北京一零一中学2021年中考数学模拟试卷(解析版)

2021年北京市101中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）
A．4×1013千米B．4×1012千米
C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）
A．b+c＞0 B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|
3．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1 B．C．D．
4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y 尺，根据题意列方程组正确的是（）
A．B．
C．D．
5．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°
6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）
A．B．C．D．
7．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
8．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知△ABC的三边长a、b、c满足，则△ABC一定是三角形．
10．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝°．
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝20°，连接DE，则∠CED的大小＝（度）．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．
14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．
15．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4：3，则tanB＝．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25
题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
18．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝BD，BE平分∠CBD交CD于O，交AD延长线
于E，连接CE．
（1）求证：四边形BCED是菱形；
（2）若OD＝2，tan∠AEB＝，求△ABE的面积．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．
22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．
根据以上材料回答下列问题：
（1）图2中，n的值为；
（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是；
（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．23．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB
关于⊙O的内直角的是；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D 在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t 的取值范围．
2021年北京市101中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）
A．4×1013千米B．4×1012千米
C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．
故选：A．
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）
A．b+c＞0 B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；
故选：D．
3．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）
A．1 B．C．D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，
则原式＝，
故选：B．
4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y 尺，根据题意列方程组正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，
，
故选：A．
5．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°
【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理
对各选项进行判断．
【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，
∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确；
∵∠BDC和∠BAC都对，
∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确；
只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确．
故选：C．
6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
∵圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
∴大正方形的边长为，
则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．
故选：C．
7．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到OD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
故选：C．
8．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x＝1时，y＜3，得k＝xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y＝2x，得点A是直线y＝2x与双曲线的交点，画图，如图
2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的
值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y﹣x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域
④中得：x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，可作判断．
【解答】解：设点A（x，y），
A、设反比例函数解析式为：y＝（k≠0），
由图形可知：当x＝1时，y＜3，
∴k＝xy＜3，
∵y＞x，
∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y＝2x，
则点A是直线y＝2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y﹣x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
故选项④正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．已知△ABC的三边长a、b、c满足，则△ABC一定是等腰直角三角形．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c满足，
∴a﹣1＝0，b﹣1＝0，c﹣＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝．
∵a2+b2＝c2，
∴△ABC一定是等腰直角三角形．
10．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝110°．
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝110°．
故答案为：110．
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．
【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．
【解答】解：如图．
∵∠3＝60°，∠4＝45°，
∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．
故答案为：75．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝20°，连接DE，则∠CED的大小＝10（度）．
【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．【解答】解：延长CB到F，
∵在△ABC中，∠ABC＝100°，∠CBD＝20°，
∴∠ABF＝80°，∠ABD＝80°，
∴AB平分∠FBD，
又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，
∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，
∴点E在∠ADB的平分线上，
即DE平分∠ADB，
∵∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB，∠DBC＝20°，
∴，
∴10°＝，
∵∠DEC＝∠ADE﹣∠ACE＝，
∴∠DEC＝10°，
故答案为：10．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为2或4﹣2．
【分析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF＝DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，得到DF1＝DE，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
∵AB＝4，AD＝BC＝2，
∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形，
∴∠AED＝∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
∵l∥EC，
∴ED⊥l，
∴EM＝2＝AE，
∴点A、点M关于直线EF对称，
∵∠MDF＝∠MFD＝45°，
∴DM＝MF＝DE﹣EM＝2﹣2，
∴DF＝DM＝4﹣2．
当直线l在直线EC下方时，
∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，
∴DF1＝DE＝2，
