(江苏专版)19版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第一
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．5．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3＞0；④∀x∈R，2x＞0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x＜0时，x3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题；对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点． 答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”． 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上单调递增，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1， 若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的________条件． 答案 必要不充分解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题． 二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的________条件． 答案 必要不充分解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件． 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意，知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )．答案 ④解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假． 3．下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ③∀x ∈R,3x ＞0； ④∃x ∈R ，lg x ＝0. 答案 ②解析 对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确． 4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q;②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )； ③p ∨(綈q ); ④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．(2017·江苏南通中学月考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12； 当p 假q 真时，c ≥1.故c 的取值范围是为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，0)解析 f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．14．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为a >1，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递，即g (x )≥a 2.又当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第一
§1.1集合及其运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型是填空题，低档难度．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B (或B A )3.集合的基本运算知识拓展1．若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3．A ∩(∁U A )＝∅；A ∪(∁U A )＝U ；∁U (∁U A )＝A .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( √ )(6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．[P18复习T3]已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________. 答案 {x |x 是直角}3．[P13练习T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________． 答案 3解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为3.5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不符合题意．综上可知，a＝0或a＝1.2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________．答案8解析当a＝0时，a＋b＝1,2,6；当a＝2时，a＋b＝3,4,8；当a＝5时，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互异性，知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．题型二集合的基本关系典例(1)(2017·徐州模拟)已知集合A＝{－1,1,2}，B＝{0,1,2,7}，则集合A∪B中元素的个数为________．答案 5解析A∪B＝{－1,0,1,2,7}，∴A∪B中元素个数为5.(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)(2015·江苏)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5}．故A ∪B 中元素的个数为5.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， 所以y ∈⎣⎡⎦⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算典例 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x －10≥0}，B ＝{x |x 2－5x ≤0，且x ≠5}． 求：①∁U (A ∪B )； ②(∁U A )∩(∁U B )．(2)已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，且A ∩B ＝{－3}，求A ∪B . 解 (1)①A ＝{x |x ≥5}，B ＝{x |0≤x <5}， 则A ∪B ＝{x |x ≥0}，于是∁U (A ∪B )＝{x |x <0}． ②∁U A ＝{x |x <5}，∁U B ＝{x |x <0或x ≥5}， 于是(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x <0}． (2)由A ∩B ＝{－3}知－3∈B .又a 2＋1≥1，故有a －3＝－3或a －2＝－3. ①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}． 由于A ∩B ≠{－3}，故a ＝0舍去． ②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}．满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}． 命题点2 利用集合的运算求参数典例 (1)已知q ≠0，集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |qx 2＋px ＋1＝0}． ①当t ∈A 时，求证：1t∈B ；②当A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2时，求p ，q 的值．(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝1－2x ＋1x ＋1，B ＝{x |[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围： ①A ∩B ＝A ； ②A ∩B ≠∅.(1)①证明 因为t ∈A ，所以t 2＋pt ＋q ＝0. 由q ≠0知t ≠0，从而q ⎝⎛⎭⎫1t 2＋p ·1t ＋1＝t 2＋pt ＋q t2＝0， 即1t∈B . ②解 由①可知，集合A 与B 中的相应元素互为倒数，故由A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1或A ＝{1,2}．当A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1时，12＋1＝－p 且12×1＝q ，得p ＝－32，q ＝12；当A ＝{1,2}时，同理可得p ＝－3，q ＝2. 综上，p ＝－32，q ＝12或p ＝－3，q ＝2.(2)解 由1－2x ＋1x ＋1≥0，得xx ＋1≤0，解得－1<x ≤0，故A ＝(－1,0]，B ＝(a ＋1，a ＋4)．①A ∩B ＝A ，即A ⊆B ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，得－4<a ≤－2，故a 的取值范围是(－4，－2]．②若A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4>－1，a ＋1<0，得－5<a <－1，故a 的取值范围是(－5，－1)．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2014·江苏)已知集合A ＝{－2，－1,3,4}，B ＝{－1,2,3}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,3}解析 A ∩B ＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 [－1，＋∞)解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题典例 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为________． 答案 45 解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B 中元素的个数为45.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝________.答案{x|3≤x≤4}解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．(2017·无锡模拟)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4}，则A∪B＝________.答案{1,2,4}2．(2016·江苏)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.答案{－1,2}解析由于B＝{x|－2＜x＜3}．对集合A中的4个元素逐一验证，－1∈B,2∈B,3∉B,6∉B.故A∩B＝{－1,2}．3．(2017·江苏)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．