线性代数课件1
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线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
同济版线性代数课件--1向量的内积、长度及正交性
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵.
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
1 1 4
例３
设
a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
大学线性代数课件 第一章 第1节
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 23 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a 33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． ） （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ） 乘积． 乘积．
τ
对于D中任意一项 对于 中任意一项
( 1)τ a1 p a2 p
1
2
anpn ,
总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等 反之 对于 D1 中任意一项
( 1) a p 1a p 2 a p n ,
τ
1 2 n
也总有且仅有D中的某一项 也总有且仅有 中的某一项 从而 D = D1 .
a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
（3）当每一项行指标排列均为123时，这一项的正负 当每一项行指标排列均为123时 123 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号， 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，奇排 列带负号。 列带负号。
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为 偶排列
+ 正号
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数课件1(华中科技大学)
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
1.1.2 n元排列的逆序与对换
一、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
定义 自然数1，2，3…n按一定次序排成一 排，称为n元排列,记为 i1i2 in
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称 自然排列1234….n).
例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变 成为标准排列（自然排列）1234
1.1.3 n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
否则称之为无解或不相容。
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在解析几何中，正交向量可以用来描述平面或空间中的点或线，并帮助解 决几何问题。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
北京科技大学线性代数课件1
0 0 1 O a 0 0 0 b 1 B 1 1 b
0 0 0 a 0 0 A2 A3 A4 其中 A1 0 1 b 1 1 1 b 0
Ait Btj Aik Bkj
线性代数1-2
例2 设 1 0 0 1 A 1 2 1 1 2 解： 1 0 E 0 1 A 1 2 1 A1 1
0 0 0 0 , 1 0 0 1
1 A1 0 1 1 1 0 1 2 1 B B 1 21 0 14 1 1 2
线性代数1-2
例
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
1 0 0 a A a 0 0 A O 0 , 0 b 1 E B 1 E 1 1 b 0 1 0 0 a 0 0 ( A1 , A2 , A3 , A4 ) 0 b 1 1 1 b a 1
0 2 4 1
1 0 3 3
0 1 . 3 1
线性代数1-2
例2 设 1 0 0 1 A 1 2 1 1 2 解 1 0 E 0 1 A 1 2 1 A1 1
0 0 1 0 0 0 1 2 , B 1 0 1 0 1 1 0 1
线性代数1-2
第一章 矩阵
1.2分块矩阵
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算规则
线性代数1-2
2.分块矩阵的运算规则 分块的原则： (1)分块的目的是为了简化矩阵运算； (2)矩阵分块后必须使子块能够运)分块对角阵
线性代数1-2
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数课件第一章行列式
线性代数课程介绍
2学分 学期课
线性代数课件第一章行列式
《线性代数》是我校国际商学院各个专业，
教育技术系、行政管理、市场营销、财务管理、
会计学等专业，在二年级上学期开设的一门学 年公该共课必程修的课主。要2内学容分有、：学行期列课式。、12 矩阵21 、0线3性
方程组、向量的线性相关、相似矩阵及二次型。
线性代数课件第一章行列式
线性代数课件第一章行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
定义：将a11 a12 称作二阶行列式，它是一 a21 a22
种特殊的运算，即a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
aij称 为 行 列 式 的 元 素第一行 第二列
对角线法则:
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21 .
a 22
线性代数课件第一章行列式
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
（3）
a21
由方程组的系数确定.
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
为简洁，引进记号： a11 a12
a11
a a 线性代数课件第一章2行1列式 22
2学分 学期课
线性代数课件第一章行列式
《线性代数》是我校国际商学院各个专业，
教育技术系、行政管理、市场营销、财务管理、
会计学等专业，在二年级上学期开设的一门学 年公该共课必程修的课主。要2内学容分有、：学行期列课式。、12 矩阵21 、0线3性
方程组、向量的线性相关、相似矩阵及二次型。
线性代数课件第一章行列式
线性代数课件第一章行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
定义：将a11 a12 称作二阶行列式，它是一 a21 a22
种特殊的运算，即a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
aij称 为 行 列 式 的 元 素第一行 第二列
对角线法则:
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21 .
a 22
线性代数课件第一章行列式
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
（3）
a21
由方程组的系数确定.
