mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn…即lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n，ln（n mn m m）＞ln（m mn n n），n mn m m＞m mn n n，∴（mn n）m＞（nm m）n…2016年9月19日。
2016-2017年天津市静海一中高二(下)6月月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（）A．[0，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）2．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y＝B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x3．（5分）已知命题p1：∀x∈（0，+∞），有2 017x＞2 016x，p2：∃θ∈R，sin θ+cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q44．（5分）若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 2 017，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b5．（5分）函数f（x）＝lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）6．（5分）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．127．（5分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）8．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（1，2）C．[﹣2，1]D．（1，2]二、填空题：（每小题6分，共30分）9．（6分）设A＝，集合A∩B＝．10．（6分）已知函数y＝x﹣4+（x＞﹣1），当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝．11．（6分）化简＝．12．（6分）曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线的斜率为．13．（6分）已知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，若f（lg x）＞f（2），则x的取值范围是．14．（6分）已知函数f（x）＝则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为．三、解答题（本大题共4题，共50分）15．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．（1）当m＜时，求集合B；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．16．（12分）（1）已知命题p：|1﹣|≤2，命题q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．（2）命题p：关于x的不等式x2﹣4ax+1＞0对一切x∈[1，2]恒成立，q：函数f（x）＝log a （3﹣ax）在x∈[1，2]为减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．17．（12分）咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含仍粉4g，咖啡5g，糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，应配制两种饮料各多少杯获利最大？18．（12分）（1）已知α为第一象限角，且tan α为方程x2﹣x﹣2＝0的根，求cos（π+α）•cos（+α）的值．（2）已知π＜α＜2π，cos（α﹣7π）＝﹣，求sin（3π+α）•tan（α﹣）的值．（3）若f（x）＝．求f（π）的值．（4）若锐角α满足2sin α+2cos α＝3，则tan（2α+）的值是．19．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x﹣．（1）若f（x）＝，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣2ln x﹣+1，g（x）＝x2•e x（1）当a＝0时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；（3）求g（x）在[﹣1，3]的最大值．四、解答题（共2小题，满分0分）21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，（1）求f（x）在（﹣∞，0）上的解析式．（2）请你作出函数f（x）的大致图象．（3）当0＜a＜b时，若f（a）＝f（b），求ab的取值范围．（4）若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有7个不同实数解，求b，c满足的条件．22．已知函数．（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b＝2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（）A．