江省2011年中考数学专题6：函数的图像与性质

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浙江省 2011 年中考数学专题 6：函数的图像与性质
选择题
k k 0
y
k
的值是
1.（浙江温州 4 分）已知点 P （－ 1， 4）在反比率函数
x
的图象上，则
1
1
A 、－
4
B 、
4
C 、4
D 、－ 4
【答案】 D 。

【考点】曲线上的点与坐标的关系。

k
y
【剖析】依据点在曲线上，点的坐标知足方程的关系，把点 P 的坐标代入
x ，即可求出
k4。

应选
D 。

2.（浙江温州 4 分）已知二次函数的图象（ 0≤x
≤3）以下图，对于该函数在 所给自变量取值范围内，以下说法正确的选项是
A 、有最小值 0，有最大值 3
B 、有最小值﹣ 1，有最大值 0
C 、有最小值﹣ 1，有最大值 3
D 、有最小值﹣ 1，无最大值
【答案】 C 。

【考点】二次函数的最值。

y
的值，即可求得函数的最值： 【剖析】由函数图象自变量取值范围得出对应
依据图象可知此函数有最小值﹣
1，有最大值 3。

应选 C 。

3.（浙江绍兴 4 分）小敏从 A 地出发向 B 地行走，同时小
聪从 B 地出发
向 A 地行走，以下图，订交于点 P 的两条线段 l1、 l2 分别表示小敏、小聪离 B 地的距离 y （ km ）与已用时间 x
（ h ）之间的关 系，则小敏、小聪行走的速
度分别是
A 、 3km/h 和 4km/h
B 、 3km/h 和 3km/h
C 、 4km/h 和 4km/h
D 、4km/h 和 3km/h
【答案】 D 。

【考点】一次函数的应用。

【剖析】设小敏的速度为
k ，函数式为
y kx b。

由图知，小敏经过两
1.6k b 4.8 k
4
点（ 1.6， 4.8）和（ 2.8， 0），代入得
2.8k b 0
，解得
b
2.4 ，由实
际问题得小敏的速度为 4km/h 。

设小聪的速度为 m ，函数式为
y mx。

由图知，小聪经过点（
1.6，4.8）代入得 4.8=1.6 m ，
解得则
m
=3，即小聪的速度为 3km/h 。

应选 D 。

2
4.（浙江杭州 3 分） 如图，函数
y 1
x 1
和函
数
y 2
x 的图像订交
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于点 M （ 2，m
）， N （－ 1，
n
），若
y
1
y
2，则
x
的取值范围是
A. x
1或 0 x 2 B.
x
1或 x 2
C. 1 x 0 或 0 x 2
D. 1 x0 或 x 2【答案】 D。

【考点】反比率函数与一次函数的交点问题。

【剖析】依据反比率函数的自变量取值范围，y
1 与
y
2 图象的交点横坐标，可确立
y
1＞
y
2
时，x
的取值
2
范围：∵由图象知，函数y
1
x 1
和函数
y2
M（ 2，m）， N（－ 1，
x 的图象订交于点
n），
∴当y
1＞
y
2 时，－ 1＜x＜0 或x＞2。

应选 D。

5.（浙江杭州 3 分）一个矩形被直线分红面积为x
，
y
的两部分，则
y
与
x
之间的函数关系
只可能是
【答案】 A 。

【考点】一次函数的图象和应用。

【剖析】由于矩形的面积是必定值，即x +
y
=
k
，整理得
y
=－ x +
k。

由此可知
y
是 x 的
一次函数，图象
经过二、一、四象限；又x 、
y
都不可以为0，即 x ＞0，y＞0，图象位于第一象限。

所以只
有 A 切合要求。

应选 A。

y
m
x 与直线y kx b
交于点M、N，而且点
6.（浙江台州 4 分）如图，双曲线
M 的坐标为 (1， 3)，点 N 的纵坐标为－1．依据图象信息可得对于x
的方程
m
b
kx
x的解为
A．－ 3，1B．－ 3，3 C．－ 1，1D．－ 1，3
【答案】 A 。

【考点】反比率函数与一次函数的交点问题。

m
kx b
y
m
x
的方程 x x 与直线
y kx b
【剖析】依据图象信息可得对于 的解是双曲线
交点的横坐标。

y m
y
3
x ，得 m
3
，即得双曲线表达式为
x。

把点 N 的纵
所以，把 M 的坐标 (1， 3)代入
y
3
x ，
坐标－ 1 代入
m kx b
得
x
3
，即对于 x 的方程 x
的解为－ 3， 1。