答案 1解析∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.4．(2017·苏锡常镇一模)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁U M ＝________.答案{6,7}解析由M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，可得M＝{1,2,3,4,5}，即∁U M ＝{6,7}．5．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案{1}解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．已知复数f(n)＝i n(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是________．答案 4解析 复数f (n )＝i n (n ∈N *)， 可得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N .集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是4.7．(2017·全国Ⅱ改编)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．10．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________. 答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意，知A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞) 解析 ∵A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．答案 112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14； ⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左、右两端．取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.。
2019届高考数学一轮复习备考讲义(江苏专版)第一章集合与常用逻辑用语1.3Word版含答案
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．5．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3＞0；④∀x∈R，2x＞0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x＜0时，x3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ①解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x .其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题； 对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题； 对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”． (2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点． 答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”．题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在
第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书理苏教版1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)4.命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)【知识拓展】1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题.( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题.( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题.( √ ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )1.(2016·某某某某中学月考)命题“∃x >－1，x 2＋x －2 016>0”的否定是______________. 答案 ∀x >－1，x 2＋x －2 016≤0解析 命题“∃x >－1，x 2＋x －2 016>0”的否定是“∀x >－1，x 2＋x －2 016≤0”. 2.已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的______________条件. 答案 充分不必要解析 綈p 为真知p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件.3.(教材改编)若不等式x 2－x >x －a 对∀x ∈R 都成立，则a 的取值X 围是________. 答案 a >1解析 方法一 不等式x 2－x >x －a 对∀x ∈R 都成立，即不等式x 2－2x ＋a >0恒成立. 结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a <0，所以a >1.方法二 不等式x 2－x >x －a 对∀x ∈R 都成立，也可看作a >－x 2＋2x 对∀x ∈R 都成立，所以a >(－x 2＋2x )max ，而二次函数f (x )＝－x 2＋2x 的最大值为0－224×－1＝1，所以a >1.4.已知实数a 满足1<a <2，命题p ：y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，命题q ：|x |<1是x <a 的充分不必要条件，则下列命题：①p ∨q 为真；②p ∧q 为假；③(綈p )∧q 为真；④(綈p )∧(綈q )为假.其中正确的命题是________. 答案 ①④解析 由y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，得a >1且2－a >0，即1<a <2.所以p 是真命题.由|x |<1，得－1<x <1.又1<a <2，所以|x |<1是x <a 的充分不必要条件.所以q 也是真命题.从而①④正确.5.(2015·某某)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧(綈q ) ③(綈p )∧q ④p ∧(綈q )(2)(2016·某某模拟)若命题“p ∨q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则p ________，q ________.(填“真”或“假”)答案 (1)④ (2)假 真解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p ∧(綈q )是真命题.(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题.思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知：①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ， x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是________. 答案 p 1，p 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的可行域D 如图阴影部分所示，两直线交于点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0，故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)(2016·某某模拟)命题“∃x ∈R ，x 2－2x >0”的否定是____________. (2)(2015·某某改编)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________. 答案 (1)∀x ∈R ，x 2－2x ≤0 (2)∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n .解析 (1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定. (2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ，使p (x )成立.(2)对全称、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ； ③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12；④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值X 围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是__________.答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[14，＋∞)解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值X 围是[－12，－4]∪[4，＋∞).(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究在例4(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________. 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值X 围；(2)含量词的命题中参数的取值X 围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.(1)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值X围是____________.(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值X围是________________.答案(1)[e，4] (2)(－∞，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值X围是(－∞，0).1.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值X围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p：∃x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么下列说法正确的是________.(填序号)①綈p为假命题②q为真命题③p∨q为假命题④p∧q为真命题(2)下列命题中错误的个数为________.①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，所以命题q为假命题.综上可知，綈p 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题.