【与名师对话】2014年高考总复习新课标数学(理)【配套课时作业】：质量检测4

质量检测(四)
测试内容：数列
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为()
A．1或－1
2B．1
C．－1
2D．－2
解析：由数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0.解得q＝1，或－1 2.
答案：A
2．已知数列{a n}中a1＝1以后各项由公式a n＝a n－1＋1
n(n－1)
(n≥2)给出，则a4等于()
A.7
4B．－
7
4
C.4
7D．－
4
7
解析：因为a n＝a n－1＋1
n(n－1)
(n≥2)，
所以a2＝a1＋1
2(2－1)＝1＋
1
1－
1
2，
a3＝a2＋1
3(3－1)＝1＋
1
1－
1
2＋
1
2－
1
3，
a 4＝a 3＋14(4－1)＝1＋11－12＋12－13＋13－14＝1＋11－14＝7
4，
故选A. 答案：A
3．(2012年济南一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是
( )
A ．65
B ．70
C ．130
D ．260
解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30 a 1＋6d ＝10，a 7＝10
S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝130，故选C.
答案：C
4．(2011年辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为 ( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析：由于a n a n ＋1＝16n ，所以a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，两式相除得q 2＝16，又a 1a 2＝a 21q ＝16，所以q >0，因此q ＝4，故选B.
答案：B
5．已知等比数列{a n }中，若a 1 006·a 1 008＝4，则该数列的前2 013项的积为
( )
A ．42 013
B ．±42 013
C ．22 013
D ．±22 013
解析：由等比数列{a n }的性质知a 1 006·a 1 008＝a 1 005·a 1 009＝a 1 004·a 1 010＝…＝a 2a 2 012＝a 1a 2 013＝a 21 007＝4，
因此a 1a 2…a 2 013＝(a 1·a 2 013)(a 2·a 2 012)…(a 1 006·a 1 008)a 1 007＝41 006·(±2)＝±22 013，
故选D.
答案：D
6．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1
b 2
的值为
( )
A.12 B ．－12 C.12或 －12
D.14
解析：由题意可知，3(a 2－a 1)＝－4－(－1)＝－3，∴a 2－a 1＝－1； 又b 22＝(－1)×(－4)＝4，且b 2<0， ∴b 2＝－2.∴a 2－a 1b 2
＝12.
答案：A
7．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝1
2(1－a n )，则数列{a n }的通项公式为
( )
A ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1
B ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n
C ．a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13n －1
D ．a n ＝3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋1
2a n －1，化简得2a n ＝－a n ＋a n －1，即
a n
a n －1
＝13.又由S 1＝a 1＝12(1－a 1)，得a 1＝13，
所以数列{a n }是首项为13，公比为1
3的等比数列． 所以a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n
.
答案：B
8．(2012年福州质检)已知数列{a n }中，a 1＝4
5，
a n ＋
1＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a n ， 0≤a n ≤1
2，2a n －1， 1
2<a n ≤1，
则a 2 012等于
( )
A.4
5 B.35 C.25
D.15
解析：当a 1＝45时，a 2＝2×45－1＝35；当a 2＝35时，a 3＝2×35－1＝1
5；当a 3＝15时，a 4＝2×15＝25；当a 4＝25时，a 5＝2×25＝45，所以数列{a n }的周期为4，而2 0124＝503，所以a 2 012＝a 4＝25.
答案：C
9．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于
( )
A ．16(1－4－n )
B ．16(1－2－n ) C.32
3(1－4－n )
D.32
3(1－2－n )
解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝1
2. 则a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n ，a n a n ＋1＝25－2n ＝23·⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1. 所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以1
4为公比，以23为首项的等比数列， 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝32
3(1－4－n )． 答案：C
10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝1
2n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
( )
A．5年B．6年C．7年D．8年
解析：由题意可知第一年的产量为a1＝1
2×1×2×3＝3吨；以后第n(n＝
2,3，…)年的产量为
a n＝f(n)－f(n－1)＝1
2n(n＋1)(2n＋1)－
1
2(n－1)·n·(2n－1)＝3n
2(吨)．
令3n2≤150，∴1≤n≤5 2.
又∵n∈N*，∴1≤n≤7，即生产期限最长为7年．
答案：C
11．(2012年山东省实验中学诊断性测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012
－5＝()
A．2 018×2 012 B．2 018×2 011
C．1 009×2 012 D．1 009×2 011
解析：结合图形可知，该数列的第n项a n＝2＋3＋4＋…＋n＋2.
所以a2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 010
2＝2 011×1 009.
故选D.
答案：D
12．(2012～2013学年河北省普通高三11月教学质量监测)已知数列满足：
a1＝1，a n＋1＝
a n
a n＋2
，(n∈N*)，若b n＋1＝(n－λ)⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
a n＋1，b1＝－λ，且数列{
b n}是
单调递增数列，则实数λ的取值范围为A．λ>2 B．λ>3
C．λ<2 D．λ<3
解析：可得
1
a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1
＝2n ，可得b n ＋1＝2n (n －λ)，则b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)，由b n ＋1>b n ，
得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，则λ<n ＋1恒成立，n ＋1的最小值为2，则λ的取值范围为λ<2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2012年北京市丰台区高三第一学期期末)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝a 8＋5，S 6＝a 7＋a 9－5，则公差d 等于________．
解析：a 6＝S 6－S 5＝a 7＋a 9－5－(a 8＋5) ＝a 7＋a 9－a 8－10，
∴a 6－a 7＝a 9－a 8－10，∴－d ＝d －10，∴d ＝5. 答案：5
14．(2011年北京)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4＝－4，则公比q ＝________；
|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.