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
为简洁，引进记号： a11 a12
a11
a a 线性代数课件第一章2行1列式 22
线性代数课件第一章
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到 大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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经济数学基础
《线性代数》
邹洁
1
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
第一章 行列式
行列式的概念是线性代数中最基本的概念之一 , 行列式的计算是线性代数中最基本的计算 . 行列式的概念是从解 线性方程组 的问题中引入的 . 一般把未知量的最高次数是一次的方程组称为 线性方程组 . 在中学代数学中 , 我们求解过一元、二元、三元 以至四元线性方程组 , 在本课程中 , 我们主要讨论一般的 n 元线性方程组 . 第一章是通过引入 行列式 这一概念来 解线性方程组的 . 第一章的线性方程组中 , 方程的个数 =未知量的个数 .
上两式相减消去 x2 , 得:
(a11a 22 − a12 a 21 ) x1 = b1a 22 − a12 b2 ,
类似地 , 消去 x1 , 得:
(a11a 22 − a12 a 21 ) x 2 = a11b2 − b1a 21
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时, 方程组的解为 :
5
定义: 称
a11 a12 D = a a = a11a 22 − a12 a 21 为二阶行列式 , 21 22
列标
也称为上二元线性方程组的 系数行列式 . 其中 ai j
行标
行列式的元 素 ( i , j = 1,2)
每一横排称为行 , 每纵排称为列 , 二阶列式 共有2行, 2列, 22 = 4 个元素, 代数式 a11a22 − a12 a21
a 31 a 32 a33 D j 是将 D中的第 j 列 换成方程组的 常数列 b1 , b2 , b3 而得到 的
三阶行列式 ( j = 1,2,3 ) 则当 D ≠ 0 时, 由加减消 元法得上方程组 有唯一解:
D1 D2 x1 = , x2 = , D D D3 x3 = . D
注意:
当 D = 0 时, 方程组 可能有 解(此时为无穷多 解), 也可能无 解, 以后将讨论.
8
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
a11 a12 a13
定义: 称 D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
称为对角线法则 注: 对角线法则只适用 于 二阶与三阶行列式 .
16
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
由 ( x − 2) ( x − 3) = 0 解得
x = 2 或 x = 3.
12
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
一阶行列式 | a11 | 记为 a11 , 下面将 二阶, 三阶行列式 推广到 n 阶行列式 .
同理可得:
2 0 1 0 −1 1 2 −1 0 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D 2 = 3 1 − 5 = 47 , D 3 = 3 2 1 = 21 , 1 4 −2 4 3 −2 1 3 4
∴原方程组 有唯一解 : x1 =
P D F c re a te d w ith
D1 13 D2 47 D 3 = , x2 = = , x3 = 3 = . D 28 D D 4 28
一、二阶、三阶行列式 用消元法解 二元线性方程组 :
a11 x1 + a12 x 2 = b1 (1) a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 ( 2)
(1) × a 22 : a11a 22 x1 + a12 a 22 x 2 = b1a 22 ( 2) × a12 : a12 a 21 x1 + a12 a 22 x 2 = a12 b2
a11 b1 b1 a12 a11 a12 , , D2 = 设 D = a a , D1 = a21 b2 b2 a 22 21 22
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时, 即当 D ≠ 0 时, 方程组 有唯一解:
b1a 22 − a12 b2 = x1 = a11a 22 − a12 a 21
= a11a 22a33 + a13a 21a32 + a12a 23 a 31
− a13a 22a 31 − a11a23a32 − a12a21a33 为三阶行列式 .
a11 a12 a13 a11 a12 或: a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a33 a 31 a32
x1 = b1a 22 − a12 b2 , a11a 22 − a12 a 21 x2 = a11b2 − b1a 21 a11a 22 − a12 a 21
由方程组的四个 系数确定
如何工整简单便于 记忆地表示 这两个解?
