山东省潍坊市寿光市现代中学2017-2018学年高一下学期11月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年山东省潍坊市寿光现代中学高一数学上10月月考试题(含答案)
2017级高一10月段质量检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则，故选D2. 设全集，则的值是（）A. 7B. －1C. －1或7D. －7或1【答案】C【解析】由题意可知，，故选C3. 下列函数中是偶函数，且在（0，1）上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A．是奇函数，∴该选项错误；B．函数在（0，1）上是增函数，∴该选项错误；C．是非奇非偶函数，∴该选项错误；故选D．4. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. －3B. －1C. 1D. 3【答案】A【解析】试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.5. 下列四组函数，表示同一函数的是地（）A. B. C.D.【答案】D【解析】A.,,所以两个函数的对应法则不一致,所以A不是同一函数.B. 的定义域为R,而的定义域为,所以定义域不同,所以B不是同一函数.C.由,计算得出或,由,计算得出,两个函数的定义域不一致,所以C不是同一函数.D.的定义域为R,而的定义域为R,且,所以定义域和对应法则相同,所以D是同一函数.所以D选项是正确的.6. 函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数图象左移一个单位，得,故本题的函数，是由反比例函数左移一个单位而得, 的图象分布于二、四象限，并且在两个象限分别是增函数则函数的图象以x轴和直线x=-1为渐近线，图象为增函数的两支,故选B7. 如果函数在区间上单调递增，那么实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知区间在对称轴的右侧，所以.故选D.点晴：本题主要考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性和二次函数的开口方向及以及对称轴有关，二次函数的单调性以对称轴为分界线，易错点：忽视抛物线的开口方向，本题中抛物线开口向下，对称轴在区间右侧即可保证在区间上单增，注意等号可以取到；8. 设，则的值为（）10 B．11 C.12 D．13【答案】B考点：分段函数9. 函数，若互不相等的实数满足,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出函数f（x）的图象，如图示：，不妨设则x1＜x2＜x3，则x2+x3=4，-5＜x1≤-1，∴-1＜x1+x2+x3≤3，故选A．10. 设（其中为常数），若，则（）A. 31B. 17C. 24D. －31【答案】A【解析】令，则为奇函数．∴∴,故选A11. 偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由偶函数的性质可得，在上单调递减，且，由可得, ，，平方解得故本题正确答案为B.点睛：本题考查的是函数奇偶性与单调性的有关性质与解不等式，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，所以通过，将问题转化为上可以利用单调性得到自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．12. 已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）A. 函数的值域为B. 函数的图象与轴没有公共点C. 函数是上的减函数D. 函数的图象与轴有且仅有3个公共点时【答案】D【解析】当时，，故B选项错误；当时，；当时，；当时，；依此类推函数的值域为，故A选项错误，且函数在定义域上不是单调递减函数C选项错误.综上，选D.点晴：本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查零点问题，考查分段函数.第一步是理解取整函数：“符号[x]表示不超过x的最大整数”，由此可知，在实数的每一个区间，都有不同的正数和其对应.所以我们从开始，对每个区间段的函数的取值情况，列举前几个，找出函数变化的规律，由此利用排除法得到答案.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知集合，则集合M的真子集的个数是________．【答案】7【解析】因为集合A={0,1}，B={2,3}，M={x|x=ab(a+b),a∈A,b∈B}当a∈A，b∈B时取a=0，b=2，则x=0；取a=1，b=2，则x=6；取a=0，b=3，则x=0；取a=1，b=3，则x=12.所以M={0,6,12}则集合M的真子集的个数是个14. 设为一次函数，且，则的解析式为__________．【答案】【解析】试题分析：设，由题意可得，即解得或，所以函数解析式为或考点：求函数解析式15. 已知函数定义域为，且为偶函数，则实数的值__________．【答案】6【解析】试题分析：由题意，所以，又为偶函数，所以关于直线对称，所以，所以a=6考点：偶函数性质及其对称性16. 设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围是__________．【答案】【解析】由题意，解得．考点：函数的单调性．点睛:本题考查的是函数的零点问题.因为一次函数总是单调的，在区间[a,b]上函数值有正有负，如果函数为增函数，则会有，如果函数为减函数，则会有，因此不管增函数还是减函数，只要有即可满足题目条件．三、解答题每题都要写出推算过程.17. 已知函数的定义域为集合A，集合(1)求；(2)或，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析(2)【解析】试题分析：（1）先求出集合A,化简集合B,根据根据集合的运算求试题解析：（1）.(2)因为所以所以18. 已知集合(1)当时，用列举法表示出集合C；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）根据两个集合的交集、并集的定义求出A∩B，A∪B．（2）根据A∩B=B，分B=∅时和B≠∅时两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．试题解析：(1)当时，则，所以(2)若，则①当时，,解得；②当时，由,解得综上所述，实数的取值范围是19. 设函数(1)画出的图象，根据图象直接写出的解集（用区间表示）；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据二次函数的作图方法进行作图，然后看图说话即可；（2）根据函数的奇偶性的判断方法进行判断．试题解析：图象；的解集为；当时，当时，当时，∴对任意的有成立∴结合奇函数的定义知为奇函数.20. 已知二次函数的最小值为1，.(1)求的解析式；(2)若在区间上不单调，求的取值范围；(3)若，试求的最小值.【答案】(1)∴(2)；(3)当，当，当，【解析】试题分析：（1）根据题设条件和二次函数的性质，设，由求得的值，即可得到的解析式；（2）要使在区间上不单调，则，即可求解的取值范围；（3）由（1）知，的对称轴为，分三种情况分类讨论，即可求解的最小值.试题解析：（1）由已知∵是二次函数，且，∴对称轴为.又最小值为1，设，又，∴.∴.（2）要使在区间上不单调，则，∴.（3）由（1）知，的对称轴为，若，则在上是增函数，.若，即，则在上是减函数，.若，即，则.综之，当时，；当时，；当时，.考点：二次函数的图象与性质的综合问题.21. 若函数的定义域为，满足，且时，(1)试证明：在上是单调增函数；(2)若，解不等式.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；（2）将不等式.进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．试题解析：（1）证明：任取，且，则，∵，∴，故∴∴在上是单调增函数.（2）∵令即故原不等式化为又在上是单调增函数,故原不等式等价于解得故原不等式的解集为.点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域.22. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)若，函数在上的最小值为4，求的值；(2)对于（1）中的函数在区间A上的值域是，求区间长度最大的A；(3)若（1）中函数的定义域是，解不等式【答案】(1)；(2)(3)或【解析】试题分析：(1)利用性质,讨论与区间的关系,从而利用最小值是4,建立条件关系.(2)根据值域为,确定对应的变量x,然后判断最大的区间.(3)利用函数的单调性,解不等式即可.试题解析：(1)由题意得：函数在上单调递减，在上单调递增当时，即时函数在处取得最小值，所以，解得当时，即时函数在处取得最小值，所以，解得不符合题意舍去综上可得；(2)由（1）得，又时函数取得最小值4，所以令，则解得或又所以区间长度最大的(3)由（1）知函数在上单调递增所以原不等式等价于解得或所以不等式的解集或。
山东省潍坊市寿光现代中学2017-2018学年高二4月月考数学(理)试题(解析版)
寿光现代中学高二月考试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程241414x x C C -=的解集为( ) A. {4} B. {14} C. {4,6} D. {14,2} 【答案】C 【解析】∵241414x x C C -= ∴24x x =-或2414x x +-= ∴4x =或6x =经检验知4x =或6x =符合题意，故方程241414x x C C -=的解集为{}4,6. 故选C .2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ）A. 60种B. 48种C. 30种D. 10种 【答案】C 【解析】根据题意，分3步进行：①从5名志愿者中选派4人参加活动，有455C =种选法；②将4人分为2组，有224232C C =种分法；③将2组进行全排列，对应星期六和星期日，有222A =种情况，则共有53230创=，故选C.3.设随机变量(,)X B n p ~，且() 1.6E X =，() 1.28D X =，则（ ） A. 8n =，0.2p = B. 4n =，0.4p = C. 5n =，0.32p = D. 7n =，0.45p = 【答案】A【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，且()()1.6, 1.28, 1.6E X D X EX np ==\==，①()1.281D np px ==- ，② ①与②相除可得 1.2810.81.6p -==， 1.60.2,80.2p n \===，故选A. 4.()713x-的展开式的第4项的系数为（ ）A. 3727C -B. 4781C -C. 3727CD. 4781C【答案】A 【解析】 由题意可得()713x-的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=创-=-，选A.5.已知2(0,6)X N ~，且(20)0.4P X-＃=，则(2)P X >等于（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.8 【答案】A 【解析】()2~0,X N s,且()()200.4,220.8P XP X -?==-?=，()()1210.80.12P X \>=?=，故选A.6.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 310【答案】B 【解析】设事件A 发生的概率为()P A ，事件B 发生的概率为()P B ，则由题意可得()()310P A P B =，则()31102P A =，解得()35P A =，故选B.7.函数cos 1xy x=-的导数是（ ）A.2sin sin (1)x x x x -+- B. 2cos sin sin (1)x x x xx -+- C.2sin sin cos (1)x x x x x --- D. cos sin sin 1x x x xx -+- 【答案】B 【解析】()()()()()()()22cos '1cos 1'1cos cos ,'111x x x x sinx x x x y y x x x ?-?-?+=\==--- ()2cos sin sin 1x x x xx -+=-，故选B.8.下列说法错误的是( ) A. 回归直线过样本点的中心(,)x yB. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D. 在回归直线方程0.2.8ˆ0y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位【答案】C 【解析】根据相关定义分析知A 、B 、D 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选C ．9.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（ ） A. 36个 B. 48个 C. 66个 D. 72个 【答案】D 【解析】因为零不能在首位，1在末位和3在末位两种情况，千位是3种情况，十位和百位从剩余的3个元素中选两个进行排列有236A =种结果，4\位奇数有23636创=，5位奇数有23636创=，根据分类计数原理知共有363672+=，故选D.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 10.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++?，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（ ）A. 35B. 20C. 5D. 5- 【答案】D 【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=?\=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C \=-+-=-，故选D.11.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ ）A.13 B. 29 C. 49 D. 827【答案】A 【解析】若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得231p p p +==，解得13p =，即按照顺时针跳的概率为13，按逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针.①若先按逆时针开始从A B ®，则对应的概率为222833327创=；②若先按顺时针开始从A C ®，则对应的概率为111133327创=，则概率为81127273+=，故选A.12.已知52012(32)x a a x a x -=++345345a x a x a x +++，则0123452345a a a a a a +++++=（ ） A. 253 B. 248 C. 238 D. 233【答案】D 【解析】 【详解】()5234501234532xa a x a x a x a x a x -=+++++,两边求导数可得，-10()412322x a a x -=+234345345a x a x a x +++ \当1x =时，-10123452345a a a a a =++++，当0x =时，503243,a ==所以0123452345233a a a a a a +++++=，故选D .【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128，则n 的值为__________． 【答案】7 【解析】对于n，令1x =可得n展开式中的各项系数的和为4n ，各,二项式系数的和为2n ，所以42128,72nn n n ==? ，故答案为7.14.已知曲线2()21f x x =+在点00(,)M x y 处的瞬时变化率为8-，则点M 的坐标为__________． 