解析：∵{a n }为等比数列a 1＝1
2，a 4＝－4，设公比为q . ∴a 4＝a 1q 3，∴－4＝1
2×q 3，∴q ＝－2
∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝1
2＋1＋2＋22＋…＋2n －2 ＝2n －1－1
2
答案：－2 2n －1－1
2
15．设{a n }是正项等比数列，令S n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，n ∈N *，如果存在互异正整数m ，n ，使S n ＝S m ，则S m ＋n ＝________.
解析：∵{a n }是等比数列，且a n >0，
∴{lg a n}是等差数列，
令S n＝An2＋Bn(A、B为常数)
∵S m＝S n，由二次函数的图象
得S m＋n＝0.
答案：0
16．(2012年课标全国)数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．
解析：当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，
∴a2k－1＝a2k＋3，
∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…
＋(2×60－1)＝30×(3＋119)
2＝30×61＝1 830.
答案：1 830
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2012年山东济宁一模)等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前n 项和S n.
解：(1)设{a n}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2.
又a1＝2，所以a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b 4＝8，b 16＝32，
设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
b 1＋3d ＝8，
b 1＋15d ＝32，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
b 1＝2，
d ＝2.
则数列{b n }的前n 项和
S n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)
2×2＝n 2＋n . 18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝25n －2n 2. (1)求证：{a n }是等差数列． (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1)证明：①n ＝1时，a 1＝S 1＝23.
②n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(25n －2n 2)－[25(n －1)－2(n －1)2]＝27－4n ，而n ＝1适合该式．
于是{a n }为等差数列．
(2)因为a n ＝27－4n ，若a n >0，则n <27
4， 所以|a n |＝⎩⎨⎧ a n
－a n
(1≤n ≤6)
(n ≥7)
，
当1≤n ≤6时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n －2n 2， 当n ≥7时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝S 6－(S n －S 6)＝2n 2－25n ＋156，
综上可知T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
25n －2n
22n 2－25n ＋156
(1≤n ≤6)(n ≥7)
.
19．(2013年宁夏银川月考)数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满
足2a n S n －a 2n ＝1.
(1)求证数列{S 2n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
24S 4n －1
，求数列{b n }的前n 项和T n ，并求使T n
>16(m 2
－3m )对所有的n ∈N *都成立的最大正整数m 的值．
解：(1)∵2a n S n －a 2
n ＝1，∴当n ≥2时，2(S n －S n －1)S n －(S n －S n －1)2＝1， 整理得，S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2)，又S 21＝1，
∴数列{S 2n }为首项和公差都是1的等差数列． ∴S 2n ＝n ，又S n >0，∴S n ＝n ∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －
n －1，又a 1＝S 1＝1适合此式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n －n －1
(2)∵b n ＝
2
4S 4
n －1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－1
2n ＋1
∴T n ＝11×3＋13×5＋…＋1
(2n －1)(2n ＋1)
＝1－13＋13－1
5＋…＋
12n －1
－
12n ＋1
＝1－
12n ＋1
＝
2n 2n ＋1
∴T n ≥23，依题意有23＞1
6(m 2－3m )，解得－1<m <4， 故所求最大正整数m 的值为3.
20．(2012年山东济南三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k .
(1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n ＋1
2＝
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2·3n －1. 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝2，a n ＝2·3n －1.
a 1＝S 1＝3＋k ＝2，所以k ＝－1. (2)由a n ＋1
2＝，可得b n ＝n
2·3n －1，
b n ＝32·
n 3n ，
T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋3
33＋…＋n 3n .
13T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋334＋…＋n 3n ＋1， 23T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1， T n ＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－12·3n －n 3n ＋1.
21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2
013的n 的最小值．
解：(1)证明：因为S n ＋n ＝2a n ， 所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)． 两式相减得a n ＝2a n －1＋1.
所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比为2. 因为S n ＋n ＝2a n ，
令n ＝1得a 1＝1，a 1＋1＝2， 所以a n ＋1＝2n ， 即a n ＝2n －1.
(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，
所以b n＝(2n＋1)·2n.
所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
①－②得：
－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×22－2n＋1
1－2
－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以T n＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若T n－2
2n－1
>2 013，
则2＋(2n－1)·2n＋1－2
2n－1
>2 013，
即2n＋1>2 013.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
所以满足不等式T n－2
2n－1
>2 013的n的最小值是10.
22．(2013届浙江省重点中学协作体高三摸底)已知数列{a n}满足a1＝1，且
a n＝2a n－1＋2n(n≥2且n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列{a n}的前n项之和为S n，求S n，并证明：S n
2n>2n－3.
解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， 所以，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项12， 于是a n 2n ＝12＋(n －1)d ＝12＋(n －1)·1＝n －12，
∴a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12·2n . (2)∵S n ＝12·21＋32·22＋52·23＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12·2n ∴2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12·2n ＋1 以上两式相减得
－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12.2n ＋1 ＝2＋22＋23＋ (2)
－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1 ＝2(1－2n )1－2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n －3， S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ， ∴S n 2n >2n －3.。