(2)对于①，若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p ∧q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值X 围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是__________.(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2，3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值X 围是__________. 解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2， 由p 是q 的充分不必要条件，知k >2. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2，3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.答案 (1)(2，＋∞) (2)(－∞，0] 三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.解析 (1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过A 城市，由此可知，乙去过的城市为A .(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一1.命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是________.(填序号) ①p ∨q ②p ∧q ③q ④綈p 答案 ②解析 命题p 假，q 真，故命题p ∧q 为假命题.2.已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是__________.答案 (－1，3)解析 依题意可知“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.3.(2016·某某模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则下列说法正确的是________. ①p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ②p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0； ③p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ④p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0. 答案 ②解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0. 4.已知p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：∃x 0∈(0，＋∞)，sin x 0>1，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∨(綈q ) ②(綈p )∨q ③p ∧q ④(綈p )∧(綈q ) 答案 ①解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；∀x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p ∨(綈q )是真命题.5.(2016·某某期末)若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值X 围是________. 答案 (2，＋∞)解析 “∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0，4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值X 围是(2，＋∞).6.已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是__________.答案 q 1，q 4解析 因为y ＝(32)x 在R 上是增函数，即y ＝(32)x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题.7.(2107·某某某某中学月考)已知命题：“∃x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”是真命题，则a 的取值X 围是________. 答案 [－8，＋∞)解析 由已知得，∃x ∈[1，2]，使a ≥－x 2－2x 成立；若记f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)，则a ≥f (x )min .而结合二次函数f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)的图象得f (x )的最小值为f (2)＝－22－2×2＝－8，所以a ≥－8.8.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值X 围是__________. 答案 (－∞，－2]∪[－1，3)解析 p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0，即m ＜－1.q ：x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝[2(m －2)]2－4(－3m ＋10)＝4(m 2－m －6)＜0，即－2＜m ＜3.分两种情况：①p 真q 假，m ≤－2；②p 假q 真，－1≤m ＜3.综上可知，使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[－1，3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x ∈R ，2x －1>0 ②∀x ∈N *，(x －1)2>0③∃x 0∈R ，lg x 0<1 ④∃x 0∈R ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5 答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.10.(2016·某某模拟)已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0. 11.下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③.12.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值X 围是________________.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值X 围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}.13.(2016·某某模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mxword11 / 11 ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值X 围为____________.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值X 围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1. *15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2). (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值X 围为________________.答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为[3，＋∞).(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3].。
(江苏专版)2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算课件文
3．已知集合 A＝{3，4}，集合 B 满足 A∪B＝{3，4}，则满
4 足条件的集合 B 的个数为________ ．
[解析] 因为 A＝{3，4}，B∪A＝{3，4}， 所以 B⊆A，故满足条件的集合 B 的个数为 22＝4 个．
4．A、B 是非空集合，定义 A×B＝{x|x∈A∪B，且 x∉A∩ B} ． 若 A ＝ {x|y ＝ x2－3x } ， B ＝ {y|y ＝ 3x} ， 则 A×B ＝
确定性 、__________ 互异性 、无序性． (1)集合元素的特性：__________ a∈A ；若 b (2)集合与元素的关系：若 a 属于 A，记作__________ b∉A ． 不属于 A，记作__________ 列举法 、__________ 描述法 、图示法． (3)集合的表示方法：__________
第一章 集合与常用逻辑用语
要 内 容 A 集合及其表示 1．集 合 子集 交集、并集、补集 √ B
求 C
√ √
第一章 集合与常用逻辑用语
内
容
要
A √ B
求
C
命题的四种形式 充分条件、必要条件、
2．常用逻
辑用语
充分必要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
√
√
第一章 集合与常用逻辑用语
要 内 容 A B
2. 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝x＋1}，则 {y|y≥1} ． M∩N＝________ [解析] M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{x|y＝x＋1}＝{x|x∈R}，所以 M∩N＝M＝{y|y≥1}．
