推荐中考数学(河南专版)重点难点题型：·11解答题重难点题型(七)第22题类比、拓展探究题

解答题重难点题型（七）第22题类比、拓展探究题
1.（2017河南中原名校五模）已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB 上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=5．
（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？
（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）
解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，
∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，
∴∠BPE=∠CAD，
∴△PBE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BD+BE=BD+CD=BC=5，
故答案为5；
（2）如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，
∴△FPB是等边三角形，
∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，
∵△PDE是等边三角形，
∴PD=PE，∠DPE=60°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
∴BD+BE=BD+DF=BF=4；
（3）如图3，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，∵AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=55°，
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，
∴PF=PB=a，
∵∠BPF=∠DPE=70°，
∴∠DPF=∠EPB，
∵PD=PE，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
过点P作PG⊥BC于G，
∴BF=2BG，
在Rt△BPG中，∠PBD=55°，
∴BG=BP•cos∠PBD=a•cos55°，
∴BF=2BG=2a•cos55°，
∴BD﹣BE=BD﹣DF=B F=2a•cos55°．
2.（2017商丘市柘城县四模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA===5．
（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 垂直平分AC ，
∴FA=FC ，∠FAC=∠FCA ，
由已知AF=AM ，∠MAF=60°，
∴△AFM 为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M ，F ，C 三点在同一条直线上，
∴∠FAC +∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF +∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt △ACM 中，∠ACM=180°﹣90°﹣60°=30°．
∴AC=AM ．
（3）解：如图3，连接EM ，
∵△ABE 是等边三角形，
∴AE=AB ，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM 为等边三角形，
∴AM=AF ，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF ，
在△AEM 和△ABF 中，
，
∴△AEM ≌△ABF （SAS ），
∵△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO
∴BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4，
AF==，
∴△AFM的周长为3．
3.（2017许昌市禹州市二模）问题情境：
在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）操作发现：
当点O为AC中点时：
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）类比延伸：
当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，
若=，请直接写出=．
解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，
连接OB，如图1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
故答案为：AE2+CF2=EF2；
②成立．
证明：连结OB．如图2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，
，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴=，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴=，
∵=，
∴=，
故答案为．
4.（2017•濮阳二模）（1）操作发现：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上（不与点B重合），连接AD，将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接EC，如图①所示，请直接写出线段CE 和BD的位置关系和数量关系．
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断（1）中的结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB 等于45度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此
时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大
值是．
解：（1）CE=BD，CE⊥BD；
理由：如图①中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图②中，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；（3）①结论：当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．理由如下：
如图③中，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴EC⊥BD．
②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴=，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=3，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，
∴=，
∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x=1.5时，CF有最大值，最大值为．
故答案为45，；
5.（2017信阳一模）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE=BF；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=BF=（4﹣x）．
∴DE=DF=EF=（4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x2+42=[（4﹣x）]2，
解得：x1=8﹣4，x2=8+4（舍去）
∴EF=（4﹣x）=4﹣4．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．
由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE ， ∴四边形EFGH 是菱形，
由△EGM ≌△FHN ，可知EG=FH ， ∴四边形EFGH 的形状为正方形． ∴∠HEF=90°
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4．
在△AEH 与△BFE 中，
∴△AEH ≌△BFE （ASA ） ∴AE=BF ．
②利用①中结论，易证△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 均为全等三角形， ∴BF=CG=DH=AE=x ，AH=BE=CF=DG=4﹣x ．
∴y=S 正方形ABCD ﹣4S △AEH =4×4﹣4×x （4﹣x ）=2x 2﹣8x +16． ∴y=2x 2﹣8x +16（0＜x ＜4） ∵y=2x 2﹣8x +16=2（x ﹣2）2+8，
∴当x=2时，y 取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
6.（2017河南重点中学模拟）操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．
解：（1）如图
（2）结论：AB=AF+CF．
证明：分别延长AE、DF交于点M．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE与△MCE中，
∵，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（3）分别延长DE、CF交于点G．∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴，
又∵，
∴，
∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．
7.（2017许昌二模）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE 为边作正方形AEFG，连接DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是DE⊥BG．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．
解：（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，
理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB，
∴DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，
理由是：如图2，延长DE交BG于Q，
由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；
（2）探究
（1）中的结论仍然成立，理由是：
①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，
在△EAD和△GAB中，
，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；
②ED⊥GB，
理由是：∵△EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，
∴∠BMH+∠GBA=90°，
∴∠DHB=180°﹣90°=90°，
∴ED⊥GB；
（3）应用
将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，
过P作PH⊥CD于H，
①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，
在Rt△AED中，AD=4，AE=2，
∴∠ADE=30°，DE==2，
∴DF=DE﹣EF=2﹣2，
∵AD⊥CD，PH⊥CD，
∴AD∥PH，
∴∠DPH=∠ADE=30°，
cos30°==，
∴PH=（2﹣2）=3﹣；
②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，
∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，
当P在的中点时，如图5，此时PH的值最大，
∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD=4，
则半径OB=OP=2
∴PH=2+2．
综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3﹣．
8.（2017·自贡）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0，）．（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O 的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．
解：（1）∵A（－1，0），B（0，），∠AOB＝90°，
∴.
