云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第5讲
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第九章 平面解析几何 9-5
(1)求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切 的圆的圆心的轨迹方程． (2)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦 1 点F1，F2在x轴上，离心率e＝2.求椭圆E的方程．
[思路分析]
(1)两圆内切时，圆心之间的距离与两圆的
半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件． (2)由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待 定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第九章
平面解析几何
第九章
第五节 椭 圆
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景.
x2 y2 x2 y2 C. ＋ ＝1或 ＋ ＝1 D．以上都不对 25 16 16 25
[答案] C
[解析]
∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，
∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5， x2 y2 x2 y2 b＝4，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 25 16 16 25
[答案] 2 120°
[解析]
由题意知a＝3，b＝ 2，c＝ 7.
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2，又∵|F1F2|＝2 7， 1 在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－2， ∴∠F1PF2＝120° .
课堂典例讲练
椭圆的定义及标准方程
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第7讲
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解](1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为 事件 A，设袋中白球的个数为 x， C2 7 10－x 则 P(A)＝1－ 2 ＝ ，得到 x＝5. C10 9 故白球有 5 个．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1 1 1 1 解析：由分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋ p4＝ 1，所以 p4＝ . 2 4 8 8
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
k 4．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝ k)＝ ，k＝ 1，2，3，4， 15 1 1 5 5 5，则 P <X< ＝ ________ ． 2 2
概率分布列 ，简 称为 X 的 称为 离散型随 机变量 X 的 ____________ 分布列 ，有时为了表达简单，也用等式 P (X＝ xi)＝ pi，i＝ ________
1， 2，„， n 表示 X 的分布列．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)离散型随机变量的分布列的性质
0 ① pi≥ ________( i＝ 1， 2，„，n)；
n
②∑ pi ＝ ________ ． 1 i＝ 1
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为 X P 0 ________ 1－p 1
p ________
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解]由分布列的性质知： 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得 m＝0.3. 首先列表为： X 2X＋1 |X－1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.3
解析答案
(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，
2＋y2＝2
(
x－
3)
则圆C的方程为________________.
解析
由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.
①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0，
②
x＝3，
.
2
第四页，编辑于星期六：二十点 十五分。
答案
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
第五页，编辑于星期六：二十点 十五分。
1
2
3
4
5
第十一页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程
(x－2)2＋y2＝10
为______________.
解析
设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即 a＋12＋1＝ a－12＋9，
第三十八页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解
设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.7
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物
线.( × )
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐
标是(a4，0)，准线方程是 x＝－a4.( × )
∴x1＝2，y1＝2 2. 设 AB 的方程为 x－1＝ty，由yx2－＝14＝x，ty 消去 x 得 y2－4ty－4＝0.
∴y1y2＝－4.∴y2＝－ 2，x2＝12，
∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝3
2
2 .
思维第升二华十六页，编辑于星期六：解二析十点答十案六分。
跟踪训练2
(1)(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点， 则p＝________. 2 2 解析 由于双曲线 x2－y2＝1 的焦点为(± 2，0)， 故应有p2＝ 2，p＝2 2.
A.x2＝8
3
3 y
B.x2＝163
3 y
C.x2＝8y
D.x2＝16y
第二十四页，编辑于星期六：解二析十点答十案六分。
命题点2 抛物线的几何性质
例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.
32 若|AF|＝3，则△AOB的面积为_______2_.
