高新区浞景学校数学学科青岛版八年级下册勾股定理复习专题1
青岛版(新)数学八年级下册 7.2勾股定理
青岛版（新）数学八年级下册 7.2勾股定理1. 引言勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形的边长关系。
在数学八年级下册中，我们将学习青岛版新教材中关于勾股定理的内容。
本文将介绍勾股定理的定义、特点和应用，并提供一些相关例题供理解和练习。
2. 勾股定理的定义勾股定理是关于直角三角形的一条定理，它表述了直角三角形的两个直角边平方和等于斜边平方的关系。
具体表达为：在直角三角形中，直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度为 c，那么有a^2 + b^2 = c^2。
3. 勾股定理的特点勾股定理有以下几个重要特点：•只适用于直角三角形：勾股定理仅适用于直角三角形，而不适用于其他类型的三角形。
•三边关系：勾股定理描述了直角三角形的三边关系，即勾股定理可以通过已知两边求第三边，或者通过已知两边求解角度。
•仅为一个公式：勾股定理仅是一个公式，而不是一个推导过程或者一种方法。
因此，勾股定理的应用需要结合具体问题和数学知识。
4. 勾股定理的应用勾股定理在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用情况：4.1 求解直角三角形的边长勾股定理可以用于求解直角三角形的边长。
当已知直角三角形的一个直角边和斜边时，可以使用勾股定理求解另一直角边的长度。
例如，已知一个直角三角形的斜边长度为 5，一个直角边的长度为 3，我们可以使用勾股定理求解另一直角边的长度。
根据勾股定理的公式：3^2 + b^2 = 5^2，可以求解出 b 的值。
4.2 判定三角形是否为直角三角形勾股定理可以用于判定一个三角形是否为直角三角形。
当已知一个三角形的三边长度时，可以通过勾股定理判断这个三角形是否为直角三角形。
如果三边长度满足勾股定理的关系，即 a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形为直角三角形。
4.3 应用于几何证明勾股定理也常用于几何证明中。
通过使用勾股定理，可以证明一些几何性质和定理。
例如，可以利用勾股定理证明直角三角形的两个斜边相等，或者证明斜边长度的性质。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：勾股定理及逆定理的综合应用试题
例题 2 勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾
三，股四，则弦五”的记载。如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用
其面积关系验证勾股定 理。图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠ BAC=90°， AB=2， AC=3，
∴∠ EBE′=90° ，BE=BE′=2 ，AE=E′C=1，∴ EE′=2 ∵E′Ｅ2+E′Ｃ2=8+1=9， EC2=9，∴ E′Ｅ2+E′Ｃ2=EC2，
2 ，∠ BE′E=45°，
∴△ EE′Ｃ 是直角三角形，∴∠ EE′C=90°，∴∠ BE′C=135°。
故答案为： 135。
开放性试题
开放性试题是与封闭性试题相对的、 没有固定答案或唯一结论的一种试题形式， 它在很
问：（ 1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号
。
（ 2）错误的原因是
。
（ 3）本题正确的结论是
。
*10. 如图，点 D是△ ABC内一点，把△ ABD绕点 B 顺时针方向旋转 60°得到△ CBE，若 AD=4，
BD=3， CD=5。
（ 1）判断△ DEC的形状，并说明理由； （ 2）求∠ ADB的度数。 **11. 如图，四边形 ABCD中， AD=DC，∠ ABC=30°，∠ ADC=6°0 。试探索以 为边，能否 组成直角三角形，并说明理由。
图 2： 拼成的等腰三角形的周长为 10+10+12=32；
图 3：根据图示知， 64+x2=（ x+6）2，解得， x= 7 ， 3
∴拼成的等腰三角形的周长为
青岛版八年级下册教案17.1《勾股定理》
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和的数学定理。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于解决实际问题和科学研究中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用勾股定理计算直角三角形的未知边长，以及它如何帮助我们解决实际问题。
青岛版八年级下册教案17.1《勾股定理》
一、教学内容
青岛版八年级下册教案17.1《勾股定理》：
1.理解勾股定理的概念及表达形式；
2.掌握勾股定理在直角三角形中的应用；
3.学会利用勾股定理解决实际问题；
4.了解勾股定理的证明方法及历史背景；
5.掌握勾股数及其性质。
教学内容包括：
1.勾股定理的定义与表达：a² + b² = c²；
-勾股定理的证明方法：重点讲解面积法、相似三角形法等证明过程，使学生理解定理的严谨性。
-勾股数的识别与应用：强调勾股数的特点和判定方法，并通过例题使学生掌握如何在实际问题中寻找和应用勾股数。
举例：
(1)当给定一个直角三角形，学生需要能够准确识别三边关系，并运用勾股定理计算未知边长。
(2)通过具体图形和实际例子，引导学生理解勾股定理证明过程中所涉及的几何关系和数学原理。
2.直角三角形中，斜边与两个直角边的关系；
3.勾股定理在实际问题中的应用案例分析；
4.勾股定理的证明：面积法、相似三角形法等；
5.勾股数的概念、性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理的探究，使学生能够运用数学语言进行演绎推理，理解数学结论的严谨性；
2.提升学生的几何直观，让学生通过观察、操作、分析直角三角形，培养空间想象力和几何图形的认知能力；
青岛版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理一．知识归纳1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形的面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而运用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 做比较，若它们相等，则以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，则以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，则以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②在定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形放入三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，额以a ，b ，c 为三边长的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即在222a b c +=中，当a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．运用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提，了解在直角三角形中，斜边和直角边分别是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，运用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接运用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：运用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边长分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分的面积答案：6题型三：勾股定理的实际应用例5.如图，有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图，8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 在Rt ADE ∆中，由勾股定理，得10AD 答案：10m题型四：运用勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，判断ABC ∆是否为直角三角形 ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7. 三边长a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合运用例8. 在ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
