辽宁省沈阳市2019届高三(上)第三次模拟数学试卷(文科)(解析版)
2019届高三第三次阶段考试题(文科数学)参考答案
2019届高三第三次阶段考试题(文科数学) 参考答案1-12 CACBD BDDBC DB13． 25− 14． 15． 310 16．3π17.解：（1）由正弦定理及2sin cos b B b A =+可得2cos A A =+，............2分 即有sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，.....4分 因0A π<<，∴7666A πππ<+<，∴62A ππ+=，∴3A π=....6分 （2）设BD CD x ==，则2BC x =，由()221621cos 82b x A b +−==，可得224416x b b =−+ ①，...8分因为0180ADB ADC ∠=−∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 222=可推出2222x b =+ ②，............10分 联立①②得24120b b +−=，故2b =，............11分因此11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=............12分 18． 【解析】（1）取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分∵,M N 分别为,AB CB 中点， ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分 且平面11BCC B 平面11A MNC 1C N ，又DE 平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ………5分 ∴13CE EB =． ………6分（2）因为三棱柱111ABC A B C −为直三棱柱，∴1AA 平面ABC ， 又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A设122AB AA ==，又三角形11A MC 是等腰三角形，所以1112A M AC .如图，将几何体11AA M CC N −补成三棱柱11AA M CC F −∴几何体11AA M CC N −的体积为：1111111111111232232V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯= ……9分 又直三棱柱111ABC A B C −体积为：1212V =⨯= ………11分 故剩余的几何体棱台111BMN B AC −的体积为：21V V V =−=∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：1257V V =． ………12分 19解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=--------1分[来源:学|科|网Z|X|X|K]31==73070⨯频率组距，--------2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ， -----------3分补充频率分布直方图如右；----5分（Ⅱ）当日泄流量X≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运 行的天数为：136430364312210−⨯⨯=（天）；-----------------------------------------------------7分 当日泄流量X≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行 的天数为：11()30364156105210+⨯⨯=（天）；---------------------------9分 ①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：11(312400052500)33573647⨯⨯−⨯=（或723500）（元）----------------10分 ②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：14(15610000208800)38283647⨯⨯−⨯=（或726800）（元）----------11分 因为413828335777>，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．--12分 20．解析（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2p y x =−，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px −+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分（2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +−+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ …7分由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =−−+=−−+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=−−+−+−+ 2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =−+++−++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =−，2212124()y y x x −=−，∴12121244x x y y y y −+==− 221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=−+−−+++………10分222[43]2[(2)7]14m m m =−−=−−≥−当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14−．………12分21． 解：（1）函数的定义域为),0(+∞，xa x x x f +−='22)(2，且0)(='x f 有两个不同的根21,x x ，0222=+−∴a x x 的判别式084>−=∆a 即21<a ，且).21,0(∈∴a ……4分 .因此.…………6分(2)由(1)可知,因此 . ……9分 ∴.即. 12分)(x f .00.22112211121>>−+=−−=a x a x a x ，故又，()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+()22212121122,2,1x x x x a a x x x x −====+所以()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<−+−=+−=x x x x x x a x x f ，其中()()()则设),121(ln 1212<<−+−=t t t t t t h ()()()()(),0ln 21211ln 21212>−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−='t t t t t t t t t h 42ln 21)21()(121)(−=>⎪⎭⎫ ⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在42ln 21)(2−>xf22．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，……2分 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y −+=；……3分 由()cos 4cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin 4cos ρθρθ=，……4分所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.……5分（Ⅱ）四点在l 上的排列顺序从下到上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为1t ，2t ，3t ，4t . 连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以1IJ =.……6分 HI JK HI IK IJ −=−+=()141411t t t t −+=−++，……8分将12232x t y t ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，得：23824t t =−,……9分 即238320t t +−=，故1283t t +=−，所以113HI JK −=.……10分 23解析（1）22()69816f x x x x x =−++++[来源22(3)(4)|3||4|x x x x =−++=−++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x −++9≥……1分∴4349x x x ≤−⎧⎨−−−≥⎩① 或43349x x x −<<⎧⎨−++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨−++≥⎩③……2分 解得不等式①：5x ≤−；②：无解 ③：4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤−或4}x ≥．………5分（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =−++的图象恒在()(3)g x k x =−图象的上方……6分21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x −−≤−⎧⎪=−++=−<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =−图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A −，∴1PA k =−……9分由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方∴实数k 的取值范围为12k −<≤． ………10分。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264B ．264C ．624D ．622【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭263434sin cos cos sin ππππ-⎛⎫=--=⎪⎝⎭本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.2．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.3．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．6．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.7．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.8．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =„，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【详解】由U =R ，{|||1}N x x =„，可得{1U N x x =<-ð或1}x >， 又{|31}M x x =-<<所以{31}U M N x x ⋂=-<<-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.9．已知||3a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B由()a ab ⊥-r r r ，||3a =r ，||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题10．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；151第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.11．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u ur 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u ur u u u r ，M Q 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
_辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(文)试题_
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
辽宁省沈阳市 2019 届高三上学期一模数学（文）试题
（ 1 ） 请 计 算 该 篮 球 运 动 员 执 行 训 练 后 统 计 的 10 场 比 赛 得 分 的 中 位 数 、 平 均 得 分 与 方 差 ； （2）如果仅从执行训练前后统计的各 10 场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平 的提高是否有帮助？为什么？
10. 将正方形 沿对角线 折叠，使平面
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A．
，
C．
，
12. 函数
的图象大致为
B．
，
D．
，
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷的注释
第Ⅱ卷 主观题
评卷人
得分
一、填空题（共 4 题)
1. 已知向量
，
，且 与 垂直，则 的值为______.
2. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若
，求实数 的取值范围.
修
4-4
：
坐
标
系
与
参
数
方
程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ 为参数， ），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（
1
）
求
的
直
2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：37．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．1810．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．14．如图所示，输出的x的值为．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为．（用数值作答）16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：3【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；进而可得==，而又由S△AOB+S△=S△ABC，分析可得S△AOB=S△ABC，结合题意计算可得△AOB和△AOC BOC的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=﹣3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得，==，S△AOB+S△BOC=S△ABC，又由S△AOB=S△BOC，则S△AOB=S△ABC，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，∴|sinx|=|log18x|，作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅱ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅱ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD ，只有分别求解两个棱锥的体积即可；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，V E﹣FCD=AD•S△FDC=××1×2×2=，V E﹣ABCD=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，∴多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅲ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+0 ﹣0 +f'（x） c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c 有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三数学上学期第三次模拟试题文(含解析)
