存在量词和特称命题-高中数学知识点讲解(含答案)

存在量词和特称命题（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共5小题）
1．（2014秋•西城区校级期中）给定下列命题： ①“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②若1sin 2α≠
，则6
π
α≠； ③“公比大于的等比数列是递增数列”的逆否命题； ④命题“0x R ∃∈，使20010x x -+”的否定． 其中真命题的序号是( ) A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．③④
2．（2014•东城区模拟）下列命题说法正确的是( ) A ．(1,)x ∀∈+∞使得12
0lnx x += B ．(0,1)x ∀∈使得12
0lnx x += C ．(1,)x ∃∈+∞使得1
20lnx x +=
D ．(0,1)x ∃∈使得12
0lnx x +=
3．（2013秋•北京校级月考）已知非空集合A 、B 满足A B ≠∅，下面命题一定正确的是( )
A ．x
B ∀∈，x A ∈
B ．x B ∃∈，x A ∉
C ．x A ∀∈，x B ∈
D ．x A ∃∈，x B ∈
4．（2012秋•西城区校级期中）下列命题中是假命题的是( ) A ．R ∀Φ∈，函数()sin(2)f x x =+Φ都不是偶函数 B ．0a ∀>，()f x lnx a =-有零点
C ．α∃，R β∈，使cos()cos sin αβαβ+=+
D ．m R ∃∈，使3
43
()(1)m
m f x m x -+=-，且在(0,)+∞上递减
5．（2011秋•朝阳区期末）命题“000,x x R e x ∃∈>”的否定是( ) A ．000,x x R e x ∃∈< B ．0,x x R e x ∀∈< C ．0,x x R e x ∀∈ D ．000,x x R e x ∃∈
二．填空题（共6小题）
6．（2019秋•平谷区期末）已知命题0:p x R ∃∈，使得2
0010x x ++<，那么此命题是 命题（填“真”或“假” )；
7．（2019•西城区一模）能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=︒+︒，其中k Z ∈”为假命题的一组α，β的值是 ．
8．（2018秋•顺义区期末）能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a b ab -=是真命题”的一组有序数对(,)a b 为 ．
9．（2019•延庆区一模）设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R ∈使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x = ．
10．（2015春•延庆县期末）若存在0x R ∈，使2
020ax x a ++<，则实数a 的取值范围是 ． 11．（2015春•西城区校级期中）已知{}n a 成等差数列，d 为公差，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n S S =，则0m n S +=．(n
S 为{}n a 的前n 项和）类比上述结论：{}n b 为等比数列，q 为公比，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n T T =，则 (n T 为{}n b 的前n 项积）．
存在量词和特称命题（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2014秋•西城区校级期中）给定下列命题： ①“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②若1sin 2α≠
，则6
π
α≠； ③“公比大于的等比数列是递增数列”的逆否命题； ④命题“0x R ∃∈，使20010x x -+”的否定． 其中真命题的序号是( ) A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．③④
【分析】直接由充分条件、必要条件的判断方法判断①；由三角函数的值判断②；举例说明③错误；由原命题为假，说明其否定真判断④．
【解答】解：①，1x >不能推出2x >，2x >一定有1x >，
∴ “1x >”是“2x >”的必要不充分条件，命题①错误；
②，若1sin 2α≠
，则6
π
α≠，命题②正确； ③，数列1-，2-，4-，⋯的公比大于1，不是递增数列，
∴ “公比大于1的等比数列是递增数列”是假命题，其逆否命题是假命题；
④，对任意实数x ，210x x -+>恒成立，
∴命题“0x R ∃∈，使20010x x -+”为假命题，则其否定为真命题．
∴真命题的序号是②④．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件、必要条件的判断方法，考查了命题的否定，是基础题．
2．（2014•东城区模拟）下列命题说法正确的是( ) A ．(1,)x ∀∈+∞使得12
0lnx x += B ．(0,1)x ∀∈使得12
0lnx x += C ．(1,)x ∃∈+∞使得1
20lnx x +=
D ．(0,1)x ∃∈使得12
0lnx x +=
【分析】根据特称命题和全称命题的定义进行判断即可． 【解答】解：设12
()f x lnx x =+，则f （1）1110ln =+=>，
当0x →时，12
()0f x lnx x =+<，
∴根据根的存在性定理可得在(0,1)x ∈函数()f x 存在零点，
故选：D ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键． 3．（2013秋•北京校级月考）已知非空集合A 、B 满足A B ≠∅，下面命题一定正确的是( )
A ．x
B ∀∈，x A ∈
B ．x B ∃∈，x A ∉
C ．x A ∀∈，x B ∈
D ．x A ∃∈，x B ∈
【分析】根据交集的定义，进行判断即可． 【解答】解：非空集合A 、B 满足A
B ≠∅，
∴根据交集的定义，可知A ，B 至少含有一个公共元素，
即x A ∃∈，x B ∈． 故选：D ．
【点评】本题主要考查集合交集的意义，比较基础．
4．（2012秋•西城区校级期中）下列命题中是假命题的是( ) A ．R ∀Φ∈，函数()sin(2)f x x =+Φ都不是偶函数 B ．0a ∀>，()f x lnx a =-有零点
C ．α∃，R β∈，使cos()cos sin αβαβ+=+
D ．m R ∃∈，使3
43
()(1)m
m f x m x -+=-，且在(0,)+∞上递减
【分析】通过正弦函数的奇偶性判断A 的正误；函数的零点判断B 的正误；两角和的余弦函数判断C 的正误；幂函数的性质判断D 的正误；
【解答】解：R ∀Φ∈，函数()sin(2)f x x =+Φ都不是偶函数；当2
