2019届高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题含解析

问题19 数列中的最值问题
一、考情分析
数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享
(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．
②用作商比较法，根据a n ＋1
a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．
(2) 最大值与最小值：若⎩⎨⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，
a n ≤a n －1
， 则a n 最小.
(3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展
已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最
小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若
，则k S 最大，若0k a =则
1,k k S S -最大。

四、题型分析
(一) 求数列的最大项或最小项
求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，
a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式
组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1
(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =
2
156
n
n +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+1
1
n n n n a a a a 的n 的值.
【解法一】基本不等式法.
，
120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A
(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值
【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为
，且
145,,2a a a -成等差数列，
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2017
2018
n T >
的最小正整数n 的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C 【解析】
，当2n ≥时，
，由
145,,2a a a -成等差数列可得
，即
，解得
2m =-，故2n
n a =，则
，
故
，由
2017
2018
n T >
得
，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.
【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项
，
数列
的前项和为
，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列
，则满足
的的最大整数值为（ ）
A ．338
B ．337
C ．336
D ．335 【答案】D
(四) 求满足条件的参数的最值
【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=
,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.
【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．
(2)由32n a n =- ,可得
.
因为
,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,
所以
,所以实数t 的最大值是1.
【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．
【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为1
1
n a n =
+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .
【答案】5 【解析】要使恒成立,只需
.
因
,
所以,
，
数列为等差数列，首项为，
,
,
,,
在数列中只有,,为正数
的最大值为
故选
5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式
,则满足不等式的的最小值是( )
A．62 B．63
C．126 D．127
【答案】D
6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，
，若数列满足，则数列的最大项为
（）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【答案】B
【解析】数列中，，，
得到：，
，
，
，
上边
个式子相加得：
，
解得：．
当时，首项符合通项．
故：．
数列满足
，
则， 由于
，
故：，
解得：，
∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f ()＝x － 2 013
x － 2 014的图象可知,(a n )ma ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.
10.已知函数
,且
,设等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ,()
*n N ∈若()n S f n =,则
41
n n S a
a --的最小值为（ ） A ．
276 B ．358 C ．143 D ．378
【答案】
【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或
解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n
}不是等差数列；
当a=-4时,
,
,
,
当且仅当13
11
n n +=
+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值37
8
,故选D ． 11．已知等差数列
{}
n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式
恒成立，则M 的最小值为__________．
【答案】
6259
12．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，
则3a 的最小值为________.
【解析】因为{}
n a 是各项均为正数的等比数列，且
，所以
，则
，即
，即
，即
3a .
13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．
【答案】5
【解析】
，
，两式相减
，故
， 112n n a ++=故
，故n 的最小值为5.
14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则
12
222n b b b 的最大值为________．
【答案】512 【解析】依题意有
，解得
，故
.
，
故当3n =时，取得最大值为92512=.
15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.
【答案】13
16.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，
，且11a =，设
，则
的最小值是________.
【答案】9
【解析】当2n ≥ 时，
，即
，展开化为：
∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S
∴数列
{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．
则
则
当且仅当36
11
n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为9
19.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且
,记集合
.
（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；
（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.
（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由
,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.
如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；
如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是
3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.
综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。