四川省自贡市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题含解析

四川省自贡市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20
C ．20
D ．40
【答案】D 【解析】
令x=1得a=1.故原式=
511()(2)x x x x +-．511
()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,
对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，
选3个提出
1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x
，选3个提出x. 故常数项=22332233
5353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40
2．已知函数()x
e f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221
f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．(,)e -∞
C ．,
2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D 【解析】 【分析】 由
()()122
1
f x f x x x <
变形可得()()1122x f
x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由
()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.
【详解】
(0,),x ∈+∞Q
()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.
则()20x
g x e ax '=-≥恒成立.
2x
e a x
∴≤.
令()x e m x x =,则2(1)()x
x e m x x
-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.
min 2()(1),2
e
a m x m e a ∴≤==∴≤
故选:D. 【点睛】
本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.
3．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
4．如图所示，已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原
点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.
A 3
B ．
7 C 3D 7
【答案】C 【解析】
【分析】
易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2
FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r
，平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，
故||2AF a =，||4BF a =，1()2
FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r
，
所以222
1(41624)4
c a a a a =+-⨯，即223c a =，
故离心率为3e =. 故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题. 5．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183 B ．163
C ．143
D ．123
【答案】B 【解析】 【分析】
设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】
将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，
设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3
4863
R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球
3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面
积为2
341634
a ⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题． 6．如图，在中，点M 是边的中点，将
沿着AM 翻折成
，且点
不在平面
内，点是线段
上一点.若二面角
与二面角的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即
，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
7．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，
2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 【答案】D 【解析】
【分析】 【详解】
由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于
6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得1
44x <<.在1
(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x
g x ⊗=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.
若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3. 只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨
≥⎩，即2log 342292
a a <+⎧⎨≥+⎩，解得
2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32
(
,0]4
-.故选D. 8．已知函数()2
22
ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩
，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）
A
．
1e
B ．
1e
C ．
12e
D ．
21e
【答案】A 【解析】 【分析】
画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()1222
2
2ln f x f x x x x x =
=
，构造函数()ln x
g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】
由于22
123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于
()()122
2
2
2
ln f x f x x x x x =
=
， 令()ln x
g x x =
，()
21
x e ∈，， ()()2
1ln x
g x g x x
=⇒'-在()1e ，↗，()
2e e ，↘ 故()1
()max g x g e e
==.
故选：A 【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 9．已知数列满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 试题分析：因为
，所以
，即
，所以数列
是以
为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列
的通项公式是，故选D ．
考点：数列的通项公式．
10．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）
A ．7π
B ．6π
C ．5π
D ．4π
【答案】C 【解析】 【分析】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为
21
322152
πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11．已知函数2
1()(1)()2
x f x ax x e a R =
--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有
123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）
A ．[]1
2， B ．[]e,4
C ．
[]14， D ．[)[]
12,4e ⋃， 【答案】C 【解析】
分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()x
x
x
x
f x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.
当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]
01
，单调递减，
因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以
11
1,22
a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.
当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1
()(ln )ln ln ,2
f x f a a a a a a ==
-+ 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，
所以211
1ln ln ,22a a a a a a +
≥-+ 即2
11ln ln 1022
a a a a a -+-≤
令2
11()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，
所以2
1()(ln 1)0,2
g a a =-<'
所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1
()(1)02
g a g ==-
<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.
当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+11
2
a ≥
， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤
综上所述，a ∈[]
1
4，. 故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.
12．若函数3
2
()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】
因为()3
2
39f x x ax x =++-，所以()2
323f x x ax =++'，
又函数()3
2
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，
所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________.
1 【解析】 【分析】
运用等比数列的通项公式，即可解得1a ． 【详解】 解：Q 65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴53
1(1)4
(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩，
3155
44
1a a a a ∴⨯
-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=
，q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=
，11)1a ∴=，
11a ∴=
．
1． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．
14．在()()2
5
11ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为-64，则实数a 的值为__________.
【答案】3或-1 【解析】 【分析】
设()()2
5
2345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++，分别令1x =、1x =-，两式相减即可得()()2
51357221a a a a a +++=--，即可得解. 【详解】
设()()2
5
2345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++， 令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++=①， 令1x =-，则()2
50123456721a a a a a a a a a -+-+-+-=-②， 则①-②得()()2
51357221a a a a a +++=--， 则()2
521642a --=-⨯，解得3a =或1a =-. 故答案为：3或-1. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题. 15．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值． 【详解】 二项式
的展开式中的通项公式为
，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16．某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的表面积是______
，体积是_____
.。