(压轴题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(答案解析)(4)

一、选择题
1．已知函数()2
2ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值
为（ ） A ．52
-
B ．92ln 32
-
C ．1-
D ．2ln 24-
2．已知函数2
1()ln 2
f x x x a =-
-，若0x ∃>，()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ B ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C ．(],1-∞
D ．(]
,e -∞
3．已知函数()22sin x m f x e x +=-在30,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的零点，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．3,4
4ππ⎫
⎡-
-⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,24ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
4．设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式
(21)(2)0f x f x --->的解集为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(,3)-∞-
C ．(3,)-+∞
D ．(1,)(,1)+∞⋃-∞-
5．已知曲线1C ：()x
f x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a x
g x a x
=
∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）
A ．有唯一零点
B ．有两个零点
C ．没有零点
D ．不确定
6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式
()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，
， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，
， C ．(0)+∞，
D ．(3)+∞，
7．已知函数()()3
0f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知实数2343a e =，4565b e =，6
7
87
c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>
9．已知函数()()()110ln x f x x x
++=>，若()1k
f x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．已知定义域为R 的函数 f x （） 的导函数为'f x （） ，且满足'24f x f x （
）﹣（）＞ ，若 01f =（）﹣ ，则不等式22x f x e +（）＞ 的解集为（ ）
A ．∞（0，+）
B ．1+∞（﹣，）
C ．0∞（﹣，）
D ．1（﹣，﹣）
∞ 11．()f x 是R 上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()()0xf x f x '->，且()30f =，则不等式
()
0f x x
>的解集为（ ） A ．()3,+∞
B ．()(),33,-∞-+∞
C ．()()3,03,-⋃+∞
D ．()
()3,00,3-
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+
D ．(3)2(2)2f e ef +>+
二、填空题
13．已知函数()()1ln 1x
f x x x
+=
>，若对任意两个不同的1x ，2x ，都有()()1212ln ln f x f x k x x -≤-成立，则实数k 的取值范围是________________
14．对于函数22,0()1
2,0
2x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22
e
-； ②函数f (x )的最小值为2e
-
； ③该函数图象与x 轴有4个交点；
④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____.
15．已知函数()2
ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，则实数a 的取
值范围为______．
16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若361,,S S
成等差数列，则
93
2
6S S S -的最大值为________
17．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.
18．若函数2sin y x ax =+在[]0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______.
19．已知函数()1ln x f x x
+=
，若关于x 的不等式()()2
0f x af x ->恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是_______.
20．已知函数()()3
1f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点
0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.
三、解答题
21．已知函数()()2
3x
f x m e x =-+，且()03f '=.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设()2
2g x x ax a =+-，若对任意2x ≥，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.
22．已知函数()2
ln 2f x x x =-，函数()2
1
2g x x a x
=--
+. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 23．函数()x
g x xe =，()2
2
a h x x ax =
+，()()()f x g x h x =- （1）求函数()g x 在0x =处切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 24．已知()()2log 1f x x =+.
（1）若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围；
（2）若关于x 的方程()40x
f x m -+=有解，求实数m 的取值范围.
25．已知函数()3
213 1.3
f x x x x =
+-- （1）求函数()f x 的极值；
（2）求函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值与最小值． 26．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦的最大值.
【详解】
()22ln 3f x x ax x =+-，则()2
23f x ax x
=
+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得1
2a =
，则()212ln 32
f x x x x =+-， ()2232
3x x f x x x x
-+'=+-=
，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：
所以，函数()f x 的极大值为()12
f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又
1112ln 228f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，()932ln 32f =-，
()()()95
312ln 32ln 322ln 31022
f f -=-+=-=->，则()()13f f <，
所以，()()max 932ln 32
f x f ==-. 故选：B. 【点睛】
思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
2．A
解析：A 【分析】 由()f x 得21ln 2a x x ≤-，设21
()ln 2
g x x x =-，利用导数求()g x 的最大值可得答案. 【详解】 由21()ln 2f x x x a =-
-，得21ln 2a x x ≤-．设21
()ln 2
g x x x =-，则2
11()x g x x x x
-'=-=
．令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而1
()(1)2
g x g ≤=-
， 故12
a ≤-
． 故选：A. 【点睛】
本题考查了能成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数求最值，考查了分析问题、解决问题的能力.
