广西省钦州市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

广西省钦州市2021届新高考数学第三次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】
由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b == 则22212125a bi i +=+=+= 故选：D 【点睛】
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.
2．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列出方程组求解即
可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题. 3．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121
()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为21
1210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】
【分析】
根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】
解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，
由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，
∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．
5．已知(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r ，那么0a b =r r g 是()4
k k Z π
απ=+∈的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由0a b =r r
g ，可得cos20α=，解出即可判断出结论． 【详解】
解：因为(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r 且0a b =r r g
22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==g g ． 222
k π
απ∴=±
，解得()4
k k Z π
απ=±
∈．
∴0a b =r r g 是()4
k k Z παπ=+∈的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．28π
C ．29π
D ．30π
【答案】C 【解析】 【分析】
作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =
+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接
球的表面积. 【详解】
三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.
矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =
+
因此，该三棱锥的外接球的表面积为()2
24229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )
A ．90π平方尺
B ．180π平方尺
C ．360π平方尺
D ．13510π平方尺
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项. 【详解】
由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥P ABC -，O 为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以O 为PC 的中点， 设球半径为R ，则
()()
2
2
222222145+45744211++2R PC AB BC PA ⎛⎫+==
⎪⎝⎭
==,所以外接球的表面积245
44902
R S πππ==⨯
=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.
8．已知点P 是双曲线22
2222:1(0,0,)x y C a b c a b a b
-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近
线的距离之积为2
14
c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．2
【答案】A 【解析】
【分析】
设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为2
14
c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】
设点P 的坐标为(,)m n ，有22
221m n a b
-=，得222222b m a n a b -=.
双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C
的两条渐近线的距离之积为
2222
22
22
2b m a n a b a b c
-=
=+， 所以222214
a b c c =，则22244()a c a c -=，即()2
2220c a -=，故2220c a -=，即2
222c e a ==
，所以
e =故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
9．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n
n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）
①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误
【答案】A 【解析】 【分析】
利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n
n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,
从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【详解】
因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,
因为n n
n a αβ=+,
所以11
1n n n a αβ+++=+
()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,
即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()2
22223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,
数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 10．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，
则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6
C ．3
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⋅=，
则()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1
2
01x x <
<， 故120x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，
令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=<
⎪⎝⎭
， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
11．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直，
所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2
()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数()32,0
log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，则
=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭
的值，再求得3f f ⎛⎫
⎛ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的值.
【详解】
依题意1
2
331log log 32f -===-⎝⎭
，1
21222f f f -⎛
⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线x y e =在点(
)0
0,x P x e
处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对
数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______. 【答案】ln 6 【解析】。