应选 A 。

二、填空题
1.（浙江舟山、嘉兴 4 分）如图， 已知二次函数 y x
2
bx c
的图象经过点（ -1，0），（ 1，
-2），当 y 随 x
的增大而增大时，
x
的取值范围是
▲ ．
1 x >
【答案】
2 。

【考点】待定系数法，二次函数的图象和性质。

【剖析】先把（﹣ 1， 0），（ 1，﹣ 2）代入二次函数
y
x 2 bx
c
中，获得对于
b 、
c 的方
1 b
c=0
程
1
b c= 2
求
出 b=-1 、c=-2 ，即可求分析式：
y x 2
x 2。

它的对称轴为
x= 1
2 。

依据二次函数图象和
x >
1
的性质，当 2
时， y
随 x 的增大而增大。

3
5 分）若点 A （ 1，y 1）、B （ 2，y
2）是双曲线
y
▲y
2
2（.浙江绍兴 x 上的点，则 y
1
（填 “＞ ”， “＜ ”或 “=”）． 【答案】＞。

【考点】反比率函数图象上点的坐标特点。

3
y
y
随 x
【剖析】 ∵比率函数 x
中 k
=3＞ 0，∴此函数图象在一、 三象限， 且在每一象限内
的增大而减小，∵点
A （ 1， y 1）、
B （ 2， y
2）是此双曲线上的点，
2＞ 1＞0，∴ A 、B 两
点在第一象限，由 2＞ 1，得 y 1＞ y。

3.（浙江金华、丽水 4 分）如图，将一块直角三角板
OAB 放在平面直角坐标
y
k
x ．在
系中，B （ 2，0），∠ AOB=60° ，点 A 在第一象限， 过点 A 的双曲线为
x
轴上取一点 P ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l ，以直线 l 为对称轴，线段 OB
经轴对称变换后的像是 O ′B ′．
（1）当点 O ′与点 A 重合时，点 P 的坐标是 ▲ ；
（2）设 P （ t ，0），当 O ′B ′与双曲线有交点时， t 的取值范围是▲
．
5 5
≤ t ≤4。

【答案】（ 4， 0）， 4≤t ≤2 或﹣ 2
【考点】反比率函数综合题，解二元一次方程组， 一元二次方程根的鉴别式，解一元一次不
等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含
30 度角的直角
三角形的性质，勾股定理。

【剖析】（ 1）当点 O ′与点 A 重合时，即点 O 与点A 重合，
∵∠ AOB=60° ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l ，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴
对称变换后的像是 O ′B ′。

AP ′=OP ′，∴△ AOP ′是等边三角形。

∵B （ 2，0），∴ BO=BP ′=2 。

∴点 P 的坐标是（ 4， 0）。

（ 2）∵∠ AOB=60° ，∠ P ′MO=90°，∴∠ MP ′O=30°。

1
∴OM= 2
t ， OO ′ =t 。

1
3
1
3 过 O ′作 O ′N⊥ x
轴于 N ，∠ OO ′N=30°，∴ ON=
2
t 。

∴ O ′（ 2
t ， 2
t ）。

2
t ， NO ′=
t 2 3t
2 3
同法可求 B ′的坐标是（ ,
2
），
设直线 O ′B 的′分析式是
y
kx
b
，将 O ′、 B ′的坐标代入，得
1
tk b
3 t k 3
2 3 t 2
2
2
t 2k b
3t 2 3
b
3 t 2 + 3 3
2
，解得：
4
2 。

y
3
t 2 3 x
3 t 2 + 3 3 ∴
2
4
2 。

∵∠ ABO=90° ，∠ AOB=60° ， OB=2 ，∴ OA=4 ， AB=2
3 ，
∴A （2，2
3
），代入反比率函数的分析式得：
k
=4
3 ，
y
4 3
x
2 3 t ﹣ 8
3
） x 2+（﹣ 3 t2+6
3
t ） x ﹣ 4 3
=0，
∴ ，代入上式整理得：（
=（﹣
3
t2+6
3
t ） 2﹣ 4（ 2
3
t ﹣ 8 3 ）?（﹣ 4
3
）≥0，
解得： t ≤25
或 t ≥﹣ 2 5 。