3．A
解析：A 【分析】
()0f x =有两解变形为m e =
设()g x =单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】
由()2sin x m f x x +=
-得m e =
()g x =
2(cos sin )
()x
x x g x e
-'=
，
易知当04
x π
<<时，()0g x '>，()g x 递增，当
34
4
x π
π
<<
时，()0g x '<，()g x 递减，
(0)0g =，4
14g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，34
314g e ππ
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，如图是()g x 的大致图象， 由2sin m
x
x e e =
有两解得34411m e e e
ππ≤<，所以344m ππ-≤<-． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2m x
x
e e =
，问题转化为2()x
x g x e
=的图象与直线m
y e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．
4．D
解析：D 【分析】
利用导数判断函数在[)0,+∞的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式. 【详解】
当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x
f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即
()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函
数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则不等式
(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.
故选：D. 【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性
脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则
()()()f x f x f x -==． 5．A
解析：A 【分析】
先对函数()x
f x xe =和()ln a x
g x x
=
求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln x
h x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】
∵()x
f x xe =，∴()()1x
f x x e '=+，
又()ln a x g x x =
，∴()2
ln a a x
g x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()0
2
ln1
101a a e -+=
，∴1a =， 则()()()ln ln x
x x
h x f x g x xe e x x
==⋅
=， ∴()()ln 1ln x
x x
x x e
e h x e x x x
+==
'+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，
当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；
∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫
=-> ⎪
⎝⎭
， ∴()0m x >，则()0h x '>，
∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.
()h x 在()0,∞+上有唯一零点，
故选：A ． 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）
6．C
解析：C 【分析】
构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得
()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，
根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】
令()()3x x g x e f x e =⋅--，
则()()()[()()1]0x
x
x
x
g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0
(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，
即不等式的解集是(0)+∞，
， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于
()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 7．B
解析：B 【分析】
利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项. 【详解】
()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点
()0,c 对称，排除A 选项；
()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，
当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；
当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项. 故选：B ． 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．C
解析：C 【分析】
根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】
构造函数'
()(2)()(1)x
x
f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'
()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'
()0,()f x f x >单调递增.
因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6
786()77
c e f ==，246357<<， 所以6
42()()()7
53
f f f >>，即c b a >>.
故选：C 【点睛】
关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键.
9．B
解析：B 【分析】 将不等式化为
()()111ln x x k x +++>，令()()
()111ln x g x x
x ++=+，求出导函数，利
用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得
()()001()g x x x g ≥=+，即求.
【详解】
()()
()1ln 10x f x x x
++=>，
()1k f x x ∴>
+可化为()111
ln x k x x ++>+ 即
()
()111ln x x k x
+++>， 令()()
()111ln x g x x
x ++=
+，
则()()()()2
1ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣
⎦'= ()
2
11x ln x x
--+=
令()()11h x x ln x =--+， 则()1
11
h x x '=-
+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.
又
()()1ln 32ln 4
20,30,49
g g --''=
<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，
即()0011ln x x +=-.
当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，
()()00000
1ln 1)
)1(()(1x x g x x x x g +∴≥=
=+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，
∴正整数k 的最大值为3.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.
10．A
解析：A 【解析】 设()()22x
f x F x e +=
，则()()()224
x
f x f x F x e '--'=
，
∵f (x )−2f ′(x )−4>0，∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增， ∵f (0)=−1,∴F (0)=1，
∴不等式f (x )+2>e 2x 等价为不等式()221e x
f x +>等价为
F (x )>F (0)，
解得x >0，
故不等式的解集为(0,+∞)， 本题选择A 选项.
11．C
解析：C
【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=，求导，利用()g x 的单调性和奇偶性解不等式． 【详解】 设()()
f x
g x x
=（0x ≠）， 则()()()
2
xf x f x g x x
'-'=
， ∵当()0,x ∈+∞时，()()0xf x f x '->， ∴()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()f x 是R 上的偶函数， ∴()()()
()f x f x g x g x x x
--=
=-=--， 即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上单调递增， ∵()30f =， ∴()()()
33303
f g g -=-=-=. 而不等式
()
0f x x
>等价于()0g x >， ∴30x -<<或3x >. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
设()()2x
x
F x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '
+<可得()F x 在R 上单调递减，根据
(2)(3)F F >可得结果.
