第十九届华杯赛初赛解答_初一

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题（初一组）
（时间: 2013 年 3 月 15 日）
一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
1. =+-⨯+-+⨯-⨯+-4026)2014(2)2013(2013)2014(2)2014(22（ ）. （A ）1 （B ）0 （C ）1- （D ）2 【答案】C
【解答】设2014x =，2013y =，则1=-y x .
原式y x y xy x 22222+-+-=
2
()2()x y x y =--- 2
()2x y =--
1-=.
2. 满足式子10|2|4|5|=++-y x 的整数对),(y x 有（ ）对.
（A ）4 （B ）8 （C ）10
（D ）16
【答案】C
【解答】因为|5|4|2|10x y -++=，
所以1
|2|22
y +≤.
因为y 为整数，所以|2|0,1,2y +=.
当|2|0y +=时，|5|10x -=，整数对(,)x y 共有2对； 当|2|1y +=时，|5|6x -=，整数对(,)x y 共有4对； 当|2|2y +=时，|5|2x -=，整数对(,)x y 共有4对. 所以满足|5|4|2|10x y -++=的整数对(,)x y 共有10对.
3. 甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 经过30分钟后, 乙比甲多行走了（ ）
米．
乙
甲
米/分
分
10080604020
51015202530
10080604020
30
252015105
分
米/分
（A ）20 （B ）40 （C ）200 （D ）300
【答案】D
【解答】由图可知，甲30分钟走的路程为
1001080156052500⨯+⨯+⨯=（米），
乙30分钟走的路程为
100208010⨯+⨯=2800（米），
所以乙比甲多走了300米.
4. 回文数是指一个像“16461”这样“对称”的数, 即：将这个数的数字按相反的顺序
重新排列后, 所得到的数和原来的数一样. 已知五位回文数A 是某个三位回文数的平方, 则A 的最大值是（ ）.
（A ）44944 （B ）43934 （C ）35853 （D ）53835 【答案】A
【解答】解法一：因为2323104329=是六位数，所以只要考虑小于323的回文数就可以了．
231391809=，229285264=，228279524=，
2
27273984=，226268644=，225263504=，224253824=， 223258564=，223253824=，222249284=，221244944=.
所以满足条件的最大五位回文数为44944.
解法二：
设三位回文数为)90,91(≤≤≤≤b a aba ，由条件
222100202010201)10101(b ab a b a ++=+
是五位回文数．
首先，.31≤≤a 若1632161610201)(,42=⨯≥≥aba a 则是六位数，不合要求． （1）当a =3时，要使22100606091809)101(b b b a ++=+是五位数，b =0.否则，当b ≥1时，1529106060191809100606091809)101(22=+≥++=+b b b a 是六位数. 当b =0时，918092=aba 不是回文数，所以，都不合要求．
（2）当a=2,要使22100404040804)10101(b b b a ++=+是五位回文数．
当b =3，4，5，6，7，8，9时，万位数大于等于5，个位数都是4，不是回文数； 因此，只要验证：222202,212,222．2222=49284,2122=44944,2022=40804. 所以，这个最大五位数是44944． 5. 已知
8121⨯=a , 981022⨯=a , 99810023⨯=a , 9998100024⨯=a , , 8999200019
190
1920
个个⨯=a 若2021a a a S +++= , 则S 的各个数位上的数字总和是（ ）． （A ）22 （B ）21 （C ）20 （D ）19 【答案】D
【解答】221102102102a =+⨯-=-()()，
22422100210021002102()()a =+⨯-=-=-， ……，
402
20102a =-,
224262402102102102102S =-+-+-++-()()()()L
2464010101010202
=+++
+-⨯L
468401010101010080
=+++++-L
468401*********
=+++++L
因此S 的数字和为191221⨯+=.
6. 在△ABC 中, ︒=∠90BAC , 12=AB cm, 6=AC cm; D ,
E 分别为AB , AC 上的点, 且8=AD cm, 5=AE cm. 连接BE , CD 相交于G , 则四边形ADGE 的面积是（ ）cm 2
.
（A ）21.5 （B ）22.5 （C ）23.5 （D ）24.5 【答案】B
【解答】如图，易知AD =8cm ，BD =4 cm ，AE =5 cm ，EC =1 cm.
设 △BDG 的面积x =，△CEG 的面积y =，则△ADG 的面积2x =，△AEG 的面积
5y =.于是由△ADC 的面积为24 cm 2和△ABE 的面积为30 cm 2，列得方程组：
2624
3530
x y ,x y .+=⎧⎨
+=⎩ 解得7515x .,
y ..=⎧⎨=⎩
所以，四边形ADGE 的面积=25275515225x y ...+=⨯+⨯=（cm 2）. 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)
7. 用七块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示,
则共有________种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）． 【答案】5
【解答】因底层已用了四块小方体，第五块、第六块、第七块只有如下五种放置方法：
8. 如右图所示, 7=AF cm, 4=DH cm, 5=BG cm, 1=AE cm.
若正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为78cm 2, 则正方形的边长为________cm. 【答案】12
【解答】用竖直线和水平线将正方形分割为如图2b 所示的5个长方形，中间长方形的面积是4312⨯＝（cm 2），
所以，正方形的面积=()7812212144-⨯+＝（cm 2）. 所以正方形的边长是12cm.
9. 用 [x ] 表示不超过x 的最大整数, 若 100||≤x , 则方程
x x x x =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡12543 的解的个数为________. 【答案】17
【解答】显然x =0是一个解．
因为53412x x x x ++=，且55[],[],[]33441212x x x x x x
≤≤≤
， 所以[]33x x =，[]44x x =，55[]1212
x x =.
所以3|x ，4|x ，12|x .
因为不大于100的正整数个数为100
[]812
=，所以，小于100且为12的倍数的正整数
有8个解；大于100-的且为12的倍数的负整数有8个解
所以方程的解的个数为88117++=.
10. 将k 个整数中的每一个整数替换成其余各数的和, 并减去2014, 得到新的k 个数. 若
新的k 个数与原来的k 个数相同, 则k 的最大值为________. 【答案】4030
【解答】设k 个整数为12,,
,k a a a ，且它们的和为m ，替换后的整数为12,,
,k b b b ，则
2014j j b m a =--（1,2,,j k =）.
12122014,
k k b b b k m m k a a a m ++
+=--=++
+=
20144028
,2014.22
k m m k k ∴=
-=--
m 是整数，2k -不能大于4028，即24028k -≤.
所以4030k ≤．
另一方面，4030个数2016k a k =-（ 1,2,,4030k =）满足要求.。