2018—2019 学年度高三年级第三次模拟考试数学科试卷（文科）第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 已知会合，或，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】因为，所以，应选答案 D。
2. 已知命题，命题是成等比数列的充要条件” . 则以下命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】当 x＜﹣ 2，或 x＞ 1 时，，故命题 p 为真命题；b2=ac=0 时， a， b， c 不是等比数列，故命题q 为假命题；故命题，，均为假命题；为真命题；应选： C3. 已知角的终边过点，则的值是（）A.B.C.或D.跟着的取值不一样其值不一样【答案】 B【分析】试题剖析：∵角的终边过点，∴=, ∴.考点：随意角的三角函数值.4. 已知函数的最小正周期为，为了获得函数的图象，只需将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】 D【分析】试题剖析：由题意得，所以向右平移个单位长度，选 D.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，倡导“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出此刻题目中，所以也一定娴熟掌握 . 不论是哪一种变形，牢记每一个变换老是对字母x 而言 .函数 y＝ Asin （ω x＋φ），x∈R是奇函数 ?φ＝kπ（k∈Z）；函数 y＝ Asin （ω x＋φ ），x∈R是偶函数 ?φ＝kπ＋（k∈Z）；函数 y＝ Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数 ?φ＝ kπ＋（k∈Z）；函数 y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数 ?φ＝ kπ（k∈Z）；5. 函数在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】试题剖析：，所以切线方程是，选 C.考点：导数几何意义【思路点睛】（ 1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差别，过点 P 的切线中，点 P 不必定是切点，点 P 也不必定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P为切点 .（2）利用导数的几何意义解题，主假如利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转变 . 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，从而和导数联系起来求解 .6. 已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】依据向量的模的定义以及向量数目积定义求解.【详解】,选D.【点睛】此题考察向量的模的定义以及向量数目积定义，考察基本求解能力，属基此题.7. 在等差数列中，若，则的值为A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】依据等差数列性质化简条件与结论，即得结果.【详解】因为，所以，所以，选 A.【点睛】此题考察等差数列性质，考察等价转变求解能力，属中档题.8. 在各项均为正数的等比数列中，，成等差数列，是数列的前项的和，则A. 1008B. 2016C. 2032D. 4032【答案】 B【分析】的公比为试题剖析：设等比数列因为成等差数列所以因为，解得所以，故答案选考点：等比数列和等差数列．9. 已知函数，则的图象大概为A. B. C. D.【答案】 A【分析】令 g( x)= x- lnx - 1,则，由 g′(x)>0,得 x>1,即函数 g( x)在(1,+∞)上单一递加，由 g′(x)<0得0<x<1,即函数 g( x)在(0,1)上单一递减，所以当 x=1时,函数 g( x)有最小值, g( x)min=g(0)=0，于是对随意的 x∈(0,1)∪(1,+ ∞), 有g( x)? 0，故清除B.D，因函数(x ) 在 (0,1)上单一递减 , 则函数f(x) 在 (0,1)上递加，故清除，g C此题选择A选项.10. 已知圆：，圆：，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A. B.C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：圆是以为圆心，半径为 2 的圆；圆是以为圆心，半径为 4 的圆，两圆内含；当点到切线的距离最小为 1 时，最大为，此时面积最大为；当点到切线的距离最大为3时，最小为，此时面积最小为.考点：圆的方程、圆与圆的地点关系.11. 函数在上的最大值为2，则 a 的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】试题剖析：先画出分段函数 f （x）的图象，如图．当x∈[-2 ，0] 上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值一定小于等于2，即，解得：，应选 D.考点：函数最值的应用.12. 已知函数，则A. 4032B. 2016C. 4034D. 2017【答案】 A【分析】【剖析】先剖析函数性质，再利用性质乞降.【详解】因为，所以 g为R上奇函数，所以，即，所以，令, 则,所以，选 A.【点睛】此题考察奇函数性质以及函数对称性，考察综合剖析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知正数知足，则的最小值是_____________.【答案】.【分析】试题剖析：由得，因为都为正数，所以，这样当且仅当，即时，取最小值.考点：均值不等式求最值.14. 若实数知足条件，则的最大值为__________．【答案】【分析】【剖析】先作可行域，再依据图象确立直线最大值取法，即得的最大值.【详解】作可行域，由图象可知直线过点A(3,7)时取最大值23，从而的最大值为.【点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形联合的思想 . 需要注意的是：一，正确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与拘束条件中的直线的斜率进行比较，防止犯错；三，一般状况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或界限上获得.15.中，，点在边上，，，，若，则__________ ．【答案】【分析】【剖析】成立直角坐系，用坐表示向量，再依据向量垂直条件列方程解得果.【解】以A坐原点，AB所在直x，建立直角坐系，,, 因，所以，因M在BC上，所以,=1,所以==.【点睛】本考向量坐表示、向量平行与垂直坐表示，考基本剖析求解能力，属中档 .16. 在中，分角的，，若，__________ ．【答案】【分析】由余弦定理可得：，再有正弦定理角化可得：三、解答（本大共 6 小，共70 分 . 解答写出文字明、明程或演算步. ）17.已知函数（ I ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数获得最大的的会合．【答案】解：（ 1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴函数(2)的最小正周期当取最大，⋯3分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分，此有⋯⋯⋯⋯8 分即∴所求x 的会合⋯⋯⋯⋯ 10分【分析】略18. 已知数列知足．（ I ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设以为公比的等比数列知足），求数列的前项和．（ 2）【答案】（ 1）【分析】试题剖析：（ 1）依据题意可得由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，而后根据等差数列通向求法即可得结论（2）由题先得的通项，依据等比性质先得通项，，再依据分组乞降即可所以试题分析：解： (1)由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，.(2) 设等比数列的首项为，则，依题有，即，解得，故，.19. 在中，内角的对边分别为，已知．（Ⅱ）若，且是锐角三角形，务实数的取值范围．【答案】（ 1）（2）【分析】试题剖析：（1）睁开，联合两角和正余弦公式得，从而可得（2）先依据，将实数表示为C的函数：，再依据是锐角三角形，确立自变量 C 的范围：，所以试题分析：解：（1）由题意得，.（ 2）,为锐角三角形，且,.考点：两角和正余弦公式，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件灵巧转变边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 其基本步骤是：第一步：定条件即确立三角形中的已知和所求，在图形中标出来，而后确立转变的方向.第二步：定工具即依据条件和所求合理选择转变的工具，实行边角之间的互化.第三步：求结果 .20. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，．（I ）求和的通项公式；（ II ）设数列的前 n 项和为，（ i ）求；（ii）求数列的前n项和．【答案】（ I ），（II）（i）. （ ii ）看法析 .【分析】【剖析】（ 1）依据等差数列与等比数列基本量列方程组解得公差与公比以及比数列通项公式求结果，（2）（i）先依据等比数列乞降公式得，再依据等差数列与等再利用分组乞降法得结果，（ ii）先化简，再利用裂项相消法乞降.【详解】（ I ）解：设等比数列的公比为q. 由可得.因为，可得，故.设等差数列可得所以数列的公差为 d，由从而的通项公式为故，数列，可得的通项公式为由，（ II ）（i ）由（ I ），有，故.（ ii ）证明：因为，所以，.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分红两个式子的代数和的形式，而后经过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法合用于形如( 此中是各项均不为零的等差数列，c 为常数 ) 的数列 .裂项相消法乞降，常有的有相邻两项的裂项乞降( 如本例 ) ，还有一类隔一项的裂项乞降，如或.21. 如图 , 为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时建立一个圆形保护区. 规划要求 : 新桥 BC与河岸AB 垂直 ; 保护区的界限为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆 , 且古桥两头O和A 到该圆上随意一点的距离均许多于80 m.经丈量，点 A 位于点O正北方向60 m处 ,点C 位于点O正东方向 170 m 处(OC 为河岸 ),tan ∠BCO= .（1）求新桥 BC的长 ;（2）当 OM多长时 , 圆形保护区的面积最大 ?【答案】 (1) 150 m (2) |OM|=10 m【分析】试题剖析：此题是应用题，我们可用分析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴成立直角坐标系. （ 1）点坐标炎，，所以要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立刻写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）本质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两头和到该圆上任一点的距离均许多于80 ，列出不等式组，可求得的范围，从而求得最大值．自然此题假如用解三角形的知识也能够解决．试题分析：（ 1）如图，以为轴成立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；（ 2）设，即，由（ 1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，因为，所以，∴∴，所以当时，获得最大值，此时圆面积最大．【考点】分析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的地点关系.视频22. 设和是函数的两个极值点，此中，．（ I ）求的取值范围;（ II ）若, 求的最大值．【答案】（ 1）；（ 2）.【分析】试题剖析：此题主要考察导数的运算、利用导数求函数的极值和最值、利用导数判断函数的单一性、对数的运算等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力 . 第一问，因为有两个极值点，所以有两个根，又因为定义域为，所以有两个正根，所以，所以，利用韦达定理转变的表达式，再利用配方法求函数最值；第二问，将已知条件转变，设出，依据第一问中的条件持续转变，获得，再利用对数式的运算化简，最后结构函数，利用导数判断函数的单一性求出函数最值.试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为,．依题意 , 方程,而且有两个不等的正根．,（此中） . 故所以 ,故（Ⅱ）解当的取值范围是时 ,. 若设, 则．于是有结构函数所以在（此中上单一递减 ,）, 则．故得最大值为．考点：导数的运算、利用导数求函数的极值和最值、利用导数判断函数的单一性、对数的运算 .。
2019届高三第三次调研考试数学(文科)附答案
2019届高三第三次调研考试数学（文科）附答案全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合}{022≤--=x x x A ，}{1<=x x B ，则)(B C A R = （ ） (A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{12x x ≤≤ 2．设1i z i =-（i 为虚数单位），则1z =（ ）(A) (B) (C) 12(D) 2 3．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 644. 已知向量a b ⊥r r ，2,a b ==r r 则2a b -=r r （ ）(A) (B) 2 (C) (D)5．下列说法中正确的是（ ）(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B) 若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< (C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题(D) “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 517．将函数()()1cos 24f x x θ=+（2πθ<）的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9x π=对称，则θ=（ ） (A) 718π (B) 18π (C) 18π- (D) 718π- 8．已知x ,y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )(A) 3(B) 3(C) (D)10．已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象是（ ）(A) (B) (C) (D)11．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，则点P 到 点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）(A)1- (B)2 (C) 2 (D)12. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()12f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x'>，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是（ ）(A) ()()()22018201642017f f f << (B) ()()()22018201642017f f f >>(C) ()()()42017220182016f f f << (D) ()()()42017220182016f f f >>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2019年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+…+i 2019等于（ ）A. iB. 1C. −iD. −1 2. 