电磁场电磁波教案-4

10 12
黄铜
铁
7 1 .57 10
玻璃
橡胶
10
7
10 15
可见，银的电导率最高，但易氧化，金略低，但性能非常稳定。
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欧姆定律的积分形式：
l
S
J E
在恒定电流场中，沿电流方向
取一个微小圆柱，如图所示。
U
J d l Jdl J Jl Il U E d l dl RI l l σ lσ σ l σσS
J 0
此式表明，恒定电流场是无散的。
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4. 恒定电流场的边界条件
导电媒质中恒定电流场的基本性质是恒定电流场的无旋性和电流的
连续性。再加上欧姆定律的方程，则构成恒定电流场的基本方程。
积分形式
微分形式
J 0

J
l

dl 0
JdS 0
v
其中：v
dl ，因此，运流电流的电流密度为 dt dI J v dS
式中 为电荷密度。
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运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的
方向与电场强度的方向也可能不同。
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，
线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与
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3. 电流连续性原理 实验证明，电荷既不能产生，也不能消灭，即电荷总是守恒的。在
导电媒质中，考虑一个由闭合面S所包围的体积V中驻立电荷的体密度为
。则
q dV
V
则在时间Δ t内穿出闭合面的净自由电荷量必等于在同一时间里体积
内净电荷的减少量，即
q J d S d V S V t t
用一个矢量场（即电流场）来描述，该矢量场在空间各点不仅规定了
流动的强度，而且规定了它的方向。 设想有许多电流线，它们在各处都与流动的方向相切，假定某一 面积与电流线正交，则对于面上某一点可以定义一矢量J。 J描述了电
流分布的不均匀性。
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J dS

S
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷 的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。 因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
d I J d S
那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为
I J d S
S
此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。
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在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该
点的电场强度 E 成正比，即
J E
（欧姆定律的微分形式）
式中 称为电导率，其单位为 S/m 。当温度 一定时，对于一定的材料，
前相同。 仅适用于各向同性的线性媒质。 J E
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2. 电动势 稳恒电流是电流的大小及其正负都不随时间而变化的电流，即直流 电流。导体中要维持一个稳恒电流就必须与直流电源相接。 如图所示，首先将外接的导电媒质移去，讨论开路情况下外源内 部的作用过程。 在外源中非静电力作用下，正电 荷不断地移向正极板 P ，负电荷不断 地移向负极板 N。极板上的电荷在外源 中形成库仑电场 E ，其方向由正极板 指向负极板，而且随着极板上电荷的 增加不断增强。
e 表示，即
e
P
N
E d l
达到动态平衡时，在外源内部 E ，所以上式又可写为 E
e d l d l U E E
N P P N
为外源极板间的电压降，也是外电路的电压降。此式表明，外 U
源的电动势等于外电路中的电压降，或者从能量的观点来看，外源
中的外电场对单位正电荷作的功等于导电介质内恒定电场对单位正 电荷作的功。
t 0
JdS 0
S
此式表明，在恒定电流场中，电流密度通过任一闭合面的通量为
零。如果以一系列的曲线描述电流场，令曲线上各点的切线方向表
示该点电流密度的方向，这些曲线称为电流线。那么，电流线是连 续闭合的。它和电场线不同，电流线没有起点和终点，这一结论称
为电流连续性原理。
对于恒定电流场，根据高斯定理，求得其微分形式

E
N
外 源
断地向正极板补充新的正电荷，向负
极板补充新的负电荷。
为了维持电路中源源不断的稳恒电流，电源内部局外场强应大于实际
导体中的库仑场强；仅当电源开路时，二者相等。
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由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断
地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了 在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部 保持 E ，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电 E 流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
U I ，又知 J ，那么 dl dS
UI UI p EJ l d S d l d V
dl

U
J
dS
可见，圆柱体中的总功率损失为
P p V UI ld
这就是电路中的焦耳定律。
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例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介 电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 U 时，试求两层介质中的电场强度，单位体 积中的电场储能及功率损耗。 解 由于电容器外不存在电流，可以
其中： l 称为导体的电阻。 R
S
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在运流电流中取一个体积元dV=dSdl,电荷密度为ρ，自由电荷的
运动速度为v，设在dt时间内体积元内的电荷dq =ρdV全部从截面dS 穿出，因而形成的运流电流元为
dS
dl
d q d V d S d l d I v d S d t d t d t
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或正弦电流，如发电机和振荡器产生的电流等。
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根据电流形成的机理分类：传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子 运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成
的电流。（例如电子管、离子管或离子加速器中的电流。）
在导电媒质内部各点电流的分布一般是不同的，电流的分布可以
它是一个与电场强度无关的常数。 值愈大表明导电能力愈强，即使
在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。 电导率为无限大的导体称为理想导电体。显然，在理想导电体中， 无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可
能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限
大的能量。但是，任何能量总是有限的。
其中：J是包括传导电流与运流电流在内的自由电流密度。上式为电 荷守恒定律（即电流连续性方程）的积分形式。 应用高斯定理，可得其微分形式为：
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S
J d S J d V
V
J
t
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已知恒定电流场中导电媒质中的电场及电荷分布与时间无关， 即 ，由此得
I
2
3
4
t
直流电流和时变电流：如图所示，图中电流1是直流电流即稳恒电
流，其大小及符号均不随时间而变；电流2是脉动直流，其大小随时间
变化，而其符号不随时间而变，如整流器整流出的电流；电流3是一般 随时间变化的交变电流，其大小和符号均随时间而变，如交变的三角
形电流；电流4是常用的随时间按正弦规律变化的交变电流即时谐电流
JdS 0
S
由第一式可以导出边界两侧电流密度的切向分量关系为
J 1t J 2 t 1 2
由第二式可以导出边界两侧电流密度的法向分量关系为
J1n J2n
由此可见，在两种导电介质的边界两侧，电流密度矢量的切向分量 不连续，但其法向分量连续。
已知导电媒质中电流密度 J 与恒定电场 E 的关系为
S
J 0
J E
本构方程为
J E
可见，恒定电流场是无散无旋场，这里稳恒电场是有限区域内的 场，若场是无限区域内的场，则无散必有旋，无旋必有散，即无限
区域内不存在无散无旋场。
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根据积分形式的恒定电流场方程，可以推导出恒定电流场边界条件。

J
l

dl 0
第四章 恒定电流场
主 要 内 容 电流，电动势，电流连续性原理，能量损耗。 1. 电流及电流强度 2. 电动势 3. 电流连续性原理 4. 恒定电流场的边界条件
5. 恒定电流场的能量损耗
6. 恒定电流场与静电场的比拟
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1. 电流及电流强度 电流强度（简称电流）：电荷定向移动形成电流，电流是单位时间 q 通过导体中任一截面的电荷量，以 I 表示。即 I d 。电流的单位为 A dt （安培）。 1 i

l
根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：
J 0
J 0
可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的。
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但是电源的局外场强 E 并非由电荷产生，是外源中存在的外电
场产生的，故它是非库仑场即非保守场。