[0，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【解答】解：由Venn可知，对应阴影部分的集合为∁U（A∪B），A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝{y|﹣1≤y≤1}，则A∪B＝{x|﹣1≤x≤2}，则∁U（A∪B）＝{x|x＞2或x＜﹣1}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故选：C．2．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y＝B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．3．（5分）已知命题p1：∀x∈（0，+∞），有2 017x＞2 016x，p2：∃θ∈R，sin θ+cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解答】解：由指数函数的性质可得命题p1：∀x∈（0，+∞），有2017x＞2016x是真命题，p2：，则∃θ∈R，是假命题，考查所给命题的真假：q1：p1∨p2是真命题；q2：p1∧p2是假命题；q3：（￢p1）∨p2是假命题；q4：p1∧（￢p2）是真命题；综上可得，真命题是q1，q4．故选：C．4．（5分）若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 2 017，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵a＝20.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log4cos 2 017＜0，∴a＞b＞c．故选：C．5．（5分）函数f（x）＝lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）【解答】解：函数f（x）＝lnx+e x在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．当x→0+时，f（x）→﹣∞；又＝+＝﹣1＞0，∴函数f（x）＝lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是．故选：A．6．（5分）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．12【解答】解：不等式⇔（x+2）（x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴a＝﹣2，b＝﹣1．∵点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，化为2m+n＝1．∵mn＞0，∴＝＝5+＝9，当且仅当m＝n＝时取等号．∴的最小值为9．故选：C．7．（5分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）＝（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，∴a＞2，并且x＝1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（1，2）C．[﹣2，1]D．（1，2]【解答】解：∵f（x）＝，∴g（x）＝f（x）﹣2x＝，由4﹣2x＝0，得x＝2；由x2+2x﹣3＝0，得x＝﹣3，x＝1．又函数g（x）恰有三个不同的零点，∴方程g（x）＝0的实根2，﹣3和1都在相应范围上，即1＜m≤2．∴实数m的取值范围是（1，2]．故选：D．二、填空题：（每小题6分，共30分）9．（6分）设A＝，集合A∩B＝（1，2]．【解答】解：∵A＝，∴A＝{x|1＜x≤2}，B＝{y|}，∴集合A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故答案为：（1，2]．10．（6分）已知函数y＝x﹣4+（x＞﹣1），当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝3．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x+1＝即x＝2时取等号，∴a＝2，b＝1，∴a+b＝3故答案为：311．（6分）化简＝﹣cos2．【解答】解：＝＝＝|cos2|＝﹣cos2，故答案为：﹣cos2．12．（6分）曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线的斜率为4．【解答】解：y＝x（3lnx+1）的导函数为：y′＝3lnx+4，当x＝1时，y′＝4，曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线的斜率为：4．故答案为：4．13．（6分）已知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，若f（lg x）＞f（2），则x的取值范围是（0，）∪（100，+∞）．【解答】解：根据题意，f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（lg x）＞f（2）⇔|lg2|＞2；即lg2＜﹣2或lg2＞2，解可得0＜x＜或x＞100；即x的取值范围是（0，）∪（100，+∞）；故答案为：（0，）∪（100，+∞）．14．（6分）已知函数f（x）＝则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，2]．【解答】解：不等式f（f（x））≤3，令f（t）≤3，若t≤0，则2﹣t﹣1≤3，2﹣t≤4，解得﹣2≤t≤0；若t＞0，则﹣t2+t≤3，t2﹣t+3≥0，解得t＞0，∴t≥﹣2，即原不等式等价于或，解得x≤2．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题（本大题共4题，共50分）15．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．