【答案】(2,9)- 【解析】'()4f x x =，由00'()48f x x ==-得02x =-，2(2)2(2)19f -=?+=，所以点M 坐标为(2,9)-．15.在“心连心”活动中,5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排1名党员参加,且A ,B 两名党员必须在同一个村子，则不同分配方法的种数为___________. 【答案】36 【解析】试题分析：把,A B 两名党员看做一个整体，5个人就可看成了4个部分，每个村子至少有一人，共有24C 种方法，再把这三部分分配到三个村子，有33A 种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同分分法种数为2343=36C A ´种．考点：计数原理及排列与组合的应用．【方法点晴】本题考查了计数原理的应用，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目要求，把实际问题转化为数学问题．本题中，有两个关键条件：①“,A B 两名党员必须在同一个村子”可通过捆绑处理，作为一个元素，这样5就变成了4个部分，②每个村子至少一人，也就是把前面的4个部分再分成3组有24C 种分法，解决了这两个条件后问题就迎刃而解了．16.已知函数()'cos sin 4f x f x x p骣琪=+琪桫，则4f p骣琪琪桫的值为__________． 【答案】1 【解析】()''sin cos 4f x f x x p 骣琪=-?琪桫，''sin cos 4444f f p p p p 骣骣琪琪\=-?琪琪桫桫，解得'14f p骣琪=琪桫，故)'cos sin 11444422f f p p p p 骣骣琪琪=+==琪琪桫桫，故答案为1. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个.现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？ 【答案】72. 【解析】试题分析：分三类：（1）1个黑球, 红、白、蓝球各1个,4个球全排列；（2）2个黑球, 红、白、蓝球选2个,可以先排2个黑球，其他两球全排列；（3）3个黑球, 红、白、蓝球选1个,可以先从红、白、蓝球中选1个，再排列4个球，相加可得.试题解析：分三类：若取1个黑球和另外三个球，排四个位置，有4424A =种，若取2个黑球，从另外三个球中选2个排四个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需排列，即有223436C A =种.若取3个黑球，从另外三个球中选1个排四个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需排列，即有113412C A =种.有分类加法原理的24361272++=种.18.已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程. 【答案】（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18---，,418y x =-或414y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.试题解析：（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+， 由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-， 解得1a =，16b =-. （2）∵切线与直线134y x =-+垂直， ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ， 则()200'314f x x =+=，∴01x =?.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-. 则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-.19.已知n 展开式中第5项是常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中所有有理项.【答案】（1）6；（2）315,16x . 【解析】试题分析：（1）求得n展开式的通项公式为112324rrr n n r T C x +骣-琪=??琪桫，在二项展开式的通项公式中，令4r =且x 的幂指数等于零，即可求出n 的值；（2）在通项公式中，令x 的幂指数1234r-为整数，可得r 的值，从而得到展开式中所有有理项.试题解析：（1）n展开式的通项公式为112324rrr n n r T C x +骣-琪=??琪桫， 再根据第5项是常数项，可得23404n ??=.求得6n =.（2）在通项公式中，令x 的幂指数1234r-为整数， 可得0.4r =，故有理项为31T x =，51516T =. 20.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示.据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.（1）求a 的值和X 的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.【答案】（1）0.2,1.7；（2）0.17. 【解析】试题分析：（1）利用分布列中对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，即12...1P P ++=，即可求出a 值，然后利用数学期望公式求解即可；（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可. 试题解析：（1）由概率分布的性质有0.10.321a a +++=，解得0.2a =. ∴X 的概率分布为：∴00.110.320.4EX =??? 30.2 1.7+?. （2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”； 事件2A 表示“两个月内每个月均被投诉1次”. 则由事件的独立性，得()()1122P A C P X == ()020.40.10.08P X?=创=，()()221P A P X == 20.30.09==，∴()()()12P A P A P A =+ 0.080.090.17=+=. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记x 为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求x 的分布列及数学期望E x ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据所给数据，制作列联表，利用公式求得2K ，与临界值比较，即可得结论；（2）x 的所有可能取值为1,2,3,4,5，求出相对应的概率，即可得到x 的分布列及数学期望. 试题解析：（1）根据所给条件，制作列联表如下：∴2K 的观测值()()()()()()22200644456364120801001003n ad bc k a b c d a c b d -创-?===++++创?， ∵2K 的观测值41.3233k =>，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则m n x =+，根据已知条件可得1,2,3,4,5x =，()()1223223254111,0?20C C C P P m n C C x ======； ()()()1212112322322232325454321,12,0?·10C C C C C C C P P m n P m n C C C C x ====+===+=；()()()()1221022112323223222232323254545431,22,13,07 (15)P P m n P m n P m n C C C C C C C C C C C C C C C C x ====+==+===++=；()()()2103211322322232325454142,23,1?·6C C C C C C C P P m n P m n C C C C x =====+===+=；()()0322323254153,2?60C C C P P m n C C x ======，∴x 的分布列是：∴1371114123452010156605E x =?????． 22.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在答题纸的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式2y cx d =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，令2w x =，计算平均值w 与y，完成以下表格（填在答题卡中），求出ˆy 与x 的回归方程.（c ，d 保留两位有效数字）：（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1 2.236）（附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，……，(,)n n u v ，其回归直线v u a b =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：121()()()ˆniii ni i u u v v u u b==--=-åå，ˆˆv u a b=-） 【答案】（1）负相关；（2） 2.060ˆy w =-+22.060x =-+；（3）4.5. 【解析】试题分析：（1）根据表格中所给数据描点可得散点图，根据散点图的分布判断变量x 与y 的相关性的正负；（2）利用平均值公式计算,y w ，再计算出()()()121ˆniii nii u u v v u u b==--=-åå所需数据即可求出c 的值，代入回归方程可求得d 的值，从而可写出回归方程；（3）当ˆ20y <时，22.06020x -+<， 4.5x >，∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜. 试题解析：（1）负相关，散点图如图：（2）11w =，38y =.()()()()()()()222221020716215914281072514c -?-?-??+?=-+-+-++ 7512.0374=-?. d y cw =- 751381160374骣琪=--椿琪桫， 2.060ˆy w =-+ 22.060x =-+.（3）当ˆ20y <时，22.06020x -+<， 4.5x >.∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【方法点晴】本题主要考查散点图的画法和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n n i i i i i x y x x y ==邋的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题(含精品解析)
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B.，定义域为，与题中函数的图象不一致；C.，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得. ∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为. 试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以.（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面P AD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求使时的取值范围.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为.(2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为.（2）∵，∴，又由（1）知函数定义域关于原点对称，∴函数是奇函数.（3）当时，由，得，解得；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.(3)由题意，原问题即在上有解，则结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，，∴.若方程，即在上有解，则∵在上是增函数，∴，即，∴，故.。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题(解析版)
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B .，定义域为，与题中函数的图象不一致；C .，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有: 1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得.∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为.试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以. （2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面PAD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求使时的取值范围.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为.(2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为.（2）∵，∴，又由（1）知函数定义域关于原点对称，∴函数是奇函数.（3）当时，由，得，解得；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数. (3)由题意，原问题即在上有解，则结合函数的单调性可得，，求解不等式则有. 试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，，∴.若方程，即在上有解，则∵在上是增函数，∴，即，∴，故.。