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.简单的逻辑联结词1.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断2.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围A 填空题★☆☆2.全称量词与存在量词1.全称命题和存在性命题真假的判断2.全称命题和存在性命题的否定A 填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(2015课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,t an x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(2013重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(2013四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ p;④ p且 q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是.答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或 q是真命题;②p且 q是真命题;③ p且 q是假命题;④ p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(2018江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是. 答案(2,+∞)5.(2017江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(2017江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则 p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(2017江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(2016江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(2017江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p或q”“ p”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题, p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题, p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ q”是假命题;③命题“ p∨q”是真命题;④命题“ p∧ q”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(2018江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,s in x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此, p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此, p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(2018江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m 的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)[小题体验]1．(2019·启东中学期末检测)在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p ∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p________，q________.解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．“p∧q”为假，∴p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，∴p为假，q为真．答案：假真2．(2019·盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是________________________．答案：对于任意的实数x ，使得x ≤13．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题：①p ∨q ；②綈p ∧綈q ；③綈p ∨q ；④p ∧綈q .其中为真命题的序号是________．解析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以綈p 是假命题，綈q 是真命题； 所以p ∨q 是真命题，綈p ∧綈q 是假命题，綈p ∨q 是假命题，p ∧綈q 是真命题，故①④正确．答案：①④1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]1．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为_____________________________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠02．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等考点一 全称命题与存在性命题基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则命题p 的否定是“______________________”．答案：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)＞02．(2018·淮安期末)若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．解析：若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1＜0成立”是假命题，即“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x ＋1x 成立”是假命题， 所以“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有λ≤2x ＋1x 成立”是真命题． 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，得函数y ＝2x ＋1x ≥2 2x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时等号成立． 所以λ≤22，即实数λ的取值范围为(－∞，22]． 答案：(－∞，22]3．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )＝x ＋4x ，所以f ′(x )＝1－4x 2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，又因为g (x )在[2,3]上的最小值为g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.答案：(－∞，1]4．(2019·南通中学调研)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”为真命题，则a ≥e；若命题q ：“∃x ∈R ，x2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]． 答案：[e,4][谨记通法]1．全称命题与存在性命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．2．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·泰州模拟)已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(綈p 1)∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，真命题的序号是________．解析：因为y ＝2x在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，所以y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题，所以①p 1∨p 2是真命题；②p 1∧p 2是假命题； ③(綈p 1)∧p 2是假命题；④p 1∧(綈p 2)是真命题． 答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤 (1)先判断简单命题p ，q 的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]1．(2018·启东期末)命题p ：0∈N *，命题q ：1∈Q ，则“p 或q ”是________命题．(填“真”“假”)解析：命题p ：0∈N *，为假命题；命题q ：1∈Q ，为真命题，则命题“p 或q ”为真命题． 答案：真2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ； ②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，是真命题的序号是________．解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题．答案：②③考点三 根据命题的真假求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·无锡天一中学月考)已知命题p ：∃m ∈[－1，1]，使不等式a 2－5a ＋5≥m ＋2成立；命题q ：x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假． 由题设知，对于命题p ，因为m ∈[－1,1]， 所以m ＋2∈[1,3]，所以不等式a 2－5a ＋5≥1成立， 所以a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4. 对于命题q ，因为x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－8≥0，x 1＋x 2＝－a ＜0，所以a ≥2 2.若p 真q 假，则a ≤1；若p 假q 真，则22≤a ＜4， 所以实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[22，4)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]1．(2018·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8， 由题意得a ＋8≥0，所以a ≥－8. 答案：[－8，＋∞)2．(2019·海门中学检测)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，命题q ：∀x ∈R ，3sin x＋cos x ＜a ，且p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得：命题p 为真命题， ∵p ∧q 为假命题，∴q 为假命题．若q 为真，则a ＞3sin x ＋cos x 对∀x ∈R 恒成立，∵3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6且正弦函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，∴3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最大值为2，∴a ＞2. ∵q 为假命题，∴a ≤2，∴实数a 的取值范围为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三检测)命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“________________”．答案：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 2．(2018·镇江模拟)已知命题p ：函数y ＝ax ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件，则有下列命题：①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 其中为真命题的序号是________．解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y ＝a x ＋1＋1是由y ＝a x先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y ＝ax ＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p 为真命题；命题q ：m 与β的位置关系也可能是m ⊆β，故q 是假命题．