（1）当m＜时，求集合B；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣（2m+1）x+2m＜0⇔（x﹣1）（x﹣2m）＜0．（1）当m＜时，2m＜1，∴集合B＝{x|2m＜x＜1}．（2）若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}，此时﹣1≤2m＜1⇒﹣≤m＜；②当m＝时，B＝Ø，有B⊆A成立；③当m＞时，B＝{x|1＜x＜2m}，此时1＜2m≤2⇒＜m≤1；综上所述，所求m的取值范围是﹣≤m≤1．16．（12分）（1）已知命题p：|1﹣|≤2，命题q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．（2）命题p：关于x的不等式x2﹣4ax+1＞0对一切x∈[1，2]恒成立，q：函数f（x）＝log a （3﹣ax）在x∈[1，2]为减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）化为，解得﹣2≤x≤10．即命题p为：[﹣2，10]．而q为：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），∵m＞0，1﹣m＜1+m，解得1﹣m≤x≤1+m．又q是p的必要不充分条件，即p⇒q．∴，解得：m≥9．即实数m的取值范围为[9，+∞）．（2）命题p即：，结合对勾函数的性质可得，当x＝1时，，命题q为真命题，则：，解得：，p或q为真，p且q为假，则命题p，q一真一假，若p真q假，则：，∴，若p真q假，则：，∴，综上可得，实数a的取值范围是：．17．（12分）咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含仍粉4g，咖啡5g，糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，应配制两种饮料各多少杯获利最大？【解答】解：设每天配制甲种饮料x（x∈Z）杯、乙种饮料y（y∈Z）杯可获得最大利润，利润总额为z元，那么，作出此不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．目标函数为z＝0.7x+1.2y．作直线l：0.7x+1.2y＝0，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点距离最大．此时，z＝0.7x+1.2y取最大值．解方程得A的坐标（200，240）．答：每天配制甲种饮料200杯、乙种饮料240杯方可获利最大．18．（12分）（1）已知α为第一象限角，且tan α为方程x2﹣x﹣2＝0的根，求cos（π+α）•cos（+α）的值．（2）已知π＜α＜2π，cos（α﹣7π）＝﹣，求sin（3π+α）•tan（α﹣）的值．（3）若f（x）＝．求f（π）的值．（4）若锐角α满足2sin α+2cos α＝3，则tan（2α+）的值是．【解答】解：（1）∵α为第一象限角，且tan α为方程x2﹣x﹣2＝0的根，∴tanα＝2，∴cos（π+α）cos（+α）＝cos αsin α＝＝；（2）∵cos（α﹣7π）＝cos（7π﹣α）＝cos（π﹣α）＝﹣cos α＝﹣，∴cos α＝．∴sin（3π+α）•tan（α﹣）＝sin（π+α）•[﹣tan（）]＝sin α•tan（）＝sin α•＝cos α＝；（3）f（x）＝＝＝＝，∴；（4）由2sin α+2cos α＝3，化简得4（）＝3，即sin（）＝．由＜＜且α是锐角，得＜α+＜，∴cos（）＝﹣＝﹣，从而tan（）＝﹣，由二倍角公式得tan （2α+）＝tan2（）＝＝3．19．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x﹣．（1）若f（x）＝，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由题意：f（x）＝2x﹣定义在R上的函数，∴（1）当x≤0时，f（x）＝0，无解当x＞0时，f（x）＝2x﹣，由f（x）＝，即：2x﹣＝，化简：2•22x﹣3•2x﹣2＝0因式分解：（2x﹣2）（2•2x+2）＝0解得：解得2x＝2或2x＝﹣，∵2x＞0，故：x＝1．（2）当t∈[1，2]时，f（2t）＝，f（t）＝那么：（）≥0整理得：m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）恒成立即可．∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．要使m≥﹣（22t+1）恒成立，只需m≥﹣5故：m的取值范围是[﹣5，+∞）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣2ln x﹣+1，g（x）＝x2•e x（1）当a＝0时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；（3）求g（x）在[﹣1，3]的最大值．【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝x﹣2ln x+1，f′（x）＝1﹣．f（1）＝2，f′（1）＝﹣1，∴函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），化为：x+y﹣3＝0．（2）由题意得x＞0，f′（x）＝1﹣+．由函数f（x）在定义域上是增函数，得f′（x）≥0，即a≥2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1（x＞0）．因为﹣（x﹣1）2+1≤1（当x＝1时，取等号），所以a的取值范围是[1，+∞）．（3）g′（x）＝（x2+2x）e x＝x（x+2）e x．可得g（x）在[﹣1，0）上单调递减，在（0，3]上单调递增．又g（﹣1）＝，g（3）＝9e3．故当x＝3时，g（x）取得最大值9e3．