∵当点 O ′与点 A 重合时，点 P 的坐标是（ 4， 0）。

5
5
≤ t ≤4。

∴4≤t ≤2 或﹣ 2
4.（浙江衢州 4 分）在直角坐标系中，有以下图的
Rt △ ABO ，AB ⊥ x 轴于点 B ，斜
3
k k > 0
边 AO=10 ， sin ∠ AOB= 5 ，反比率函数 y
x
的图象经过 AO 的中点 C ，且与
AB 交于点 D ，则点 D 的坐标为
▲ ．
3
【答案】（ 8， 2 ）。

【考点】反比率函数综合题，锐角三角函数的定义，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。

3
【剖析】由斜边 AO=10 ，sin ∠ AOB= 5 ，依据锐角三角函数的定义可获得
AB=6 ，再由勾股
定理获得 OB=8 ，即获得 A 点坐标为（ 8，6），进而获得 AO 的中点 C 的坐标（ 4，3），代
12
k 4
3
12
，进而得反比率函数的分析式
y
入反比率函数分析式确立
x 。

令 x =8，得
3
3
y
8， 2）。

2 ，即可获得 D 点的坐标（
5.（浙江湖州 4 分）如图，已知抛物线
y x
2
bx c
经过点 (0，－ 3)，请你确立一
个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在 (1， 0)和 (3，0) 之间．你所确立的 b
的值
▲．
1
b
【答案】
2 （答案不独一）。

【考点】抛物线与
x
轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】把（ 0，－ 3）代入抛物线的分析式
y x
2
bx c
得： c =－3，∴
y x 2
bx 3 ∵
确立一个 b
的值，使该抛物线与
x
轴的一个交点在 （ 1，0）和（3，0）之间，若是过（
2，0），
代入得： 0=4＋ 2 b
－ 3，
1 b
∴
2 。

6.（浙江宁波 3 分）如图，正方形
A1B1P1P2 的极点 P1、P2 在反比率函数
y
2
( x 0)
x 的图象上，极点 A1 、 B1 分别在 x
轴、 y
轴的正半轴上，再在
y
2 0)
其右边作正方形 P2P3A2B2 ，极点 ( x
P3 在反比率函数 x
的图象上，
极点 A2 在 x
轴的正半轴上，则点 P3 的坐标为 ▲
．
【答案】（
3+ 1
+1，
3 1
）。

【考点】反比率函数综合题，全等三角形的判断和性质， 正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

2
【剖析】 作 P1⊥y 轴于 C ，P2⊥ x 轴于 D ，P3⊥ x 轴于 E ，P3⊥ P2D 于 F ，设 P1（ a
， a ），
2
则 CP1= a
，OC= a ，
∵四边形 A1B1P1P2 为正方形，∴ Rt △ P1B1C ≌ Rt △B1A1O ≌ Rt △ A1P2D ，
2
∴OB1=P1C=A1D=
a。

∴ OA1=B1C=P2D=
a － a。

2 2
2
2
∴OD= a ＋ a － a
= a 。

∴ P2 的坐标为（
a ， a － a ）。

y
2
( x 0)
2
2
把 P2 的坐标代入反比率函数
x
，获得 a
的方程，（ a － a
） ·a =2，
解得 a =－ 1（舍）或 a
=1。

∴ P2（ 2，1）。

2
设 P3 的坐标为（
b
， b ），
2又∵四边形 P2P3A2B2 为正方形，∴ Rt△P2P3F≌ Rt△ A2P3E 。

∴ P3E=P3F=DE= b。

22
∴OE=OD ＋ DE=2 ＋b。

∴ 2＋b = b
，解得
b
=1 －
3
（舍），
b
=
1+
3 。

22
∴ b =1+ 3
=
3 1。

∴点 P3 的坐标为（
3 +1
+1，
31
）。

7.（浙江义乌 4分）如图，一次函数y 2x
的图象与二次函数y x2
3x
图象的对
称轴交于点 B.
（1）写出点 B 的坐标▲；
（2）已知点 P 是二次函数y
x2
3x
图象在 y 轴右边部分上的一个动点，将直线
y 2x
沿 y 轴向上平移，分别交x轴、
y
轴于 C、 D 两点 . 若以 CD 为直角边的△ PCD 与
△OCD 相像，则点 P 的坐标为▲.
3
, 3（1
，
5
）
11111326
【答案】（ 2
,,
25）；2 4 ，（2，2），
4
16 ，5。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，勾股定理，相像三角形的判断和性质，解二元方程组。