所以p ∧(綈q )为真命题．答案：④3．若“x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：根据题意得“x ∉[2,5]且x ∉(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞5，1≤x ≤4，解得1≤x ＜2，故x ∈[1,2)．答案：[1,2)4．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个不同交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m2＞0，解得m ＜－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)5．(2018·南京外国语学校模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．解析：命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也是真命题，所以，①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④6．(2019·海门实验中学检测)命题p ：∃x ∈[－1,1]，使得2x＜a 成立；命题q ：∀x ∈(0，＋∞)，不等式ax ＜x 2＋1恒成立．若命题p ∧q 为真，则实数a 的取值范围为________．解析：由x ∈[－1,1]可知，当x ＝－1时，2x取得最小值12，若命题p ：∃x ∈[－1,1]，使得2x＜a 成立为真，则a ＞12.若命题q ：∀x ∈(0，＋∞)，不等式ax ＜x 2＋1恒成立为真， 即∀x ∈(0，＋∞)，a ＜x ＋1x恒成立为真，当x ＝1时，x ＋1x取最小值2，故a ＜2.因为命题p ∧q 为真，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________________． 解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n ”．答案：∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n2．(2019·海安中学测试)若命题“∀x ∈[1,2]，x 2－4ax ＋3a 2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x2－4ax ＋3a 2，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1－4a ＋3a 2≤0，f2＝4－8a ＋3a 2≤0，解得23≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 3．(2018·南通大学附中月考)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1.因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.答案：(－∞，－2]∪{1}4．(2018·沙市区校级期中)函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x－m ，若对∀x 1∈[－1,5]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－12，可得f (x )在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－13，∵g (x )＝3x－m 是增函数，∴g (x )min ＝1－m ，要满足题意，只需f (x )min ≥g (x )min 即可，解得m ≥14， 故实数m 的最小值是14. 答案：145．已知p ：|x －a |＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]6．(2019·杨大附中月考)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则上述命题的否定中，真命题的序号为________．解析：命题与命题的否定一真一假．①当x ＝0或1时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以②是假命题，②的否定是真命题；③x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③7．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论 否定即可．答案：∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋18．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，可得－1≤tan x ≤1，所以0≤tan x ＋1≤2， 因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，所以m ≤0，所以实数m 的最大值为0. 答案：09．(2018·南京期末)已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈R ，mx 2＋mx ＋1＞0；命题q ：函数f (x )＝x 3－3x 2＋m －1只有一个零点，则使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围为________．解析：若p 为真，当m ＝0时，符合题意；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ＜0，则0＜m ＜4，∴命题p 为真时，0≤m ＜4.若q 为真，由f (x )＝x 3－3x 2＋m －1，得f ′(x )＝3x 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.∴当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)． ∴f (x )的极大值为f (0)＝m －1，极小值为f (2)＝m －5.要使函数f (x )＝x 3－3x 2＋m －1只有一个零点，则m －1＜0或m －5＞0， 解得m ＜1或m ＞5.∵“p ∨q ”为假命题，∴p 为假，q 为假，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0或m ≥4，1≤m ≤5，解得4≤m ≤5，故实数m 的取值范围为[4,5]． 答案：[4,5]10．(2018·南京一中模拟)给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x ∈[0,2]，使x 2－a ≥0成立”的充分不必要条件； ②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x ＞1”的否定是“∃x ∈(0，＋∞)，2x≤1”； ③若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填序号)解析：对于①，由∃x ∈[0,2]，使x 2－a ≥0成立，可得a ≤4，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②11．已知命题p ：函数y ＝lg(ax 2＋2x ＋a )的定义域为R ；命题q ：函数f (x )＝2x 2－ax 在(－∞，1)上单调递减．(1)若“p ∧綈q ”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)设关于x 的不等式(x －m )(x －m ＋2)＜0的解集为A ，命题p 为真命题时，a 的取值集合为B .若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)若p 为真命题，则ax 2＋2x ＋a ＞0的解集为R ， 则a ＞0且4－4a 2＜0，解得a ＞1. 若q 为真命题，则a4≥1，即a ≥4.因为“p ∧綈q ”为真命题，所以p 为真命题且q 为假命题， 所以实数a 的取值范围是(1,4)．(2)解不等式(x －m )(x －m ＋2)＜0，得m －2＜x ＜m ，即A ＝(m －2，m )． 由(1)知，B ＝(1，＋∞)． 因为A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 所以m －2≥1，即m ≥3.故实数m 的取值范围为[3，＋∞).12．设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2＜0(其中a ＞0)，q ：实数x 满足2＜x ≤5. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，x 2－5x ＋4＜0，解得1＜x ＜4， 即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2,4)．(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件， 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ， 由x 2－5ax ＋4a 2＜0得(x －4a )(x －a )＜0， 因为a ＞0，所以A ＝(a,4a )，又B ＝(2,5]，则a ≤2且4a ＞5，解得54＜a ≤2.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，2. 13．(2019·启东检测)已知p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2eln x ≤m ；q ：函数y ＝x 2－2mx ＋1有两个零点．(1)若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：若p 为真，令f (x )＝x 2－2eln x ，问题转化为求函数f (x )的最小值． f ′(x )＝2x －2e x ＝2x 2－2ex，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，函数f (x )＝x 2－2eln x 在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (e)＝0，故m ≥0.若q 为真，则Δ＝4m 2－4＞0，解得m ＞1或m ＜－1.(1)若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，即m ＜0且－1≤m ≤1， 所以实数m 的取值范围为[－1,0)．(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－1≤m ≤1，即0≤m ≤1；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＞1或m ＜－1，即m ＜－1.综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪[0,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·姜堰中学检测)设p ：函数f (x )＝x 3－mx －1在区间[－1,1]上单调递减；q ：方程x 2m －1＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若p 为真，由函数f (x )＝x 3－mx －1在区间[－1,1]上单调递减， 得f ′(x )＝3x 2－m ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即m ≥3x 2， 当－1≤x ≤1时，3x 2≤3，则m ≥3； 若q 为真，由方程x 2m －1＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧9－m ＞0，m －1＞0，9－m ＞m －1，解得1＜m ＜5.