【详解】
设()()2x x
F x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x x
F x e f x e f x e e
f x f x '''=+-=+-，
因为()()2f x f x '
+<，所以()()()20F x e f x f x ''
⎡⎤=+-<⎣⎦，
所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2
2
3
3
(2)2(3)2e f e e f e ->-，
故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】
本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先对求导判断其单调性不妨设可对原不等式去绝对值得等价于构造函数可得在单调递增分离得由即可求解【详解】当时所以所以在单调递减不妨设则所以等价于即设则所以在单调递增对于恒成立所以可得对于恒成立设
解析：1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
先对()f x 求导判断其单调性，不妨设121x x <<，可对原不等式去绝对值得
()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，等价于()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，构造函数()()ln g x f x k x =+，可得()()ln g x f x k x =+在()1,+∞单调递增，()0g x '≥，分离
得ln x
k x ≥
，由max
ln x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】
()()22
1
1ln ln x x x x f x x x ⋅-+-'==
, 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x '<， 所以()1ln x
f x x
+=
在()1,+∞单调递减， 不妨设121x x <<，则()()120f x f x ->，12ln ln 0x x -<，
所以()()1212ln ln f x f x k x x -≤-等价于()()()1221ln ln f x f x k x x -≤-， 即()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+， 设()()ln g x f x k x =+，则()()12g x g x <， 所以()()1ln ln ln x
g x f x k x k x x
+=+=
+在()1,+∞单调递增， ()22ln ln 0x k kx x
g x x x x
--'=
+=≥对于()1,x ∈+∞恒成立， 所以ln 0kx x -≥，可得ln x
k x
≥
对于()1,x ∈+∞恒成立，
设()ln x
h x x
=
，只需()max k x h ≥， ()22
1
ln 1ln x x
x x h x x x ⋅--'==
， 当1x e <<时()0h x '>，()ln x
h x x
=单调递增， 当x e >时，()0h x '<，()ln x
h x x
=单调递减， 所以()()max ln 1e h x h e e e
===，所以1
k e ≥，
故答案为：1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为
()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求
()g x 的最值即可.
14．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(
解析：①②④ 【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】
x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22
e
-
，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e
-
， x ＞0时，f (x )＝2
1
22x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝12
2e
->-
故f (x )有最小值2
e
-
，②④正确； 令20x x e ⋅=得0x =，令2
1202x x -+
=
得22
x =，故该函数图象与x 轴有3个交
点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.
15．【分析】先由题意得到关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实根令对其求导判定其单调性以及的取值情况即可得出结果【详解】因为函数的图象与x 轴交于不同两点所以关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实 解析：1a >
【分析】
先由题意，得到关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即
2ln 1
x x x a +=在()0,∞+上有两不等实根，令()2
ln x x g x x
+=，对其求导，判定其单调性，以及()g x 的取值情况，即可得出结果. 【详解】
因为函数()2
ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，
所以关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即
2ln 1
x x x a
+=在()0,∞+上有两不等实根，
令()2ln x x g x x +=
，则()2
ln x x g x x
+=与直线1
y a =有两个不同交点， 又()()2
43
11ln 212ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅ ⎪--⎝⎭
'==
， 令()12ln h x x x =--，则()2
10h x x
'=--
<在()0,∞+上恒成立，则()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，
又()10h =，
所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()3
12ln 0x x
g x x
--'=>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()3
12ln 0x x
g x x
--'=<，则()g x 单调递减； 所以()()max 110g x g ==>，
又2
11
101e
g e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =；
因此当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,1x x ∈时，()0g x >； 又当1x >时，ln 0x >，所以()0g x >； 因此，为使()2ln x x g x x +=与直线1
y a =有两个不同交点，只需
101a
<<，解得1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法处理由函数零点个数求参数问题时，一般需要根据函数零点个数，得到对应方程的根的个数，再分离参数，构造新的函数，对新函数求导，利用导数的方法判定其单调性，确定函数的取值情况，进而可求出结果.（也可利用数形结合的方法求解）
16．【分析】设正项等比数列的公比为由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得由等比数列的性质可得进而可得令结合导数即可得的最大值即可得解【详解】设正项等比数列的公比为因为成等差数列当时不合题意；当时即
解析：3-
【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得
(
)
12
3
11q
a q -=
-，由等比数列的性质可得932663S S S S q -=，进而可得()393233611q q S S S q
--=+，令3
0t q =>，()()11t t
t t f -=
+，结合导数即可得()f t 的最大值，即可得解.
【详解】
设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >， 因为361,
,S S 成等差数列，
当1q =时，362S S =，不合题意； 当1q ≠时，3621S S =+即(
)()3
6
11
112111a q a q q
q
=----+⋅
，化简得(
)
1
2
3
11q
a
q -=
-，
又()3
3465139698q
S S a a a q a a a S =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-，
所以()
()
(
)
()
()
393223
6
6
66612
3
33333
611111111q q S S S q q S S S q q q q q a q
q q q
---=====-+-⋅---， 设3
0t q =>，()()11t t
t t f -=
+，则()()()()()()
2222
12121
11t t t t t t f t t t -+----+'==++， 令()0f t '=
可得110t =<
，210t =>，
所以()f t
在(
)
1
上单调递增，在)1,+∞上单调递减，
所以(
)
)
max
1213f t f ⎡⎤
===-⎣⎦
所以
93
2
6S S S -
的最大值为3-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.