x 33
3
x221 2 ，将x
【剖析】（ 1 ）由y 3 x
可知图象的对称轴为
2
代入3,3
y 2x
中，可求B点坐标（ 2）。

（2）设 D（ 0，2 a
），则直线 CD 分析式为
y2x 2a
，可知 C（
a
，0），即 OC：OD=1 ：
2。

则 OD=2 a
，OC=
a
，依据勾股定理可得 CD=
5a。

则以 CD 为直角边的△ PCD 与△ OCD
相像，所以分为∠ CDP=90°和∠ DCP=90°两种状况，分别求P 点坐标：
5a
当∠ CDP=90°时，若 PD： DC=OC ： OD=1 ： 2，则 PD=2，
设 P 的坐标是x
，则纵坐标是 -x23x
x2x2 3x12
5a
2
2
1
2x
25a2222 5a
2
x 3x a
a 1 。

依据题意得：，解得
（1 ，5
）
则P 的坐标为 2 4 。

若 DC ： PD=OC ： OD=1 ： 2，同理能够求得 P （ 2， 2）。

11,11 当∠ DCP=90° 时，若 PD ： DC=OC ： OD=1 ： 2，则 P 4
16 。

13 , 26
若 DC ： PD=OC ： OD=1 ： 2，则 P
5
25 。

（1 ，5
）
11 11
13
26
,
,
综上所述，点 P 的坐标为 2 4 ，（ 2， 2）， 4 16
， 5
25 。

三、解答题
1.（浙江舟山、嘉兴 6 分）如图，已知直线 y
2 x
经过点 P （
2
， a
），点
k
P 对于 y
轴的对称点 P ′在反比率函数
y
）的图象上．
x （ k
（ 1）求 a
的值； （ 2）直接写出点 P ′的坐标；
（ 3）求反比率函数的分析式．
【答案】解：（ 1）把（﹣ 2， a ）代入
y
2 x
中，得
a
=﹣ 2×（﹣ 2） =4，∴
a =4。

（ 2）∵ P 点的坐标是（﹣ 2， 4），
∴点 P 对于 y
轴的对称点 P ′的坐标是（ 2， 4）；
k k
（ 3）把 P ′（ 2， 4）代入函数式 y
= x ，得 4= 2 ，∴
k
=8 。

8
∴反比率函数的分析式是
y = x
．
【考点】待定系数法，一次函数图象上点的坐标特点，对称的性质。

y
（ 2）坐标系中任一点对于 y
轴对称的点的坐标， 此中横坐标等于本来点横坐标的相反
数，纵坐标不变。

k
（ 3）把 P ′代入 y
= x 中，求出 k ，即可得出反比率函数的分析式。

2.（浙江温州 10 分）如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标 是（﹣ 2， 4），过点 A 作 AB ⊥ y
轴，垂足为 B ，连结 OA ． （1）求 △OAB 的面积；
（2）若抛物线 y
x
2
2x c
经过点 A ．
①求 c 的值；
②将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后获得的抛物线极点落在
△OAB 的内部 （不包含 △OAB 的界限），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】解：（ 1）∵点 A 的坐标是（﹣
2， 4）， AB ⊥ y
轴，∴ AB=2 ， OB=4 ，
1
1
∴△ OAB 的面积为：
2
×AB ×OB= 2
×2×4=4 。

（2）①把点 A 的坐标（﹣ 2，4）代入 y
x
2
2x c
中，得﹣（﹣ 2）2﹣2×（﹣ 2）+ c =4，
∴ c
=4 。

②m 的取值范围是： 1＜ m ＜3。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，图形的平移。

【剖析】（ 1）依据点 A 的坐标是 （﹣ 2，4），得出 AB ，BO 的长度， 即可得出 △ OAB
的面积。

（2）①把点 A 的坐标（﹣ 2， 4）代入 y
x
2
2 x c
中，直接得出即可。

②利用配方法把二次函数分析式化为极点式即可得出极点坐标，依据
AB 的中点 E
的坐标以及 F 点的坐标即可得出
m 的取值范围：
∵ y x 2
2x 4
2
5 ，
x 1
∴抛物线极点 D 的坐标是（﹣
1， 5）。