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥5或m ≤1，得m ≥5；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3，1＜m ＜5，得1＜m ＜3，综上，实数m 的取值范围是(1,3)∪[5，＋∞)． 答案：(1,3)∪[5，＋∞)2．(2018·宿迁中学月考)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 为假命题，所以p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题，所以m ≥0. 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.综上，可得m≥1.答案：[1，＋∞)命题点一集合及其运算1.(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}3．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素个数为5.答案：54．(2018·浙江高考改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝________.解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}5．(2018·北京高考改编)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0,1,2}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．答案：{0,1}6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝________.解析：A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．答案：{0,2}命题点二充分条件与必要条件1．(2017·浙江高考改编)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的________条件．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.答案：充要2．(2018·天津高考改编)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的________条件． 解析：由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．(2018·天津高考改编)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的________条件．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件． 答案：充分不必要4．(2016·上海高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的____条件．解析：由a ＞1可得a 2＞1，由a 2＞1可得a ＞1或a ＜－1.所以“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·天津高考改编)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的________条件．解析：设数列{a n }的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )＜0，即q＜－1，故q ＜0是q ＜－1的必要不充分条件． 答案：必要不充分 命题点三 命题及其真假性1．(2012·全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为________． 解析：因为复数z ＝2－1＋i＝－1－i ，所以|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：p 2，p 42．(2015·山东高考改编)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 命题点四 全称量词和存在量词1．(2015·全国卷Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为________．解析：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．答案：∀n ∈N ，n 2≤2n2．(2016·浙江高考改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是________． 解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．答案：∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 23．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：1。
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第一章 集合与
6．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈 q”同时为假命题，则 x＝________.
解析：若 p 为真，则 x≥－1 或 x≤－3， 因为“綈 q”为假，则 q 为真，即 x∈Z， 又因为“p∧q”为假， 所以 p 为假， 故－3<x<－1， 由题意，得 x＝－2. 答案：－2
2．(2018· 河北“五个一名校联盟”二模，3)已知命题 p，q 是简单命题， 则“綈 p 是假命题”是“p∨q 是真命题”的( 又不必要条件 )
解析：綈 p 是假命题，则 p 是真命题，则 p∨q 是真命题， 即充分性成立，而 p∨q 是真命题只需 p，q 中的一个是真命题即 可，即 p∨q 是真命题推不出 p 是真命题，即推不出綈 p 是假命 题，必要性不成立．故选 A. 答案：A
考向一
全称命题与特称命题 )
[自主练透型] 1．下列命题中是假命题的是( π A．∀x∈0，2，x>sinx B．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2 C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0
π 解析： 因为对∀x∈R， sinx＋cosx＝ 2sinx＋4≤ 2， 所以“∃ x0∈R，sinx0＋cosx0＝2”为假命题． 答案：B
C．綈 p∧綈 q
解析：由题意知命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，故綈 p 是假命题，綈 q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可 知 p∧綈 q 是真命题． 答案：A
5．(2018· 合肥检测)命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定 为________．
解析： 本题考查命题的否定． 命题“∃x∈R， x2－ax＋1<0” 的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．特称命题的否定是全称命 题． 答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0
2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲
触类旁通 全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立． ②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不成立即可． (2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题 就是假命题．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p，q 都是假命题．( × ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( √ )
(3)若命题 p，q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命 题．( √ )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个
∴p 为真命题，綈 p 为假命题． ∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈 q 为真命题．
根据真值表可知 p∧(綈 q)为真命题，p∧q，(綈 p)∧q，
(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.
触类旁通 “p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤
题，则綈 q 是真命题，p∧(綈 q)是真命题，故选 D.
5．[课本改编]命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命
题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
解析 命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充
要条件是 a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子
命题角度 2 全称命题、特称命题真假的判断
2019版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 精品
命题
∀x∈M，p(x)
命题的否定 ∃x0∈M，綈p(x0) _________________________
∀x∈M，綈p(x)
∃x0∈M，p(x0)
_________________________________
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a· b＝0，b· c＝0，则a· c＝0；命题q：若 a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题： ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∧(綈q).
题.
又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题. 综上பைடு நூலகம்p∨q是真命题，p∧q是假命题. 又∵綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.
(2)∵綈p为真命题，∴p为假命题， 又∵p∨q为真命题，∴q为真命题. 答案 (1)① (2)假 真
π π 对于③， “ 若 x＝ ， 则 tan x＝1”的逆命题为“若 tan x＝1， 则 x＝ ” ， 其为假命题， 4 4 故③错误.