四、解答题（共2小题，满分0分）21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，（1）求f（x）在（﹣∞，0）上的解析式．（2）请你作出函数f（x）的大致图象．（3）当0＜a＜b时，若f（a）＝f（b），求ab的取值范围．（4）若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有7个不同实数解，求b，c满足的条件．【解答】解：（1）当x∈（﹣∞，0）时，．…（4分）（2）f（x）的大致图象如下：．…（8分）（3）因为0＜a＜b，所以f（a）＝f（b），…（11分）解得ab的取值范围是（1，+∞）．…（13分）（4）由（2），对于方程f（x）＝a，当a＝0时，方程有2个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解．…（15分）所以，要使关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根．所以c＝0，f（x）＝﹣b∈（0，1），即﹣1＜b＜0，c＝0．…（18分）22．已知函数．（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b＝2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．【解答】解：（1）当x∈（0，+∞）时，设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x1）＜f（x2）（2分）（3分）由x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）知x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）（5分）（2）当b＝2时，在x∈（1，+∞）上恒成立，即（6分）因为，当即时取等号，（8分），所以在x∈（1，+∞）上的最小值为．则（10分）（3）因为的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0（11分）①若0＜m＜n当b＞0时，是（0，+∞）上的增函数，则，所以方程在（0，+∞）上有两不等实根，即x2﹣ax+b＝0在（0，+∞）上有两不等实根，所以，即a＞0，b＞0且a2﹣4b＞0（13分）当b＜0时，在（0，+∞）上递减，则，即，所以a＝0，b＜0（14分）②若m＜n＜0当b＞0时，是（﹣∞，0）上的减函数，所以，即，所以a＝0，b＞0（15分）当b＜0是（﹣∞，0）上的增函数，所以所以方程在（﹣∞，0）上有两不等实根，即x2+ax﹣b＝0在（﹣∞，0）上有两不等实根，所以即a＜0，b＜0且a2+4b＞0（17分）综上知：a＝0，b≠0或a＜0，b＜0且a2+4b＞0或a＞0，b＞0且a2﹣4b＞0．即：a＝0，b≠0或ab＞0且a2﹣4|b|＞0。
天津市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(精编含解析)
天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷一、选择题：1. 已知、、是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程，，至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A. 三个方程都没有两个相异实根 B. 一个方程没有两个相异实根C. 至多两个方程没有两个相异实根D. 三个方程不都没有两个相异实根【答案】A【解析】试题分析：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此本题选C．考点：反证法．2. 已知复数，则对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先计算出z,再代入计算得到对应点所在的象限.详解：由题得所以=，所以对应的点为，在第二象限.故答案为：B3. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.详解：，所以，切线方程为：即.令，则；令，则，故面积为，故选A.点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.4. 下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.详解：对于A中的函数，有，当时，的符号有正有负，故在上不是增函数；对于B，，当时，，故在上不是增函数；对于C，，当时，，故在上不是增函数；对于D，，当时，，故在上是增函数；故选D.点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .详解：令，则，从而为上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.6. 若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．详解：令y=f（x）=ax2+3x﹣lnx，由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1，∴=1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴=1有正根，∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根∴2ax2+2x﹣1=0有正根∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根，最后分离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.