解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
第四页，编辑于星期六：二十点 十六答分案。
2.抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px(p>0) 标准方程
y2＝－2px (p>0)
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第2讲
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解析](1)分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数 字分别为 0，2；第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0， 2，4. 当万位数字为 4 时，个位数字从 0，2 中任选一个， 共有 2A3 4 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0，2，4 中任选一
3 3 1 3 个， 共有 C1 A 个偶数． 故符合条件的偶数共有 2A ＋ C 3 4 4 3A4＝
120(个)． (2)将产品 A 与 B 捆绑在排列，共有 A2 A4种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 3 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A2 A 2 3种 4 2 3 方法．于是符合题意的排法共有 A2 A － A 2 4 2A3＝36(种)．
3 10 人中任选 3 名即可，共有 C2 C 2 10＝ 120 种选法．
(3)间接法： “男生甲、 女生乙至少有一个人入选”的反面是 “两人都不入选”， 即从其余 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法， 所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为 C12 － C5 10＝ 540(种 )．
＝1 440(种)．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
在本例条件下，求不同的排队方案的方法种 数： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端．
解： (1)先排甲有 4 种，其余有 A6种， 故共有 4· A6 6 ＝ 2 880 种排法． (2)先排甲、乙，再排其余 5 人， 共有 A2· A5＝ 240 种排法．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门， 求：(1)甲、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、 乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第6讲
解析：设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角 三角形，其直角边长为 2R， 则所求事件的概率为 1 × 2R× 2R S阴 2 1 P＝ ＝ ＝ . 2 S圆 π πR
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点一
与长度有关的几何概型
(1)(2015· 高考山东卷 )在区间[0， 2]上随机地取一 1 个数 x，则事件“－ 1≤ log1(x＋ )≤ 1”发生的概率为 ( A ) 2
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．(2014· 高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数 X， 则 X≤1 的概率为( B ) 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5
解析：在区间 [－ 2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤ 1，即－ 3 2≤ X≤ 1 的概率为 P＝ . 5
2 1 3 y≤ x2的概率为 ________ ．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
解析：
(1)如图所示，集合 A 所表示的平面区域 Ω1 的面积为 16π ， 1 集合 B 所表示的平面区域 Ω2(阴影部分)的面积为 × 42＝ 8， 2 8 1 所以点 M 落在区域 Ω2 内的概率为 ＝ ，故选 A. 16π 2π
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(1)(2014· 高考辽宁卷 )若将一个质点随机投入如图 所示的长方形 ABCD 中，其中 AB＝ 2，BC＝ 1，则质点落在 以 AB 为直径的半圆内的概率是 ( B ) π A. 2 π C. 6 π B. 4 π D. 8
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第8讲
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1 × 1× 1 2× 2 2 2 解析：依题意得， P(A)＝ ＝ ， P(AB)＝ ＝ π π π P（ AB） 1 1 ，则由条件概率公式可知，P(B|A)＝ ＝ . P（ A） 4 2π
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点二 相互独立事件的概率 (2016· 唐山统考 )某城市有东西南北四个进入城区 主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象， 交警部门统计 11 月份 30 天内的拥堵天数． 东西南北四个主 干道入口的拥堵天数分别是 18，15，9，15.假设每个入口发 生拥堵现象互相独立，视频率为概率． (1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的 概率； (2)设 X 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个 数，求 X 的分布列．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
相互独立事件的概率的求法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计 算．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位 1 置投球，命中率分别为 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概 2 1 率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1.如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆 的内接正方形， 将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用 A 表示事 件“豆子落在正方形 EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在 1 4 扇形 OHE(阴影部分 )内”，则 P (B|A)＝ ________ ．
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.8
考点自测
第十页，编辑于星期六：二十点 十六分。
1.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为( A )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故 直线与椭圆相交.
1 23 45
第十解一页析，答编辑案于星期六：二十点 十六分。
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对 称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：
两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条 与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行
4.(2014·山东)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c，右顶点为 A， 抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长 为 2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________.
1 2345
第十解四页析，答编辑案于星期六：二十点 十六分。
5.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于 A、B两点，则弦AB的长为________1.6 解析 直线 l 的方程为 y＝ 3x＋1，
由xy2＝＝43yx＋1 得 y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第4讲
(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的 运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解](1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率 26 13 估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 ＝ . 30 15 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日 期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次 7 日不下雨的频率为 .以频率估计概率，运动会期间不下雨的 8 7 概率为 . 8
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2. 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果 如表所示： 射击次数 n 击中 10 环次数 m 10 8 20 19 50 44 100 93 200 178 500 453
m 击中 10 环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 n (1)计算表中击中 10 环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率为多少？
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的， 而概率是一个确定的值， 通常用概率来反映随机事件发生的 可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计 值． (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试 验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就 是概率．
定 义
包含 发生 ，则事件 如果事件A________ 一定发生，这时称事件B包含事 B________ 件A(或称事件A包含于事件B) A⊇B ，那么称事件 若B⊇A且________ A与事件B相等 若某事件发生 当且仅当事件A发生或事件B ____________________________ 发生 ____，则称此事件为事件A与事 件B的并事件(或和事件)
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第九章 平面解析几何 第5讲
A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线
D.圆
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为
椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝
________.
第十一页，编辑于星期六：二十点 八分。
解析 (1)由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆.
标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) 图形
第四页，编辑于星期六：二十点 八分。
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称 性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
质 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心 率
a，b，c 的关系
e＝ac∈ (0，1) c2＝ a2－b2
第五页，编辑于星期六：二十点 八分。
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
第二十五页，编辑于星期六：二十点 八分。
(2)由题意知 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝ a2－b2，因为过
第二十页，编辑于星期六：二十点 八分。
【训练 2】 (1)已知椭圆 E 经过点 A(2，3)，对称轴为坐 标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e＝12，则椭圆 E 的方程为________. (2)(2014·安徽卷)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝ 1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程 为________.