初二数学八下勾股定理所有知识点总结和常考题型练习题
初二数学八下勾股定理所有知识点总结和常考题型练习题TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】勾股定理知识点1. 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∠=︒，则c，∆中，90Cb，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，运用时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
（如若三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是a c b直角三角形，但是b为斜边）3. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：（,n 为正整数）4. 互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理练习一、选择题1.三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A. 6B.４C. 64D. 82.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ ） Ａ． １３ Ｂ． 119 Ｃ．１３或119 Ｄ． 不能确定3.三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：75． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+16．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形A106北南 A 第8题第10题C ：钝角三角形D ：直角三角形7. 直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d + （D ）d8. 如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里9. 如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）A .8cm C .5.5cm D .1cm10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元 D 、300a 元二、填空题1. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
青岛版初中数学八年级下册《勾股定理》试题精练
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青岛版初中数学
③图中（1）（2）面积之和为 _________ ． ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此 你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 18．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关 系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确 性．
A．
B．
C．
D．
2．若三角形 ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c 分别是∠A，∠B，
∠C 的对边，则下列等式中，成立的是（ ）
A．a2+b2=c2
B． a2=2c2
C． c2=2a2
D． c2=2b2
3．（梧州）如图，∠AOC=∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB
正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x，y 表示直角
三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，
③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②
B． ①②③
C． ①②④
D． ①②③④
13．（山东）2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学
D． 13
5．（钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm、BC=8cm，现将
△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）
7青岛版初中数学八年级下册专题练习.2 勾股定理
“7.2 勾股定理一．选择题（共 5 小题）1．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 3 倍，那么斜边长扩大到原来的（）A ．3 倍B ．4 倍C ．6 倍D ．9 倍2．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，其中斜边上的高为（）（第 3 题图）A ．6cmB ．8.5cmC ． cmD ． cm4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数﹣1 的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点 A ，则点 A 表示的数是（）（第 4 题图）A ．B ．1C ．﹣1﹣D ．5．如图 △Rt ABC ，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为 希波克拉底月牙”；当 AC=3，BC=4 时，计算阴影部分的面积为（）资料来源于网络 仅供免费交流使用（第5题图）A．6B．6πC．10πD．12二．填空题（共5小题）6．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为．（第6题图）7．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则BC=．8．已知关于x，y的二元一次组则m=．（第7题图）的解是斜边长为5的直角三角形两直角边长，9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2018=，OPn=（n为自然数，且n＞0）（第9题图）资料来源于网络仅供免费交流使用“10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1），．如图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=．（第10题图）三．解答题（共5小题）11．如图，在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为求出此三角形的面积．、、的三角形，并（第11题图）12．在数轴上分别作出和．资料来源于网络仅供免费交流使用△13．如图，在ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD=2．求△ABC的周长和面积．（第13题图）14．已知△Rt ABC中，∠C=90°，AC=2﹣，BC=+2，（1）求AB的长；（2）求△Rt ABC的面积．15．在△Rt ABC中，斜边AB=205，=，试求AC，BC的值．资料来源于网络仅供免费交流使用参考答案一．1．A2．C3．C4．C5．A二．6．（﹣1，0）7．8．19．；10．12三．△11．解：如答图，ABC即为所求．（第11题答图）=3．12．解：如答图1，在数轴上取OA=3，过A作AB⊥OA，且AB=1，连接OB，（第12题答图）则OB===，以O为圆心，OB长为半径画圆交数轴于点C，则C点对应的实数即为；如答图2，在图1的基础上，再过C作CD⊥AC，且CD=1，连接OD，则OD===，以O为圆心，OD长为半径画圆交数轴于点E，则E点对应的实数即为．13．解：∵AD⊥BC，∠C=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD=CD．AD=2，资料来源于网络仅供免费交流使用∴AC=2，﹣∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，∴BD=精品文档用心整理，∴BC=BD+CD=2∴周长为6++2+2，∴S△ABC=BCAD=（2+2）×2=2+214．解：（1）在△Rt ABC中，∠C=90°，AC=2由勾股定理，得AB==6；﹣，BC=+2，（2）△Rt ABC的面积为×（2﹣）（+2）=3．15．解：设AC=9x，则BC=40x，在△Rt ABC中，有（9x）2+（40x）2=2052，解得x=±5（负值舍去），AC=9x=9×5=45，BC=40x=40×5=200．资料来源于网络仅供免费交流使用。