已知集合A ={（x ，y ）|x +y ≤2，x ，y ∈N }，则A 中元素的个数为（ ）A. 1B. 5C. 6D. 无数个3. “k =√33”是“直线l ：y =k （x +2）与圆x 2+y 2=1相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |，(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，则a⃗ ，b ⃗ 的夹角为（ ） A. π6B. π3 C. 5π6D. 2π35. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=2π，则tan （a 3+a 5）的值为（ ）A. √3B. −√3C. √33D. −√336. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为（ ）A. √33B. 2√33C. 2√23D. √237. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A. 2π15B. 3π20C. 1−2π15D. 1−3π208. 已知函数f （x ）=x 3-2x +1+e x -1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a -1）+f （2a 2）≤2，则实数a 的取值范围是（ ）A. [−1,32]B. [−32,1]C. [−1,12]D. [−12,1]9. 如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）•e -|x |（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A ω的可能取值为（ ）A. π2B. πC. 3π2D. 2π11. 设a =log 2018√2019，b =log 2019√2018，c =201812019，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a12. 已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线l 1：x −my −√5=0与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若|QF |=3，则S △QRFS△PRF=（ ）A. 57B. 37C. 67D. 97二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知球O 的内接圆锥体积为2π3，其底面半径为1，则球O 的表面积为______．14. 下列三个命题在“__”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l ，m 为直线，α，β为平面），则此条件是______①l ∥m ，m ∥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α； ②l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ⇒l ∥α；③l ⊥m ，m ⊥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒⇒l ∥α．15. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆x 2+（y +2）2=4所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______．16. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n -1，则数列b n =a n 2-7a n +6的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足a 2c =b （a 2+c 2-b 2）（其中b ≠c ）（Ⅰ）求证：A =2B ；（Ⅱ）若f （x ）=sin x +cos x ，求f （B ）的取值范围．18. 某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数 [5，10） [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 男性 18 12 9 9 6 4 2 女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者 十分爱好该课程者 合计男性女性合计100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，E为PC上的点，且BE⊥平面APC（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P-ABC体积的最大值；20.设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为12，△ABF2的周长为16．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N．证明：O，M，N三点共线．21.已知函数f(x)=lnx−a2x（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=xf（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．23.已知函数f（x）=m-|x-1|-|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：i+i2+i3+ (i2019)=．故选：D．利用等比数列前n项和化简，再由虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查等比数列前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．2.【答案】C【解析】解：依题意，因为集合A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}，所以①当x=0时，y=0，y=1或y=2，此时有3个元素（0，0），（0，1），（0，2）∈A；②当x=1时，y=0，或y=1，此时有2个元素（1，0），（1，1）∈A；③当x=2时，y=0，此时只有（2，1）∈A．综上集合A有6个元素，故选：C．依题意，集合A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}，分x的情况讨论，即可得到集合A的元素个数．本题考查了集合元素的个数，描述法表示集合，以及元素与集合的关系．属于基础题．3.【答案】A【解析】解：当时，直线l 转换为，即：所以：圆心（0，0）到直线的距离d==r，所以直线与园相切．直线与园相切．则：圆心（0，0）到直线kx-y+2k=0的距离d==r=1，解得：k=，故：“”是“直线l：y=k（x+2）与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件．故选：A．直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：非零向量满足，，可得：2+=0，可得2cos=-1，所以=．故选：D．利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的运算法则的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=2π，解得a4=，而a3+a5=2a4=，∴tan（a3+a5）=tan =故选：A．由等差数列的性质可得a4的值，进而可得a3+a5的值，代入要求的式子，由三角函数的知识可得．本题考查等差数列的性质和三角函数的化简，属基础题．6.【答案】B【解析】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是4π，所以球的半径为1所以正方体的对角线的长为：2，所以侧棱长为．故选：B．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长．本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2．∴内切圆的面积为πr2=4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1-=1-，故选：C．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：令g（x）=f（x）-1=x3-2x+e x -，x∈R．则g（-x）=-g（x），∴g（x）在R上为奇函数．g′（x）=3x2-2+e x +≥0+2-2=0，∴函数g（x）在R上单调递增．f（a-1）+f（2a2）≤2，化为：f（a-1）-1+f（2a2）-1≤0，即g（a-1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤-g（a-1）=g（1-a），∴2a2≤1-a，即2a2+a-1≤0，解得-1≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选：C．令g（x）=f（x）-1=x3-2x+e x -，x∈R．判断其奇偶性单调性即可得出．本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】C【解析】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设DD1=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），则=（-2，2，0），=（-2，0，a ），=（0，0，a），设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1可得=（1，1，），故cos ＜，＞===．∵直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，∴=，解得：a=4．故选：C．建立空间坐标系，设棱柱高为a，求出平面ACD1的法向量，令|cos ＜，＞|=求出a的值．本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，∴φ=kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=Acosωx•e-|x|，∴f（0）=A=2，∵f（1）=f（3）=0，∴cosω=cos3ω•=0，∴cosω=cos3ω=0，取ω=，则Aω=π．故选：B．根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得φ=，由f（0）=2可得A=2，由f（1）=f（3）=0可得ω可取．本题考查了y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，属中档题．11.【答案】C【解析】解：∵a=log 2018＞log 2018=，b=log 2019＜log 2019=，c=2018＞1，∴c＞a＞b．故选：C．利用指数函数，对数函数的图象即可比较大小从而得解．本题主要考查了指数函数，对数函数的图象及性质的应用，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：如图所示，∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，∴p=2．∴y2=4x．|QF|=3=x Q+1，解得x Q=2．联立，化为：x2-（4m2+2）x+5=0．∴2x P=5，解得x P =，则====．故选：C．如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，可得p=2．y2=4x．由|QF|=3=x Q+1，解得x Q=2．联立，化为：x2-（4m2+2）x+5=0．利用根与系数的关系可得x P ，利用==即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】254π【解析】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2-（R-2）2=1，解得R=，∴=，故答案为：．利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于R的方程（球心在圆锥内外结果一样），即可得解．此题考查了球的内接圆锥问题，难度不大．14.【答案】l⊄α【解析】解：①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒⇒l ∥α．故答案为：l⊄α．由线面平行的性质和判断可得①；由线面平行的判定定理可得②；由线面垂直的性质和线面平行的判断可得③．本题考查空间线线、线面的位置关系，考查线面平行的判定，考查推理能力，属于基础题．15.【答案】2√33【解析】解：双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx+ay=0被圆x2+（y+2）2=4所截得的弦长为2，可得：，解得4a2=3c2，可得e=．故答案为：．求出双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程，利用被圆截得的弦长为2，列出关系式，然后求解双曲线C的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．16.【答案】-6【解析】解：由S n=2n-1，得a1=S1=1，当n≥2时，，a1=1适合上式，∴．则b n=a n2-7a n+6=．∴当a n=4时．故答案为：-6．由已知求得，再由配方法求数列b n=a n2-7a n+6的最小值．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵a2c=b（a2+c2-b2），∴由余弦定理可得：a2c=b•2ac cos B，∴a=2b cos B，由正弦定理可得：sin A=2sin B cosB，即sin A=sin2B，∴A，B为三角形内角，可得A=2B，或A+2B=π，∵若A+2B=π，又A+B+C=π，可得B=C，即b=c，矛盾．∴A=2B．得证．（Ⅱ）∵f（x）=sin x+cos x=√2sin（x+π4），∴f（B）=√2sin（B+π4），∵A=2B，可得：B∈（0，π2），可得B+π4∈（π4，3π4），可得sin（B+π4）∈（√22，1]，∴f（B）=√2sin（B+π4）∈（1，√2]．【解析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得a=2bcosB，由正弦定理，二倍角公式可得sinA=sin2B，可求得A=2B，或A+2B=π，若A+2B=π，结合三角形内角和定理可得B=C，即b=c，矛盾，可证A=2B．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式可得f（B）=sin（B+），由范围B∈（0，），可得B+∈（，），利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为x−=160（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P=621=27．（3）依题意得2×2列联表如下非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性481260女性162440合计6436100则K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． （3）完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥AB ，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD =AB ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PAB ，又AP ⊂面PAB ，∴AP ⊥BC ，∵BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴AP ⊥BE ，又BC ∩BE =B ，BC ⊂平面PBC ，BE ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥面PBC ，又AP ⊂面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）可知PA ⊥平面PBC ，故PA ⊥PB ， ∴V P−ABC =V C−APB =13×12×PA ×PB ×BC =13×PA ×PB ， 求三棱锥P -ABC 体积的最大值，只需求PA ×PB 的最大值． 令PA =x ，PB =y ，则x 2+y 2=4≥2xy ，故xy ≤2，∴V P -ABC ≤23，当且仅当x =y =√2，即PA =PB =√2时，V P -ABC 的最大值为23． 