∴∠BAO＝60°.
（2）S1＝S2.理由如下：
依题意，有A′A＝A′O，∠BAO＝60°.
∴△A′AO是等边三角形.
∴∠AOA′＝∠BA′O＝60°.
∴A′B′∥x轴，∴点A′、B′到x轴的距离相等.
∵∠ABO＝∠A′OB＝90°－60°＝30°，∴A′O＝A′B.
∴AO＝A′B.
∵等边△A′AO的三条高都相等，
∴点O到AB的距离等于点B′到x轴的距离.
∴S1＝S2（等底等高的三角形面积相等）.
（3）S1与S2的关系没变，仍然有S1＝S2.理由如下：
过点B作BC⊥AO于C，过点B′作B′D⊥x轴于D.
∴∠BCO＝∠B′DO＝90°.
依题意，有∠BOD＝∠A′OB′＝90°，B′O＝BO，A′O＝AO. ∴∠1＋∠A′OD＝∠2＋∠A′OD＝90°.
∴∠1＝∠2.
∴△BOC≌△B′OD（AAS）.
∴BC＝B′D.
又∵AO＝A′O，
∴S1＝S2（等底等高的三角形面积相等）.
9.（2017·乐山）在四边形中，，对角线平分.
（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若，探究边、与对角线的数量关系，并说明理由.
解：（1）.理由如下：
∵，，∴.
，平分，∴.
，∴在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴.
同理，.
∴AB=AD=，即.
（2）（1）中的结论成立.理由如下：
以为顶点，为一边作，的另一边交的延长线于点.
，∴为等边三角形.∴.
∵∠ABC+∠D=180°，,∴.
∴∠DCA+∠ACB=∠ACB+∠BCE，即∠DCA=∠BCE.
又∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE.
∴（AAS）.
∴.
又AC=AE=AB+BE，
∴.
（3）.理由如下：
过点作，交的延长线于点，则∠ACE=90°.
∵∠D+∠ABC=180°，,∴∠.
,∴∠DCB-∠ACB=∠ACE-∠ACB，即.
又平分，∴.
∴.∴.
又∵∠D+∠ABC=180°，∴.∴（AAS）.
∴.∴AE=AB+BE=AD+AB.
在中，，∴AE=AC.
∴.
10.(2017·衢州)问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．
图1图2
解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.
证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.
∵∠ABD＝∠ABC－∠EBC，∠BCE＝∠ACB－∠ACF，
而∠EBC＝∠ACF，
∴∠ABD＝∠BCE.
又∠BAD＝∠BCE，∴△ABD≌△BCE(ASA)．
(2)△DEF是正三角形．
证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.
∴∠FDE＝∠DEF＝∠E FD.
∴△DEF是正三角形．
(3)如图，过A作AG⊥BD，交BD延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°.
(或者∠ADG ＝∠BAD ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝60°.) ∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝3
2b.
∴在Rt △ABG 中，c 2
＝(a ＋12b)2＋(32b)2.
∴c 2
＝a 2
＋ab ＋b 2
.
3.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：
=
；
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
=
成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=2，DA=DC=
，∠BAD=90°，DE ⊥CF ，试求
的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠FDC=90°. ∵CF ⊥DE ，∴∠DGF=90°.
∴∠ADE +∠CFD=90°，∠ADE +∠AED=90°. ∴∠CFD=∠AED.
∵∠A=∠CDF ，∴△AED ∽△DFC ，∴=.
（2）当∠B +∠EGC=180°时，
=
成立．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠ADC ，AD ∥BC.∴∠B +∠A=180°. ∵∠B +∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD. ∵∠FDG=∠EDA ，∴△DFG ∽△DEA ，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF.
∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF.
∴=.
∴=.
∴=.
即当∠B+∠EGC=180°时，=成立．
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD.
设CN=x.
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD.∴∠A=∠M=∠CNA=90°.
∴四边形AMCN是矩形.∴AM=CN，AN=CM.
∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS）.
∴∠BCD=∠A=90°.
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC.
∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN.
∴=，∴=，∴CM=x.
在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM﹣AB=x﹣2.
由勾股定理，得BM2+CM2=BC2，∴（x﹣2）2+（x）2=22，解得x=0（舍去），x=.
∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°. ∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN. ∵∠A=∠CNF=90°，∴△AED∽△NFC.
∴===．。