八年级下《勾股定理》单元复习试题
《勾股定理》单元复习试题（一）2．分别以以下五组数为一个三角形的边长：① 6， 8，10；② 13， 5，12 ③1， 2，3；④ 9，40， 41；⑤31， 41， 51．此中能组成直角三角形的有（）组A ． 22 22B ． 3C ． 4D ．55．在直角坐标系中，点P （ 2， 3）到原点的距离是（ ）A ． 5B ． 13C ． 11D ． 26． 在△ ABC 中，∠ A=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边长分别为 a 、b 、c ，则以下结论错误的 是（）222222C ． a2b2c2D ． a2c2b2A ． a +b =cB ． b +c =a7．如图 1， 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》 （也称《赵爽弦图》 ），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，以下图，假如大正方形的面积是 13，小正方形式面积是 1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么 (a b)2 的值为（ ）A ． 13B ．19C ．25D． 169EADCBCBA图 1图 2图 38．如图 2，分别以直角△ ABC 的三边 AB ， BC ，CA 为直径向外作半圆．设直线 AB 左侧暗影部分的面积为S 1，右侧暗影部分的面积和为S 2，则（ ）A ． S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ． S 1＞ S 2D ．没法确立 9．如图 3 所示， AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE ＝ 1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 2二、填空题：A11．向来角三角形的两边长分别为5 和 12，则第三边的长是 。
S 318．（ 8 分）三个半圆的面积分别为 S =4.5，S =8 ，S =12.5 ，S 2123BCS 1把三个半圆拼成以下图的图形，则△ABC必定是直角三角形吗？说明原由。
青岛版数学八年级下册_《勾股定理》典型例题
《勾股定理》典型例题例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？解：（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，AC 2+BC 2=42+32=25∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？解：①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.。
青岛版八年级下册数学《勾股定理的逆定理》研讨说课复习课件
作业
课本P60 习题7.4 必做题：第1、2、4题。 选做题：第6题。
勾股定理的逆定理
XX
（1）探索并证明勾股定理的逆定理。 （2）能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度
的三角形是不是直角三角形. （3）能灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 （4）体会数形结合的思想.
还记得勾股定理吗？
A. a2=b2 - c2
B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B
D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
3、小华要求△ABC的最长边上的高，测得AB=8cm，
AC=6cm，BC=10cm。则可知最长边上的高 4.8cm
4、若一个直角三角形的三边长的平方分别为: 32, 42, x2
则x2的值是___2_5_或___7_____
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形。 A
符号语言：
在△ABC中 ∵ a2+b2=c2
b
c
∴ΔABC为直角三角形
C
a
B
作用：已知三角形的三边长，判断
这个三角形是否为直角三角形。
， 自主学习
例1：注意归纳例题的解题步骤和解题技巧！
已知三角形三条边的长度分别是：（1）1， , （2）2，3，4；
自主检测
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝900，
AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4,求四边形
ABCD的面积?
D
解:连接BD
∵∠A=900 AB=3 ,AD=4 ∴ BD2=AB2+AD2=32+42=25 在△BCD 中 ∵ CD2+BD2
=122+52=169=132 =BC2 ∴ △BCD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
八年级下册数学勾股定理1
勾股定理考点1.勾股定理的证明.例1.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边长为c的大小一样的直角三角形，已知它们的直角边长分别为a，b；中间正好围成一个边长为a-b的小正方形，请利用这个图形验证勾股定理.练习：（加菲尔德总统拼图）如图，直角梯形中，上底为a，下底为b，高为a+b,梯形中有3个直角三角形，其中两个小的直三角形大小一样，请利用这个图证明勾股定理.知识点2.勾股定理考点1.求能确定斜边的直角三角形的第三边.例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.(1)已知a=b=6，.求c；(2)已知c=3，b=2,.求a；(3)已知a:b=2:1,c=5,求b. 练习：在△ABC中，∠C=90°，内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.（1）若a=6,b=8,则c=_______;（2）若b=5，c=13,则a=_____;（3）若c=34,a:b=8:15,则a=___,b=____.考点2.求不能确定斜边的直角三角形的第三边.（易错点）例3.已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边的长.练习：已知一直角三角形的两边长分别为8,15，则第三边长为__________________.考点3.勾股定理的简单运用.（1）计算直角三角形中线段的长.例4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，DA⊥AB于点A，若BC=6cm，求AB的长.练习：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离.（2）构造直角三角形求线段的长例5.如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=14，AC=10.求BC的长.练习：如图，已知△ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高.。
青岛版数学八年级下册7.2《勾股定理》同步练习1