山东省寿光现代中学2017-2018学年高三实验班10月月考数学理试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理A ）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2|11A x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}|2,0x B y y x ==<，则A B =（ ） A ．(]1,1- B ．[]1,1- C ．(],1-∞ D ．[)1,-+∞ 2.已知a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．ln ln a b > B ．11a b< C ．2a ab > D ．222a b ab +> 3. ,,m n l 为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．,m l n l ⊥⊥，则//m n B ． ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ C ．//,//m n αα，则//m n D ．//,//αγβγ，则//αβ 4.在复平面内，复数()212z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为1V ，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ，则12V V =（ ）A． B． C ．12 D．6.已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87.已知A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点，且A B 、关于坐标原点对称，若直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率等于（ ）ABCD 8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,EF 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是椭圆11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1AP 长度的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B．⎣C．⎣⎦D． 9.如图，12F F 、是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A B 、． 若2ABF∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4BC ．3D 10.设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-，则()()4f x f x '>的解集为（ ）A ．ln 4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点，若3CB BF =，则直线l 的斜率为___________．12.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4,A P 是双曲线右支上的动点PF PA +的最小值为___________．13.若函数()222f x x x a =++与()1g x x x a =-++有相同的最小值，则不等式()5g x ≥的解集为__________．14.半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．15.设1,1a b >>，若2ab e =，则ln 2aS be =-的最大值为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a的取值范围． 17.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()090θθ≤，试求cos θ的取值范围．18.（本题满分12分）等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中各项均为正数，11b =，且2212b S +=，数列{}n b 的公比22S q b =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<． 19.（本题满分12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新式艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200450002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 20.（本题满分13分）已知动圆P 与圆()221:381F x y ++=相切，且与圆()222:31F x y -+=相内切，记圆心P的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点． （1）求曲线C 的方程；（2）试探究MN 和2OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（3）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值． 21.（本题满分14分） 已知函数()()()21212ln 2f x ax a x x a R =-++∈． （1） 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2） 求()f x 的单调区间；（3） 设()22g x x x =-，若对任意(]10,2x ∈，均存在(]20,2x ∈，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题11．k =± 12．9 13．(][),32,-∞-+∞ 14．1：2 15．e -三、解答题16．解：若p 真，则00a >⎧⎨∆<⎩，∴3a >，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分若q 真，令()22321f x x ax a =-++，则应满足()()()22234210399210a a f a a ⎧∆=--+≥⎪⎨=-++>⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴222522a a a a a ⎧⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或∴52a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又由题意可得p 真q 假或p 假q 真．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（1） 若p 真q 假，则352a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴a 无解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分17.解：（1）证明：在梯形ABCD 中， ∵//,1AB CD AD DC CB ===，060ABC ∠=，∴2AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴2222cos6031AC AB BC AB BC =+-=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2） 由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,,,0,1C AB M λ，∴{}{}3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-．设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量， 由110,0n AB n BM ==，联立得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，联1x =，则()1n λ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量， ∴(1212cos n n n n θλ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤0λ=时，cos θ有最小值7，当λ=cos θ有最大值12．∴1cos 72θ⎤∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.解：（1）由于221212S b q =-=-，可得12qq q-=．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得：3q =或4q =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 221219,23S d a a S a ==-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴()3133n a n n =+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分13n n b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）证明：由3n a n =，得()332n n n S +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴()122113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111211111112111322334131n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．9分∵1n ≥，∴11012n <≤+，∴121213313n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故121111233n S S S ≤+++<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1450002002001002y x x x x x=+-≥-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当且仅当1450002x x=，即300x =时等号成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．．．．．．．．．．．．．．6分（2）获利，设该单位每月获利为S 元，则()2211200400450004003500022S x y x x x =-=-+-=--+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为[]300,600x ∈，所以[]15000,35000S ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故该单位每月获利，最大利润为35000元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设圆心P 的坐标为(),x y ，半径为R ，由于动圆P 一圆()221:381F x y ++=相切，且与圆()222:31F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆()221:381F x y ++=只能内切．∴1121229=861PF RPF PF F F PF R ⎧=-⎪⇒+>=⎨=-⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴圆心P 的轨迹为以12,F F 为焦点的椭圆，其中28,26a c ==，∴2224,3,7a c b a c ===-=故圆心P 的轨迹22:1167x y C +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴()22222332221121112112716716716m m OQ x y m m m +=+=+=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2271642490m y my ++-=，∴121224249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴21MN y ===-()22561716m m +===+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴()()22222561171621121716m MNm m OQm ++==++ ∴MN 和2OQ 的比值为一个常数，这个常数为12．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）∵//MN OQ ，∴2QF M ∆的面积2OF M =∆的面积，∴12OMN S S S S ∆=+=， ∵O 到直线:3MN x my =+的距离d =∴()2225611122716716m S MN d m m +==⨯=++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 t =，则()2211m t t =-≥，()2284848497971167t t S t t t t===+-++，∵9767t t t t +≥=（当且仅当97t t =，即t =7m =±时取等号） ∴当m =时，S 取最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：()()()2210f x ax a x x=-++>．．．．．．．．．．．．．．．1分 （1）由题意知()()13f f =，即()()22123213a a a a -++=-++，解得23a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）()()()()120ax x f x x x--=>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ①当0a ≤时，∵0x >，∴10ax -<，在区间()0,2上，()0f x '>；在区间()2,+∞上，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是()2,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ②当102a <<时，12a >，在区间()0,2和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>； 在区间12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是()0,2和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ③当12a =时，()()2202x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是()0,+∞，．．．．．．．．．．．．．．．．7分④当12a >时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上，()0f x '>； 在区间1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）由题意知，在(]0,2上有()()max max f x g x <，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由已知得()max 0g x =，由（2）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(]0,2上单调递增， 故()()()max 222212ln2222ln2f x f a a a ==-++=--+，所以222ln 20a --+<，解得ln 21a >-， 故1ln 212a -<≤．．．．．．．．．．．．．．11分 ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增； 在1,2a⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递减， 故()max 1122ln 2f x f a a a ⎛⎫==---⎪⎝⎭， 由12a >可知11ln ln ln 12a e>>=-， 所以2ln 2a >-，即2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13分 所以()max 0f x <，综上所述，ln 21a >-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
山东省寿光现代中学2017-2018学年高一11月月考化学试题 Word版含答案