1 对于④，若 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝ ≠－log32， log23 ∴log32 与 log23 不互为相反数，故④错误.
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真. (2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
π 2.(课本习题改编)设命题 p：函数 y＝sin 2x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 y＝cos x 的图象关于直线 x＝0 对称.则 p∧q 为________(选填“真”或“假”)命题.
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
(江苏专用)高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语《第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存
3．(2011· 镇江统考)已知命题p：“∀x∈R，x2＋2x－3≥0”， 请写出命题p的否定：________. 解析 全称命题的否定形式是“任意”改“存在”，结论对 立，所以为“∃x∈R，x2＋2x－3＜0”． 答案 ∃x∈R，x2＋2x－3＜0 4．(2011· 宿迁联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜ 0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析 由题意，得“∀x∈R，x2＋(1－a)x＋1≥0是真命题”， 所以Δ＝(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3. 答案 [－1,3]
逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义 相同，如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x ∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词 “或”时，要注意分析三种情况．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示 事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表 示．含有存在量词的命题叫做存在性命题 ．特称命题“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x) ．
3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)
④
判断含有逻辑联结词的命题真假，主要是把其中单个命题的 真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑联结词的命题真假 判断的准则进行．
【训练1】 (2010· 新课标全国改编)已知命题p1：函数y＝2x－2
x
－
－
在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2 x在R上为减函数，则在命
题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2) 中，真命题是________． 解析 因为y＝2x与y＝－2－x是R上的增函数，所以y＝2x－2－x 在R上为增函数，因为y＝2x＋2－x是偶函数，它在R上不具有单 调性，所以p1真p2假，从而p1∨p2与p1∧(綈p2)为真命题，即 q1，q4正确． 答案 q1，q4
推荐2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习课件第1章 集合与常用逻辑用语 3 第3讲 简单的逻辑联结词、全称
1．简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 p∧q，用联结 词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 p∨q. (2)对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p， 读作“非 p”或“p 的否定”． (3)命题 p∧q，p∨q，﹁p 的真假判断： p∧q 中 p、q 有一假为假，p∨q 中 p、q 有一真为真，p 与非 p 必定是一真一假．
﹁p 假． (2) ﹁q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3) ﹁r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R， x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 成立． (4) ﹁s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于 x＝－1 时， x3＋1＝0.
由命题的真假确定参数的取值范围 已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命 题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函数．若 p∨q 是真命题，则实数 a 的取值范围是__(_－__∞__，__＋__∞__)___． 【解析】 若命题 p 是真命题，则 Δ＝a2－16≥0，即 a≤－4 或 a≥4；若命题 q 是真命题，则－a4≤3，即 a≥－12.因为 p 或 q 是真命题，所以 a∈R，即 a 的取值范围是(－∞，＋∞)．
(2)存在量词与存在性命题 ①短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存 在性命题． ②存在性命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”可用符号 简记为“∃x∈M，p(x)”，读作“存在 M 中的元素 x，使 p(x) 成立”．
(3)含有一个量词的命题的否定 命题
3．下列命题中是真命题的序号是__①__②__④__． ①∃x∈R，x＋1x＝2；②∃x∈R，sin x＝－1； ③∀x∈R，x2>0；④∀x∈R，2x>0.
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算课件 文
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为_∈___；不属于，记为__∉_.
(3)集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 ．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _N__ __N_*_或 N＋ _Z__
_Q__
_R__
2．集合间的基本关系
表示 关系
所以 0<m≤1.