7.2 勾股定理一、选择题1．如图，在ABC ∆中，︒=∠︒=∠15,90B C ，DE 垂直平分AB ，E 为垂足，交BC 边于D ，16=BD 厘米，那么AC 长为〔 〕．A ．38厘米B ．16厘米C ．8厘米D ．312厘米2．一个等腰直角三角形的周长为2P ，其面积为〔 〕．A ．P )22(+B ．P )22(-C ．2)223(P -D ．2)221(P -3．等腰三角形底边上的高是8，周长是32，那么三角形的面积是〔 〕．A ．56B ．48C ．40D ．324．在Rt ABC ∆的斜边AB 上另作Rt ABD ∆，并且以AB 为斜边，假设2,,1===AD b AC BC ，那么BD 等于〔 〕．A ．12+bB ．32-bC ．12+bD ．52+b5．一个等腰直角三角形，它的腰长为a ，那么斜边上的高等于〔 〕．A ．aB ．2aC ．a 2D ．a 22 6．直角三角形一锐角是30°，斜边长是1，那么此直角三角形的周长是〔 〕．A ．25B ．3C ．223+ D ．233+ 7．如图，ABC ∆中，BC AD ⊥于1,2,3,===DC BD AB D ，那么AC 为〔 〕．A ．6B ．6C ．5D ．48．在Rt ABC ∆中，4,3,90==︒=∠BC AC C ，那么AB 边上的高CD 的长为〔 〕．A ．3B ．525 C ．25 D ．512 二、填空题 1．如图，正方形A 的边长是3，即A 的面积是________；正方形B 的边长是3，即B 的面积是________；正方形C 的边长是______，即C 的面积是________．2．看图，一个小方格的面积是1，正方形1S 中含有________个小方格，即1S 的面积是_______．正方形2S 中含有______个小方格，即2S 的面积是________．正方形3S 中含有______个小方格，即3S 的面积是________．3．在ABC ∆中，︒=∠90C ，三内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，假设12,5==b a ，那么______=c ；假设9,7==c b ，那么._____=a4．三角形三个内角的比为1：2：3，它的最大边长为a ，那么它的最小边是_______．5．在ABC ∆中，︒=∠90C ，三内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，假设4:3:,10==b a c ，那么._____________,==b a6．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，当 .______::,45______;::,30=︒=∠=︒=∠c b a A c b a A7．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，三内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，当 ︒=∠=30,A m a ，那么____________,==c b ；当︒=∠=30,A m b ，那么 .______________,==c a8．直角三角形两直角边的长为8和6，那么斜边长为_________，斜边上的高为________．9．在Rt ABC ∆中，斜边2=AB ，那么._______222=++CA BC AB10．等腰直角三角形的斜边长为2，它的面积为_____________．11．等腰三角形的腰长为a ，顶角是底角的4倍，那么腰上的高为___________．12．假设一直角三角形三边的长是三个连续的整数，那么这三边的长为__________．13．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，假设)0(,,2222>>+=-=t s t s c t s a ，那么._____=b14．等边三角形的面积为38，它的高为62，那么边长为___________．15．在ABC ∆中，a AC AB A ==︒=∠,120，那么.______=BC 16．等边三角形的边长为2，它的面积是________．17．等腰三角形腰和底的比是3：2，假设底边长为6，那么底边上的高是__________，腰上的高是__________．18．等腰三角形的两边长为4和2，那么底边上的高是___________，面积是________．三、解答题1．求图中字母所表示的正方形的面积．2．求图中直角三角形未知边的长度．3．求斜边长13cm，一条直角边长12cm的直角三角形的面积．4．如图，4∆AC∠ABC，求正方形ABDE的面积．=CBC,3︒90,,==5．如图，隔湖有两点A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CB m，求AB．=50=CA m，406．如图，一个工件尺寸〔单位mm〕，计算l的长．7．如图〔单位mm〕，：车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是68mm，两孔中心的水平距离BC是32mm．计算两孔中心的垂直距离AC的长．8．如图，要修一育苗棚，棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ．长d ＝10m ．求覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少m 2？9．一艘轮船以36海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以15海里／小时的速度向西南方向航行．它们离开港口后一个小时后相距多远？10．如图，在ABC ∆中，6,,120,=⊥︒=∠=CD AC AD BAC AC AB ，求AC BD ,的长．11．如图，在垂直于地面的墙上2米的A 点斜放一个长米的梯子，由于不小心，梯子在墙上下滑米，求梯子在地面上滑出的距离B B '的长度．〔准确到〕12．如图，：在ABC ∆中，5,90=︒=∠BC ACB 厘米，12=AC 厘米，D AB CD ,⊥为垂足，求CD 长．参考答案一、1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 提示：30°角的边长为21，30°角邻边长为23，∴周长为.233+ 7．B 提示：在Rt ABD ∆中，52322222=-=-=BD AB AD ，在Rt ACD ∆中，.61522=+=+=DC AD AC8．D ．二、1．略2．64、64、36、36、100、1003．13；244．2a 提示：由三内角之比为1：2：3得三个角的度数为30°，60°，90°，最小边是30°角对的边；又因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．5．6；86．2:1:1,2:3:1 提示：因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；有一角为45°的直角三角形是等腰直角三角形．7．m m m m 332,33;2,3 提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．8．10，9．8 提示：82222222==+=++AB AB AB CA BC AB ．10．1 提示：斜边上的高为1．11．2a 提示：顶角为120°，底角为30°，30°所对直角边等于斜边的一半． 12．3，4，5 提示：设三边长为1,,1+-n n n ，那么222)1()1(+=+-n n n ，即042=-n n ．0≠n ，∴.4=n13．st 2 提示：22222222224)()(t s t s t s a c b =--+=-=，∴.2st b =14．24 提示：由面积38，高为62，可求出底边〔边〕长为24，利用面积公式：a a ,622138⨯⨯=为边长． 15．a 3 提示：过A 作BC AD ⊥，先求a AD 21=，得.33a BD = 16．3 提示：先求得等边三角形的高为.33221,3=⨯⨯=S 17．24,26 提示：腰为9，底上高为263922=-，腰上的高为h ⨯⨯=⨯⨯92162621〔面积等〕，求得腰上的高.24=h 18．15,15 提示：2不能为腰〔422=+ 〕，故腰长为4，底边上的高为151422=-，面积为15．三、1．100 162．8 53．30cm 24．255．30m6．8mm7．60mm8．50m 29．39海里10．3，33 提示：在ABC ∆中，︒=∠=120,BAC AC AB ，所以︒=∠=∠30C B ；在Rt ADC ∆中，︒=∠︒=∠30,90C DAC ，所以DC AD 21=，又因为6=DC ，所以3=AD ；在ADB ∆中，︒=︒-︒=∠︒=∠3090120,30BAD B ，所以3==AD BD ；在Rt ADC ∆中，6,3==DC AD ，由勾股定理可知.333622=-=AC11．米 提示：由题意可知，2=AC 米，5.2=AB 米，所以由勾股定理可知2322=-=AC AB BC 米．8.0='A A 米，那么2.18.02=-='C A 米，5.2=''B A 米，所以再由勾股定理可知2.22.15.22222≈-=''-''='C A B A C B 米，7.05.12.2=-=-'='BC C B B B 米．12．1360厘米 提示：CD 为斜边AB 上的高，要用勾股定理求出CD ，就得知道AD 长或BD 长，这里BD AD ,都是未知的，由在BC AC ,可求出斜边A B 长，还可求出ABC ∆的面积，利用CD AB S ABC ⋅=∆21，求出CD 长， C AB BC AC S ABC ⋅=⋅=∆2121． 解：在Rt ACB ∆中，12=AC 厘米，5=BC 厘米，∴1351222=+=AB 厘米，∴CD S ABC ⨯⨯=⨯⨯=∆132151221，1360=CD 厘米．。