2017-2018学年一、选择题：（单选，1-10每小题2分，11-20每小题3分，共50分）1. 下列属于高分子化合物且在自然界中原来并不存在的是A.淀粉B.纤维素C.聚乙烯D.蛋白质2. 下列叙述合理的是A．苯、汽油和植物油都是碳氢化合物B．甲烷、乙醇、乙酸、乙酸乙酯都能发生取代反应和氧化反应C．水电站把机械能转化成电能，而核电站是把化学能转化成电能D．糖类、油脂、蛋白质都是高分子化合物，都能发生水解反应3. 下列各组材料中，不能组成原电池的是4. 下列物质分子的电子式正确的是A．CH3Cl B．羟基C．CO2D．C2H45. 既可用来鉴别甲烷与乙烯，又可除去甲烷中混有乙烯的最佳方法是A．通入酸性高锰酸钾溶液中B．通入足量溴水中C．一定条件下通入H2D．点燃6. 下列反应中前者属于取代反应，后者属于加成反应的是A.甲烷与氧气混和后光照反应：乙烯使酸性高锰酸钾溶液褪色B．乙烯使溴的四氯化碳溶液：苯与氢气在一定条件下反应生成环己烷C．苯滴入浓硝酸和浓硫酸的混合液中，有油状生成：乙烯与水生成乙醇的反应D．在苯中滴入溴水，溴水褪色；乙烯使溴水褪色7. 下列关于有机物的说法正确的是A.聚氯乙烯分子中含碳碳双键 B．以淀粉为原料可制取乙酸乙酯C．丁烷有3种同分异构体 D．油脂的皂化反应属于加成反应8. 关于右图所示装置的叙述，错误的是A. 锌是负极，其质量逐渐减小B．氢离子在铜表面被还原，产生气泡C．电流从锌片经导线流向铜片D．电子从锌片经导线流向铜片9. 下列用水就能鉴别的一组物质是A．苯、己烷、四氯化碳B．苯、乙醇、四氯化碳C．苯、乙醇、乙酸乙酯D．硝基苯、乙醇、乙酸10. 既含有离子键又含有共价键的物质是l4B.CaCl2C.H2O2D.NaOH11. 一定质量的某有机物和足量的金属钠反应，可得到VaL气体．向等质量该有机物的溶液中加入足量的NaHCO3溶液，可得到VbL气体（不考虑溶于水的气体），已知在同温同压下Vb=Va>0，则该有机物可能是A．CH3OHCHOHCH20H B．HO（CH2）2CHOC．HOOC-COOH D．CH3CH2CH2OH12. 下列说法正确的是A.把煤加强热使之完全分解的过程叫干馏B.煤中含有苯和甲苯，可以用先干馏后分馏的方法把它们分离出来C.石油裂化的目的是提高汽油的产量D.石油分馏所得的馏分是一种具有恒定沸点的纯净物13. 食品中含有过量的（丙烯酰胺）可能引起令人不安的食品安全问题．关于丙烯酰胺有下列叙述：①能使酸性高锰酸钾溶液褪色，②能发生加聚反应，③能与氢气发生加成反应，④是高分子化合物．其中正确的是A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④14. 下列说法不正确的是A.“西气东输”就是将新疆等地的天然气通过管道输到长江三角洲B. 乙烯和苯是来自石油和煤的两种有机物，它们都能发生加成反应C. 糖类、油脂和蛋白质是基本营养物质，它们都是天然高分子化合物D. 乙烯和氯乙烯都可以通过聚合反应得到高分子材料15. A、B两种烃，它们含碳质量分数相同，下列关于A和B的叙述正确的是A. A和B一定是同分异构体B. A和B不可能是同系物C. A和B最简式一定相同D. A和B的化学性质相似16. 胆固醇是人体必需的生物活性物质，分子式为C27H46O；一种胆固醇酯是液晶材料，分子式为C34H50O2，合成这种胆固醇酯的酸是A. C6H13COOHB. C6H5COOHC. C7H15COOHD. C6H5CH2COOH17. 下列醇不能再铜催化下发生氧化反应的是A．B．CH3CH2CH2OHC．D．18. 下列各烷烃进行取代反应后只能生成三种一氯代物的是A. B.C. D.19. 下列关于有机物的叙述中正确的是A.乙醇可以被氧化成乙酸，二者均能发生酯化反应B．人体内的蛋白质不断分解，最终生成水和二氧化碳排出体外C．我国居民传统膳食以糖类为主，淀粉、脂肪都是糖类物质D．由CH 2 =CH—COOCH 3合成的聚合物为20. 某物质X可以发生水解反应生成两种物质Y、Z，同温同压下，相同质量的Y和Z的蒸汽所占体积相同，X可能是A.乙酸甲酯B.乙酸乙酯C.乙酸丙酯D.麦芽糖Ⅱ卷（满分50分）二、填空题21.（8分）（1）下列各组粒子互为同位素的是（填编号，下同）。
山东省寿光现代中学2017-2018学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年山东省寿光现代中学高一12月月考高一数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列各组函数表示同一函数的是（ ）．A ．()(),0,,,0x x f x g x x x R x x ≥⎧==∈⎨-<⎩ B ．()()01,f x g x X ==C ．()()2f xg x ==D ．()()211,1x f x x g x x -=+=- 2.幂函数()f x 的图像经过点（2,4），则()4f =（ ）． A ．2 B ．8 C ．16 D ．643.已知函数()2f x -=f的定义域为（ ）．A ．[)0,+∞B ．[]0,16C ．[]0,4D ．[]0,24.定义在R 上的奇函数()f x ，满足()10f =，且在()0,+∞上单调递增，则()0xf x >的解集为（ ）．A ．{}|11x x x <->或B ．{}|0110x x x <<-<<或C ．{}|011x x x <<<-或D ．{}|101x x x -<<>或5.已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A ．4 B ．14 C ．-4 D ．14- 6.已知函数()26log f x x x=-，则包含()f x 零点的区间为（ ）．A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,4）D ．()4,+∞ 7.在同一坐标系中，函数()()()0,log a a f x x x g x x =>=的图像可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．8.已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>9.若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C．D10.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）． A3R B3R C3R D3R 11.已知,,a m n 是直线，,,αβγ是平面，有下列四个命题 （1）若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ； （2）若//,//αββγ，则//αγ；（3）若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ； （4）若//,,m n m n αβ⊂⊂，则//αβ． 其中正确命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．312.已知函数(),x 142,12x a f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，是R 上的增函数，则a 的范围为（ ）． A ．()1,+∞ B ．（1,8） C ．[)4,8 D ．（4.8） 二、填空题（每题5分，共20分） 13.函数()f x =____________．14.化简2lg 5lg 2lg 2lg 2+-的结果为 ____________．15. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为____________．16.有下列四个命题（1）10x y =与ln y x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称； （2）已知函数()2121f x x x -=-+，则()01f =；（3）当0a >且1a ≠时，函数()23x f x a -=+的图像必过定点（2,3）； （4）函数lg y x =的值域是R ．其中，所有正确命题的序号是____________． 三、解答题 （70分） 17.（10分）设集合1|,|,12xA x yB y y x ⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎛⎫====≤-⎨⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎩⎭且，（1）求集合A B（2）设集合{}|23D x a x a =-<<，满足B D B = ，求实数a 的范围．18.（10分）已知函数()241xx f x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求解不等式()310f x ≤． 19.（12分）一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位m ）（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积． 20.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AC ⊥==，1BC =，,E F 分别是11,AC BC 的中点．（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积． 21.（12分）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元．（1） 要使生产该产品2小时获得的利润为3000元，求x 的值；（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产进度？并求此最大利润． 22.（14分）已知函数()121xaf x =-+在R 上奇函数，（1）求a ；（2）对于(]0,1x ∈，不等式()21x s f x ≥- 恒成立，求实数s 的取值范围； （3）令()()11g x f x =-，若关于x 的方程()()210g x mg x -+=有唯一实数解，求m 范围．参考答案一、选择题二、填空题13. (]5,6 14． 25 15．8000316．()4 三、解答题 17．解：由条件知1014x +<≤， ∴13x -<≤，即集合(]1,3A =-，∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1x ≤-，当D =∅时，∵23a a -≥，∴12a ≤； 当D ≠∅时，2322a aa -<⎧⎨->⎩，解得120a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，解集为空集，∴a 不存在，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．10分 18．解：（1）()241xx f x =+为偶函数，证明如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∵()f x 的定义域为R ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又()()12221411414xx x x xx f x f x ---====+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()241xx f x =+为偶函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由于()310f x ≤，所以231410x x≤+， ∴()210314x x ⨯≤⨯+， 即()23221030x x ⨯-⨯+≥，∴23x ≥或123x ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 即2log 3x ≥或21log 3x ≤，∴原不等式的解集为221|log 3log 3x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分19.解：（1）直观图如图所示：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以11111,,A A A D A B 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B 中，作11BE A B ⊥于点E ，则四边形1AA EB 是正方形， ∴11AA BE ==，在1Rt BEB ∆中，11,1BE EB ==，∴1BB =7分∴几何体的表面积11111111112AA D D BB C C ABCD A B C D AA B D S S S S S S =++++正方形矩形正方形矩形梯形())2112121111272m =+⨯⨯+⨯++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．（1）证明：取AB 的中点G ，连接,EG FG ，因为,E F 分别是11,AC BC 的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =， 因为11//AC AC ，且11AC AC =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =， 所以四边形1FGEC 为平行四边形， 所以1//C F EG ，又因为EG ⊂平面E AB ，1C F ⊄平面ABE ，所以1//C F 平面E AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：因为12,BC 1,AB BC AA AC ===⊥，所以AB =所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA ∆==⨯⨯= ．．．．．．．．．12分21．解：（1）由题意得3200513000x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简得251430x x --=，解得15x =-（舍去）或3x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）生产900千克该产品获得的利润为213900005,110x x x ⎛⎫+-≤≤ ⎪⎝⎭．记()2315,1x 10f x x x=-++≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 则()211613612f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当6x =时，取到最大值，．．．．．．．．．．．．．．．．10分 获得的最大利润为619000045750012⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．（14分）（1）由题意，()f x 为R 上奇函数，()00f =， ∴2a =．．．．．．．．．．．．．2分当2a =时，()22112121x x x f x -=-=++， ∴()()21122112x xxxf x f x -----===-++， ∴()f x 为奇函数，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）由（1）()2121x x f x -=+，∵(]0,1x ∈，∴(]21,2x ∈，210,210x x ->+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴不等式212121x x xs -≥-+ 恒成立，等价于21x s ≥+恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又∵(]212,3x +∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴当3s ≥时，不等式21x s ≥+恒成立，∴s 的取值范围为3s ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）∵()()12112x g x f x +==--， ∴()()21212121022x x g x mg x m +++-+=-+=， 整理得：222210x x m m --+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令20x t =>，则问题转化为关于t 的方程，2210t mt m --+=有一个正根或有两个相等正根．．．．．．．．．．．．．．．．10分令()()2210h t t mt m t =--+>，则函数()221h t t mt m =--+在()0,t ∈+∞有唯一零点，∴()00h ≤或()()220212410m m m -⎧->⎪⨯⎨⎪∆=--⨯-=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分由()00h ≤得10m -+≤，∴1m ≥，当1m =时，()22h t t t =-，满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分由()()22022410m m m -⎧->⎪⎨⎪---=⎩得012m m >⎧⎪⎨-=⎪⎩12m =，综上，m的取值范围为1m≥或12m=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
