2022版高考数学一轮复习 3 全称量词命题与存在量词命题训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习3 全称量词命题与存在量词命题训练新人教B版
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三全称量词命题与存在量词命题
(建议用时：45分钟)
A组全考点巩固练
1．(多选题)下列命题为全称量词命题的是( )
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
ABC 解析： A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称量词命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在量词命题．故选ABC.
2．(2020 · 潍坊市高三模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则
( ) A．p：有的三角形不是等边三角形
B．p：有的三角形是不等边三角形
C．p：所有的三角形都是等边三角形
D．p：所有的三角形都不是等边三角形
D 解析：因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”．故选D.
3．已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则p为( )
A．∀f(x)∈A，|f(x)|∉B
B．∀f(x)∉A，|f(x)|∉B
C．∃f(x)∈A，|f(x)|∉B
D．∃f(x)∉A，|f(x)|∉B
C 解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，得p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.故选C.
4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，下列选项中的命题为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C 解析：f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)．因为2ax 0＋b ＝0，所以x 0＝－b 2a
.当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，所以∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．
5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( )
A ．锐角三角形有一个内角是钝角
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1x
>2 B 解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A 项是假命题；当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 项既是存在量词命题又是真命题；因为2＋(－2)＝0不是无
理数，所以C 项是假命题；对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x
>2，所以D 项是假命题．
6．命题“存在x ∈R ，使x 2
＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的
( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A 解析：依题意，知x 2＋ax －4a ≥0恒成立，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0.故选A.
7．以下四个命题：
①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 0 解析：因为x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2
－4×2＞0，
所以当x ＞2或x ＜1时，x 2－3x ＋2＞0才成立，
所以①为假命题．
当且仅当x ＝±2时，x 2
＝2，
所以不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，所以②为假命题．
∀x ∈R ，x 2＋1≠0为真命题，所以③为假命题． 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2
≥0，
即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，
所以④为假命题．
所以①②③④均为假命题．
故真命题的个数为0.
8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0.若p 是真命题，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：若p 是真命题，则当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧ a ＞0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.
综上，命题p 是真命题时，实数a 的取值范围是0≤a ≤4.所以当p 是真命题时，实数a 的取值范围是a <0或a >4.
9．若命题“∃x ∈R ，使得3x 2
＋2ax ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
[－3，3] 解析：命题“∃x ∈R ，使得3x 2＋2ax ＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.
B 组 新高考培优练
10．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2
>3”的表述方法的是( )
A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立
B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立
C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立
D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立
ABD 解析：原命题为存在量词命题，A ，B ，D 选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C 为全称量词命题．故选ABD.
11．(多选题)命题p ：存在实数x ∈R ，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p 为真命题，则实数x 的取值集合可以为( )
A ．{3,4,5}
B ．{x |x >3}
C ．{x |x ≥3}
D ．{x |3≤x ≤6}
ABCD 解析：根据中位数的定义可知，只需x ≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A ，B ，C ，D 中的取值集合均满足x ≥3.故选ABCD.
12．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ；命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0.若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为________；若命题p ，q 都为真命题，则实数a 的取值范围是________．
[e ，＋∞) [e,4] 解析：由已知命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x
，得a ≥e；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4，因此e≤a ≤4. 13．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1
(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，求实数m 的取值范围；
(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．
解：(1)f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．所以，若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为
[3，＋∞)．
(2)当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2.若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使
得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎨⎧ a 2≤3，a ＞1，解得1＜a ≤ 3.所以a ∈(1，3]．。