八年级下册勾股定理知识点归纳
精选文档八年级下册勾股定理知识点和典型例习题DC一、基础知识点：H１．勾股定理 E GFab 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；A c B表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 b 2 c2b a２ .勾股定理的证明ac 勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法cb用拼图的方法考证勾股定理的思路是b cc①图形经过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变 a②依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理a b常有方法以下： A aD方法一： 4 S S正方形EFGHS正方形ABCD，，化简可证．c b方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 c Ea 的面积与小正方形面积的和为S 1 abc 2 2ab c 2 大正方形面积为 B b C42S ( a b)2 a2 2ab b 2 因此 a 2 b 2 c2方法三：S梯形 1 (a b) (a b) ，S梯形2SADE S ABE 2 1 a b 1 c2 ，化简得证2 2 2３.勾股定理的合用范围勾股定理揭露了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，它只合用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特点，因此在应用勾股定理时，一定了然所观察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用①已知直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则 ca2 b2，b c2 a 2， a c2 b 2②知道直角三角形一边，可得此外两边之间的数目关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５ .勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a ， b ， c 知足 a 2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，此中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转变为形”来确立三角形的可能形状，在运用这必定理时，可用两小边的平方和 a 2 b2与较长边的平方 c2作比较，若它们相等时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；不然，就不是直角三角形。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：巧用勾股定理解决几何问题试题
巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1、构造直角三角形根据题意,合理构造直角三角形,比如等腰三角形中的求值或面积问题,经常作高构造直角三角形.如:在ABC中,AB=AC=5,BC=8,求三角形ABC的面积.答案:12.2、利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示,列出方程,解出所求值.（1）在翻折问题中,大多数求值都是这种应用如:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为多少？答案:3.（2）求折断物体长度时,使用方程如:一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是多少？尺.答案:91203、分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论.如:已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm,求第三边的长.答案:5cm4、数形结合思想几何与代数问题的综合.如:在一棵树的5米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树10米的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高？答案:7、5米.二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1、含有30°角的直角三角形（1）30°角所对的直角边是斜边的一半；（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的3倍.2、等边三角形3倍.高等于边长的2总结:（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容,要在直角三角形中灵活运用.（2）要有意识的训练自己辅助线的添加,经常性的思考不同问题的不同添加法.例题 A 1A 2B 是直角三角形,且A 1A 2=A 2B=a,A 2A 3⊥A 1B,垂足为A 3,A 3A 4⊥A 2B,垂足为A 4,A 4A 5⊥A 3B,垂足为A 5,…,A n+1A n+2⊥A n B,垂足为A n+2,则线段A n+1A n+2（n 为自然数）的长为（ ）A 、na 2B 、1)2(+n a C 、 2a D 、n a 2解析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A 2A 3及A 3A 4的长,找出规律即可解答．答案:∵△A 1A 2B 是直角三角形,且A 1A 2=A 2B=a,A 2A 3⊥A 1B,∴A 1B=22a a +=a 2,∵△A 1A 2B 是等腰直角三角形,∴A 2A 3=A 1A 3=21A 1B=22a=12a , 同理,△A 2A 3B 是等腰直角三角形,A 2A 3=A 3B=22a,A 3A 4⊥A 2B,A 2B=a,A 3A 4=A 2A 4=21A 1B=2a ,∴线段A n+1A n+2（n 为自然数）的长为na2．故选A.点拨:规律性题目,涉及到等腰三角形及直角三角形的性质,解答此题的关键是求出A 2A 3及A 3A 4的长,并找出规律．分类讨论求值近年来,在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见,因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法,而且考查了同学们思维的深刻性.在解决此类问题时,因考虑不周全导致失分的较多,究其原因主要是平时的学习中,尤其是在中考复习时,对“分类讨论”的数学思想渗透不够.所以同学们要充分考虑不同情况下的求值.例题 在△ABC 中,AB=13,AC=15,BC 边上的高AD=12,则边BC 的长是（ ）A 、 14B 、 4C 、 14或4D 、 56 解析:分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得BD 、CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中,BC=BD+CD,在钝角三角形中,BC=CD-BD ． 