综上所述DF的长为2或4﹣2．
故答案为2或4﹣2．
14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程x2﹣35x+66＝0．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
（30﹣2x）（20﹣x）＝78×6，
化简，得
x2﹣35x+66＝0，
故答案为：x2﹣35x+66＝0．
15．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4：3，则tanB＝．
【分析】根据同角的余角相等，可得tanB＝tan∠CAD，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠CAD，
∵AD：CD＝4：3，
∴tanB＝tan∠CAD＝．
故答案为：．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝．
【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE ＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝AH，AE＝AH，则CH＝AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝，BF＝，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到＝2，从而利用比例性质可得到DH的长．
【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH•sin60°＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
三．解答题
17．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，
求出算式（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|的值是多少即可．
【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|
＝1+4×﹣2﹣1
＝1﹣2+﹣1
＝
18．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
（2）解：∵△ABE∽△ACD，
∴．
∵BE＝BD＝1，CD＝2，
∴．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝BD，BE平分∠CBD交CD于O，交AD延长线于E，连接CE．
（1）求证：四边形BCED是菱形；
（2）若OD＝2，tan∠AEB＝，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC∥AE，根据平行线的性质得出∠CBE＝∠DEB，求出∠DEB＝∠DBE，推出BD＝DE，再根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出BO＝EO，∠DOE＝90°，求出OD是△ABE的中位线，求出AB和BE，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE，
又∵BC＝BD，
∴BC＝DE且BC∥DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
又∵BC＝BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：∵四边形BCDE是菱形，
∴BO＝EO，∠DOE＝90°，
又∵AD＝BC＝DE，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD∥AB，AB＝2OD＝4，∠ABE＝∠DOE＝90°，
∵，
∴BE＝8，
∴S△ABE＝＝4×8＝16．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．
【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与⊙D相切．过点D作DE⊥AB于E．证明DE＝DC即可．
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．利用勾股定理构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．
理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴⊙D与AB相切．
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．
∵AB，AC是⊙D的切线，
∴AC＝AE＝2CD＝2r，
∵∠ACB＝∠BED＝90°，
则有，
解得，
∴⊙D的半径为3．
22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．
根据以上材料回答下列问题：
（1）图2中，n的值为18；
（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是 2.1亿吨；
（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据中位数的定义即可得到结论；
（3）根据样本估计总体列式计算即可．
【解答】解：（1）n＝100﹣20﹣55﹣7＝18，
故答案为：18；
（2）∵在1.8，1.9，2.0，2.2，2.3，2.5中，2.0和2.2处在中间位置，
∴2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是＝2.1（亿吨）
故答案为：2.1亿吨；
（3）2.5×20%×（40÷0.02）＝1000（亿元），
答：估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是1000亿元，
23．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图1即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同
理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；
（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；
（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，
∴AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠Q，
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，
∴∠Q＝∠BFC，
∵∠MFN＝∠BFC，
∴∠MFN＝∠Q，
同理，∠NMF＝∠APQ，
∴∠MFN＝∠FMN，
∴NM＝NF；
（3）连接CE，
∵AC⊥PQ，PC＝CQ，
∴AP＝AQ，
∴∠PAC＝∠QAC，
∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q＝90°，
∵∠Q+∠CAQ＝90°，
∴∠CAQ＝∠QBD，
∴∠PAC＝∠FBC，
∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，
∴△APC≌△BFC（AAS），
∴CP＝CF，
∵AM＝CP，
∴AM＝CF，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∵AC＝BC，
∴直线CE垂直平分AB，
∴∠ECB＝∠ECA＝45°，
∴∠GAM＝∠ECF＝45°，
∵∠AMG＝∠CFE，
∴△AGM≌△CEF（ASA），
∴GM＝EF，
∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，
∴BN＝AE+GN．
25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB
关于⊙O的内直角的是∠AP2B，∠AP3B；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值
范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D 在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，
使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t 的取值范围．
【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线AB的解析式，当直线y＝2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b＝5，则答案可求出；
（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．
【解答】解：（1）如图1，
∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），
∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），
∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，
∴P2A2+P2B2＝AB2，
∴∠AP2B＝90°，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A（0，﹣5），B（4，3），
∴BD＝4，AD＝8，
并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F，∵OA＝OB，AH＝BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，
∴△OAH∽△BAD，
∴，
∴OH＝AH＝EH，
∴OH＝EO，
∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，
∴△EOF≌△HOA（ASA），
∴OF＝OA＝5，
∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，
∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．
（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM＝1，ON＝2，
∴MN＝＝，
∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，
∴△GHM≌△NOM（ASA），
∴MN＝GM＝，
∴OG＝﹣1，
∴OT＝+1，
当T与M重合时，t＝1，
∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，
∴此时t的取值范围是1≤t＜5，
综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．。