π
Φ=
时函数是偶函数，所以A 不正确；
0a ∀>，()f x lnx a =-有零点，对数函数的值域可知，方程有零点，B 正确；
α∃，R β∈，使cos()cos sin αβαβ+=+；0αβ==时，C 正确；
m R ∃∈，使3
43
()(1)m
m f x m x -+=-，且在(0,)+∞上递减，当10m -<，3430m m -+>，D 正确；
故选：A ．
【点评】本题考查命题的判断，正弦函数的奇偶性，函数的零点，两角和与差的余弦函数，幂函数的单调性的判断，考查基本知识的应用．
5．（2011秋•朝阳区期末）命题“000,x x R e x ∃∈>”的否定是( ) A ．000,x x R e x ∃∈< B ．0,x x R e x ∀∈< C ．0,x x R e x ∀∈
D ．000,x x R e x ∃∈
【分析】直接依据特称命题的否定，写出判断即可． 【解答】解：命题“000,x x R e x ∃∈>”是个特称命题， 否定是 0,x x R e x ∀∈ 故选C
【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化． 二．填空题（共6小题）
6．（2019秋•平谷区期末）已知命题0:p x R ∃∈，使得2
010x x ++<，那么此命题是 假 命题（填“真”或“假” )；
【分析】直接命题的判定的应用和利用关系式的变换的应用求出结果． 【解答】解：由于2
2000131()024
x x x ++=++>，
所以，不存在任何数使2
010x x ++<成立， 故该命题为假命题． 故答案为：假．
【点评】本题考查的知识要点：真假命题的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 7．（2019•西城区一模）能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=︒+︒，其中k Z ∈”为假命题的一组α，β的值是 110α=︒，20β=︒ ．
【分析】若sin cos αβ=，则36090()k k Z αβ=︒+︒±∈，而命题中只给出了36090()k k Z αβ=︒+︒-∈的情况，故可从另一种情况中找反例．
【解答】解：若sin cos αβ=，则36090()k k Z αβ=︒+︒±∈，命题中36090k αβ=︒+︒-，()k Z ∈，
要否定命题，只须从36090()k k Z αβ=︒+︒+∈中找一个反例即可，如110α=︒，20β=︒，
（答案不唯一，再如120α=︒，30β=︒等，只要满足36090()k k Z αβ=︒+︒+∈且36090()k k Z αβ≠︒+︒-∈即可作为反例．
故填：110α=︒，20β=︒．
【点评】本题考查了三角函数的值及三角函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．
8．（2018秋•顺义区期末）能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a b ab -=是真命题”的一组有序数对(,)a b 为 1(2，1
)3
．
【分析】直接利用探索法求出结果． 【解答】解：当12a =，1
3
b =时，存在两个不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=是真命题． 故答案为：12a =
，13
b =．
【点评】本题考查的知识要点：合情推理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9．（2019•延庆区一模）设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R ∈使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x = 1
()12
x + ．
【分析】根据题意，分析可得举出一个一个值域大于等于1的减函数即可，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若存在0x R ∈使得0()1f x <”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于1的减函数， 分析可得：1
()()12x f x =+符合要求；
故答案为：1
()12
x +（答案不唯一）．
【点评】本题考查存在量词和特称命题的定义以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
10．（2015春•延庆县期末）若存在0x R ∈，使2
020ax x a ++<，则实数a 的取值范围是 1a < ． 【分析】写出命题：存在0x R ∈，使20020ax x a ++<的否定，求出对命题的否定成立时a 的范围， 再求该命题成立时a 的取值范围．
【解答】解：命题：存在0x R ∈，使20020ax x a ++<的否定为： 对任意x R ∈，都有220ax x a ++恒成立；
先求对任意x R ∈，都有220ax x a ++恒成立时a 的范围： ①当0a =时，该不等式化为20x ，即0x ，不合题意； ②当0a ≠时，有22
240a a >⎧⎨=-⎩
，解得1a ， 由①②得a 的范围是：1a ；
所以，存在0x R ∈，使20020ax x a ++<时a 的取值范围是：1a <． 故答案为：1a <．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的应用问题，也考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目． 11．（2015春•西城区校级期中）已知{}n a 成等差数列，d 为公差，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n S S =，则0m n S +=．(n
S 为{}n a 的前n 项和）类比上述结论：{}n b 为等比数列，q 为公比，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n T T =，则 1m n T += (n T 为{}n b 的前n 项积）
． 【分析】根据已知中等差数列的性质，类比推理，可得相关的等比数列的性质．
【解答】解：由已知{}n a 成等差数列，d 为公差，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n S S =，则0m n S +=．(n S 为{}n a 的前n 项和）
类比上述结论：{}n b 为等比数列，q 为公比，若m ∃，n N +∈，m n ≠，使m n T T =，则1(m n n T T +=为{}n b 的前n 项积）． 故答案为：1m n T +=
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．。