人教版-基本不等式公开课课件
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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
基本不等式-公开课课件-课件ppt
猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
人教版数学 七年级下册第9章9.1.1不等式及其解集 课件(公开课 )
拔河时力气的大小
新课探究
问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地 50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满 足什么条件？
A
汽车
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以 2 这个速度行驶50千米所用的时间不到 小时，即 3
50 2 x 3
2 x 50 3
标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 10 20
0
5
15
例2： 用数轴表示下列不等式的解集: ⑴ x>－1; ⑵ x≥ －1; ⑶ x< －1; ⑷ x≤ －1.
解:
○ ●
-1
0
-1
0
⑴
○
⑵
●
-1
0
-1
0
⑷ 总结: ①第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. ②规律: 大于向右画,小于向左画; 有等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.
解：x+y ≤－2； （5）a与b的和的20％至多为15．
解：20%(a+b) ≤15
二.不等式的解： 2 x 50 3
你能找出一个符合条件的x的值吗？ 使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解. 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
动动脑： 不等式的解与方程的解有什 么区别？
注意：不等式的解与一元一次方程的解是 有区别的．不等式的解是不确定的，是一 个范围，而一元一次方程的解则是一个具 体的数值．
（6）ａ的相反数至少为1．
解：-a≥1.
请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上 表示. （1） 2x＜８
0 1 2 3 4
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
人教版数学七年级下册第九章《9.1.2 不等式的性质》公开课 课件
不等式基本性质3：不等式的两边都 乘（或除以）同一个_负__数_，不等号 的如方果向_a_>_改_b__，_变___c。_<_0,那么_a_c_<_b_c_(_或__ac____bc_ )
例1： 判断下列各题的推导是否正确？
为什么？
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a； (6)因为3a＞2a，所以a是正数。
Ø不等式基本性质2： 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
a c
b c
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变。
Ø不等式基本性质3： 如果a>b，c<0 那么ac<bc(或
a c
b c
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
小结：
①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题；
Ø如果-2< 3,
那么-2×6_<___3×6,
-2÷2_<___3÷2,
-2×(- 6)__＞__3×( - 6), -2÷ (- 4)_＞___3÷ ( - 4)
你能再总结一下规律吗？
如果_a_>_b_且__c_>_0_,
那么_a_c_>_b_c__
(或
a c
b
c)
不等式基本性质2：不等式的两边都 乘（或除以）同一个_正__数_，不等号的 方如向果不__a_>_变__b__，。__c>__0,那么_a_c_>_b_c_(_或___ac ___bc_ )
例1： 判断下列各题的推导是否正确？
为什么？
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a； (6)因为3a＞2a，所以a是正数。
Ø不等式基本性质2： 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
a c
b c
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变。
Ø不等式基本性质3： 如果a>b，c<0 那么ac<bc(或
a c
b c
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
小结：
①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题；
Ø如果-2< 3,
那么-2×6_<___3×6,
-2÷2_<___3÷2,
-2×(- 6)__＞__3×( - 6), -2÷ (- 4)_＞___3÷ ( - 4)
你能再总结一下规律吗？
如果_a_>_b_且__c_>_0_,
那么_a_c_>_b_c__
(或
a c
b
c)
不等式基本性质2：不等式的两边都 乘（或除以）同一个_正__数_，不等号的 方如向果不__a_>_变__b__，。__c>__0,那么_a_c_>_b_c_(_或___ac ___bc_ )
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab 均成立．( √ )
(2)若 a>0，b>0 且 a≠b，则 a＋b>2 ab.( √ )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.( √ ) (4)a，b 同号时，ba＋ab≥2.( √ )
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/
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化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
人教版高中数学必修1《基本不等式》第1课时PPT课件
当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
人教版七年级数学下册第九章《 9.1.1 不等式及其解集》公开课课件(共39张PPT)
第九章 不等式与不等式组 9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
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件是：对于任意实数x＞1，有ax+x/(x-1)＞b.②
【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A 是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.
人教版-基本不等式公开课课件
22.03.2022
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误解分析
(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、 易错.