【解析】（1）由BE ⊥平面APC 可得AP ⊥BE ，由BC ⊥平面APB 可得AP ⊥BC ，故而AP ⊥平面PBC ，于是平面PAD ⊥平面PBC ；（2）代入体积公式可知V P-ABC =V C-APB =PA•PB ，根据基本不等式求出PA•PB 的最大值即可． 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算及不等式的原因，属于中档题． 20.【答案】（Ⅰ）解：由题意知，4a =16，a =4．又∵e =12，∴c =2，b =√16−4=2√3， ∴椭圆E 的方程为x 216+y 212=1；（Ⅱ）证明：当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）． 则x 1216+y 1212=1，x 2216+y 2212=1，相减得x 12−x 2216=−y 12−y 2212，∴y 1−y 2x1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 1=−34，即y 1−y 2x1−x 2⋅y 0x 0=−34，即k ⋅k OM =−34，∴k OM =−34k；同理可得k ON =−34k ，∴k OM =k ON ，所以O ，M ，N 三点共线．【解析】（Ⅰ）由已知椭圆E 的离心率为，△ABF 2的周长为16，解得a ，b 的值，可得椭圆E 的方程； （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．利用点差法，可得，，由此可得O ，M ，N 三点共线．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），其导数f′(x)=1x −a 2…………………（1分）①若a ≤0，则f '（x ）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增；………………（3分）②若a ＞0，令f '（x ）=0，解得x =2a ，函数在(0，2a )上单调递增，在(2a ，+∞)上单调递减．…………………………（5分） （2）g(x)=xlnx −a2x 2，其导函数g '（x ）=ln x +1-ax ．………………（6分） 令g '（x ）=ln x +1-ax =0，⇒a =lnx+1x，………………………………（7分）令ℎ(x)=lnx+1x，则ℎ′(x)=−lnx x 2，由−lnx x 2=0⇒x =1，………………（8分）x （0，1）1（1，+∞）h '（x ） +0 -h （x ）↗取极大值↘…………………………………………………………………………………………（10分） 又因为x ＞1时，ℎ(x)=lnx+1x＞0恒成立，于是函数h （x ）的图象如图所示．要使g （x ）有两个不同的极值点，则需0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）．…………（12分）【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），其导数，对a 分类讨论即可得出单调性．（2），其导函数g'（x ）=lnx+1-ax ．令g'（x ）=lnx+1-ax=0，可得，令，令=0，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题． 22.【答案】解：（1）曲线C ：ρsin 2θ=2a cosθ（a ＞0），转化成直角坐标方程为：y 2=2ax线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t （t 为参数），转化成直角坐标方程为：x -y -2=0．（2）将直线的参数方程{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2=2ax 得到：12t 2−(4√2+√2a)t +16+4a =0，所以：t 1+t 2=8√2+2√2a ，t 1t 2=32+8a ，① 则：|PM |=t 1，|PN |=t 2，|MN |=|t 1-t 2| |PM |，|MN |，|PN |成等比数列， 所以：|t 1−t 2|2=|t 1t 2|，② 由①②得：a =1． 【解析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t 的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a 的值．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用．23.【答案】解：（1）当m =5时，f(x)={5+2x(x ＜−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x ＞1)，…（3分）由f （x ）＞2得不等式的解集为{x|−32＜x ＜32}．…（5分）（2）由二次函数y =x 2+2x +3=（x +1）2+2，该函数在x =-1取得最小值2， 因为f(x)={m +2x(x ＜−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x ＞1)，在x =-1处取得最大值m -2，…（8分）所以要使二次函数y =x 2+2x +3与函数y =f （x ）的图象恒有公共点， 只需m -2≥2，即m ≥4．…（10分） 【解析】（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=-1取得最小值2，f （x ）在x=-1处取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
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东北三省三校 2019 届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选 C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.，则（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则展开，再求模即可.【详解】所以，故答案 A【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模,基础题.3. 已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10【答案】 C【解析】- 1 -【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4. 已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】由离心率为 2 可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选 D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5. 等比数列的各项和均为正数，，, 则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】 C- 2 -【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选 A．【点睛】对含有存在( 全称 ) 量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在( 全称 ) 量词改成全称 ( 存在 ) 量词；②将结论加以否定．7. 如图，直角梯形中，，，, 在边上任取点，连交- 3 -于点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由相似三角形求出AE 的长，利用几何概型概率计算公式求解即可.【详解】由已知三角形ABC为直角三角形 ,，可得AC=2.当时，因为所以即，所以，且点E的活动区域为线段AD， AD=1.所以的概率为故答案为 B.【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.8. 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）- 4 -A.3B.4C.5D.6【答案】 B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为 4．故选 B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．- 5 -9. 已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】先利用面面垂直求出四面体的高, 因为是等腰直角三角形易求面积, 利用三棱锥的体积公式即得 .【详解】解 : 取 BD中点 M,因为为边长2的等边三角形,所以, 且.又因为平面平面且交线为BD,所以, 而且是等腰直角三角形, 且面积为 2, 所以, 故答案为 A.【点睛】本题考查面面垂直的性质, 锥体体积的运算, 基础题 .10. 一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980 年及以后出生（ 80 后）被调查者， 1980 年以前出生（ 80 前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80 后被调查者80 前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%- 6 -珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误是（）A.都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看， 80 后购买高价商品的意愿高于80 前C. 80 前超过 3 成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80 后人数与 80 前人数的比例大约为【答案】 D 【解析】的【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品比例为，为最高值，所以 A 正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前 6 项比例均是80 后意愿高于80 前意愿，所以 B 正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80 前一年内从未购买过表格中七类高价商品比例为，约为 3 成，所以 C 正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80 后人数与80 前人数的比例，所以D不正确．故选 D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11. 椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）- 7 -A. 1B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12. 如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻- 8 -折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是 1 的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．- 9 -又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选 B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】 80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．-10-14. 函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】 2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16. 已知，，其中，则下列判断正确是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．的【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得-13-【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18. 如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，.-14-（ I ）求证：平面平面;（Ⅱ）若点是棱的中点，求直线与所成角的余弦值 .【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】(I) 先证出平面, 再利用面面垂直的判定定理即可.( Ⅱ ) 取中点，连接，，则, 可得或其补角是异面直线与所成的角 . 在中利用余弦定理求解即可 .【详解】（Ⅰ）证明：底面，取中点，连接，则, ，点共线，即又，平面平面，平面平面（Ⅱ）解：取中点，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角中，，，即中，，.中，，，，由余弦定理得中，所以直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直性质定理 , 判定定理 , 面面垂直的判定定理, 异面直线所成的角的作法及运算 , 基础题 .19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10 名实验对象进行160 分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180 次 / 分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标 .（ I ） 10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前： 346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后： 313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数为的10，. 建立关于时间的线性回归方程；（）的九组对应数据（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（ I ）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，提示60 分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60 分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20. 抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点 A 处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点 A 的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，-18-令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点 A 处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，-19-∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（ 1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21. 已知函数.（ I ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（ I ）的减区间为，无增区间；（Ⅱ） 3.【解析】【分析】(I)利用二次求导即得 .( Ⅱ ) 先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值 .【详解】（ I ）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减的减区间为，无增区间；（Ⅱ）-20-令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：单调递减极小值单调递增整数的最大值为 3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性, 利用零点存在性定理确定零点所在区间, 中档题 .请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 ：坐标系与参数方程22. 已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（ I ）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在-21-曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵ 为线段的中点，∴，∵ 在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修 4-5 ：不等式选讲23. 已知函数.（Ⅰ）解不等式:；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．-22-①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．-23-。
