人教A版高中数学选修一第一章过关检测

第一章过关检测
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.给出下列语句:①二次函数是偶函数吗?②2>2;③sin=1;④x2-4x+4=0.其中是命题的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:B
解析:只有②和③是命题,语句①是疑问句,语句④含有变量x,不能判断真假.
2.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥”的否命题是( )
A.若a+b≠1,则a2+b2<
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a2+b2<,则a+b≠1
D.若a2+b2≥,则a+b=1
答案:A
解析:“若p,则q”的否命题是“若 p,则 q”.故A正确.
3.“x>”是“sin x>”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:当x=π>时,sin x=0<,又sin=1>,-,∴“x>”是“sin x>”的既不充分也不必要条件.
4.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A.都为真
B.都为假
C.否命题为真
D.逆否命题为真
答案:D
解析:原命题为真命题,所以逆否命题也为真命题.逆命题是“若{x|ax2+bx+c<0}≠⌀,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,是假命题(如a=1,b=-2,c=-3),则否命题是假命题.
5.已知命题p:已知l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α;命
题q:若数列{a
n }的通项公式为a
n
=2n-1,则a
3
=4.则( )
A.命题“p∨q”为假命题
B.命题“p∧q”为假命题
C.命题“ q”为真命题
D.命题“( p)∨q”为假命题答案:B
解析:由已知可得p为假命题,q为真命题.
∴命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,命题“ q”为假命题,命题“( p)∨q”为真命题.
6.下列命题中,真命题的个数是( )
①对所有正数x,<x;
②不存在实数x,使x<4且x2+5x=24;
③有些三角形不是直角三角形;
④∀x∈N,x3>x2.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:存在x=1使得=x,故①为假命题;
存在x=3使x<4且x2+5x=24,故②为假命题;
存在x=1∈N,x3=x2,故④为假命题;③显然为真命题.
7.下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A.每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b
C.存在一个菱形不是平行四边形
D.存在一个实数x使不等式x2-3x+7<0成立
答案:B
解析:A,B为全称命题,但A为假命题,B为真命题.故选B.
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若log
(x2-2x-1)=1,则x=-1”的逆否命题是“若x≠-1,则log2(x2-2x-1)≠1
2
B.设α,β∈,则“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件
C.若“( p)∧q”是假命题,则“p∨q”为假命题
D.“∃α∈R,使sin2α+cos2α≥1”为真命题
答案:C
解析:“( p)∧q”是假命题,则 p,q中至少有一个为假命题,∴“p∨q”的真假不确定,故C错误.
二、填空题(每小题6分,共18分)
9.有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③若“b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④若p∨q 为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题的序号是.(把所有正确命题的序号都填上)
答案:①③④
解析:对①,逆命题“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;对②,否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题;对③,Δ=4b2-4(b2+b)≥0,即b≤0,∴b≤-1时,方程有实根,即命题为真命题,逆否命题也为真命题;对④,p∨q假时,p,q一定均假,∴④正确.故
①③④正确.
10.已知p:x>1,q:x2-x>0,则 p是 q的条件.
答案:必要不充分
解析:由x2-x>0解得x<0或x>1.
∴ q:0≤x≤1.而 p:x≤1,则 q⇒ p, p q.
∴ p是 q的必要不充分条件.
11.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是.
答案:a≤-2或a=1
解析:∵“p∧q”为真命题,
∴p,q均为真命题.
由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤-2或a≥1.
∴当p,q同时为真时,有a≤-2或a=1.
三、解答题(共34分)
12.(10分)写出命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题、否命
题和逆否命题,并且判断它们的真假.
解:逆命题:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的一组对边平行且相等(真命题);
否命题:如果一个四边形的一组对边不平行或不相等,那么这个四边形不是平行四边形(真命题);
逆否命题:如果一个四边形不是平行四边形,那么这个四边形的一组对边不平行或不相等(真命题).
13.(12分)写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)p:有些三角形的三条边相等;
(3)p:菱形的对角线互相垂直;
(4)p:存在一个实数x,使得3x<0.
解:(1)这一命题可表述为p:对任意的实数m,方程x2+mx-1=0必有实数根.其否定为 p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,故 p为假命题.
(2) p:所有三角形的三条边全不相等.显然 p为假命题.
(3) p:有的菱形对角线不垂直.显然 p为假命题.
(4) p:对于所有的实数x,都满足3x≥0.显然 p为真命题.
14.(12分)已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若 p是q的充分不
必要条件,求a的取值范围.
解:由已知 p:x>10或x<-2,
记A={x|x<-2,或x>10}.
q:x≤1-a或x≥1+a,
记B={x|x≤1-a,或x≥1+a}(a>0).
∵ p是q的充分不必要条件,
∴A⫋B,∴解得0<a≤3.
∴所求a的取值范围为0<a≤3.。