答案:解:（1）如图,锐角△ABC 中,AB=13,AC=15,BC 边上高AD=12, 在Rt △ABD 中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD 2=AB 2-AD 2=132-122=25,则BD=5,在Rt △ACD 中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD 2=AC 2-AD 2=152-122=81,则CD=9,故BC 的长为BD+DC=9+5=14； （2）钝角△ABC 中,AB=13,AC=15,BC 边上高AD=12,在Rt △ABD 中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD 2=AB 2-AD 2=132-122=25,则BD=5,在Rt △ACD 中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD 2=AC 2-AD 2=152-122=81,则CD=9,故BC 的长为DC-BD=9-5=4．综上可得BC 的长为14或4．故选C ．（1） （2）生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理.例题 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造,测得两直角边长分别为a=6米,b=8米．现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形,则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（ ）米A 、 32或20+45B 、 32或36或380 C 、 32或380或20+45 D 、 32或36或380或20+45解析:由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是△ABD,则应分为①AB=AD,②AD=BD 两种情况进行讨论．答案:解:如图所示:在Rt △ABC 中,∵AC=8m,BC=6m,∴AB=10m,如图1,当AB=AD 时,DC=BC=6m,此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m ）；如图2:当AD=BD 时,设AD=BD=x （m ）；Rt △ACD 中,BD=x （m ）,CD=（x-6）m ；由勾股定理,得AD 2=DC 2+CA 2,即（x-6）2+82=x 2,解得x=325； 此时等腰三角形绿地的周长=325×2+10=380（m ）． 当AB=BD 时,在Rt △ACD 中,AD=22CD AC +=22)610(8-+=45, ∴等腰三角形绿地的周长=2×10+45=20+45（m ）． 故选C ．（答题时间:45分钟）一、选择题1、 观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26；…,根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）A 、 14、48、49B 、 16、12、20C 、 16、63、65D 、 16、30、342、 如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离（ ）A 、 等于1米B 、 大于1米C 、 小于1米D 、 不能确定*3、已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是（）A、n2cmB、12+n cm2-n cm C、 2n cm D、1*4、如图所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足（）A、 5＜S≤6B、 6＜S≤7C、 7＜S≤8D、 8＜S≤9**5、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D、E在BC 上,且∠DAE=45°,现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处,连接DE′和EE′,则下列结论中①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正确的有（）A、 1个B、 2个C、 3个D、 4个二、填空题:*6、如图,一牧童在A处放羊,牧童的家在B处,A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m,且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走m．*7、如图,为安全起见,幼儿园打算加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m,点D、B、C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是 m．**8、勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法,所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点,再连接四点构成一个正方形,它可以验证勾股定理．在如图的弦图中,已知:正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积=16,AE=1；则正方形EFGH的面积=**9、图（1）是一个面积为1的正方形,经过第一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3）,经过第3次“生长”后变成图（4）,如果继续“生长”下去,它将变得更加“枝繁叶茂”,这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律,请你利用这一规律求:①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为________,②经过第10次“生长”后,图中所有正方形的面积和为:三、解答题:*10、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是多少？**11、已知:如图,点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点,D为BC 边上任意一点．操作:在图中作OE⊥OD交AC于E,连接DE．探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明．**12、如图,平面直角坐标系xoy中,A（1,0）、B（0,1）,∠ABO 的平分线交x轴于一点D．（1）求D点的坐标；（2）如图所示,A、B两点在x轴、y轴上的位置不变,在线段AB 上有两动点M、N,满足∠MON=45°,下列结论①BM+AN=MN,②BM2+AN2=MN2,其中有且只有一个结论成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论．（1）（2）1、 C 解析:根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2（n+1）,第二个是:n（n+2）,第三个数是:（n+1）2+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65．故选C．2、 B 解析:如图,AC=EF=10米,AB=8米,AE=1米,求CF；∵∠B=90°,由勾股定理得,BC=6米,又∵AE=1米,BE=7米,EF=10米,由勾股定理得,BF=51米,∵51＞49,即51＞7,∴51-6＞1．故选B．3、 B 解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的2倍,第二个△（也就是△ACD）的斜边长:1×2=2；第三个△,直角边是第一个△的斜边长,所以它的斜边长:2×2=（2）2；…；第n个△,直角边是第（n-1）个△的斜边长,其斜边长为:（2）n−1．故选B．4、B解析:正方体展开图形为:则蚂蚁爬行最短程S=5+2211 =5+2．即6＜S≤7．故选B．5、 D 解析:（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∵∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠BAE=∠DAE+∠BAD,∵∠DAE=45°,∴∠ADE=∠BAE；∴②正确.（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处,∴AE=AE′,∠EAC=∠E′AB,∵∠BAC=90°,∴∠E′AB +∠BAE=90°,∴∠EAB′+∠BAE=90°,∴△AEE′是等腰直角三角形；∴③正确.