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
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P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2. 逆序与逆序数 定义: 在一个 n 级排列 i1 , i2 , L , i s ,L , it ,L , in中, 若较大 的数 i s 排在较小的数 it 的 前面, 即 i s > it ( s < t ), 称这一 对数 i s , it 构成一个逆序 . 一个排列 i1 , i2 , L , in 中所有逆序的 总数称为 此排列的逆序数 , 记为τ ( i1 , i2 ,L , in ). 例 在五级排列 4 5 2 1 3 中,
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
10
例题与讲解 2 x1 − x 2 + x 3 = 0 例2: 解线性方程组 : 3 x1 + 2 x 2 − 5 x3 = 1 解: 由于方程组的 系数行列式
例题与讲解 例1: 解线性方程组 :
2 x1 x1
+ x2 = 5 − 3 x2 = − 1
2 1 解: D = 1 − 3 = − 7 ≠ 0 , 2 5 = −7 , 5 1 = − 14 , D = D1 = 2 1 −1 −1 − 3
D2 − 7 D1 − 14 = =1. ∴原方程组 有唯一解 : x1 = = = 2 , x2 = D −7 −7 D
11
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解 例3: 解方程
1 1 1 2 3 x =0 4 9 x2
解: 方程左端
D = 3 x 2 + 18 + 4 x − 12 − 9 x − 2 x 2
= x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2) ( x − 3)
2 = 2 ! = 2 项. 称为二阶行列式的展开式 , 展开式 共有 A2
主对角线
次对角线
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
对于二元线性方程组 :
a11 x1 + a12 x 2 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
一个三 级排列
45321
一个五 级排列123Fra bibliotekn一个 n 级排列
214
不是 排列
13243
不是 排列
1, 2, 3 可成的所有三级排列为 : 12 3 13 2 213 2 31
312
3 21
共有 3 × 2 × 1 = 3 ! = 6 个. 注1: n 级排列的总数为 n ! 个 . 注2: 1 2 3 L n 称为 n 级自然 序排列 .
3
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
§1.1 行列式的定义
Ø Ø Ø
一、二阶、三阶行列式 二、排列中的逆序与逆序数 三、n 阶行列式的定义
4
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
13
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
二、排列中的逆序与逆序数 1. 排列 定义: 由 n个自然数 1, 2, 3, L , n 组成的有序数组 i1 , i2 ,L , in 称为一个 n 级全排列, 简称排列 . 例: 2 3 1
4 5 2 1 3 ∴ τ ( 4 5 2 1 3 ) = 7.
或 4 5 2 1 3
3 3 1 0
4 5 2 1 3 0 2 3 2
∴τ = 2 + 3 + 2 = 7 .
15
∴τ = 3 + 3 + 1 = 7,
P D F c re a te d w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
+ + + 行, 列, 元素 三阶列式 共有3 行, 3 列, 3 2个元素, -
a i j ( i , j = 1,2,3),
3 等式右边的展开式 共有 A3 = 3 ! = 6 项.
每项是取自不同 行不同列的三个元 素的乘积, 即展开式 是所有取自不同 行不同列的三个元 素乘积 的代数 和.
《线性代数》
邹洁
1
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
第一章 行列式
行列式的概念是线性代数中最基本的概念之一 , 行列式的计算是线性代数中最基本的计算 . 行列式的概念是从解 线性方程组 的问题中引入的 . 一般把未知量的最高次数是一次的方程组称为 线性方程组 . 在中学代数学中 , 我们求解过一元、二元、三元 以至四元线性方程组 , 在本课程中 , 我们主要讨论一般的 n 元线性方程组 . 第一章是通过引入 行列式 这一概念来 解线性方程组的 . 第一章的线性方程组中 , 方程的个数 =未知量的个数 .
上两式相减消去 x2 , 得:
(a11a 22 − a12 a 21 ) x1 = b1a 22 − a12 b2 ,
类似地 , 消去 x1 , 得:
(a11a 22 − a12 a 21 ) x 2 = a11b2 − b1a 21
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时, 方程组的解为 :
5
定义: 称
a11 a12 D = a a = a11a 22 − a12 a 21 为二阶行列式 , 21 22
列标
也称为上二元线性方程组的 系数行列式 . 其中 ai j
行标
行列式的元 素 ( i , j = 1,2)
每一横排称为行 , 每纵排称为列 , 二阶列式 共有2行, 2列, 22 = 4 个元素, 代数式 a11a22 − a12 a21
a 31 a 32 a33 D j 是将 D中的第 j 列 换成方程组的 常数列 b1 , b2 , b3 而得到 的
三阶行列式 ( j = 1,2,3 ) 则当 D ≠ 0 时, 由加减消 元法得上方程组 有唯一解:
D1 D2 x1 = , x2 = , D D D3 x3 = . D
注意:
当 D = 0 时, 方程组 可能有 解(此时为无穷多 解), 也可能无 解, 以后将讨论.
8
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a11 a12 a13
定义: 称 D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
称为对角线法则 注: 对角线法则只适用 于 二阶与三阶行列式 .
16
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由 ( x − 2) ( x − 3) = 0 解得
x = 2 或 x = 3.
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一阶行列式 | a11 | 记为 a11 , 下面将 二阶, 三阶行列式 推广到 n 阶行列式 .