山东省潍坊市寿光现代中学2017-2018学年高二4月月考数学(理)试题(含精品解析)
寿光现代中学高二月考试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程的解集为( )A. {4}B. {14}C. {4,6}D. {14,2}【答案】C【解析】∵∴或∴或经检验知或符合题意，故方程的解集为.故选C.2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A. 60种B. 48种C. 30种D. 10种【答案】C【解析】根据题意，分步进行：①从名志愿者中选派人参加活动，有种选法；②将人分为组，有种分法；③将组进行全排列，对应星期六和星期日，有种情况，则共有，故选C.3.设随机变量，且，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A随机变量服从二项分布，且，①，②①与②相除可得，，故选A.4.的展开式的第4项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.5.已知，且，则等于（）A. 0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.8【答案】A【解析】,且，，故选A.6.设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件发生的概率为，事件发生的概率为，则由题意可得，则，解得，故选B.7.函数的导数是（）A. B.C. D.【解析】，故选B.8.下列说法错误的是( )A. 回归直线过样本点的中心B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D. 在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．9.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（）A. 36个B. 48个C. 66个D. 72个【答案】D【解析】因为零不能在首位，在末位和在末位两种情况，千位是种情况，十位和百位从剩余的个元素中选两个进行排列有种结果，位奇数有，位奇数有，根据分类计数原理知共有，故选D.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10.已知，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D令，得，而表示的系数，，故选D.11.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】若按照顺时针跳的概率为，则按逆时针方向跳的概率为，可得，解得，即按照顺时针跳的概率为，按逆时针方向跳的概率为，若青蛙在叶上，则跳次之后停在叶上，则满足次逆时针或者次顺时针.①若先按逆时针开始从，则对应的概率为；②若先按顺时针开始从，则对应的概率为，则概率为，故选A.12.已知，则（ ）A. 253B. 248C. 238D. 233【答案】D 【解析】【详解】,两边求导数可得，-10当时，-10，当时，所以，故选D .【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128，则的值为__________．【答案】【解析】对于，令可得展开式中的各项系数的和为，各,二项式系数的和为，所以，故答案为.14.已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________．【答案】【解析】，由得，，所以点坐标为．15.在“心连心”活动中,5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排1名党员参加,且A,B两名党员必须在同一个村子，则不同分配方法的种数为___________.【答案】36【解析】试题分析：把两名党员看做一个整体，个人就可看成了个部分，每个村子至少有一人，共有种方法，再把这三部分分配到三个村子，有种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同分分法种数为种．考点：计数原理及排列与组合的应用．【方法点晴】本题考查了计数原理的应用，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目要求，把实际问题转化为数学问题．本题中，有两个关键条件：①“两名党员必须在同一个村子”可通过捆绑处理，作为一个元素，这样就变成了个部分，②每个村子至少一人，也就是把前面的个部分再分成组有种分法，解决了这两个条件后问题就迎刃而解了．16.已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】，，解得，故，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个.现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？【答案】.【解析】试题分析：分三类：（1）个黑球, 红、白、蓝球各个,个球全排列；（2）个黑球, 红、白、蓝球选个,可以先排个黑球，其他两球全排列；（3）个黑球, 红、白、蓝球选个,可以先从红、白、蓝球中选个，再排列个球，相加可得.试题解析：分三类：若取1个黑球和另外三个球，排四个位置，有种，若取2个黑球，从另外三个球中选2个排四个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需排列，即有种.若取3个黑球，从另外三个球中选1个排四个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需排列，即有种.有分类加法原理的种.18.已知曲线在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.【答案】（1）；（2）,或.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得，，解方程可得的值；（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.试题解析：（1）∵的导数，由题意可得，，解得，.（2）∵切线与直线垂直，∴切线的斜率.设切点的坐标为，则，∴.由，可得，或.则切线方程为或.即或.19.已知展开式中第5项是常数项.（1）求的值；（2）求展开式中所有有理项.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求得展开式的通项公式为，在二项展开式的通项公式中，令且的幂指数等于零，即可求出的值；（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，可得的值，从而得到展开式中所有有理项.试题解析：（1）展开式的通项公式为，再根据第5项是常数项，可得.求得.（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，可得，故有理项为，.20.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示.据统计，随机变量的概率分布如下表所示.01230.10.3（1）求的值和的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用分布列中对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是，即，即可求出值，然后利用数学期望公式求解即可；（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可.试题解析：（1）由概率分布的性质有，解得.∴的概率分布为：01230.10.30.40.2∴.（2）设事件表示“两个月内共被投诉2次”；事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性，得，，∴.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．附：，其中．参考数据：0.500.400.250.150.100.050.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，制作列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可得结论；（2）的所有可能取值为，求出相对应的概率，即可得到的分布列及数学期望.试题解析：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男女总计喜欢阅读古典文学6436100不喜欢阅读古典文学5644100总计12080200∴的观测值，∵的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表人，女代表人，则，根据已知条件可得，；；；；，∴的分布列是：12345∴．22.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水（单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药（单位：微克）的统计表：123455854392910（1）在答题纸的坐标系中，描出散点图，并判断变量与是正相关还是负相关；（2）若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，令，计算平均值与，完成以下表格（填在答题卡中），求出与的回归方程.（，保留两位有效数字）：14916255854392910（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据）（附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）【答案】（1）负相关；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据表格中所给数据描点可得散点图，根据散点图的分布判断变量与的相关性的正负；（2）利用平均值公式计算，再计算出所需数据即可求出的值，代入回归方程可求得的值，从而可写出回归方程；（3）当时，，，∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.试题解析：（1）负相关，散点图如图：（2），.14916255854392910-10-7-251420161-9-28.，.（3）当时，，.∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【方法点晴】本题主要考查散点图的画法和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.。
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2016-2017学年山东省潍坊市寿光市现代中学高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
山东省潍坊市寿光市现代中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在2．（5分）在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（）A．（﹣3，1）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）3．（5分）下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直4．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）A．B．C．D．5．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．7．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④8．（5分）已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（）A．4 B．0 C．2m D．﹣m+49．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．010．（5分）已知f（x）=，则f（5）的值为（）A．4 B．6 C．8 D．1111．（5分）若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（）A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊊βC．MN∥β或MN⊊βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊊β12．（5分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2．求[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：每题5分，满分20分.13．（5分）若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|P A|=|PB|，则点P的坐标为．14．（5分）函数f（x）=（x2﹣2）（x2﹣3x+2）的零点为．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）=x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点．由此，函数的图象上不动点的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．18．（12分）如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证：（1）FD∥平面ABC；（2）AF⊥平面EDB；（3）求直线AD与平面EDB所成角的余弦值．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x，（1）判断f（x）的奇偶性；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上为减函数．20．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．21．（12分）设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22．（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=ab x+c（其中a，b，c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【参考答案】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，故选B．2．A【解析】由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）即（﹣3，1）故选A.3．D【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B.由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C.由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D.由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 符合题意．故选D．4．C【解析】log512===．故选C．5．C【解析】由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．