详解：设且到直线的距离最小，又，令，则，故.此时到直线的距离为，故选B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.8. 设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.详解：，因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.当时，，此时，当时，，当时，故在处取极大值.当时，应为的较小的正根，故，故；当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.综上，的取值范围为，故选A.点睛：对于上的可导函数，（1）若在处取极大值，则且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负；（2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.9. 函数的大致图象如图所示,则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.详解：由图像可知有三个实数解，分别为，故，所以.注意到为的极值点，故它们也是的两个根.又，故C.点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：详解：，所以，，故在内存在零点，也就是在内存在零点.令，故.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故在上的值域为，故选B.点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.二、填空题11. 已知，为虚数单位，为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．【答案】【解析】为实数，则.【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.12. 已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据导数的运算法则计算出和f(1),再计算出的值.详解：由题意f（1）=+2+2f（1），化简得f（1）=﹣﹣2，而=2x+2，所以=2+2，得=﹣2，故f（1）=0，所以f（x）=﹣2x2+2x，所以=﹣4x+2，所以=﹣6.点睛：(1)本题主要考查导数的运算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题的关键是找到关于和f(1)的方程，解答出它们的值.13. 设，若函数有大于零的极值点，则的范围为__________．【答案】【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．详解：，令，则方程有正根，即．又的值域为，故即．填．点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．14. 观察下面一组等式，，，......根据上面等式猜测，则_________．【答案】25【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②由①②解得a=4，b=﹣3，∴a2+b2=16+9=25，故答案为：25点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.15. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3.点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.16. 设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，∵g（x）=，∴=，当x＜1时，＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，∵不等式恒成立且k＞0，∴，∴k≥1.故答案为：k≥1点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了. 三、解答题17. 已知函数的极值点为2 ．（1）求实数的值；（2）求函数的极值；（3）求函数在区间上的最值．【答案】（1）；（2）极小值为；（3）【解析】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．详解：（1）∵,∴又函数的极值点为2，∴，解得．经验证得符合题意，∴.（2）由（1）得.∴，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴当时，有极小值，且极小值为（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴．点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.18. 已知函数（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为，应为其子集，故可求实数的范围.（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.因为函数在上为增函数，所以，所以.（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故方程在区间内恰有两个相异的实根即方程在区间内恰有两个相异的实根.令，则，当时，，在为减函数；当时，，在为增函数.的图像如图所示：要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.19. 已知函数，且（1）求的解析式；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）证明函数的图象在图象的下方.