综上所述 m 的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
3．(2018·海门中学测试)已知集合 A＝{1,3， x}，B＝{2－x,1}． (1)记集合 M＝{1,4，y}，若集合 A＝M，求实数 x＋y 的值； (2)是否存在实数 x，使得 B⊆A？若存在，求出 x 的值；若 不存在，请说明理由．
答案：4
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
考点一 集合的基本概念
[题组练透]
1．(易错题)已知集合 A＝{1,2,4}，则集合 B＝{(x，y)|x ∈A，y∈A}中元素的个数为________． 解析：集合 B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)， (2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共 9 个． 答案：9
答案：{2,3}
必过易错关
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是 正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是 集合与集合的包含关系．
3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，
2．已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________． 解析：当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A. 当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}． 当 B⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，
近年届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词演练直击高
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词分层演练直击高考文的全部内容。
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________．[解析] 根据全称命题的否定是存在性命题进行求解．［答案］存在偶数不是2的倍数2．命题“∃x∈R，x2＋x≤0”的否定是________．［解析] ∃x∈R，p(x)的否定是∀x∈R，綈p(x)．［答案] ∀x∈R，x2＋x>03．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．[解析] 由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1,所以a≤－2.［答案］ (－∞，－2]4．（2018·无锡期中)若命题p：4是偶数，命题q：5是8的约数．则下列命题中为真的是________．①p且q；②p或q；③非p；④非p且非q。
[解析] 命题p为真，命题q为假,故②为真．[答案] ②5．(2018·海口期中检测）已知命题p:∃x∈R,使sin x＝错误!；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1〉0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q）”是假命题;③命题“（綈p）∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨（綈q）”是假命题．其中正确的序号是________．［解析] 命题p:∃x∈R,使sin x＝错误!,错误，命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1〉0，正确．故②③正确．［答案] ②③6．（2018·连云港模拟)设命题p：函数y＝2sin错误!是奇函数；命题q:函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称．则p∧q是________命题．(填真或假)解析：因为y＝2sin错误!＝2cos x是偶函数,所以命题p是假命题，由余弦函数的性质可知命题q是假命题．故p∧q是假命题．答案:假7．(2018·孝感高级中学月考改编）以下有关命题的说法错误的序号是________．①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；②若p∧q为假命题,则p，q均为假命题；③对于命题p：∃x∈R使得x2＋x＋1〈0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.解析：对于①，当x＝1时x2－3x＋2＝0，但x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；对于②，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题,并非均为假命题；对于③，含量词命题的否定,先把存在量词改为全称量词，再否定结论，故③正确．答案：②8．(2018·江苏省四校联考）已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析:由“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋错误!a＞0对任意实数x恒成立．设f（x）＝x2－5x＋错误!a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×错误!a＜0，解得a＞错误!，即实数a的取值范围为错误!。
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§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲解读
分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.
五年高考
考点一简单的逻辑联结词
(2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题
①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).
答案②③
考点二全称量词与存在量词
1.(2015课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.
答案∀n∈N,n2≤2n
2.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,t an x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.
答案 1
3.(2013重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.
答案存在x0∈R,使得<0
4.(2013四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p
为.
答案∃x∈A,2x∉B
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一简单的逻辑联结词
1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.
①p且q;②p或q;③ ;④p且q.
答案②
2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性
是.
答案p假q假
3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或q是真命题;②p且q是真命题;
③p且q是假命题;④p或q是假命题.
其中真命题是.
答案①③
考点二全称量词与存在量词
4.(2018江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是. 答案(2,+∞)
5.(2017江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.
答案∃x0∈R,+2x0+5≤0
6.(2017江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .
答案∀x∈R,x2+ax+1≥0
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:30分时间:15分钟)
一、填空题(每小题5分,共15分)
1.(2017江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围
是.
答案(-∞,1]
2.(2017江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).
(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;
(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;
(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;
(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.
答案(2)(4)
3.(2016江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.
答案(2,+∞)
二、解答题(共15分)
4.(2017江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.
(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,
因为a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.
<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,
即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.
若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.
(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,
则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则
“p且q”“p或q”“ ”形式的命题中的真命题是.
答案p或q,p且q
2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.
(1)p:6<6,q:6=6;
(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;
(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,
q:不等式x2+x+2<0无解;
(4)p:函数y=cos x是周期函数,
q:函数y=cos x是奇函数.
解析(1)∵p为假命题,q为真命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.
(2)∵p为假命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.
(3)∵p为真命题,q为真命题,
∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.
(4)∵p为真命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.
方法2 全称(存在性)命题真假的判定
3.下列命题中的真命题的个数是.
①∃x∈R,使得sin x+cos x=;
②∃x∈(-∞,0),2x<3x;
③∀x∈(0,π),sin x>cos x.
答案0
4.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧ ”是假命题;
③命题“ ∨q”是真命题;
④命题“ ∧ ”是假命题.
答案④
方法3 全称(存在性)命题的否定
5.(2018江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,s in x>0”的否定是.
答案∃x∈,sin x≤0
6.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.
答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3
7.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:
(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;
(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.
解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.
(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.
方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题
8.(2018江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.
答案(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m 的取值范围.
解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,
∴m≥2,即p:m≥2;
若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,
则Δ=16(m-2)2-16<0,
解得1<m<3,
即q:1<m<3.
因为p或q为真,p且q为假,
所以p、q一真一假,
当p真q假时,
解得m≥3.
当p假q真时,
解得1<m<2.
综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。