6．A【解析】∵y=log3x是增函数，∴log34＞log33=1；∵是减函数，∴，∵，∴．故选A．7．A【解析】对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选A.8．A【解析】设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+2+g（﹣5）+2=4，故选A．9．C【解析】由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选C.10．B【解析】由题意得，f（x）=，所以f（5）=f[f（9）]=f（6）=f[f（10）]=f（7）=f[f（11）]=f（8）=f[f（12）]=f（9）=6，故选B．11．C【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∵平面β过直线BC，∴若平面β过直线MN，符合要求；若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β．故选C．12．C【解析】由题意可得：=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2=﹣1故选C.二、填空题：每题5分，满分20分.13．（0，0，3）【解析】设P（0，0，z），由|P A|=|PB|，得1+4+（z﹣1）2=4+4+（z﹣2）2，解得z=3，故点P的坐标为（0，0，3），故答案为（0，0，3）．14．，1，2【解析】令f（x）=0，可得x2﹣2=0，或x2﹣3x+2=0，解得，或x=1，2．∴函数f（x）的零点为，1，2．故答案为，1，2．15．2x﹣y=0或x+y﹣3=0【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为2x﹣y=0或x+y﹣3=0.16．（1，1），（5，5）【解析】据不动点的定义知解得x=5或1故函数图象上的不动点有（1，1），（5，5）故答案为（1，1）（5，5）.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由得B（﹣4，0），设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知BD的斜率等于=，用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为y﹣0=（x+4 ），即x﹣2y+4=0．18．（1）证明：取AB的中点M，连FM，MC，∵F、M分别是BE、BA的中点，∴FM∥EA，FM=EA，∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又DC=a，∴FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，又FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC；（2）证明：∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，∴CM⊥面EAB，∴CM⊥AF，FD⊥AF，因F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB，FD∩BE=F，∴AF⊥平面EDB．（3）解：由（2）可得AD在平面EBD的射影为DF，所以直线AD与平面EDB所成角为∠ADF，AF=a，AD=a，DF=a，cos∠ADF==；所以直线AD与平面EDB所成角的余弦值为．19．证明：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，又，∴f（x）是奇函数．（2）设x1，x2是（0，+∞）上的任意两数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===∵x1＞0，x2＞0且x1＜x2，∴即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．20．解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=921．解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．则P、Q两点坐标为（3vx0，0），（0，vx0+vy0）．由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，（3vx0）2+（vx0+vy0）2=（3vy0）2，即（x0+y0）（5x0﹣4y0）=0．∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0①将①代入，得．又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．设直线与圆O：x2+y2=9相切，则有=3，b=答：A、B相遇点在离村中心正北千米处．22．解：设二次函数为y=px2+qx+r，由已知得，得，∴y=﹣0.05x2+0.35x+0.7，当x=4时，．又对于函数y=a•b x+c，由已知得，得，∴当x=4时，．根据四月份的实际产量为1.37万件，而|y2﹣1.37|=0.02＜0.07=|y1﹣1.37|，∴用函数作模拟函数较好．。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题(word版,附解析)
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B.，定义域为，与题中函数的图象不一致；C.，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得. ∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为. 试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以.（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面P AD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求使时的取值范围. 【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】 试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为. (2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为. （2）∵，∴， 又由（1）知函数定义域关于原点对称， ∴函数是奇函数. （3）当时，由，得，解得 ；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，． （1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.(3)由题意，原问题即在上有解，则结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，，∴.若方程，即在上有解，则∵在上是增函数，∴，即，∴，故.。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题(解析版)最新
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B.，定义域为，与题中函数的图象不一致；C.，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得. ∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为. 试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以.（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面P AD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求使时的取值范围. 【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】 试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为. (2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为. （2）∵，∴， 又由（1）知函数定义域关于原点对称， ∴函数是奇函数. （3）当时，由，得，解得 ；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，． （1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.(3)由题意，原问题即在上有解，则结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，，∴.若方程，即在上有解，则∵在上是增函数，∴，即，∴，故.。
山东省潍坊市寿光现代中学2017-2018学年高二6月月考数学(理)试题
【全国百强校】山东省潍坊市寿光现代中学2020-2021学年高二6月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，复数1z i =+，则22z z +=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 2．设集合{|12}A x x =-<≤，{|0}B x x =<，则(A B ⋃= )A ．{|1}x x <-B ．{|2}x x ≤C ．{|10}x x -<<D ．{|02}x x <≤ 3．已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．将参数方程222sin sin x y ，θθ⎧=+⎨=⎩，（θ为参数）化为普通方程得（ ） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-D ．2(01)y x y =+ 5．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（ ）A ．cos ρθ=B ．sin ρθ=C ．ρθ=D ．ρθ= 6．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则88a b +=（ ）A ．18B ．29C ．47D ．767．下列不等式一定成立的是（ ）A ．12(0)x x x +≥≠B ．2211()1x x R x +≥∈+ C ．212()x x x R +≤∈ D ．2560()x x x R ++≥∈8．下列关于函数2()(2)x f x x x e =-的判断正确的是（ ）①()0f x >的解集是{|02}x x <<；②当x =当x =③()f x 没有最小值，也没有最大值.A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②9．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A． B．C ．4 D ．210．设x ，y 满足约束条件70310250x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则y z x =的最大值是（ ） A ．34 B ．43 C ．52 D ．2511．利用数学归纳法证明“(1)(2)(3)()n n n n n +++⋅⋅⋅+213(21)n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，*n N ∈”时，从”n k =”变到“1n k =+”时，左边应增加的因式是（ ）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．(21)(22)1k k k +++ 12．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ） A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、填空题13．若复数()()32i a i -+是纯虚数，则实数a =___________.14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．15．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．16．已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈在其定义域上不单调，则a 的取值范围是__________．三、解答题17．已知命题p ：240x x a -+=在[1,4]x ∈上有解，命题q ：函数2()lg(4)f x x ax =-+的定义域为R .（1）若p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨是假命题，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2ln f x x ax x =+-，a R ∈. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在[1,3]上是减函数，求实数a 的取值范围.19．以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为23{12x t y t =-=-+ （为参数），曲线的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= .(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .20．设函数()12f x x x =-+-.（1）解不等式()5f x x ≥-；（2）若1()1f x a≥-对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围. 21．（1）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥. （2）设a 为实数，2()f x x ax a =++.求证：(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12. 22．设函数()()()1,.f x lnx a x a R =-+∈.(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当函数()f x 有最大值且最大值大于31a -时，求a 的取值范围.参考答案1．C【解析】 分析：根据复数乘方和复数除法运算法则法则，分别将22z z +化简，相加即可得到结论. 详解：复数 1i z =+，()2221i 12i i 2i z ∴=+=++=，()()()21i 221i 1i 1i 1i z -===-+-+， 由此可得()222i+1i 1i z z+=-=+，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B【解析】由题意，{}|2A B x x ⋃=≤，故选B ．3．B【详解】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．考点：命题的真假判断．4．C【解析】分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.详解：因为222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩，所以y ＝x －2， 因为[]2sin 0,1θ∈，所以2≤x ≤3,因此选C.点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．5．B【解析】 分析：将2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为(，过点(与x平行的直线方程为y =化为极坐标方程即可. 