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.详解：（1）易知，所以，又∴.∴.（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立.令，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；∴时，有最大值，∴，即的取值范围为.（3）要证明函数的图象在图象的下方，即证：恒成立，即：.由（2）可得：，所以，要证明，只要证明，即证：令中，则，当时，，所以单调递增，∴即，所以，从而得到，所以函数的图象在图象的下方.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.20. 已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；（2）设，对于,都有求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.详解：（1），设切点为得得到，所以所以.（2）∵∴时，，所以，在上为增函数.不妨设则，，所以，可化为,即，设，则在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则∴∴所以在上为增函数，所以∴.点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.。
2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高一下学期数学期中考试试卷
2017年天津市宝坻⼀中、杨村⼀中、静海⼀中等六校⾼⼀下学期数学期中考试试卷2017年天津市宝坻⼀中、杨村⼀中、静海⼀中等六校⾼⼀下学期数学期中考试试卷⼀、选择题（共8⼩题；共40分）1. 下列结论正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则2. 在中，⾓，，的对边分别为，，，若，则⾓的值为A. B. C. 或 D. 或3. 已知为等差数列，，，则等于A. B. C. D.4. 设变量，满⾜约束条件则⽬标函数的最⼩值为A. B. C. D.5. 不等式对任意恒成⽴，则实数的取值范围是A. B.C. D.6. 设为等差数列的前项和．若，，则使成⽴的最⼩正整数为A. B. C. D.7. 关于的不等式的解集中，恰有个整数，则的取值范围是A. B.C. D.8. 在中，⾓，，的对边分别为，，，且，若的⾯积，则的最⼩值为A. B. C. D.⼆、填空题（共6⼩题；共30分）9. 不等式的解集是．10. 在等⽐数列中，若，，则公⽐为．11. 数列满⾜，（，），则．12. 在中，内⾓，，所对的边分别为，，．已知的⾯积为，，，则的值为．13. 是数列的前项和，且，，则．14. 已知，且满⾜，则的最⼩值为．三、解答题（共6⼩题；共78分）15. 某企业⽣产甲、⼄两种产品均需⽤A，B 两种原料．已知⽣产吨每种产品需原料及每天原料的可⽤限额如表所⽰，如果⽣产吨甲、⼄产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可获得最⼤利润为多少?甲⼄原料限额吨吨16. 在中，内⾓，，的对边分别为，，．已知．（1）求的值；（2）若，，求的⾯积．17. 已知不等式的解集为或．（1）求实数，的值；（2）解不等式．18. 已知数列的⾸项，前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 已知等⽐数列满⾜，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成⽴，求实数的取值范围．20. 已知数列与满⾜，．（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最⼤项，即，求证：数列的第项是最⼤项；（3）设，，求的取值范围，使得有最⼤值与最⼩值，且．答案第⼀部分1. D2. A3. A4. B5. C【解析】不等式对任意恒成⽴，等价于，由于（当且仅当时等号成⽴），所以，解得．6. C 【解析】在等差数列中，因为，，得，，，．所以使成⽴的最⼩正整数为．7. D 【解析】原不等式可化为，当时，解得，此时解集中的整数应为，，，则；当时，解得，则；当时，不等式的解集为，不符合题意．故．8. B第⼆部分9.10.11.12.【解析】由，得，⽽，所以，所以，所以，所以．13.14.第三部分15. 设该企业每天⽣产甲、⼄两种产品分别为，吨，则利润，由题意可得：其表⽰如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最⼤值，即，所以该企业每天可获得最⼤利润为万元．16. （1）在中，由及正弦定理可得，则则，⽽，则，则．（2）由及，可得，则，，，即．17. （1）因为不等式的解集为或，所以与是⽅程的两个实数根，且．由根与系数的关系，得解得（2）原不等式，可化为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．18. （1）由，得，两式相减得，故，所以当时，是以为公⽐的等⽐数列．因为，，所以是⾸项为，公⽐为的等⽐数列，．（2）由（）知，故，，，得所以．19. （1）设等⽐数列的公⽐为，因为，所以，，所以，所以，所以，所以．（2）因为，所以，所以．（注：也可对分奇偶）．（3）由（）知，所以不等式对⼀切恒成⽴，即对⼀切恒成⽴，令，则随的增⼤⽽增⼤，所以，所以，所以实数的取值范围为．20. （1）由，得，所以是⾸项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，．（2）由，得．所以为常数列，，即．因为，，所以，即．故的第项是最⼤项．（3）因为，所以，当时，当时，，符合上式．所以．因为，所以，．①当时，由指数函数的单调性知，不存在最⼤、最⼩值；②当时，的最⼤值为，最⼩值为，⽽；③当时，由指数函数的单调性知，的最⼤值，最⼩值，由及，得．综上，的取值范围是．。