（3）∵∠DAE=45°,∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=45°,∵∠EAC=∠E′AB,∴∠DAE′=∠EAD=45°,∵△AEE′是等腰直角三角形,∴AD⊥EE′,∴④正确.（4）∵∠C=∠E′BA=∠DBA=45°,∴∠E′BD=90°,∵EC=E′B,∴BD2+CE2=DE2,∴⑤正确,综上所述∴②③④⑤项正确．故选D．6、 1300 解析: 解:作A关于CD的对称点E,连接BE,并作BF⊥AC于点F．则EF=BD+AC=700+500=1200m,BF=CD=500m．在Rt△BEF中,根据勾股定理得米．7、解析:设AC=xm,∵∠ABC=∠BAC=45°,∴BC=xm,∵滑梯AB的长为3m,∴2x2=9,解得x=,∵∠D=30°,∴AD=2AC,∴AD=故答案为:8、 10 解析: ∵四边形EFGH是正方形,∴EH=FE,∠FE H=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF+∠DEH=90°,∴∠AFE=∠DEH,∵在△AEF和△DHE中,A DAFE DEHEF HE∠∠⎧⎫⎪⎪∠∠⎨⎬⎪⎪⎩⎭＝＝＝∴△AEF≌△DHE（AAS）,∴AF=DE,∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=BC=CD=DA=4,∴AF=DE=AD-AE=4-1=3,在Rt△AEF中,EF=22AFAE+=10,故正方形EFGH的面积=10×10=10．故答案为:10．9、 2；11 解析:如图2:设直角三角形的三条边分别是a、b、c．根据勾股定理,得a2+b2=c2,即:正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；图（3）正方形E的面积+正方形F 的面积=正方形A的面积,正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B 的面积,正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N 的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1…推而广之,“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1,则:“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）×1=11．故答案为:2；11.10、解:∵图中正方形ABCD、正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,∴CG=NG,CF=DG=NF,∴S1=（CG+DG）²=CG²+DG²+2CG•DG=GF²+2CG•DG,S2=GF²,S3=（NG-NF）²=NG²+NF²-2NG•NF=GF2-2NG·NF,∵S1+S2+S3=10=GF²+2CG•DG+GF²+ GF²-2NG•NF=3GF²,∴S2的值是:310 11、解:如图,关系为2OD2=BD2+CD2．作OE⊥OD交AC于E,连接OC、DE,得到△OBD≌△OCE从而Rt△DCE与Rt△EOD 中,CE2+DC2=DE2,OD2+OE2=DE2由BD=CE,OD=OE,所以2OD2=BD2+CD2,（也可过O作BC垂线）．12、解:（1）过点D作DE⊥AB于E,设D点坐标为（m,0）,根据题意得:OB=1,OA=1,OD=m；在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2,所以AB=2,∠A=45°；在△DOB和△DEB中,DOB DEBOBD EBDBD BD⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪∠=∠∠=∠=⎪⎩⎭∴△DOB≌△EDB（AAS）,∴OD=ED=m,OB=EB=1；在△AED中,∠A=45°,∠AED=90°,∴DE=AE=m,∴1+m=2,∴m=2-1,∴D点坐标为（2-1,0）．（2）结论②正确；过点O作OE⊥OM,并使OE=OM,连接NE,AE在△MOB和△EOA中,OB OAMOB AOEOM OE=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△MOB≌△EOA（SAS）,∴BM=AE,∠B=∠OAE,在△MON和△EON中,OM OEMON NOE45ON ON=∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩∴△MON≌△EON（SAS）；∴MN=EN,又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°,∴△NAE为直角三角形,∴NA2+AE2=NE2∴BM2+AN2=MN2,即结论②正确．。
青岛版数学八年级(下学期)导学练案配套课件NO3：勾股定理及逆定理(1)
x米
(x +1)米
C 5米
B
[针对测试3]：方程思想
直角三角形中，当无法已知两边 求第三边时，应采用间接求法：灵活 地寻找题中的等量关系，利用勾股定 理列方程。
自主测评
拓展提升
3 1.如图，正方形A BCD中，对角线AC和B D相交于点O， E、F分别是边AB、B C上的点，若A E＝ 4 cm，CF＝3 cm，且OE⊥OF，求E F的长
∵Rt△ABC中， （1）已知直角三角形
∠C=900
两边，求第三边
∴c2 = a2+b2
直接运用公式
CbA 自然语言：直角
a2 =c2-b2 b2 =c2-a2
（2）已知直角三角形 一边及另两边的关 系，求边长
三角形两直角边 的平方和等于斜 边的平方。
c a2 b2 a c2 b2
设未知数，运用 a2+b2=c2列方程。
29.如图，梯子的底端与建筑物的底部位于同一地平面上，将梯子的上端靠在建筑物上， （1）如果梯子的底端离建筑物底部 9 米，那么 15 米长的梯子的上端达到的高度是多少？ （2）如果梯子的上端沿墙下滑 2m，那么梯子的底端也向外移动 2 米吗？为什么？
A
B C
5 5
(5 5 9)米
30.如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢 ，问小鸟至少飞行多远？
10Leabharlann 178178
10
B D
C
B
C
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认 真读句画图。
[针对测试3]：方程思想
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让学生通过对已学知 识进行系统性回顾，引 导他们总结知识，明确 易错易混点
解：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意 得： （3x）2+（4x）2=202 化简得 x2=16； 1 ∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96 2 点拨：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然 后用勾股定理列方程（组）求解。 例 2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。 解：如图，等边△ABC，作 AD⊥BC 于 D 1 则：BD= BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互 2 相重合） ∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1 在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－ 1=3 1 ∴AD= 3 S△ABC= BC·AD= 3 2 点拨：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则 其面积为
7. 校园内有两棵树，相距 12m，一棵树高 13m，另一棵树高 8m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至 少要飞______m
． 8.四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形 ABCD 的面积。
D 2 C 1 A B
9.如图，在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，•其中一只爬
④ a 7, b 24, c 25;