详解：将2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为(，过点(与x平行的直线方程为y =将y =sin ρθ=， 所以过点2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是sin ρθ= B. 点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 6．C【解析】分析：根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出三个等式即得．详解：∵1,a b +=223,a b +=334a b +=,447,a b +=5511,a b +=...∴通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和． ∴6611718a b +=+=，77181129a b +=+=，88291847a b +=+=.故选C.点睛：本题考查归纳推理的思想方法，常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列，等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.7．B【解析】分析：首先需要对四个选项逐一分析，结合基本不等式成立的条件，再者就是结合二次函数的性质，从而求得正确的结果.详解：对于A ，当0x >时成立；对于B ，2211121x x ++-≥+，当且仅当0x =时等号成立； 对于C ，应为212()x x x R +≥∈；对于D ，2251156()244x x x ++=+-≥-； 综上所述，故选B.点睛：该题考查的是有关基本不等式成立的条件，在解题的过程中，紧紧咬住一正、二定、三相等，结合题意，求得结果.8．D【解析】分析：令f （x ）＞0可解x 的范围确定①正确；对函数f （x ）进行求导，然后令f'（x ）=0求出x ，在根据f'（x ）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．详解：由f （x ）＞0⇒（2x ﹣x 2）e x ＞0⇒2x ﹣x 2＞0⇒0＜x ＜2，故①正确；f′（x ）=e x （2﹣x 2），由f′（x ）=0得x=，由f′（x ）＜0得x x由f′（x ）＞0＜x，∴f （x ）的单调减区间为（﹣∞，+∞）．单调增区间为）． ∴f （x ）的极大值为f），极小值为f），故②正确．∵x时，f （x ）＜0恒成立．∴f （x ）无最小值，但有最大值f）∴③不正确．故答案为：D ．点睛：（1）本题主要考查解不等式，考查导数求极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值和最值，必须先求函数的单调区间，再结合图像确定函数的极值和最值.9．C【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程34x x =可得：1232,0,2x x x =-==，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：()2324200142|8444S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 故选C .【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，根据可行域，利用z 的几何意义，即可得到结论. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：z 的几何意义为区域内的点与()0,0O 连线的斜率，由70250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,3A ， 由图象AO 的斜率最大，最大值为34z =，故选A. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．D【解析】分析：依题意，可写出n k =时成立的等式与1n k =+时成立的等式，二者相除即可得到结论.详解：由题意“n k =”时，左边为()()()12,...k k k k +++，“1n k =+”时，左边为()()()23,...11k k k k +++++，从而可得增加两项为()()2122k k ++，且减少项为()1k +，故选D.点睛：本题考查数学归纳法，理清从“n k =”变到“1n k =+”时左边项数的变化是关键，属于中档题. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 12．B【解析】分析：根据条件构造函数()()x f x F x e =，利用()()'f x f x <判断函数的单调性，解不等式即可.详解：令()()x f x F x e=， 因为()()'f x f x <，则()()()''0x f x f x F x e -=>，从而()F x 为R 上的单调增函数，因为()02f =，所以()()0002f F e ==，而()2x f x e>，即为()2F x >等价于()()0F x F >， 所以0x >，即式()2x f x e >的解集为()0,∞+，故选B.点睛：本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13．23- 【解析】分析：把复数化为(,)x yi x y R +∈形式，再由复数的概念可得．详解：(3)(2)32(6)i a i a a i -+=++-为纯虚数，则32060a a +=⎧⎨-≠⎩，解得23a =-， 故答案为23-． 点睛：本题考查复数的概念，解题时需把复数化为(,)a bi a b R +∈形式． 复数的概念：(,)a bi a b R +∈是（1）实数0b ⇔=；（2）虚数0b ⇔≠；（3）纯虚数00a b =⎧⇔⎨≠⎩．14．1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 【分析】根据规律得到不等式左边为1＋212＋213＋…＋21(1)n +，右边为211n n ++，得到答案. 【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋212＋213＋…＋21(1)n +不等式的右边为211n n ++，所以第n 个不等式应该为1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 故答案为：1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.15【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,mx ny ∴+≤mx ny ∴+点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 16．2a > 【解析】分析：求出()f x 的定义域和导函数，()221'x ax f x x -+=-，令()21g x x ax =-+，函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈在其定义域上不单调，等价于()210g x x ax =-+=有正根，讨论：①当2a <-时函数单调递减，②当2a >时，通过导数的符号确定单调性，函数不单调；详解：()f x 的定义域为()()222110,,'1a x ax f x x x x-++∞=--+=-， 令()21g x x ax =-+，24,0a ∆=-∆>，可得2a >或2a <-，①当2a <-时，对称轴()1,0102ax g =-=， 则当0x >时，()0g x >，即()'0f x <， 则有()f x 在()0,∞+递减，不合题意； ②当2a >时，()g x 对称轴为()1,0102ax g =>=>， 则()g x 有两个不等的实根，12,x x ， 且121201,1,1x x x x <=，当()()()120,,,,'0x x x x f x ∈∈+∞<， 当()12,x x x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()()120,,,x x +∞递减，在()12,x x 递增， 则有a 的取值范围是()2,+∞ ，故答案为2a >.点睛：本题考查导数的运用，求单调区间和极值，属于难题. 利用导数研究函数的单调性，只需令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间. 17．(1) [0,4]. (2) (,4](4,)-∞-+∞.【解析】分析：（1）分两类讨论，存在一个[]1,4x ∈满足条件和若存在两个[]1,4x ∈满足条件，即可求出p 是真命题求实数a 的取值范围；（2）p q ∨是假命题，可得p ，q 均为假命题，分别求出p ，q 为假命题时a 的取值范围，然后求交集即可. 详解：（1）设()24g x x x a =-+，对称轴为2x =，若存在一个[]1,4x ∈满足条件，则()10g <，()40g ≥，解得03a ≤<， 若存在两个[]1,4x ∈满足条件，则()10g ≥，()20g ≤，解得34a ≤≤， 若p 是真命题，则实数a 的取值范围为[]0,4. （2）若p 为假命题，则由（1）可得0a <或4a >， 若q 为假命题，则由2160a ∆=-≥得4a ≤-或4a ≥， 若p q ∨是假命题，则p ，q 均为假命题，故满足条件的实数a 的取值范围为(](),44,-∞-⋃+∞.点睛：本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩ ；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 18．(1) 20x y -=. (2) 17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】分析：（1）由()12f '=和()12f =可由点斜式得切线方程；（2）由函数在[]1,3上是减函数，可得()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立，()221h x x ax =+-，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当1a =时， ()2ln f x x x x =+-所以()121f x x x+'=-， ()()12,12f f ='=又 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y -=. （2）因为函数在[]1,3上是减函数，所以()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立.做法一：令()221h x x ax =+-,有()()10{30h h ≤≤，得1{173a a ≤-≤-故173a ≤-. ∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦做法二：即2210x ax +-≤在[]1,3上恒成立，则12a x x≤-在[]1,3上恒成立， 令()12h x x x=-，显然()h x 在[]1,3上单调递减， 则()()min 3a h x h ≤=，得173a ≤-∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .19．（1）24y x =（2【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解： (1)由2sin 4cos ρθθ=，既22sin 4cos ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.(2)l 的参数方程为代入24y x =，整理的24870t t +-=，所以122t t +=-，1274t t =-所以12AB t =-===20．(1) 8(,2][,)3-∞-+∞. (2) 1(,0)[,)2-∞⋃+∞. 【分析】（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果. （2）()11f x a≥-对x R ∀∈恒成立，等价于()min 11f x a ≥-，而()12f x x x =-+-()()121x x ≥---=，所以111a-≤，从而可得结果.【详解】（1）因为()32,11,1223,2x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时325x x -≥-，解得2x -≤； 当12x <<时，15x ≥-，无解； 当2x ≥时，235x x -≥-，解得83x ≥. 所以不等式()5f x x ≥-的解集为][8,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）依题意只需()min 11f x a≥-，而()12f x x x =-+- ()()121x x ≥---=. 所以111a -≤，所以0a <或12a ≥，故实数a 的取值范围是()1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】绝对值不等式的常见解法：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； （2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 21．(1)见解析. (2)见解析. 【解析】分析：（1）先利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论；（2）因为“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，所以可用反证法证明. 详解： （1）因为1a b c ++=，所以111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()b c a c a b abc+++=()()()b c a c a b abc+++=，因此0b c +≥>当且仅当b c=等号成立，0a c +≥>当且仅当a c =等号成立，0a b +≥>，当且仅当a b =等号成立，所以()()()8b c a c a b abc +++≥，当且仅当a b c ==等号成立，因为0abc >，所以()()()8b c a c a b abc+++≥，所以1111118abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）因为()2f x x ax a =++，所以()112f a =+，()243f a =+.假设()1f ，()2f 都小于12，即11221432a a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即31443726a a ⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<-⎪⎩，a ∈∅，所以假设不成立，即原命题成立.点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．22．(1) 当1a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减；(2) (10)-，． 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,∞+ ，()()()1111a x f x a x x-+=-+'=①当1a ≤- 时，()0f x '> ，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当10a +>时，令()0f x '=，解得11x a =+， i ）当101x a <<+时，()0f x '>，函数单调递增， ii ）当11x a >+时，()0f x '<，函数单调递减；综上所述：当1a ≤-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当1a >-时，函数()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()max 11ln 111f x f a a ⎛⎫==-⎪++⎝⎭当函数()f x 有最大值且最大值大于31a -，1ln 1311a a ->-+， 即()ln 130a a ++<， 令()()ln 13g a a a =++，()00g =且()g a 在()1,-+∞上单调递增，∴ ()()00g a g <=在()1,-+∞上恒成立，∴ -10a <<故a 的取值范围为()10-，.。