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2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二文科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集 U =R 且 A = x x −1 >2 ，B = x x 2−6x +8<0 则 A ∩B 等于 A. −1,4 B. 2,3 C. 2,3 D. 3,42. 已知函数 f x 定义域为 R ，命题 p ：∀x 1,x 2∈R ， f x 1 −f x 2 x 1−x 2 <0，则 ¬p 是 A. ∀x 1,x 2∈R ， f x 1 −f x 2 x 1−x 2 >0 B. ∂x 1,x 2∈R ， f x 1 −f x 2 x 1−x 2 ≥0 C. ∀x 1,x 2∈R ， f x 1 −f x 2 x 1−x 2 ≥0 D. ∂x 1,x 2∈R ， f x 1 −f x 2 x 1−x 2 <0 3. 设 x ∈R ，则“ x −1 <1”是“x 2−x −2<0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知研究 x 与 y 之间关系的一组数据如表所示，则 y 对 x 的回归直线方程 y =bx +a 必过点x 0123y1357A. 2,2B. 32,0C. 1,2D. 32,45. 已知 x =ln π，y =log 52，z =e −12，则 A. x <y <zB. z <x <yC. z <y <xD. y <z <x6. 已知函数的定义域为 R ，对任意 x 都有 f x +2 =−f x ，且当 x ∈ 0,2 时，f x =log 2 x +1 ，则 f 2015 +f 2018 的值为 A. −2 B. −1 C. 1 D. 27. 已知函数 y =f x +1 的定义域是 −2,3 ，则 y =f x 2 的定义域是 A. −1,4B. 0,16C. −2,2D. 1,48. 设 x ，y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =3，a +b =2 3，则 1x+1y的最大值为 A. 2B. 32C. 1D. 12二、填空题（共6小题；共30分） 9. 计算复数：3−i2+i = ．（i 为虚数单位）10. 已知数列 a n 的第 1 项 a 1=1，且 a n +1=an 1+ann =1,2,3,⋯ ，则此数列的通项公式 a n = ．11. 设函数 f x = 21−x ,x ≤11−log 2x ,x >1，则不等式 f x ≤2 的解集是 ．12. 若函数f x=2x+a 在区间3,+∞上是增函数，则实数a的取值范围是．13. 给出下列命题：①若ab>0，a>b，则1a <1b；②若a>b，则a2>b2；③若a>b，c>d，则a−c>b−d；④对于正数a，b，m，若a<b，则ab <a+mb+m，其中真命题的序号是：．14. 已知偶函数f x满足f x+1=−1f x，且当x∈−1,0时，f x=x2，若在区间−1,3内，函数g x=f x−log a x+2有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知复数z=3+b i b∈R，且1+3i⋅z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若w=z2+i，求复数w的模w．16. 已知函数f x=x−1的定义域为集合A，函数g x=12x−1≤x≤0的值域为集合B，U=R．（1）求∁U A∩B；（2）若C=x a≤x≤2a−1且C⊆B，求实数a的取值范围．17. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元?18. 解关于x的不等式mx2−m−2x−2>0．19. 已知函数f x=ax+b1+x 是定义域为−1,1上的奇函数，且f1=12．（1）求f x的解析式；（2）用定义证明：f x在−1,1上是增函数；（3）若实数t满足f2t−1+f t−1<0，求实数t的范围．20. 已知函数f x=ln x,0<x≤e2−ln x,x>e，若a，b，c互不相等，且f a=f b=f c，求a+b+c的取值范围．答案第一部分1. D2. B 【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，∂x1,x2∈R， f x1−f x2x1−x2≥0．3. A 【解析】x−1<1，解得：0<x<2．由x2−x−2<0，解得：−1<x<2．所以“x−1<1”是“x2−x−2<0”的充分不必要条件．4. D 【解析】因为x=0+1+2+34=1.5，y=1+3+5+74=4，所以这组数据的样本中心点是 1.5,4，根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点 1.5,4．5. D6. B 【解析】因为f x+2=−f x，所以f x+4=−f x+2=f x，所以f x周期为4，所以f2015=f−1=−f1=−1，f2018=f2=−f0=0，所以f2015+f2018=−1．7. C 【解析】因为函数y=f x+1的定义域是−2,3，即−2≤x≤3，所以−1≤x+1≤4，即函数y=f x的定义域为−1,4，由−1≤x2≤4，得−2≤x≤2．所以y=f x2的定义域是−2,2．8. C 【解析】因为a x=b y=3，取对数，得x=log a3，y=log b3，所以1x +1y=log3a+log3b=log3ab≤log3a+b22=1．第二部分9. 1−i【解析】3−i2+i =3−i2−i2+i2−i=5−5i5=1−i．10. 