2017版高考数学一轮总复习课件：第九章 第五节抛物线及其性质
因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－1k.设 D(x3，y3)，E(x4，y4)， 则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故A→D·E→B＝(A→F＋F→D)·(E→F＋F→B) ＝A→F·E→F＋A→F·F→B＋F→D·E→F＋F→D·F→B ＝|A→F|·|F→B|＋|F→D|·|E→F|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋2＋k42＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4k2＋k12≥8＋4×2 k2·k12＝16. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，A→D·E→B取最小值 16.
第十七页，编辑于星期六：二十点 分。
法二 如图所示，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 则焦点 F0，－p2， 准线 l：y＝p2，作 MN⊥l，垂足为 N. 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4. ∴抛物线方程为 x2＝－8y，准线方程为 y＝2. 由 m2＝(－8)×(－3)，得 m＝±2 6. [点评] 如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与 距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.
第二十五页，编辑于星期六：二十点 分。
解 (1)设动点 P 的坐标为(x，y)， 由题意有 （x－1）2＋y2－|x|＝1. 化简得 y2＝2x＋2|x|.当 x≥0 时，y2＝4x； 当 x<0 时，y＝0. 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x(x≥0)和 y＝0(x<0). (2)由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1 的方程为 y＝k(x－1).由yy＝ 2＝k4（x x－1）， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1， x2 是上述方程的两个实根，于是 x1＋x2＝2＋k42，x1x2＝1.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.2
)
×
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
)×
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、
C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(
) √
第八页，编辑于星期六：二十点 十五分。
答案
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
第七页，编辑于星期六：二十点 十五分。
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(
不必要条件，故选A.
1
2
3
4
5
第十页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
2.(教材改编) 已知点 (a,2)(a>0) 到直线 l ： x －y ＋ 3 ＝0 的距离为 1，则a等于
( C )
A. 2
B.2－ 2
C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3|
解析 依题意得
＝1.
1＋1
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.
2
8
l2 的斜率为－
，在 y 轴上的截距为
.
5＋m
5＋m
3＋m
2
又∵l1∥l2，由－ 4 ＝－
得，m2＋8m＋7＝0， 得m＝－1或－7.
5＋m
5－3m
8
m＝－1 时， 4 ＝
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.6
顶点 性 渐近线 质 离心率
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±abx
e＝
c a
，e∈
(1，＋∞)
，其中c＝
a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲线 的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做
双曲线的焦点 ， 两 焦 点 间 的 距 离
叫做 双曲线的焦距 .
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当
时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在.
解析 双曲线 C 的标准方程为3xm2 －y32＝1(m>0)，
其渐近线方程为 y＝±mmx，即 my＝±x，不妨选取右焦点 F( 3m＋3，0)
3m＋3
到其中一条渐近线 x－ my＝0 的距离求解，得 d＝
＝ 3.
m＋1
1 2345
第十三页解，析编辑答于案星期六：二十点 十六分。
5.(教材改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程 为______x8_2－__y_82_＝__1____.
解析 设双曲线的方程为ax22－ay22＝±1(a>0)，把点 A(3，－1)代入，得 a2 ＝8，故所求方程为x82－y82＝1.
1 23 45
解析答案 第十四页，编辑于星期六：二十点 十返六分回。
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2．(2016· 长春质量监测 )已知 a∈{－ 2，0，1，3，4} ，b∈{1， 2} ，则函数 f(x)＝ (a2－ 2)x＋ b 为增函数的概率是 ( B ) 2 3 A. B. 5 5 1 3 C. D. 2 10 解析：因为 f(x)＝ (a2－ 2)x＋ b 为增函数，所以 a2－ 2＞ 0，又
2．古典概型 (1)特点
有限 个，即 ① 试验中所 有可能出 现的基 本事件只 有 ________ 有限性 ． ________ 相等 ，即 ____________ 等可能性 ． ②每个基本事件发生的可能性 ________
(2)概率公式 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P (A)＝ ___________________________ ．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．辨明两个易误点 (1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时， 易忽视他 们是否是等可能的． (2) 概率的一般加法公式 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) － P(A∩B) 中，易忽视只有当 A∩B＝∅，即 A，B 互斥时，P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)，此时 P(A∩B)＝0.