又∵ AB 的中点 E 的坐标是（﹣ 1， 4）， OA 的中点 F 的坐标是（﹣
1， 2），
∴m 的取值范围是： 1＜ m ＜3。

3.（浙江绍兴 10 分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐
标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和睦点．比如．图中过点 P 分別 作 x 轴， y
轴的垂线．与坐标轴围成矩形
OAPB 的周长与面积相等，则点
P 是和
谐点．
（1）判断点 M （ l ， 2）， N （ 4， 4）能否为和睦点，并说明原因；
（2）若和睦点 P （ a
， 3）在直线 y
x b
（ b 为常数）上，求
a ,
b 的值．
【答案】解：（ 1）∵ 1×2≠2（×1＋ 2）， 4×4=2×（ 4＋ 4），
∴点 M 不是和睦点，点 N 是和睦点。

（2）解：由题意得：当
a
＞ 0 时，（ a ＋ 3） ×2=3 a ，∴ a
=6。

点 P （ 6， 3）在直线 y x b
上，代入得： b
=9。

当 a ＜0 时，（－ a ＋ 3） ×2=－ 3 a ，∴ a =－ 6。

点 P （－ 6， 3）在直线
y
x b 上，代入得： b =－ 3。

∴ a =6， b=9 或 a
=－6， b
=－ 3。

【考点】一次函数综合题，一次函数图象上点的坐标特点。

【剖析】（ 1）计算 1×2≠2（×1+2 ）， 4×4=2×（4+4 ）即可。

（2）当 a ＞ 0 时，依据（
a ＋ 3） ×2=3 a ，求出 a ，进而求出
b
；当 a ＜ 0 时，依据（－
a
＋ 3） ×2=－ 3
a
求出 a ，进而求出 b 。

4.（浙江金华、丽水 10 分）某凯旋生组织植树活动，上午 8 时从学校出发，到植树地址植 树后原路返校，如图为师生离校行程 s 与时间 t 之间的图象．请回答以下问题：
（ 1）求师生何时回到学校？
（ 2）假如运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速行进，早半小时抵达植树地址，请在图中，画出该三轮车运送
树苗时， 离校行程 s 与时间 t 之间的图象， 并联合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的行程； （3）假如师生骑自行车上午
8 时出发，到植树地址后，植树需
2
小时， 要求 14 时前返回到学校， 来回均匀速度分别为每时 10km 、
8km ．现有 A 、 B 、 C 、 D 四个植树点与学校的行程分别是 13km 、 15km 、 17km 、 19km ，试
经过计算说明哪几个植树点切合要求．
【答案】解：（ 1）设师生返校时的函数分析式为
s
kt
b
，
12k b 8
k
5
以下图，把（ 12，8）、（ 13， 3）代入上式中得，
13k b
3
，解得， b 68 。

∴ s
5t
68 。

当 s=0 时， t=13.6=13 时 36 分。

∴
师生在 13 时 36 分回到学校。

（2）该三轮车运送树苗时， 离校行程 s 与时间 t 之间的图象以下图： 由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km ； （3）设切合学校要求的植树点与学校的行程为
x
（ km
），
x
x
8<14
2
8 由题意得： 10
＜ 14，解得， 答： A 、 B 、C 植树点切合学校的要求。

【考点】一次函数的应用。

7
x < 17
9 。

【剖析】（ 1）先依据师生返校时的行程与时间之间的关系列出函数分析式，而后看图将两组对应 s 与 t 的值代入可获得一个二元一次方程组，解此方程组可得函数分析式．当返回学
校时就是 s 为 0 时， t 的值。

（2）依据题意直接画出该三轮车运送树苗时，离校行程 s 与时间 t 之间的图象，看图可得三轮车追上师生时，离学校的行程。

（3）先设切合学校要求的植树点与学校的行程为 x （km ），而后依据来回的均匀速度、路
程和时间获得一个不等式，解此不等式可获得x
的取值范围，再确立植树点能否切合要求。

5.（浙江杭州 6 分）点 A ， B ，C， D 的坐标如图，求直线AB 与直线 CD 的交点坐标
【答案】解：由已知，设直线AB 方程为y
kx b ，
3k b0k2
依题意，得 b 6，解得b
400。