1n【解析】由题意，得1a n+1=1+a na n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，所以1a n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n=1+n−1=n，所以a n=1n．11. 0,+∞【解析】x≤1时，f x=21−x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x>1时，f x=1−log2x≤2，解得x≥12，故x>1．综上所述，不等式f x≤2的解集为0,+∞．12. −6,+∞【解析】f x=−2x−a,x≤−a22x+a,x>−a2，所以f x在 −∞,−a2上单调递减，在 −a2,+∞ 上单调递增，因为函数f x=2x+a 在区间3,+∞上是增函数，所以−a2≤3，解得a≥−6．13. ①②④【解析】对于①，若ab>0，则1ab>0，又a>b，所以1b >1a，所以1a <1b，所以①正确；对于②，若a>b ≥0，则a2>b2，所以②正确；对于③，若a>b，c>d，则−c<−d，所以−d>−c，所以a−d>b−c，所以a−c>b−d不成立，③错误；对于④，对于正数a，b，m，若a<b，则ab <a+mb+m成立，即a b+m<b a+m，所以am<bm，所以a<b，④正确；综上，正确的命题序号是①②④．14. 5,+∞【解析】函数f x满足f x+1=−1f x，故有f x+2=f x，故f x是周期为2的周期函数．再由f x是偶函数，当x∈−1,0时，f x=x2，可得当x∈0,1时，f x=x2，故当x∈−1,1时，f x=x2，当x∈1,3时，f x=x−22．由于函数g x=f x−log a x+2有4个零点，故函数y=f x的图象与y=log a x+2的图象有4个交点，可得a>1且1≥log a3+2，所以实数a的取值范围是5,+∞．第三部分15. （1）复数z=3+b i b∈R，且1+3i⋅z为纯虚数．即1+3i⋅3+b i=3−3b+9+b i为纯虚数，所以3−3b=0，9+b≠0，解得b=1．所以z=3+i．（2）w=z2+i =3+i2+i=3+i2−i2+i2−i=7−i5，所以复数w的模w=75+ −15=2．16. （1）要使函数f x=x−1有意义，则x−1>0，得x>1，所以函数f x的定义域A=1,+∞，则∁U A=−∞,1，由−1≤x≤0得，1≤12x≤2，则函数g x的值域B=1,2，所以∁U A∩B=1．（2）因为C=x a≤x≤2a−1且C⊆B，所以对集合C分C=∅和C≠∅两种情况，则a>2a−1或a≤2a−1, 2a−1≤2, a≥1,解得a<1或1≤a≤32，所以实数a的取值范围是 −∞,32．17. 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x+y≤300,500x+200y≤90000, x≥0,y≥0.目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于x+y≤300, 5x+2y≤900, x≥0,y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l:3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x+y=300, 5x+2y=900.解得x=100，y=200．所以点M的坐标为100,200．z max=3000x+2000y=700000（元）．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．18. mx2−m−2x−2>0⇒mx+2x−1>0．①当m=0时，原不等式转化为2x−1>0，即x−1>0，得不等式的解集为x x>1．②当m>0时，原不等式转化为 x+2mx−1>0，因为−2m<0<1，所以不等式解集为 x x<−2m或x>1．③当m<0时，原不等式转化为 x+2mx−1<0．（i）当m=−2时，解集为∅；（ii）当−2<m<0时，−2m>1，所以不等式的解集为 x1<x<−2m；（iii）当m<−2时，−2m<1，所以不等式的解集为 x−2m<x<1．综上所述，当m<−2时，原不等式的解集为 x−2m<x<1；当m=−2时，原不等式的解集为∅；当−2<m<0时，原不等式的解集为 x1<x<−2m；当m=0时，原不等式的解集为x x>1；当m>0时，原不等式的解集为 x x<−2m或x>1．19. （1）函数f x=ax+b1+x是定义域为−1,1上的奇函数，所以f0=0，所以b=0，又f1=12，所以a=1，所以f x=x1+x2．（2）设−1<x1<x2<1，则x2−x1>0，于是f x2−f x1=x2x22+1−x1x12+1=x2−x11−x1x2x12+1 x22+1，又因为−1<x1<x2<1，则1−x1x2>0，x12+1>0，x22+1>0，所以f x2−f x1>0，即f x2>f x1，所以函数f x在−1,1上是增函数．（3）f2t−1+f t−1<0，所以f2t−1<−f t−1；又由已知函数f x是−1,1上的奇函数，所以f1−t=−f t−1，所以f2t−1<f1−t，由（2）可知：f x是−1,1上的增函数，所以−1<2t−1<1,−1<t−1<1,2t−1<1−t⇒0<t<1,0<t<2,t<23,得0<t<23，综上得：0<t<23．20. 作出函数f x的大致图象，如图所示：不妨设a<b<c，则0<a<1，1<b<e．因为f a=f b，即−ln a=ln b，所以ab=1，即b=1a，同理−ln a=2−ln c，所以ca=e2，即c=a e2．所以a+b+c=a+1a +a e2=e2+1a+1a，又0<a<1，1<b<e，b=1a ，所以1e<a<1，令函数g a=e2+1a+1a 1e<a<1，则gʹa=e2+1−1a2>0，所以g a在1e,1上单调递增，所以g1e <g a<g1，即2e+1e<g a<e2+2．所以2e+1e<a+b+c<e2+2．则a+b+c的取值范围是2e+1e,e2+2．。