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2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高一（下）月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．2．下列函数中，最小正周期T=π的是（）A．y=|sinx|B．y=tan2x C．y=cos D．y=sinx3．sin160°sin10°﹣cos20°cos10°的值是（）A．﹣B．﹣C．D．4．函数y=tan（2x﹣）的定义域是（）A．{x|x≠+，k∈Z}B．{x|x≠+，k∈Z}C．{x|x≠kπ+，k∈Z}D．{x|x≠kπ+，k∈Z}5．下列正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则D．若与是单位向量，则6．△ABC中，角C=90°，若=（t，1），=（2，2），则t=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．37．已知=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的射影的数量为（）A．B． C． D．8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．9．已知=（1，0），=（0，1），=﹣2，=k+，若∥，则实数k=（）A．B．﹣C．2 D．﹣210．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位11．在△ABC中，为BC边的中点，设=，=，则=（）A． B． C．D．12．f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．α、β均为锐角，sinα=，cosβ=，则sin（α+β）=．14．已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（﹣1，﹣2）、C（3，1），且，则顶点D的坐标为．15．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=．16．给出下列：①函数y=cos（x+）是奇函数；②函数y=sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；其中正确的序号为．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知cosα=﹣（＜α＜π），求cos（﹣α），cos（+α）．18．△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，记=，=（Ⅰ）求（2﹣3）•（4+）的值；（Ⅱ）求|2﹣|的值．19．已知函数f（x）=3sin（x﹣），x∈R（1）列表并画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求f（x）的单调递减区间．20．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且∥，求的坐标．（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π，当x=时，函数y=f（x）取得最大值2．（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．2015-2016学年山东省潍坊市寿光市现代中学高一（下）6月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D2．下列函数中，最小正周期T=π的是（）A．y=|sinx|B．y=tan2x C．y=cos D．y=sinx【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：y=|sinx|的最小正周期为π，故满足条件，y=tan2x的最小正周期为，故不满足条件，y=cos的最小正周期为=2π，故不满足条件，y=sinx的最小正周期为2π，故不满足条件，故选：A．3．sin160°sin10°﹣cos20°cos10°的值是（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角差的余弦公式，求得结果．【解答】解：sin160°sin10°﹣cos20°cos10°=sin20°sin10°﹣cos20°cos10°=﹣cos30°=﹣，故选：A．4．函数y=tan（2x﹣）的定义域是（）A．{x|x≠+，k∈Z}B．{x|x≠+，k∈Z}C．{x|x≠kπ+，k∈Z}D．{x|x≠kπ+，k∈Z}【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：2x﹣≠kπ+，k∈Z，解得：x≠+，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠+，k∈Z}，故选：A．5．下列正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则D．若与是单位向量，则【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若，则•（﹣）=0，∴⊥（﹣），不能推出，故排除A；若，平方可得++2=+﹣2，则=0，故B正确；若，则不能推出，因为当=时，与的关系是任意的，故排除C；若与是单位向量，则当时，=0，不能推出=1，故排除D，故选：B．6．△ABC中，角C=90°，若=（t，1），=（2，2），则t=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据角C=90°得出⊥，利用平面向量的坐标运算列出方程，即可求出t的值．【解答】解：△ABC中，角C=90°，∴⊥，∴•=0；又∵=（t，1），=（2，2），∴=﹣=（2﹣t，1），∴2（2﹣t）+2×1=0，解得t=3．故选：D．7．已知=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的射影的数量为（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设与的夹角为θ，求得cosθ的值，可得在方向上的射影的数量为||•cosθ的值．【解答】解：∵已知=（2，3），=（﹣4，7），∴||==，||==．设与的夹角为θ，则cosθ===，则在方向上的射影的数量为||•cosθ=•=，故选：B．8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数奇偶性的性质排除A，C，然后根据当x取无穷小的正数时，函数小于0得答案．【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，故选：D．9．已知=（1，0），=（0，1），=﹣2，=k+，若∥，则实数k=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，然后利用向量共线的坐标运算求得答案．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），∴=﹣2=（1，0）﹣2（0，1）=（1，﹣2），=k+=k（1，0）+（0，1）=（k，1），若∥，则1×1﹣（﹣2）×k=0，解得：k=．故选：B．10．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x的解析式进行对照即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B11．在△ABC中，为BC边的中点，设=，=，则=（）A． B． C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】直接根据三角形法则得到=+再转化为﹣+（），整理即可得到结论．【解答】解：因为：在△ABC中，为BC边的中点，∴=+=﹣+（）=+=+．故选：A．12．f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，判断函数的奇偶性即可．【解答】解：f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin2x．函数的最小正周期T=π；是奇函数．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．α、β均为锐角，sinα=，cosβ=，则sin（α+β）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，sinβ，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：α、β均为锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==．sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==．故答案为：14．已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（﹣1，﹣2）、C（3，1），且，则顶点D的坐标为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标的求法求出，的坐标，利用向量相等的定义：坐标分别相等列出方程求出D的坐标．【解答】解：∵A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），∴=（3，1）﹣（﹣1，﹣2）=（4，3）．设D（x，y），∵=（x，y﹣2），=2，∴（4，3）=（2x，2y﹣4）．∴x=2，y=．故答案为15．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可．【解答】解：∵平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，∴平方得||2+4||2+4•=12，即||2+4+4||•||cos=12，即||2+2||﹣8=0，则（||﹣2）（||+4）=0，则||=2，或||=﹣4，（舍）故答案为：2．16．给出下列：①函数y=cos（x+）是奇函数；②函数y=sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；其中正确的序号为①④．（用数字作答）【考点】的真假判断与应用．【分析】利用诱导公式变形，结合函数的奇偶性判断①，分别求解当x=，的函数值判断②④，举例说明③错误．【解答】解：①函数y=cos（x+）=﹣sin x，是奇函数，故①正确；②当x=时，函数y=sin（2×+）=1，∴函数y=sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称错误，故②不正确；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ，错误，如α=60°，β=390°，tanα=，tanβ=，故③不正确；④当x=时，函数y=sin（2×+）=﹣1，故④正确．∴正确的是①④．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知cosα=﹣（＜α＜π），求cos（﹣α），cos（+α）．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（﹣α）和cos（+α）的值．【解答】解：，且，所以，∴，．18．△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，记=，=（Ⅰ）求（2﹣3）•（4+）的值；（Ⅱ）求|2﹣|的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）先利用数量级的定义求出，再根据向量数量级的运算性质计算；（II）求出|2﹣|2，开方即可．【解答】解：（I）=|AB|×|BC|×cos（π﹣B）=1×2×（﹣）=﹣1．=|AB|2=1，=|BC|2=4，∴（2﹣3）•（4+）=8﹣10﹣3=6．（II）∵（2）2=4﹣4+=4+4+4=12．∴|2﹣|==2．19．已知函数f（x）=3sin（x﹣），x∈R（1）列表并画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求f（x）的单调递减区间．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的单调性．【分析】（1）描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图；（2）利用正弦函数的单调递减区间，即可得出结论．1描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图，图象如下：…．（2）由题意，所以，函数的单调递减区间为：…20．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且∥，求的坐标．（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于2，待定系数法求出的坐标．（2）由+2与2﹣垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值，再利用夹角θ的范围，求出此角的大小．【解答】解：（1）设∵∥且||=2∴，∴x=±2∴=（2，4）或=（﹣2，﹣4）（2）∵（+2）⊥（2﹣）∴（+2）•（2﹣）=0∴22+3•﹣22=0∴2||2+3||•||cosθ﹣2||2=0∴2×5+3××cosθ﹣2×=0∴cosθ=﹣1∴θ=π+2kπ∵θ∈[0，π]∴θ=π21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π，当x=时，函数y=f（x）取得最大值2．（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据函数y=f（x）的最大值得出A的值，根据函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离求出周期T与ω的值，再求出φ的值，即得f（x）的解析式与单调增区间；（2）求出时x+的范围，再求出sin（x+）的取值范围，即得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值2，所以A=2，…2分因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π，所以T=2π，即，所以ω=1，…4分将点代入f（x）=2sin（x+φ），得，因为0＜φ＜π，所以，所以；…6分令﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；所以f（x）的单调增区间是；…10分（2）当时，，，…14分所以函数f（x）的值域是[﹣1，2]．…16分22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|﹣|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，可得0＜α﹣β＜π，，sin（α﹣β）=．再利用sinα=sin[（α﹣β）+β]展开即可得出．【解答】解：（1）=1，同理=1．∵|﹣|=，∴=，化为2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α﹣β）=．（2）∵0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，∴0＜α﹣β＜π，=．∴sin（α﹣β）==．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==．2016年11月3日。