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(文)试卷
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】解：全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．先求出3，，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】解：，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】解：函数，，故．故选：A．由，得到．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．故选：A．命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.在等比数列中，，，则A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，由已知得，所以，都符合题意，所以，故选：C．根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得q 的值，代入通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用．6.已知m，n是空间中的两条不同的直线，，是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，则．B. 若，，则．C. 若，，则．D. 若，，则．【答案】D【解析】解：对于选项A，符合已知条件的直线n还可以在平面内，所以选项A错误；对于选项B，符合已知条件的直线m还可以在平面内，所以选项B错误；对于选项C，符合已知条件的直线m还可以在平面内，与平面斜交，或者与平面平行，所以选项C错误；对于选项D，根据面面垂直的判定定理可知其正确性．故选：D．对于A，直线n还可以在平面内；对于B，直线m还可以在平面内；对于C，直线m还可以在平面内，与平面斜交，或者与平面平行；对于D，根据面面垂直的判定定理可知其正确性．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.曲线C的方程为，则曲线C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据曲线方程可知，该曲线为双曲线，其中，，则，，，则双曲线的离心率为，故选：A．由双曲线方程求得a，b的值，再由隐含条件求得c，则曲线C的离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题．8.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且字母“k”只可能在最后两个位置中的某一个位置上如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成，并且字母“k”只可能在最后两个位置中的某一个位置上．该同学根据已有信息填入上述三个字母，满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以他拼写正确的概率为．故选：B．由列举法得到满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此能求出他拼写正确的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】函数不是偶函数，可以排除C，D，又令得极值点为，所以排除B，故选：A．根据奇偶性和单调性即可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，圆的面积为．故选：D．以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简得，即可求出圆的半径，则面积可求．本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于基础题．11.如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为，点P在球面上，则四棱锥体积的最大值为A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】解：因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．由球O的表面积是，求出四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，推导出底面为正方形时，底面面积最大，由此能求出四棱锥体积的最大值．本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由于当时，恒成立，所以只需要函数在上递减，即当时，恒成立，即，解得恒成立，所以，故选：A．根据函数的单调性问题转化为，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且与垂直，则x的值为______．【答案】【解析】解：；；．故答案为：．根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则______．【答案】1010【解析】解：根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．根据题意，设等差数列公差为d，结合等差数列的通项公式可得，解可得d的值，又由，解可得m的值，即可得答案．本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为______．【答案】【解析】解：由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由到其焦点的距离为求得M横坐标，进一步求得M纵坐标，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．16.设函数，则下列结论正确的是______写出所有正确命题的序号函数的递减区间为；函数的图象可由的图象向左平移得到；函数的图象的一条对称轴方程为；若，则的取值范围是．【答案】【解析】解：令，解得，所以函数的递减区间为，故正确；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故错误；令，解得，所以函数的图象的对称轴方程为，故错误；由于，所以，当时，，当时，，故正确，故答案为：．由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A的大小；若，试判断ABC的形状并给出证明．【答案】本题满分为12分解：根据题意，由可知，-----分根据余弦定理可知，，-----------分又角A为的内角，所以；-----------分法一：为等边三角形-----------分由三角形内角和公式得，，故--------分根据已知条件，可得，整理得-----------分所以，-----------分又，所以，-----------分又由知，所以为等边三角形-----------分法二：为等边三角形-----------分由正弦定理和余弦定理，得，-----------分整理得，即-----------分又由知，所以为等边三角形-----------分【解析】由已知利用余弦定理可求，结合角A为的内角，可求；法一：由三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求，由，可得为等边三角形；法二：由正弦定理和余弦定理化简已知等式可求，根据，可得为等边三角形．本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某篮球运动员的投篮命中率为，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为执行训练后也统计了10场比赛的得分，成绩茎叶图如图所示：请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差；如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？【答案】解：训练后得分的中位数为：分；-----------分平均得分为：分；-----------分方差为：-----------分尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差，说明训练后得分稳定性提高了．．．．．．．．阐述观点合理即可，这是投篮水平提高的表现．故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助．．．-----------分【解析】由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差．尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，由此能求出结果．本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．19.将正方形BCED沿对角线CD折叠，使平面平面若直线平面BCD，，．求证：直线平面ECD；求三棱锥的体积．【答案】证明：取CD中点为M，连结EM，BM．因为，所以，-----------分又因为平面平面BCD，平面平面，平面ECD，所以平面BCD，-----------分因为直线平面BCD，所以直线直线EM，又平面ECD，平面ECD，所以直线平面-----------分解：因为原四边形BCED为正方形，M为CD中点，所以，又有平面平面BCD，平面平面，平面ECD，所以平面-----------分由于ECD为等腰直角三角形，所以，又，所以，-----分由可知，点A到平面ECD的距离等于点B到平面ECD的距离，所以-----------分【解析】取CD中点为M，连结EM，BM，则，从而平面BCD，进而直线直线EM，由此能证明直线平面ECD．推导出，平面ECD，点A到平面ECD的距离等于点B到平面ECD的距离，从而．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；Ⅱ设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【解析】Ⅰ由椭圆通径，得，结合椭圆离心率可得a，b的值，则椭圆方程可求；Ⅱ设出，当时，分和求解，当时，设出直线，的方程，由点到直线的距离公式可得m与，的关系式，再把，用含有，的代数式表示，进一步得到再由的范围求得m 的范围；当时，同理可得则m的取值范围可求．本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、点到直线的距离公式和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，考查运算能力，是压轴题．21.已知函数，其中．当时，求函数图象在点处的切线方程；试讨论函数的单调性．【答案】解：当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线方程为；函数的定义域为，，令，，其对称轴为，，，当，即时，，即．此时，在上单调递增；当且，即时，令，则，，此时，在，上单调递增，在上单调递减；当，即时，令，则，在上单调递减，在上单调递增．【解析】求得的函数的导数，可得在处的切线斜率，由点斜式方程可得切线方程；求得的导数，可令，，求得对称轴方程，讨论和的符号，结合二次不等式的解法可得所求单调性．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查分类讨论思想方法和方程思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离【答案】解：由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设，且，记的最小值为M．求M的值，并写出此时a，b的值；解不等式：．【答案】解：因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【解析】直接利用基本不等式的性质的应用求出结果．利用的结论，进一步利用含绝对值的不等式的应用求出x的范围．本题考查的知识要点，不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
辽宁省沈阳市2019届高三第三次模拟数学(文)试题
辽宁省沈阳市2019届高三第三次模拟数学（文）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 答案：D2．已知命题p ：“R x ∈∃0，02020>-+x x ”，命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列的充要条件”，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 答案：C3．已知角θ的终边过点(4,3)P k k -（0k <），则2sin cos θθ+的值是 A ．25 B ．25- C ．25或25- D ．随着k 的取值不同，其值不同 答案：B4．已知函数()cos()4f x x πω=+（0ω>）的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x xω=的图象，只要将()y f x =的图象 A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度 答案：D5．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A ．)1(2-=x e yB ．1-=ex yC ．)1(-=x e yD ．e x y -= 答案：C6．已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为3π，若向量||||a bp a b =+，则||p =A ．2BC ．3D 答案：D7．在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为 A ．12 B ．14C ．16D ．18答案：A8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S SA ．1008B ．2016C ．2032D ．4032 答案：B9．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为A. B. C. D.A B C D答案：A10．已知圆O ：2240x y +-=，圆C ：222150x y x ++-=，若圆O 的切线l 交圆C 于,A B 两点，则OAB ∆面积的取值范围是A ．]152,72[B ．]8,72[C ．]152,32[D ．]8,32[ 答案：A11．函数32231,(0)(),(0)axx x x f x e x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是 A ．1[ln 2,)2+∞ B ．1[0,ln 2]2 C ．(,0)-∞ D ．1(,ln 2]2-∞ 答案：D12．已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++= A ．4032 B ．2016 C ．4034 D ．2017 答案：A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正数y x ,满足xy y x =++54，则y x +的最小值是 ． 答案：1114．若实数,x y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432z x y =-+的最大值为 ．答案：423-15．Rt ∆ABC 中，2π=A ，点M 在边BC 上，),(R ∈+=μλμλ，4||=，5||=，若AM BC ⊥，则=-μλ ．答案：41916．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+=．答案：3三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分） 已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合． 