∴直线 AB 方程为y
2x 6 。

y
相同可得直线CD 方程为
联立解方程组2）。

1
1
x
2。

y 2x6
1
x 1
y
2，得
x2
y2。

所以直线AB ，CD 的交点坐标为（ -2，
【考点】两条直线订交问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】依据已知条件写出直线 AB 、 CD 的分析式，再联立方程组进行解答，即可求出直线AB ， CD 的交点坐标。

6.（浙江杭州10 分）设函数y kx
2
2k1 x 1
（k为实数）
（1）写出此中的两个特别函数，使它们的图像不全部是抛物线，并在同向来角坐标系中，用描点法画出
这两个特别函数的图像；
（2）依据所绘图像，猜想出：对随意实数k
，函数的图像都拥有的特点，并赐予证明；
（3）对随意负实数k
，当x m时，
y
跟着x的增大而增大，试求出m的一个值
【答案】解：（ 1）如两个函数为y x
1 , y x 2
3x 1
，函数图形函数图形以下图：
（2）无论 k 取何值，函数y kx
22k 1 x 1 的图象必过
定点（ 0， 1），（ -2， -1）且与x轴
起码有 1 个交点。

证明以下：
在
y
kx 2 2k 1 x
1 中，
令
x
0 ，得 y 1；令 x
2 ，得 y 1 。

∴无论 k 取何值，函数
y
kx
2
2k 1 x
1
的图象必过定点（
0，1），（ -2，-1）。

又∵当 k
时，函数
y
x 1
的图像与
x
轴有一个交点；
当
k
时，
(2 k 1)
2
4k 4k 2
1
，所以函数图像与
x 轴有两个交点 .
∴函数
y
kx
2
2k 1 x
1
的图象与
x
轴起码有
1 个交点。

（3）只需写出
m
1
的数都能够 .
k
0，
2k 1
函数
y
kx 2 (2 k 1)x
1
的图像在对称轴直线
x
2k
的左边，
y
随 x 的增大而增
大，
m
2k 1
2k
1
1
2k ，而当
k
时，
1
1
依据题意，得
2k
2k
所以
m
1。

【考点】二次函数综合题。

【剖析】（ 1）令 k
=0 或 1，分别获得两个特别函数，画出图象即可。

（2）猜想：无论 k 取何值， 函数
y kx 2
(2k 1)x 1 的图象必过定点 （ 0，1），（ -2，-1）。

令 x 0 ，得 y 1 ；令 x 2 ，得 y
1。

可知当 x2+2x=0 ，即 x=0 或 -2 时，函数值与
k
的取值没关。

x
2k 1
2k
（3）只求 m 的一个值即可． 当 k ＜ 0 时，抛物线对称轴为直线
，在对称轴左边，
y 随
2k 1
2k 1 1 1
x 的增大而增大，依据题意，得 m
2k
，而当 k
＜ 0 时，
2k
1
2k
，可
确立 m 的范围，
在范围内取 m 的一个值即可。

7.（浙江湖州 6 分）已知一次函数
y kx b
的图象经过点 M(0 ， 2)和 N(1 ， 3)．
(1) 求 k 、
b
的值；
(2) 若一次函数
y
kx
b
的图象与
x
轴的交点为 A( a ，0) ，求 a
的值．
b 2
k 1
【答案】解：⑴由题意得 k
b
3
，解得 b 2 。

∴ k ,
b
的值分别是 1和2。

⑵由⑴得
y
x
2
，
∴当 y
＝ 0 时 , x
＝－
2。

即 a
＝－
2
【考点】待定系数法求一次函数分析式，直线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】（ 1）依据待定系数法求出一次函数分析式即可。

（2）依据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出 a
的值。

8.（浙江义乌 10 分）如图，在直角坐标系中，
O 为坐标原点 . 已知反比率函数
k
yk > 0
的图象经过点 A(2 ， m )，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B ，且 △AOB
x
的面积为
.
（1）求 k 和 m 的值；
k
（2）点 C （ x ， y
）在反比率函数
y
1≤x ≤3时函数值 y
的取值范围；
x 的图象上，求当
y
k
（3）过原点 O 的直线 l 与反比率函数 x
的图象交于 P 、Q 两点，试依据图象直接写出
线段 PQ 长度的最小值 .
【答案】解：（ 1）∵ A(2 ，
m
)， ∴ OB=2 ， AB=
m。

