基本不等式教案(公开课)
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)
数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为均值不等式。
其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
高中数学人教A版2019课标版必修一公开课教案基本不等式
2.2基本不等式教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.掌握基本不等式2a b ab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2a b ab +≤等号成立条件； 2.利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值. 教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b ab +≤ 特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤2）2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2）要证（2），只要证 a +b -≥0 （3）要证（3），只要证 （-）2≥0 （4）显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a b ab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.因此：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋的最小值.分析：求x ＋的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋），使x >0，都有x ＋≥y .观察x +，发现x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋=2当且仅当x = ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x >0，有x ＋≥2，而且给出了“当且仅当x =，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋（x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋=y 0成立吗？这时能说y .是x ＋（x >0）的最小值吗？例2 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值；（2）如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值. 证明：因为x ，y 都是正数，所以.（1）当积xy 等于定值P 时，，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2）当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由，可得x+y≥2=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy ≤81，当且仅当x =y =9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2. 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 2，深为3m .如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m ，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm ，ym ，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2， 当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【设计意图】例题讲解，学以致用.3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2＞0 b ＋c ≥2＞0 c ＋a ≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。
【公开课教案】《基本不等式》教案
基本不等式教案一、教学目标：1、知识与技能：①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。
2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。
要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。
定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。
3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。
二、教学重点和难点：重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。
三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。
定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。
教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。
四、教学设想：1、几何操作，引入问题：给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、由AB 为直径可知ABD ∆是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ∆∽DCB ∆，即得CD ab =；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
2024年度基本不等式公开课课件完整版
几何意义
闵可夫斯基不等式在几何上可以 理解为两个向量的 p-范数之和大 于等于这两个向量之和的 p-范数 。
应用
闵可夫斯基不等式在函数空间理 论、概率论等领域有重要应用， 如证明 L^p 空间中的三角不等式 等。
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06
课程总结与回顾
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
05
拓展与延伸：高级不等式简介
2024/3/23
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柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意实数序列 {a_i} 和 {b_i} (i=1,2,...,n)，有 (∑a_i^2) * (∑b_i^2) ≥ (∑a_i*b_i)^2，其中“∑”表示求和符号。
几何意义
柯西-施瓦茨不等式在几何上可以理解为两个向量的内积的平方小 于等于两个向量模长的乘积。
利用基本不等式求某些三角函数 的值域。
解决三角问题
利用基本不等式解决某些三角问 题，如角度的存在性、边长的范
围等。
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在数列与数学归纳法中的应用
2024/3/23
证明数列不等式
01
利用基本不等式证明某些数列不等式。
求数列的最值
02
利用基本不等式求某些数列的最大值或最小值。
数学归纳法中的应用
数形结合法
利用图形和数值计算相结合的方法，直观地观察参数对不等式解 集的影响，从而找到问题的解决方案。
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经典例题解析
例题1
求解不等式$ax^2 + bx + c > 0$，其中$a, b, c$为参数。
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例题2
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
(基本不等式)公开课教案
基本不等式2a b +≤ 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、重点及难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤的证明过程。
难点：2a b +≤等号成立条件。
三、教学过程1.课题导入2a b+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤22a bab +≤ 用分析法证明：32a b ab +≤的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
【公开课教学设计】《3.4基本不等式》(第一课时)教案
【公开课教学设计】
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、过程与方法
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
基本不等式公开课课件
基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。
本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。
二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。
通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。
2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。
常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。
2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。
四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。
2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。
例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。
五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。
2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。
六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。
七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。
基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。
希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。
基本不等式(公开课)
“1” 的 妙 用
学生 演板
(2)已知x, y R , 且2 x y 1, 求证： 1 1 3 2 2, 并指出等号成立的条件。 x y
积为定值和有最小值
基本不等式
1 1．当 x>2 时不等式 x＋ ≥a 恒成立则实数 a 的取值范围是( B ) x－2 A．(－∞，2]ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习
学习小结：
2
和为定值积有最大值，积为定值和有最小值
基本不等式
2
x 5 1 E. f ( x ) x ( x 2) F . f ( x) 2 x2 x 1
和为定值积有 最大值，积为定值和有最小值
ab ab a b 2 ab 提炼成果 2 ab 2 极值定理可以理解为: ab ( ) (1)当两个正数 x与y的积xy是定值P且x y时,2
A.6 2 3, B7 2 3, C6 4 3, D.7 4 3.