解：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2 =π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2kπ+π2 即x=kπ+ 5π12 (k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= kπ+ 5π12 , (k ∈Z)}. 18．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S ．解：（I ）由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 19．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且cos cos )4cos cos B B C C B C --=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若sin sin B p C =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围． 解：（1）由题意得3sin sin cos cos cos sin 4cos cos B C B C B C B C B C +=1tan >26232C C p ππ∴<<⇒∴<<. 20．（本题满分12分）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ， （i ）求n T ；（ii ）求数列})2)(1()({2++++n n b b T nn n 的前n 项和n W ．（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d ==故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++， 所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 21．（本小题满分12分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)， 4tan BCO ∠=．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：（I ）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120.所以BC150=.因此新桥BC 的长是150 m.（II ）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 22．（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点，其中m n <， a R ∈．（I ）求()()f m f n +的取值范围; （II）若2a ≥-,求()()f n f m -的最大值． 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<-故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当2a ≥-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++.于是有111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<.所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+。
精品解析：【市级联考】辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测(三)数学(文)试题(解析版)
2019沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学试题卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）． A. iB. 1C. i -D. 1- 【答案】D【解析】【分析】利用)n i n N *∈（的周期求解.【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=，且)n i n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅，所以原式=2311i i i i i ++=--=-.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和)n i n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）．A. 1B. 5C. 6D. 无数个 【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.【详解】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 先化简直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切，1,3k =∴=±.所以“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为（ ）． A. 6π B. 3π C. 56π D. 23π 【答案】D【解析】【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=，， 所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=. 故选：D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(文)试题(解析版)
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为 A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则 A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则 A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.在等比数列中，，，则 A. 4B. 5C.D.【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，可解得的值，代入通项公式计算可得答案．【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，，可得，都符合题意，所以，故选C．【点睛】本题主要考查等比数列的性质与通项公式的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．6.已知是空间中的两条不同的直线，，是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】由直线还可以在平面内判断；由直线还可以在平面内判断；由直线还可以在平面内，可以与平面斜交，或者与平面平行判断；根据面面垂直的判定定理判断．【详解】对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，所以选项错误；对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，所以选项错误；对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，与平面斜交，或者与平面平行，所以选项错误；对于选项，根据面面垂直的判定定理可知其正确性，所以选项正确，故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7.曲线的方程为，则曲线的离心率为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程求得的值，再由求得，则曲线的离心率可求．【详解】因为曲线的方程为，所以，，则，，，双曲线的离心率，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与离心率，是基础的计算题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且字母“”只可能在最后两个位置中的某一个位置上如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由列举法得到满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，根据古典概型概率公式可得结果．【详解】因为某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成，并且字母“”只可能在最后两个位置中的某一个位置上．该同学根据已有信息填入上述三个字母，。
2019届辽宁省高三第三次考前模拟密卷数学(文)试题
2019届辽宁省高三第三次考前模拟密卷文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B.B.C. D.2.设复数z=2+i，则复数z（1-z）的共轭复数为（）A. B. C. D.3.一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为．A. B.C. 1D. 24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a17=10，则S19的值是（）A. 55B. 95C. 100D. 不确定5.已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）A. ？B. ？C. ？D. ？7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.8.函数的图象如下图，则下列有关f(x)性质的描述正确的是（）A.B. 为其所有对称轴C. 向左移可变为偶函数D. 为其减区间9.函数在点（1,0）处的切线方程是（）A. B. C. D.10.P是双曲线-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 911.定义域R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=-2f（-2），则（）A. B. C. D.12.函数的图像可能是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，且，则 __________．14.设实数x､y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______ ．15.某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A，B两名老师都被选中的概率是 _________ ．16.在△ABC中，若A＝120°，c＝5，b＝3，则sin B·sin C＝________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3a n－1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列表：下面的临界值表供参考：附：（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽9人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的9人中选3人，求至多有一名女生的概率．（3）为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出K2，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若M是棱PC的中点，求四面体M-PQB的体积．19.已知是椭圆C：与抛物线E:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F．（Ⅰ）求椭圆C抛物线E的方程；（Ⅱ）设过F且互相垂直的两动直线，l 1椭圆C交于A,B两点，l2与抛物线E交于C,D两点，求四边形ACBD面积的最小值.20.设函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围．21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．椭圆C的参数方程为（为参数），设直线l与椭圆C交于A、B两点，求线段AB的长．22.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，，函数的最小值为，，求的最小值．、答案和解析1.【答案】A【解析】略2.【答案】B【解析】解：∵z=2+i，∴z（1-z）=（2+i）（-1-i）=-1-3i，∴复数z（1-z）的共轭复数为-1+3i．故选：B．把z=2+i代入z（1-z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1-z）的共轭复数．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征，三视图和体积计算，属于基础题.熟练掌握由三视图还原的几何体的形状是解题的关键.【解答】解：几何体为两个大小相同的四棱锥的组合体．∵正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，∴棱锥的底面边长为1，棱锥的高为，所以故答案为B.4.【答案】B【解析】解：在等差数列{a n}中，由a3+a17=10，得2a10=10，∴a10=5．∴．故选：B．由等差数列的性质，结合a3+a17=10求出a10，代入前19项的和得答案．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5.【答案】B【解析】解：由题意可得E（-a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，在直角三角形AEF中，tan∠AEF==＜1，可得b2＜a（c+a），由b2=c2-a2=（c-a）（c+a），可得c-a＜a，即c＜2a，可得e=＜2，但e＞1，可得1＜e＜2．故选：B．由题意可得E（-a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得|AF|，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的方程和性质，注意运用正切函数的定义，考查运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s=，n=4满足条件，s=，n=6满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为．结合选项，判断框中应填入的关于n的判断条件是：n＜8？故选：B．首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出选项本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】将函数直接去绝对值即可求解此题.【解答】解：由，易知此题选D正确，故选D.8.【答案】D【解析】略【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.先求出在点（1,0）处的导数，再由直线方程的点斜式可得.【解答】解：∵函数，∴y'=3x2-2 ，当x=1时，y'=1，即k=1，函数在点（1,0）处的切线方程是y=x-1.故选D.10.【答案】D【解析】解：双曲线-=1中，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（-5，0），F2（5，0），∵|PF1|-|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|-|NF2|，∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故选：D．由题设通过双曲线的定义推出|PF1|-|PF2|=6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|-|NF2|，推出|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|-|NF2|，求出最大值．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．【解析】解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，则g（x）在（0，+∞）上递增，又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），故a＞c＞b．故选：A．先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g'（x）＜0恒成立，从而故g （x）在x∈（-∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较a，b，c的大小．