17．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式 解析：32()232f x x x
【分析】
待定系数法:设32
()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''=
联立求解可得. 【详解】
设32
()f x ax bx cx d =+++，2
()32f x ax bx c '=++
由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=
2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302
a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x
故答案为：32()232f x x x
【点睛】
求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.
18．【分析】求出函数的导数问题转化为即可得到本题答案【详解】由题得因为函数在递增所以在恒成立即又当时所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围考查学生的转化能力和运算求解能力 解析：[)2,+∞
【分析】
求出函数的导数，问题转化为()max 2cos a x ≥-，即可得到本题答案. 【详解】
由题，得2cos y x a '=+， 因为函数在[]0,2π递增，
所以2cos 0y x a '=+≥在[]0,2π恒成立， 即()max 2cos a x ≥-，
又当[]0,2x π∈时，22cos 2x -≤-≤， 所以2a ≥， 故答案为：[)2,+∞
【点睛】
本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力.
19．【分析】先对函数求导判定其单调性分别讨论三种情况即可得出结果【详解】因为所以由得；由得；所以函数在上单调递增在上单调递减；画出函数的大致图象如下当时由得或为使满足关于的不等式恰有两个整数解只需即；当
解析：1ln 31ln 2,32++⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
先对函数()1ln x
f x x
+=求导，判定其单调性，分别讨论0a >，0a =，0a <三种情况，即可得出结果. 【详解】
因为()1ln x
f x x
+=
， 所以()22
11ln ln x x
f x x x
--'=
=-， 由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >；
所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 画出函数()f x 的大致图象如下，
当0a >时，由()()2
0f
x af x ->得()f x a >或()0f x <，为使满足关于x 的不等式
()()20f x af x ->恰有两个整数解，只需()()
23f a f a ⎧>⎪
⎨≤⎪⎩，
即1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭；
当0a =时，由()()2
0f
x af x ->得()20f x >，即()0f x >或()0f x <，所以
1≥x ，不能满足题意；
当0a <时，由()()2
0f x af x ->得()f x a <-或()0f x >，所以1≥x ，不能满足题
意；
综上，1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.
20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题 解析：3
【分析】
根据()00f x '=得出()2
031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出
102x x +的值.
【详解】
()()31f x x ax b =---，()()2
31f x x a '∴=--，
由题意可得()()2
00310f x x a '=--=，则()2
031a x =-，
10x x ≠，100x x ∴-≠，
()()10f x f x =，()()3
3
110011x ax b x ax b ∴---=---，
()()()33
101011x x a x x ∴---=-，
()()()()()()22
101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦
，
()()()()()222
11000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()2
2
1100111210x x x x ∴-+----=，
()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，
10230x x ∴+-=，即1023x x +=.
故答案为：3. 【点睛】
本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）()2
3x f x e x +=；（2）(
3,3e ⎤-∞⎦.
【分析】
（1）求得()f x '，利用()03f '=求出m 的值，即可得出函数()f x 的解析式； （2）分2x =、2x >两种情况讨论，在2x =时可得出a R ∈；在2x >时，由参变量分
离法得出32x e a x ≤-，利用导数求出函数()32
x e h x x =-在区间()2,+∞上的最小值，综合可
得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）
()()23x f x m e x =-+，()()32x f x m e x '∴=-+，则()033f m '=-=，解得
6m =，
因此，()2
3x
f x e x +=；
（2）①当2x =时，则()()2
2
3x
f x e x x
g x =+≥=成立，此时a R ∈；
②当2x >时，由题意得32
x
e a x ≤-恒成立，
令()32
x
e h x x =-，其中2x >，得()min a h x ≤，以下只需求()min h x .
()()
()
2
332x e x h x x -'=
-，当23x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；
当3x >时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以()()3
min 33h x h e ==，所以33a e ≤.
综上所述，实数a 的取值范围是(
3
,3e ⎤-∞⎦.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.