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
解： (1)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为 C 4－ C2 5 5 P＝ ＝ .故填 . 2 C4 6 6 (2)①从 8 人中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各 1 名的 方法数是 C3 C 3C2 ＝ 18， A1 恰被选中的方法数是 C3C2 ＝ 6. 用 M 表示“ A1 恰被选中”这一事件， 6 1 P (M)＝ ＝ . 18 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2．古典概型中基本事件的求法 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出 的． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求， 注意在确定基本事件时， (x， y)可以看成是有序的，如(1， 2)与(2， 1)不同．有时也可以看成是无序的，如 (1， 2)，(2， 1)相同． (3)排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可 利用排列或组合的知识．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B， 则事件 B 包括(1， 1， 1)， (2， 2， 2)，(3， 3， 3)，共 3 种． 3 8 所以 P(B)＝ 1－ P(B)＝ 1－ ＝ . 27 9 因此， “抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率 8 为 . 9
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点二
较复杂古典概型的求法 (高频考点)
古典概型是高考考查的热点，可在选择题、填空题中单独考 查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基 本概念为主． 高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据概率求参数； (2)利用古典概型的概率公式求概率； (3)古典概型与统计的综合应用 (下章讲解 )．
1 1 1 1 1 2 2
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
②“ B1 和 C1 不全被选中”包括“选 B1 不选 C1” ， “选 C1 不 选 B1” ， “ B1 和 C1 都不选”这三个事件，分别记作事件 A、 1 C3 1 B、C，则 A、B、C 彼此互斥，且有 P(A)＝ 1 1 1 ＝ ，P(B) C3 C3C 2 6 1 1 1 1 C3C2 1 C3C 2 1 ＝ 1 1 1 ＝ ， P(C)＝ 1 1 1＝ ， C3C3 C 2 3 C3C 3 C2 3 用 N 表示这一事件， 所以有 P(N)＝ P(A＋ B＋ C)＝P(A)＋P(B) 5 ＋ P(C)＝ . 6
2
10 B. 21 D． 1
解析：从 15 个球中任取 2 个球共有 C15种取法，其中有 1 个红球，1 个白球的情况有 10 . 21
栏目 导引
1 C1 · C 所以 10 5 ＝ 50(种 )，
50 P＝ 2 ＝ C 15
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
4．(必修3 P127例3改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同 5 的概率为________ ． 6
a∈ {－ 2， 0， 1， 3， 4}，所以 a∈ {－ 2， 3， 4}，又 b∈{1， 3 2} ，所以函数 f(x)为增函数的概率是 ，故选 B. 5
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
3． (2015· 高考广东卷)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的 球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( B ) 5 A. 21 11 C. 21
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m. m (3)代入公式 P(A)＝ ，求出 P(A). n
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1.(2016· 西安地区八校联考 )依次从标号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个黑球和标号为 6， 7， 8， 9 的四个白球中随 机地各取一个球，用数对 (x， y)表示事件“抽到两个球标号 分别为 x， y” ． (1)问共有多少个基本事件？并列举出来； (2)求所抽取的标号之和小于 11 但不小于 9 或标号之和大于 12 的概率．
1 1 5 素，则所取元素恰好满足方程 cos x＝ 的概率是 ________ ． 2 1 解析： 基本事件总数为 10， 满足方程 cos x＝ 的基本事件数 2
2 1 为 2，故所求概率为 P＝ ＝ . 10 5
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点一 简单古典概型的求法 (2015· 高考湖南卷 )某商场举行有奖促销活动，顾 客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1 ， A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 ， a2 和 2 个白球 b1 ，b2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球．若摸出 的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为： 两个箱子中的红球比白球多， 所以中奖的概率 大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第5讲 古典概型
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．基本事件的特点
互斥 的． (1)任何两个基本事件都是 ________ 基本事件 (2)任何事件都可以表示成 ______________ 的和(除不可能事
件 )．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解](1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}， {A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}， {B，a2}，{B，b1}，{B，b2}． (2)不正确．理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球 都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}， 4 1 1 共 4 种，所以中奖的概率为 ＝ ，不中奖的概率为 1－ ＝ 12 3 3 2 1 > ，故这种说法不正确． 3 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2014· 高考四川卷 )一个盒子里装有三张卡片，分 别标记有数字 1， 2， 3，这三张卡片除标记的数字外完全相 同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片 上的数字依次记为 a， b， c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a， b，c 不完全相同”的概率．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．集合 A＝{2，3} ，B＝ {1，2，3} ，从 A，B 中各任意取一 个数，则这两数之和等于 4 的概率是 ( C ) 2 1 A. B. 3 2 1 1 C. D. 3 6
解析：从 A， B 中各任取一个数有(2， 1)， (2， 2)， (2， 3)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3)6 个基本事件，满足两数之和等于 4 2 1 的有 (2， 2)，(3， 1)2 个基本事件，所以 P＝ ＝ . 6 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解](1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1， 2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3， 1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1， 3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3， 2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2， 1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3， 3)，共 27 种． 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种． 3 1 所以 P(A)＝ ＝ . 27 9 1 因此， “抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为 . 9
解析：掷两个骰子一次，向上的点数共 6× 6＝ 36 个可能的 结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 6 5 P＝ 1－ ＝ . 6× 6 6
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布