本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用，因其为选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果.【解答】解：若,则,图（4）符合，若，则当时，,图象过原点，排除（1）；a取1时，（2）符合，a取-4时，（3）符合，综上可知：图象（2）（3）（4）符合.故选C.13.【答案】（-4，-8）【解析】【分析】本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．通过向量的平行，求出m，然后直接求解即可．【解答】解：因为平面向量，且，所以1×m-（-2）×2=0，m=-4，所以=2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）．故答案为（-4，-8）．14.【答案】26【解析】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，古典概型，考查运算求解能力，难度适中.【解答】解：某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教，基本事件总数, A，B两名老师都被选中基本事件总是,则A，B两名老师都被选中的概率是.故答案为.16.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦定理和余弦定理,由余弦定理求出a,然后利用正弦定理求解即可.【解答】解: 因为A＝120°，c＝5，b＝3，所以由余弦定理有,所以a=7,由正弦定理,得,所以,所以.故答案为.17.【答案】【解答】解:（1）n=1时有,当n≥2时，两式相减得，整理得.故数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列.故（2）两式相减得整理得故,【解析】【分析】（1）先求出a1=1，当n≥2时，,两式相减得，推导出数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）利用错位相减法能求出数列{na n}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）在喜欢打篮球的学生中抽9人，则抽取比例为，∴男生应该抽取人；（2）在上述抽取的9名学生中，女生的有3人，男生6人；则从9名学生任取3名的所有情况为：种情况，其中恰有1名女生情况有：种情况，没有女生的情况有：种情况故上述抽取的9人中选3人，至多有一名女生的概率概率为；（3）∵，且，∴有99.5%的把握认为是否喜欢打篮球是与性别有关系.【解析】（1）根据分层抽样原理计算样本中男生应抽取的人数；（2）计算基本事件数，求出对应的概率值；（3）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验问题，是中档题．19.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）解：PA=PD=2，Q是AD的中点，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC，∵DCBQ是矩形，∴BC⊥QB，∵PQ∩QB=Q，∴BC⊥平面PQB，∴四面体M-PQB的体积==．【解析】（1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．又QB⊥AD．从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）证明BC⊥平面PQB，利用三棱锥的体积公式进行求解即可．本题考查面面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解:（Ⅰ）抛物线E：一点,所以,即p=2,即抛物线的方程为，所以F(1,0),得,又在椭圆C:上所以，结合,得a2=4,b2=3（负舍），所以椭圆C的方程为，抛物线E的方程为;（Ⅱ）由题可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程y=k(x-1)，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),①当k=0时，|AB|=4，直线l2的方程x=1,|CD|=4，故,②当k≠0时，直线l2的方程为，由得,所以,由弦长公式知.同理可得,所以,令t=k2+1,t>1,则,当t>1时，，,所以,综上所述：四边形ABCD面积的最小值为8.【解析】本题考查椭圆和抛物线的标准方程及简单几何性质,同时考查直线与椭圆和抛物线的位置关系.(Ⅰ)由已知求出p,得焦点坐标,然后利用P在椭圆上即可求解;(Ⅱ)当斜率不存在时,,当斜率存在时,联立方程求出|AB|,|CD|,然后利用面积公式求解即可.21.【答案】解：（1）由，令得： ,所以当时，单调递增区间是；（2）令，则成立等价于，①若，当，则，而，即恒成立；②若时，则，当，由是减函数，，又，所以在上是减函数，此时当， ;③若时，，，所以在有零点，在区间，设，所以在上是减函数，即在有唯一零点，且在上，，在为增函数，即在上，所以，不合题意，综上可得，符合题意的的取值范围是【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题的应用.（1）对函数进行求导，根据导函数与零的大小关系求出函数的单调增区间即可；（2）令，则成立等价于，对a进行分类讨论，进一步求出a的取值范围.22.【答案】解：据椭圆C的参数方程为（为参数），可得椭圆C的普通方程为．将直线l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的普通方程，化简得，．设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则所以．即线段AB的长为．【解析】本题考查了直线的参数方程，椭圆的参数方程以及化为普通方程，属于基础题.将l参数方程代入椭圆的普通方程，求出参数的两根之和与两根之积，根据参数的几何意义即可求出|AB|．23.【答案】解：（1）设m(x）=当时，-2x<1,成立,当1<3时,-4x+6<1,解出x,所以<x<3.当1<x时,2x<1,解出x<成立.综上知不等式的解集为(;（2）==4,所以t=4.所以，所以=4.=（）（）=（5+)=.所以的最小值为.【解析】（1）将不等式转化成分段函数，然后求解;（2）利用绝对值的性质，求出函数的最小值，然后利用基本不等式确定最小值.。
东北三省三校2019届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析)
东北三省三校2019届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则展开，再求模即可.【详解】所以，故答案 A【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模,基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10【答案】C【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．7.如图，直角梯形中，，，,在边上任取点，连交于点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由相似三角形求出AE的长，利用几何概型概率计算公式求解即可.【详解】由已知三角形ABC为直角三角形, ，可得AC=2.当时，因为所以即，所以，且点E的活动区域为线段AD，AD=1.所以的概率为故答案为B.【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用面面垂直求出四面体的高,因为是等腰直角三角形易求面积,利用三棱锥的体积公式即得.【详解】解:取BD中点M,因为为边长2的等边三角形,所以,且.又因为平面平面且交线为BD,所以,而且是等腰直角三角形,且面积为2,所以,故答案为A.【点睛】本题考查面面垂直的性质,锥体体积的运算,基础题.10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D 【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题． 16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ①关于点成中心对称； ②在上单调递增； ③存在，使； ④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确． 对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确． 对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，.（I）求证：平面平面;（Ⅱ）若点是棱的中点，求直线与所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ） .【解析】【分析】(I)先证出平面,再利用面面垂直的判定定理即可.(Ⅱ) 取中点，连接，，则,可得或其补角是异面直线与所成的角. 在中利用余弦定理求解即可.【详解】（Ⅰ）证明：底面，取中点，连接，则,，点共线，即又，平面平面，平面平面（Ⅱ）解：取中点，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角中，，，即中，，.中，，，，由余弦定理得中，所以直线与所成角的余弦值为 .【点睛】本题考查线面垂直的性质定理,判定定理,面面垂直的判定定理,异面直线所成的角的作法及运算,基础题.19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I ）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下： 实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？ 参考数据：； 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I ）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数 .（I）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（I）的减区间为，无增区间；（Ⅱ）3.【解析】【分析】(I) 利用二次求导即得.(Ⅱ)先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值.【详解】（I）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减的减区间为，无增区间；（Ⅱ）令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：整数的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用零点存在性定理确定零点所在区间,中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。
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2019年辽宁省沈阳市高三（上）第三次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y=（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y ）*Z=（）A．（X∪Y）∩Z B．（X∩Y）∩Z C．（X∪Y）∩Z D．（X∩Y）∪Z 2．设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（）A．p∧￢q为真命题B．p∨q为假命题C．￢p∧q为假命题D．￢p∨q为真命题3．函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C1，将C1向左平移一个单位后得到C2，则C2所对应的函数为（）A．y=f（﹣x）B．y=f（1﹣x）C．y=f（2﹣x）D．y=f（3﹣x）4．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在（）A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上5．关于函数y=tan（2x﹣），下列说法正确的是（）A．是奇函数 B．在区间（0，）上单调递减C．（，0）为图象的一个对称中心D．最小正周期为π6．在边长为1的正三角形ABC中，设，，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数8．在等差数列a n中，a1=﹣2008，其前n项的和为S n，若，则S2008的值等于（）A．﹣2007 B．﹣2008 C．2007 D．20089．已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（2，4）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，4）10．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）=0；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．若过点（﹣1，0）的直线l与函数y=f （x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l斜率k的取值范围是（）A．（，）B．（0，） C．（0，） D．（0，）11．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且•=0，则||的最大值为（）A． B．C．8 D．6312．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x﹣1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（2）＞ef（0） C．f（3）＞e3f（0）D．f（4）＜e4f（0）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O：x2+y2=4，直线l与圆O相交于点P、Q，且，则弦PQ的长度为．14．定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+），f=．15．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为．16．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有．①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=3x（x∈R）；③f（x）=（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=log a（x+2）+log a（4﹣x），（0＜a＜1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a的值．18．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）=px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x=a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．21．已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y=（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y ）*Z=（）A．（X∪Y）∩Z B．（X∩Y）∩Z C．（X∪Y）∩Z D．（X∩Y）∪Z 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用X*Y=（X∩Y），得到（X*Y ）*Z=（X∩Y）∩Z．【解答】解：∵X*Y=（X∩Y）．∴对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y ）*Z=（X∩Y）∩Z．故选B．2．设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（）A．p∧￢q为真命题B．p∨q为假命题C．￢p∧q为假命题D．￢p∨q为真命题【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离，所以|x+1|+|x ﹣2|的最小值为3，判定出命题p为真命题，根据三点共线的充要条件判定出命题q为真命题．