22．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；（2）(],1-∞. 【分析】
（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间； （2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+
对于1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，设()1
ln h x x x
=+
，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】
（1）函数()2
ln 2f x x x =-的定义域为0,
，
则()()()21212114'4x x x f x x x x x
-+-=-==， 由题意120x +>，得
当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
x 时，()()'0,f x f x >递增， 当1,2⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
x 时，令()()'0,f x f x <递减， 所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
； （2）对任意1
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，函数()()f x g x ≥恒成立， 即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立， 令()1ln h x x x
=+， 则()22111'x h x x x x
-=
-=， 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，()'0h x <， 函数()h x 单调递减， 当时()1,∈+∞x ，()'0h x >， 函数()h x 单调递增，
所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=， 从而a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识
点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
23．（1）y x =；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求出()g x '、()0k g '=，再求出切点坐标可得答案；
（2）求出()f x '，讨论0a ≤、0a >的范围，利用导数可得函数的单调性，注意0a >时，再分ln 1a =-、ln 1a <-、ln 1a >-讨论函数()f x 的单调性.
【详解】
（1）()()1x x x
g x e xe x e '=+=+，()00g =． ()01k g '==，直线方程为y x =．
（2）()()()()
11x x x f x e xe a x x e a '=+-+=+-， 当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-，由()0f x '<得1x <-，
即函数()f x 在()1,-+∞上递增，函数()f x 在(),1-∞-上递减；
当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =．
①当ln 1a =-，即1a e -=时，在R 上()0f x '>，从而函数()f x 在R 上递增； ②当ln 1a <-，即10a e 时，
由()0f x '>得1x >-或ln x a <，由()0f x '<得ln 1a x <<-，
函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上递增；函数()f x 在()ln ,1a -上递减；
③当ln 1a >-，即1a e ->时，
由()0f x '>得ln x a >或1x <-时，由()0f x '<得1ln x a -<<，
函数()f x 在()1,ln a -上递减，函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上递增；
综上，当0a ≤时，()f x 递增区间是()1,-+∞上，递减区间是(),1-∞-上；
当10a e 时，()f x 递增区间是(),ln a -∞，()1,-+∞，递减区间是()ln ,1a -； 当1a e -=时，()f x 递增区间为(,)-∞+∞；
当1a e ->时，()f x 递增区间是(),1-∞-，()ln ,a +∞，递减区间是()1,ln a -．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、函数的单调性，对参数进行分类讨论是解题的关键，考查学生分类讨论思想、分析问题解决问题的能力.
24．（1）10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）(],1-∞-.
【分析】
（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式.
注意化简前保证真数大于零.
（2）分离参数，利用方程()
2log 41x x m +-=-有解，构造函数()()2log 41x g x x =+-，求导，分析函数单调性，求出最值，得到m 的取值范围.
【详解】
（1）()()212log 22f x x -=-
()()()()222lo 2212log 22g 1log 11
f x x x x x x f ----+-=<+= 1220110222x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-<+⎩
<⎪ 则103
x << 故x 的取值范围为10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. （2）()40x f x m -+=
则()()2log 4104x x f x m m x =+-++=-
()2log 41x x m +-=-
设()()2
log 41x
g x x =+- ()()'
ln 444111441ln 2x x x x g x ⋅-=-=++⋅ 当(),0x ∈-∞时，'
0g
x 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >
且x →-∞时，()g x →+∞
()2min log 21g x ==
故1m -≥
则1m ≤-
故m 的取值范围为：(],1-∞-
【点睛】
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值
域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
25．（1）答案见解析；（2）最大值是
733，最小值是83-． 【分析】
（1）求得导函数，并计算()0f x '=的根，列表判断极值即可得结果；
（2）根据（1）的极值再比较()853f -=-
，()7343f =的大小即可得最值. 【详解】
解：（1）函数()321313
f x x x x =+--的定义域为R ． ()()()22331f x x x x x '=+-=+-．
令()0f x '=，解得3x =-，或1x =．
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．
因此，当3x =-时，函数f x 有极大值，并且极大值为38f -=，
当1x =时，函数()f x 有极小值，并且极小值为()318f =-
． （2）由（1）知，函数()f x 在区间[]5,4-上，
极大值为()38f -=，极小值为()318f =-
． 又由于()853f -=-，()7343
f =， 所以函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值是
733
，最小值是83-． 【点晴】
方法点晴：求极值的方法步骤： 1、求函数定义域；2、求导函数并解方程()0f x '=的根；3、列表判断极值.
26．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可；
（2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果.
【详解】
解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，
由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==，
∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；
（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1x f x x ae '=+-，
因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10x f x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，
ln 1x
x a e +∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()x
x g x e +=，则1ln 1()x
x x g x e --'=， 由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x
=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，
(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增，
(1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减， 故max 1
1()(1)g x g a e e
==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
方法点睛：
已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；
（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.。