基本不等式
ab a b 2 ab 1.本节课我们有哪些收获？ ab 2 ab 2 2. 基本不等式是什么？ a b ab ( 2 ) ab
3. 极值定理是什么？ 课后作业： 考点作业59 P117练习
x y (1)积xy为定值P时, 有 P , x y 2 P . 上式 2
ab ab 2
基本不等式
下列函数中，最小值为 4的是 C,E
4 A. f ( x) x x
x
合作探究
C. f ( x) 3 4 3
x
4 B. f ( x) sin x sin x D. f ( x) lg x 4log x 10
和为定值积有最大值
高三一轮复习基本不等式(公开课)
§1.6 基本不等式(第一课时)课程标准1.掌握基本不等式： ab ≤a ＋b 2（a >0，b >0） 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：_________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_____时，和x ＋y 有最___值2p . (简记：积定和最小)(2) 如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，积xy 有最___值p 24. (简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)“x ＞0且y ＞0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( )二、练牢教材小题1．(人教B 版必修①P73例1改编)若x ＜0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－22．(人教A 版必修①P46例3改编)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是________．3．(北师大版必修①P28T4改编)已知x ＞2，则x ＋1x －2的最小值是________．考法(一) 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(3)已知 ,则[方法技巧]配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．考法(二)常数代换法求最值[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则 + 的最小值为________．[方法技巧] 1．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．变式1：已知a>0，b>0，3a＋2b＝2，则 + 的最小值为________．2.已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．ab的最大值为________________考法（三）消元法求最值[例3] 已知a>0，b>0，3a＋b＋ab＝9，则a＋b的最小值为________．[方法技巧] 利用消元法求最值的技巧消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．变式：(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则12a＋12b＋8a＋b的最小值为________．。
基本不等式课公开课
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
填表比较：
a b ≥2ab
2 2
ab ≥ ab 2
a>0,b>0
适用范围 文字叙述 “=”成立条件
a,b∈R
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
注意从不同角度认识重要不等式、基本不等式
三、应用
发现运算结构，应用不等式
ab ab （a 0, b 0） 2
a b 2 ab a 0, b 0） （
1 例1、若 x 0 ,求 y x 的最小值. x b a 变1:若a 0, b 0,求 y 的最小值. a b
所以(a b) ≥0
2
所以a b ≥2ab.
2 2
二、新课讲授
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
替换后得到：
即：
( a ) ( b ) ≥2 a b
2 2
a b≥2 ab ab ≥ ab (a 0, b 0) 即： 2
B
重要不等式：
B
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
思考4：当a,b为任意实数时 a b 2a b
2 2
成立吗？能否给出证明？
证明：（作差法）a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时 (a b) 2 0 2 当a b时 (a b) 0
要证②，只要证
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
公开课1基本不等式(第一课时)教案
HGD CBA EF bac福建省中学数学学科教学带头人培养对象公开课教案课题：基本不等式: 2ba ab +≤（第一课时） 授课：连城一中 黄 椿 地点：子江中学 时间：2011年9月30日上午第一节教学目标：1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并理解等号的条件.2.过程与方法：通过实例探究抽象出基本不等式.3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程.教学难点：基本不等式2ba ab +≤等号成立条件. 教学过程一.课题引入如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客. 二.问题探究其实赵爽的弦图是由4个全等的直角三角形拼成的（如图所示）， 设直角三角形的两条直角边和斜边的长分别为)(,,b a c b a ≠.问题1：四边形ABCD 和EFGH 为什么都是正方形？问题2：初中时，曾利用该图证明过勾股定理（222c b a =+），现在的你还记得当时的证明方法吗？证明的关键是什么？问题3：受问题2证明勾股定理的启发，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？三.例题解析例1.已知R b a ∈,，证明：ab b a 222≥+例2.已知0,>b a ，证明：2ba ab +≤例3.下面不等式正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4（1）44≥+xxee . （2）)0(2>⋅≥+b a b a a b . （3）)0(21<-≤+a a a . （4）2lg 1lg ≥+x x . （5）)),0((4sin 4sin π∈≥+x xx . 四.课堂练习1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么θ2cos 的值等于 ．2.已知0,>b a ，证明：(1)ab b a ab ≤+2.(2)2222b a b a +≤+3.设,0,0>>b a 称ba ab+2为b a ,的调和平均数．如图，C 线段AB 上的点，且,,b CB a AC ==O 为AB 中点，以AB 为直径作圆．过点C 作AB 的垂线交于圆于D ，连结BD AD OD ,,．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是b a ,的算术平均数，线段 的长度 是b a ,的几何平均数，线段 的长度是b a ,的五.教学小结1.两个不等式：（1）重要不等式：22222(,)2a b a b ab ab a b R ++≥⇔≤∈，当且仅当b a =时取等号.（22()(,0)22a b a b ab a b ++≤⇔≤>，当且仅当b a =时取等号.我们可从三个角度来理解基本不等式:①几何平均数不大于算术平均数；②等比中项不大于等差中项；③半弦长不大于半径长.2.几个不等式之间的关系：)0,(22222>+≤+≤≤+b a b a b a ab b a ab .3.证明不等式常见的方法：（1）比较法；（2）分析法；（3）综合法. 六.课后作业1.（1）设R y x ∈,，且0≠xy ，则)41)(1(2222y xy x ++的最小值为 .（2）若对任意a x x xx ≤++>13,02恒成立，则实数a 的取值范围是 .2.（1）已知R b a ∈,，证明：22222)())((bd ac d c b a +≥++（（二元）柯西不等式）.（2）已知R c b a ∈,,，证明：ca bc ab c b a ++≥++222.（3）已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，证明：8)11)(11)(11(≥---cb a .3.预习课本99P 的例1、例2和100P 的练习. 七.教学反思。
数学必修五基本不等式(市公开课一等奖)
基本不等式通常表示为两个正数的和与积之间的不等关系，或者是两个正数的 平方和与平方积之间的不等关系。这些不等式在数学证明、函数最值求解、几 何学等领域有着广泛的应用。
性质
总结词
基本不等式具有一些重要的性质，这些性质决定了它在数学中的重要地位。
详细描述
基本不等式具有传递性、对称性、加法可乘性等性质。传递性是指如果a>b和b>c，则一定有a>c；对称性是指 如果a>b，则一定有b<a；加法可乘性是指如果a>b和c>d，则ac>bd。这些性质使得基本不等式在数学证明和 计算中具有很大的应用价值。
02 基本不等式的证明方法
CHAPTER
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、算术平均数
-几何平均数不等式等。
代数证法通常需要经过一系列的 变形和化简，最终推导出基本不
等式。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方 法。
数学必修五基本不等式(市公开 课一等奖)
目录
CONTENTS
• 基本不等式的定义与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展与推广 • 基本不等式的实际应用案例
01 基本不等式的定义与性质
CHAPTER
定义
总结词
基本不等式是数学中一种重要的不等关系，它反映了变量之间的大小关系。
性能和稳定性。
在工程设计中的应用
1 2 3
结构设计
在结构设计中，基本不等式可以用来确定结构的 强度、刚度和稳定性，以确保结构的安全性和可 靠性。
【公开课教案】《基本不等式》教学设计与反思
“基本不等式”教学设计与教学反思一、教材背景分析1.教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。
教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。
2.学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.二、教学目标1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用；3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用；4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力；5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解。
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§3.4基本不等式
学习目标：
1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2a b ab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标
（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。
学习重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。
学习难点：利用基本不等式2
a b ab +≤
求最值的前提条件。
学习过程：
一、创设情景，引入新课
下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的徽标，根据所给图形完成以下问题.
赵爽弦图
探究问题：
1.正方形ABCD 的面积S= ；
２.四个直角三角形的面积和S ′= ；
３.S 与S ′有什么关系？
4.通过S 与S ′的关系，你能得出什么结论？当a,b 为任意实数时，结论成立吗？
(1)结论：
(2)推理证明：
二、讲授新课
重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）1.思考：如果用a,b去替换222
+≥中的,b能得到什么结论？,b要满足
a b ab
什么条件？
(1)写出结论：
(2)推理证明：
2.思考“当且仅当”怎么理解？
3.如何从代数角度和几何角度认识基本不等式呢？
代数意义：
几何意义：
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 则CD= ；半径= ；
三、例题讲解
例1.x,y为整数，
（1）若x+y=P(定值)，求xy的最大值.
（2）若xy=S(定值)，求x+y的最小值.
例2.（1）用篱笆围一个面积为100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?
四.课堂练习
1.x>0,当x 取什么值，x x 1+ 的值最小？最小值是多少？
变式1：x
x 1+有最小值吗？ 变式2：21
222+++x x 有最小值吗
变式3：若x>1,求111-+-x x 的最小值吗？
变式4：若x>1,求1
1-+x x 的最小值.
五、课时小结
本节课你学到了什么？。