根据复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系得到￢p∧q为假命题，【解答】解：因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离，所以，|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，所以对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，只需要3＞a即a＜3，所以命题p为真命题，所以￢p为假命题，因为，所以==所以A、B、C三点共线，反之，A、B、C三点共线，所以存在λ，μ使得其中λ+μ=1所以存在α使得λ=sin2α，μ=cos2α所以存在角α，使”，所以命题q为真命题，所以￢p∧q为假命题，故选C．3．函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C1，将C1向左平移一个单位后得到C2，则C2所对应的函数为（）A．y=f（﹣x）B．y=f（1﹣x）C．y=f（2﹣x）D．y=f（3﹣x）【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】利用对称变换，由“关于x=1对称”得到C1；根据平移变换“将C1向左平移一个单位后得到C2”根据左加右减，得到到C2．【解答】解：函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C1：y=f（2﹣x）；将C1：y=f（2﹣x）向左平移一个单位后得到C2，则C2：y=f（2﹣（x+1））=f（1﹣x）．故选B．4．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在（）A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据题意，得出⊥，即得出点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．【解答】解：根据题意，得有•=•，∴（﹣）•=0；•=0，∴⊥；∴点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．故选：B．5．关于函数y=tan（2x﹣），下列说法正确的是（）A．是奇函数 B．在区间（0，）上单调递减C．（，0）为图象的一个对称中心D．最小正周期为π【考点】正切函数的图象．【分析】利用正切函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性对A、B、C、D逐项分析即可．【解答】解：A，令f（x）=tan（2x﹣），则f（﹣x）=tan（﹣2x﹣）=﹣tan（2x+）≠﹣tan（2x﹣）=﹣f（x），∴函数y=tan（2x﹣）不是奇函数，A错误；B，由kπ﹣＜2x﹣＜+kπ（k∈Z）得：﹣＜x＜+，k∈Z．∴y=tan（2x﹣）在（﹣， +）（k∈Z）上单调递增，无单调递减区间，故B错误；C，∵f（）=tan0=0，故（，0）为图象的一个对称中心，即C正确；D，∵y=tan（2x﹣）的周期T=，故D错误；综上所述，说法正确的是C．故选：C．6．在边长为1的正三角形ABC中，设，，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量加法及条件便有：，，由条件可得到三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据条件：====．故选A．7．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．【分析】先对函数化简可得f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=，由周期公式可求T，再检验f （﹣x）与f（x）的关系即可判断奇偶性【解答】解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=sin2xcos2x+=+=由周期公式可得T=π，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，即函数f（x）为奇函数故选A8．在等差数列a n中，a1=﹣2008，其前n项的和为S n，若，则S2008的值等于（）A．﹣2007 B．﹣2008 C．2007 D．2008【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的前n项和的公式分别求出S2007和S2005的值，将其值代入到中即可求出公差d，然后根据首项为﹣2008，公差为2算出S2008的值即可．【解答】解：因为S2007=2007×（﹣2008）+d，S2005=2005×（﹣2008）+d，则= [2007×（﹣2008）+d]﹣ [2005×（﹣2008）+d]=2，化简可得d=2，则S2008=2008×（﹣2008）+×2=2008×（﹣2008+2007）=﹣2008．故选B9．已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（2，4）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，4）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）（+）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2﹣2m求得m2﹣2m＜8，进而求得m 的范围．【解答】解：∵+=1，x，y＞0，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2﹣2m＜8，求得﹣2＜m＜4，故选：D．10．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）=0；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．若过点（﹣1，0）的直线l与函数y=f （x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l斜率k的取值范围是（）A．（，）B．（0，） C．（0，） D．（0，）【考点】直线的斜率．【分析】由①可知：函数f（x）为偶函数；由②可知：函数f（x）的图象关于直线x=2对称；由于③当x∈[0，2]时，f（x）=x．画出图象：当经过点（18，2）时，k l=；当经过点（4，2）时，k l=．根据直线l与函数y=f（x）的图象在x ∈[0，16]上恰有8个交点，即可得出．【解答】解：①函数f（x）的图象关于y轴对称，为偶函数；②对于任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）=0，其图象关于直线x=2对称；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．画出图象：当经过点（18，2）时，k l=；当经过点（4，2）时，k l=．∵直线l与函数y=f（x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，∴直线l斜率k的取值范围是．故选：A．11．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且•=0，则||的最大值为（）A． B．C．8 D．63【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴当PF最长时，切线长PM最大．当点P与椭圆的左顶点（﹣5，0）时，|PF|最大，最大值为：5+3=8．此时||的最大值为．故选：B．12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x﹣1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（2）＞ef（0） C．f（3）＞e3f（0）D．f（4）＜e4f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】由已知f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，变形得，因此考虑可构造函数g（x）=，可得．利用已知f（x）满足：（x﹣1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，即可得出f（x）单调递减．可得g（﹣1）＞g（0）．即．利用f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，可得f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．即可【解答】解：令g（x）=，则．∵f（x）满足：（x﹣1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，∴当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．∴g（﹣1）＞g（0）．即．∵f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，∴f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．故选C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O：x2+y2=4，直线l与圆O相交于点P、Q，且，则弦PQ的长度为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用向量的数量积运算，求出∠OPQ=，即可求出弦PQ 的长度．【解答】解：由题意，2×2×cos∠OPQ=﹣2，∴cos∠OPQ=﹣，∴∠OPQ=，∴PQ=2×2×sin∠OPQ=．故答案为：．14．定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+），f=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先，结合奇函数f（x），得到f（﹣x）=﹣f（x），然后，借助于f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+），以x+代x，得到该函数周期为3的周期函数，最后，借助于函数的周期性进行求解．【解答】解：∵奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+），以x+代x，∴f（x+3）=f（x）∴函数的周期为3，∴f=f（1）=2，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣2．15．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为（，+∞）．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m ＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．16．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①③．①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=3x（x∈R）；③f（x）=（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）．【考点】函数的图象．【分析】由题意，根据倍值区间的定义，验证四个函数是否存在倍值区间即可，先令f（x）=2x，至少有两个不同的解，且在解构成的区间上单调即可．【解答】解：①f（x）=x2（x≥0）的倍值区间为[0，2]，故正确；②如图，方程3x=2x没有解，故f（x）=3x（x∈R）没有倍值区间；③f（x）=（x≥0）的倍值区间为[0，1]，故正确；④方程|x|=2x仅有一个解0；故f（x）=|x|（x∈R）没有倍值区间；故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=log a（x+2）+log a（4﹣x），（0＜a＜1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a的值．【考点】对数函数的图象与性质；函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；对数的运算性质．【分析】（Ⅰ）只要使x+2＞0，4﹣x＞0同时成立即可；（Ⅱ）先把f（x）化为f（x）=log a（x+2）（4﹣x）（x∈[0，3]），再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f（x）的最小值，根据最小值为﹣2，列方程解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由得﹣2＜x＜4∴f（x）的定义域为（﹣2，4）；（Ⅱ）f（x）=log a（x+2）（4﹣x）（x∈[0，3]）令t=（x+2）（4﹣x）=﹣（x﹣1）2+9当0≤x≤3，∴5≤t≤9．当0＜a＜1则log a9≤log a t≤log a5，∴f（x）min=log a9=﹣2．又0＜a＜1，∴，综上得．18．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两个向量垂直，利用向量积的运算和正弦定理求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用余弦定理求得ac，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）∵⊥，∴cosB•（2a+c）+cosC•b=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0，整理得cosB=﹣，∠B=，∵y=sin2A+sin2C=2sin（）cos（）=2sin（A+C）cos（A ﹣C）=2sinBcos（A﹣C）=cos（A﹣C），∵0＜∠A=﹣∠C＜，＞∠C＞0∴﹣＜﹣C＜∴＜cos（A﹣C）≤1∴＜y≤．Ⅱ）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=a2+c2+ac=（a+b）2﹣2ac+ac=16﹣ac，∴ac=3，∴S△ABC=acsinB=×3×=19．已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）=px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x=a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值．求得a1．（2）点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上，可得2S n =pn2+pn ①，换元可得2s n﹣1=p（n﹣1）2+p（n﹣1）②，把①②相减可得2a n=2pn，再由a1 =1求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=px2﹣（p+q）x+q，令f'（x）=0，得x=1或x=．又因为p＞q＞0，故有0＜．再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．再由f'（x）在x=的左侧为正、右侧为负，故当x=时，函数f（x）取得极大值．由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故a1 =1．（2）函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）=px2+px，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上，故有2S n =pn2+pn ①，故2s n﹣1=p（n﹣1）2+p（n﹣1），（n＞1 ）②．把①②相减可得2a n=2pn，∴a n=pn．再由a1 =1可得p=1，故a n=n．综上可得，数列{a n}的通项公式为a n=n．20．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），即，又因为，所以（）2+（3y）2=9，化简得：，这就是点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B （x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理得：，，又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，得t∈R，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…21．已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【考点】直线的一般式方程；抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m 的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a 的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴。