2024-2025学年北京五十五中九年级(上)月考数学试卷(9月份)+答案解析

2024-2025学年北京五十五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是()
A.2，3，
B.2，，1
C.2，，
D.，3，1
2.抛物线的顶点坐标是()
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为()
A. B.1 C. D.0
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()
A. B. C. D.且
5.抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为()
A. B.
C. D.
6.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是()
A.，
B.，
C.，
D.，
7.若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为()
A. B. C. D.
8.二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④
其中正确的结论个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x…013…
y…00…
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数可改写为的形式；
②二次函数的图象开口向下；
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2；
④若，则；
其中所有正确的结论为()
A.①④
B.②③
C.②④
D.①③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

10.若是关于x的方程的解，则的值为______.
11.抛物线的对称轴是______.
12.用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则mn的值为______.
13.已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为______.
14.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题8分
解方程：
；
16.本小题8分
在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，两点.
求该抛物线的解析式；
画出该函数的图象；
当时，直接写出y的取值范围.
17.本小题8分
已知：关于x的一元二次方程
求证：该方程总有两个实数根.
若方程的有一个根大于3，求k的取值范围.
18.本小题8分
在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线
若对于，，请用t表示；
若对于，，都有，求t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，，
故选：
根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：
由二次函数的顶点式可得二次函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3.【答案】C
【解析】解：将代入原方程得：，
解得：
故选：
将代入原方程，解之即可得出a的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有不相等
的实数根时，必须满足
【解答】解：依题意列方程组
，
解得且
故选：
5.【答案】C
【解析】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线
解析式为：，即
故选：
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
A、若，，，不符合题意；
B、若，，，不符合题意；
C、若，，，符合题意；
D、若，，，不符合题意．
故选：
利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7.【答案】B
【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
故选：
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的
性质．
8.【答案】B
【解析】解：①抛物线的开口方向向上，
对称轴，
，
又该抛物线与y轴交于负半轴，
；故①错误；
②根据图象知，当时，，即；故②正确；
④当时，，即，
由②可得：，
把式代入式中得：；故④错误；
③对称轴，
，
，
，即；故③正确；
综上所述，正确的说法是：②③；
故选：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，此题要会利用图象找到所需信息，也要会用不等式和等式结合来解题．
9.【答案】D
【解析】解：和时的函数值相同，都是1，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点为，
可改写为的形式，
所以①正确；
由表格可知时函数的值最小，
抛物线的开口向上，
故②错误；
与关于对称轴对称，
时，，时，，
的两个根为0或2，
故③正确；
抛物线的开口向上，和时，，
若，则或，
故④错误；
故选：
根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
10.【答案】2027
【解析】解：把代入方程得：，即，
则原式，
故答案为：
把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11.【答案】直线
【解析】解：抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：直线
根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴公式直线
12.【答案】
【解析】解：由题知，
，
所以方程可变形为：，
则，，
所以
故答案为：
利用配方法对所给方程进行变形，再进行对比求出m及n的值即可．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，对称轴，
当时，y随x的增大而增大，
当时，；时，，
当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：
根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关键是二次函数性质的应用．
14.【答案】
【解析】解：当时，由得，对称轴是直线，
是函数的最小值，且是函数的最大值，
，
又任意的，都存在，使得，
当时，
，是增函数，
解得
综上所述实数a的取值范围是
故答案为：
由任意的，都存在，使得，可得在的值域
为在的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．
本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“在的
值域为在的值域的子集”是解答的关键．
15.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
或，
所以，
【解析】先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
16.【答案】解：由题意，得，
解得，
则抛物线的表达式为：；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
列表：
x…01234…
y…3003…
描点、连线，画出函数图象如下：
当时，，
当时，，
函数当时，有最小值，
当时，
【解析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
利用画函数图形的一般方法画出函数图象即可；
根据和时的函数值，以及函数的最小值，结合函数图象即可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，列表法画函数图象，函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
17.【答案】证明：依题意，得，
，
，
该方程总有两个实数根．
解：解方程得，，，
该方程有一个根大于3，
，
【解析】求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论；
解方程得，，根据方程有一个根大于2得到，即可得到k的取值范围．
此题考查了根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
18.【答案】解：，
与关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，，
；
对于，，都有，分情况讨论：
①，都在对称轴的左侧，如图1，
，，
，
解①得：
解②得：
；
②在对称轴左侧，在对称轴的右侧，如图2：
，，
，
解①得：，
解②得：，
解③得：，
；
③，都在对称轴的右侧，如图3，
，，
，
解①得：，
解②得：，
不等式组无解；
④在对称轴右侧，在对称轴的左侧，如图4：
，，
，
解①得：，
解②得；，
解③得：，
不等式组的解集为：
综上分析，
t的取值范围为或或
【解析】利用对称轴性质变形即可得到；
根据点MN在对称轴的位置不同，分四种情况讨论①，都在对称轴的左侧，如图1，②在对称轴左侧，在对称轴的右侧，如图2；③，都在对称轴的右侧，如图3；④在对称轴右侧，在对称轴的左侧，如图4，根据，
，都有，分别列出不等式组求出t的取值范围即可．
本题考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．。