同理可得:
2 0 1 0 −1 1 2 −1 0 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D 2 = 3 1 − 5 = 47 , D 3 = 3 2 1 = 21 , 1 4 −2 4 3 −2 1 3 4
∴原方程组 有唯一解 : x1 =
P D F c re a te d w ith
D1 13 D2 47 D 3 = , x2 = = , x3 = 3 = . D 28 D D 4 28
一、二阶、三阶行列式 用消元法解 二元线性方程组 :
a11 x1 + a12 x 2 = b1 (1) a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 ( 2)
(1) × a 22 : a11a 22 x1 + a12 a 22 x 2 = b1a 22 ( 2) × a12 : a12 a 21 x1 + a12 a 22 x 2 = a12 b2
a11 b1 b1 a12 a11 a12 , , D2 = 设 D = a a , D1 = a21 b2 b2 a 22 21 22
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时, 即当 D ≠ 0 时, 方程组 有唯一解:
b1a 22 − a12 b2 = x1 = a11a 22 − a12 a 21
= a11a 22a33 + a13a 21a32 + a12a 23 a 31
− a13a 22a 31 − a11a23a32 − a12a21a33 为三阶行列式 .
a11 a12 a13 a11 a12 或: a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a33 a 31 a32
x1 = b1a 22 − a12 b2 , a11a 22 − a12 a 21 x2 = a11b2 − b1a 21 a11a 22 − a12 a 21
由方程组的四个 系数确定
如何工整简单便于 记忆地表示 这两个解?
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2. 逆序与逆序数 定义: 在一个 n 级排列 i1 , i2 , L , i s ,L , it ,L , in中, 若较大 的数 i s 排在较小的数 it 的 前面, 即 i s > it ( s < t ), 称这一 对数 i s , it 构成一个逆序 . 一个排列 i1 , i2 , L , in 中所有逆序的 总数称为 此排列的逆序数 , 记为τ ( i1 , i2 ,L , in ). 例 在五级排列 4 5 2 1 3 中,
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10
例题与讲解 2 x1 − x 2 + x 3 = 0 例2: 解线性方程组 : 3 x1 + 2 x 2 − 5 x3 = 1 解: 由于方程组的 系数行列式
例题与讲解 例1: 解线性方程组 :
2 x1 x1
+ x2 = 5 − 3 x2 = − 1
2 1 解: D = 1 − 3 = − 7 ≠ 0 , 2 5 = −7 , 5 1 = − 14 , D = D1 = 2 1 −1 −1 − 3
D2 − 7 D1 − 14 = =1. ∴原方程组 有唯一解 : x1 = = = 2 , x2 = D −7 −7 D
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p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解 例3: 解方程
1 1 1 2 3 x =0 4 9 x2
解: 方程左端
D = 3 x 2 + 18 + 4 x − 12 − 9 x − 2 x 2
= x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2) ( x − 3)
2 = 2 ! = 2 项. 称为二阶行列式的展开式 , 展开式 共有 A2
主对角线
次对角线
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
对于二元线性方程组 :
a11 x1 + a12 x 2 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
一个三 级排列
45321
一个五 级排列123Fra bibliotekn一个 n 级排列
214
不是 排列
13243
不是 排列
1, 2, 3 可成的所有三级排列为 : 12 3 13 2 213 2 31
312
3 21
共有 3 × 2 × 1 = 3 ! = 6 个. 注1: n 级排列的总数为 n ! 个 . 注2: 1 2 3 L n 称为 n 级自然 序排列 .
3
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
§1.1 行列式的定义
Ø Ø Ø
一、二阶、三阶行列式 二、排列中的逆序与逆序数 三、n 阶行列式的定义
4
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
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P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
二、排列中的逆序与逆序数 1. 排列 定义: 由 n个自然数 1, 2, 3, L , n 组成的有序数组 i1 , i2 ,L , in 称为一个 n 级全排列, 简称排列 . 例: 2 3 1
4 5 2 1 3 ∴ τ ( 4 5 2 1 3 ) = 7.
或 4 5 2 1 3
3 3 1 0
4 5 2 1 3 0 2 3 2
∴τ = 2 + 3 + 2 = 7 .
15
∴τ = 3 + 3 + 1 = 7,
P D F c re a te d w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
+ + + 行, 列, 元素 三阶列式 共有3 行, 3 列, 3 2个元素, -
a i j ( i , j = 1,2,3),
3 等式右边的展开式 共有 A3 = 3 ! = 6 项.
每项是取自不同 行不同列的三个元 素的乘积, 即展开式 是所有取自不同 行不同列的三个元 素乘积 的代数 和.