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人教版-基本不等式公开课课件
2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 的最小值； y
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：1x2y2 2x， y
1 22， 112 142错误的原因在两次运用
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
22.03.2022
基本不等式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
22.03.2022
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) ab ab(a，b∈R+)； 2
3.已知正数a、b满足a+b＝1. (1)求ab的取值范围；(2)求 ab 1 的最小值.
ab
【解题回顾】函数f(x)＝x+a/x(a＞0)是一个重要的函数，应 了解它的变化.f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0，√a]上是减函数，在[a，
+∞)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义
域，若x＝a/x成立，则可由极值定理求极值；若x＝a/x不成
xy
x y xy
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二
次须x＝y).
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一 元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.
22.03.2022
人教版-基本不等式公开课课件
人教版-基本不等式公开课课件
5、 增 加 阅 读 量，培 养语感 ，积极 发掘规 范使用 虚词的 潜意识 ； 6.这与其说是靠他个人的力量，不如 说是由 于他是 社会的 一个成 员。 7.他的一生自然使我想起了《论语》 中孔子 同他的 弟子的 一段对 话。 8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔 碰到了 自己在 中学时 代的恋 人。
(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
(3) b a 2 (ab＞0)； ab
a2
(4)
b2
ab2(a，b∈R).
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
ab a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
22.03.2022
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有 最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值2 p ； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 1 s .2
4
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“ab ab ”成立的(A )
2
(A)充分而非必要条件
(4公里
(C)3公里
(D)2公里
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能力·思维·方法
1.设a，b，c都是正数，求证： 111111 2a 2b2c bc caab
【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是
利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a， b，c不全相等，则等号不成立.
【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最
值.
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延伸·拓展
5.设a、b为正数，求证：不等式√a+1＞b ①成立的充要条
立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.
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4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流 出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该 杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
3．下列函数中，最小值为4的是( C )
(A) y x 4
(B)
x ysixn
4
0x
sixn
(C)y4ex e-x
(D)y lo 3 x l g o x 3 0 g x 1
4.已知lgx+lgy＝1， 5 2 的最小值是____2__. xy
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5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( C )
【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A 是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.
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误解分析
(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、 易错.
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2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 的最小值； y
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：1x2y2 2x， y
1 22， 112 142错误的原因在两次运用
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
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基本不等式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
22.03.2022
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) ab ab(a，b∈R+)； 2
3.已知正数a、b满足a+b＝1. (1)求ab的取值范围；(2)求 ab 1 的最小值.
ab
【解题回顾】函数f(x)＝x+a/x(a＞0)是一个重要的函数，应 了解它的变化.f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0，√a]上是减函数，在[a，
+∞)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义
域，若x＝a/x成立，则可由极值定理求极值；若x＝a/x不成
xy
x y xy
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二
次须x＝y).
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一 元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.
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5、 增 加 阅 读 量，培 养语感 ，积极 发掘规 范使用 虚词的 潜意识 ； 6.这与其说是靠他个人的力量，不如 说是由 于他是 社会的 一个成 员。 7.他的一生自然使我想起了《论语》 中孔子 同他的 弟子的 一段对 话。 8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔 碰到了 自己在 中学时 代的恋 人。
(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.
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22.03.2022
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
(3) b a 2 (ab＞0)； ab
a2
(4)
b2
ab2(a，b∈R).
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
ab a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
22.03.2022
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有 最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值2 p ； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 1 s .2
4
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“ab ab ”成立的(A )
2
(A)充分而非必要条件
(4公里
(C)3公里
(D)2公里
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能力·思维·方法
1.设a，b，c都是正数，求证： 111111 2a 2b2c bc caab
【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是
利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a， b，c不全相等，则等号不成立.
【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最
值.
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人教版-基本不等式公开课课件
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延伸·拓展
5.设a、b为正数，求证：不等式√a+1＞b ①成立的充要条
立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.
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4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流 出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该 杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
3．下列函数中，最小值为4的是( C )
(A) y x 4
(B)
x ysixn
4
0x
sixn
(C)y4ex e-x
(D)y lo 3 x l g o x 3 0 g x 1
4.已知lgx+lgy＝1， 5 2 的最小值是____2__. xy
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5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( C )