1 1 1
1 ∴S △ AOB= 2
?OB?AB= 2 m 2。

∴ m =2。

·2· =
1
∴点 A 的坐标为（ 2， 2 ）。

1
y
k
1 k
x ，得 2 = 2 ，∴ k =1
把 A （2， 2 ）代入。

1
（ 2）∵当 x =1 时， y =1；当 x =3 时， y =
3。

1
又 ∵反比率函数
y
= x 在 x >0 时， y
随 x 的增大而减小，
1
∴当 1≤x ≤3时， y
的取值范围为
3
≤ y ≤
1
（3） 由图象可得，线段
PQ 长度的最小值为 2 2 。

【考点】反比率函数综合题， 曲线上点的坐标与方程的关系， 反比率函数的增减性和对称性，函数值的取值范围，勾股定理。

k
y
【剖析】（ 1）依据三角形的面积公式先获得
m 的值，而后把点 A 的坐标代入
x ，可求
出 k
的值。

（ 2）求出 x =1 和 x =3 时 y
的值，依据反比率函数的增减性即可求出函数值的取值
范围。

1
（3）依据反比率函数的对称性，
P ，Q 对于原点对称，则
PQ=2OP ，设 P （ a
， a ），根
1 2
1
2
a 2
a 2
据勾股定理获得 OP= a
a
，进而获得 OP 最小值为
2
，于是可
获得线段 PQ 长度的最小值。

k
y
4
的图象都经过点
A （ a
，
9.（浙江省 8 分）若反比率函数 x
与一次函数
y
2x
2）
y
k
x
的分析式；
(1) 求反比率函数
y
k
(2) x
的值大于一次函数
y 2x
4
的值时，求自变量 x 的取值范
当反比率函数 围．
【答案】解： (1) ∵
y
2x
4
的图象过点 A （ a ， 2），∴
a
=3
k
y
6
y
x
∵
x 过点 A （ 3， 2）， ∴ k =6 ， ∴
y
6
(2) x 与一次函数
y 2x
4
的图象的交点坐标，获得方程：
求反比率函数
6 2x 4
x解得：x
1= 3，
x
2=－1。

∴此外一个交点是（－1，－ 6）。

6
> 2x4
∴当 x <－1或0< x <3时，x。

【考点】反比率函数和一次函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】 (1)先把点 A 的坐标代入一次函数y2x 4
，求出
a
，再把 A（ 3，2）代入反比率
y k
x ，求出k，即可获得反比率函数的分析式。

函数
y
6
（ 2）求出反比率函数x 与一次函数y
2x
4
的图象的交点和横坐标，依据图
象即可得。

10.（浙江省 12 分）设直线 l1:y1=k1x+b1与 l2:y2=k2x+b2，若 l1⊥ l2，垂足为 H，则称直线l1 与 l2是点 H 的直角线．
y 1
x 2
y x2y2x2y 2x4
(1) 已知直线①2；②；③；④和点
C（ 0，2）．则直线和是点 C 的直角线
（填序号即可）；
(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的极点 A （ 3,0）、 B（ 2,7）、
C（ 0,7）， P 为线段 OC 上一点，设过 B 、P 两点的直线为l1，过 A 、P 两点的直
线为 l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线l1 与 l2 的分析式．
【答案】解：（1）绘图象可知，直线①与直线③是点 C 的直角线；
（ 2 ）设P坐标为(0，m)，则 PB⊥PB 于点 P。

所以，AB2=(3－2)2＋ 72=50 。

又∵ PA2=PO2 ＋ OA2=m2 ＋ 32， PB2=PC2 ＋ BC2=(7 － m)2＋ 22，
∴AB2=PA2 ＋ PB2=m2 ＋ 32＋(7－ m)2 ＋22=50 。

解得： m1=1 ， m2=6.
为：
y
3x y
1 x 1 当 m=1 时， l1 3
1
， l2 为：
；
y 1
6
x
2x 6 。

当 m=6 时， l1 为： 2
, l2 为： y
【考点】勾股定理，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。

【剖析】（ 1）绘图由图直接知。

（ 2）由勾股定理求出点
P 的坐标，用待定系数法求出方程。