C. 4 个;
D. 5 个.
2 2 3. 三 角 形 的 三 边 长 为 (a b) c 2ab , 则 这 个 三 角 形 是
(
) A. 等边三角形; C. 直角三角形;
B. 钝角三角形; D. 锐角三角形.
4. △ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长 为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
由（1）得：x+y=7， （x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 (3) (3)－(2)，得：xy=12 1 1 ∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6（cm2） 2 2 三、前测训练
1. 如图，下列三角形中是直角三角形的是( ) 前测题目，大约用时
3 5 (A)
6
5 7 8 (B)
Байду номын сангаас
6 7 (C)
教学过程 学习任务 活动设计
学情 分析 复习 目标
复习重难点 教学准备 教学课时
一、 知识梳理 1.勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a2+b2=c2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长： a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判 定定理。 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直 角三角形有关。 3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角 形。 （1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是 C） （2） 验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2=a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。 （若 c2>a2+b2 则△ABC 是以∠C 为钝 角的三角形，若 c2<a2+b2 则△ABC 是以∠C 为锐角三角形） 二、 典例分析 例 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求 此直角三角形的面积。
课
题
第七章
实数（一）
课型
复习课
教材 分析
1.本课时的复习内容， 主要为勾股定理以及勾股定理的逆定理 两部分，单独将其拿出来复习，可以使学生复习知识时更加系统。 2.利用勾股定理解决与直角三角形有关的问题时，也可以将勾 股定理表达的三边之间的数量关系，转化成方程问题来解决。 3. 反证法的思想在运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的 判断得到体现， 培养数学推理能力 学生在学习新课时已经初步掌握了勾股定理以及逆定理的基础 知识，但是对于复杂问题还是缺乏分析能力 1.会利用勾股定理进行相关计算 2.会在数轴上表示无理数 3. 会利用勾股定理的逆定理去判断三角形的形状及进行简单 的计算 1．能熟练勾股定理及其逆定理。 （重点） 2.能熟练运用勾股定理及其逆定理解题。 （难点） PPT ，习题册 一课时
下树走向离树 20 米的池塘 C，而另一只爬到树顶 D 后直扑池 塘 C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
针对学生前测中有共 性的错题，教师集中释
四、前测纠错释疑 疑解惑，讲清解题思路 （1）出示前测题目答案，互阅，统计得分 （2）难题统一标记不讨论，等待教师讲解，其余题目组内互 帮，找出错误点，讲清思路 （3）教师针对共性错题集中释疑讲解 五、后测训练 1．已知直角三角形中 30°角所对的直角边是 2 3 cm，则另一 条直角边的长是（ ） 4 3 A. 4cm B. cm C. 6cm D. 6 3 cm 2.在下列条件中，不是直角三角形的是( ) A.三角形三边分别是 9，40，41 B.三角形三内角之比为 1：2：3 C.三角形三内角中有两个互余 D.三角形三边之比为 2：3：4 BC 5 BC 3. 在 ABC 中， C 90 0 ，若 = ,则 =( ) AC 12 AB 5 12 5 13 A. B. C. D. 13 13 12 5 4.若△ABC 的三边 a、b、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5．如图小方格都是边长为 1 的正方形,图中四边形的面积为 （ ） A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
5．一个直角三角形，有两边长分别为 6 和 8，下列说法正确 的是（ ） B. 三角形的周长为 25 D. 第三边可能为 10
A. 第三边一定为 10 C. 三角形的面积为 48
6．直角三角形的斜边为 20cm，两条直角边之比为 3∶4，那 么这个直角三角形的周长为（ A . 27cm B. 30cm C. ） 40cm D. 48cm
5
5 13 (D)
12
10-15 分钟，完成题目 并进行批改，让学生通 过具体题目筛选自己 的知识盲点
2.适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )
1 1 1 a ,b ,c ; 3 4 5 ①
② a 6, ∠A=45 ;
0
③∠A=320, ∠B=580; ⑤ a 2, b 2, c 4. A. 2 个; B. 3 个;
3 a 4
通过三个例题，简单回 顾勾股定理和勾股定 理逆定理的知识在实 际问题中的应用
例 3、直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三 角形的面积。 解：设此直角三角形两直角边分别是 x，y，根据题意 得：
x y 5 12 2 2 2 x y 5
(1) (2)