1702222sincosxyz...

160
第二部分 综合练习十一至二十解答
练习十一
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的 （ D ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2. 设x
y x z =，则x
z
∂∂等于 （ C ） （A ）1
-x y
x x y （B ）)1ln (ln x
y x y x +
（C ）)1ln (ln x y x x y x y x + （D ）)1(ln x
x x y x
y x +
3. 函数项级数
∑∞
=+1
1
n n nx
在)1,1(-内的和函数是 （ B ）
（A ）2
1⎪
⎭⎫ ⎝⎛--x x （B ）2
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x
（C ）x x --12 （D ）x
x -12
4. 设b c b a ⋅=⋅，其中0≠b ，则 （ D ） （A ）b a = （B ）b c b a ⊥⊥, （C ）a //b （D ）b c a ⊥-)( 二、填空题
5. 12!2!
lim 0(n n n n n n n n n n
∞→∞==∑收敛） 6. 已知向量c b a ,,两两垂直，且2,2,1===c b a ，则
2222()1443a b c a b c a b c ++=++=++=++=
7. 柱面∑以xOy 平面上的线段L 为准线，母线平行于Oz 轴，则∑介于平面0=z 及曲面
221y x z ++=之间部分的面积可用曲线积分表示为22(1)L x y dx ++⎰.
三、解答下列各题
161
8. 设f ey dx cy bxy ax z +++++=22222，求
y
z x z ∂∂∂∂, 解：
222,222.z z
ax by d bx cy e x y
∂∂=++=++∂∂ 9. 设),,(z y x f u =，0),,(2=z e x y ϕ，x y sin =，其中f ，ϕ有一阶连续偏导数，且
0≠∂∂z ϕ，求
x
u
d d 解
d d u f f d y f d z x x y d x z d x ∂∂∂=++
∂∂∂, dy cos ,d x x = '''123dz 2cos 0d y x e x x ++=ϕϕϕ ''
12'3
dz 1(2cos ),d y x e x x =-+ϕϕϕ cos du f f f x dx x y z ∂∂∂=+-∂∂∂''
12'
3
1(2cos ).y x e x ϕϕϕ+ 10. 求极限：xy
xye x y x +-→→164lim
解 00
l i m 416x
x y xye xy →→=-+00(416)l i m 8.
x x y x y e x y xy →→++=-- 11. 设)(x f 二阶连续可微，试求函数)(x f 使得方程0d )]()([d )(2=-'+y x f x f x y x f 是全微分方程，且0)0(=f ，1)0(='f
解 由全微分方程的条件得：2()''()'(),(0)0,'(0)1f x f x f x f f =-==.故
21
()()3
x x f x e e -=-
12. 一条直线过点)1,2,1(0M ，垂直于直线12
31:1+==-z y
x L ，且和直线z
y x L -==2:2相交，求该直线的方程
解 过点)1,2,1(0M ，垂直于直线12
31:
1+==-z y
x L 的平面方程为 :3(1)2(2)(1)0x y z π-+-+-=，即3x+2y+z-8=0
易得直线z y x
L -==2:
2与平面π的交点为1688(,,)777
-。

故所求直线方程为： 1121:325
x y z L ---==--。

162
另解：一条直线过点)1,2,1(0M 且和直线z y x
L -==2
:2相交的交点为(2,,)t t t --，这直线的方向向量为{}21,2,1t t t ----- 此直线又垂直于直线1231:1+==-z y
x L ，
即：83(21)2(2)10,7
t t t t --+--+-==- 直线的方向向量为9615,,777⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
故所求直线方程为：
1121:
325
x y z L ---==
--。

13. 试求幂级数
∑∞
=-1
1
2
2
n n
n n
n
x 的收敛域
解 因为1()lim ()n n n u x u x +→∞=21
lim
112(1)(1)n n n
x n n
+→∞<++，所以1x ≤.收敛域为1x ≤. 14. 计算二重积分
⎰⎰D
xy y x ye d d ，其中D 是由4,2,3ln ,2ln ====x x y y 所围成的区域 解
4
l n 3
l n 2
2
3d d 13.4x y
x y
D
y e x y d y y e d x =
=⎰⎰⎰⎰ 15.. 设y
x z arctan =，其中v u y v u x -=+=,，求证：
2
2v u v
u v z u z +-=∂∂+∂∂ 解
22,z z x z y y x u x u y u x y ∂∂∂∂∂-=+=∂∂∂∂∂+ 22
,z z x z y y x v x uv y v x y ∂∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂∂+ 故
2
2v u v u v z u z +-=∂∂+∂∂。

16.已知直线1L ：⎪⎩⎪⎨⎧==+01x c z b y 和2L ：⎪⎩⎪⎨⎧==-0
1
y c z a x
（1）求过1L 且平行于2L 的平面方程 （2）若1L 与2L 间的距离为d 2，试证：
2
2221
111d c b a =++
163
解 （1）直线1L ，过点(0,,0)b ，所求平面的法向量为：120
0=⨯=-i
j k
n s s b c a c
=(,,)bc ac ab --，
故所求平面方程
(0)()(0)0,bc x ac y b ab z -----=即
10.x y z
a b c
---= （2）22
2111
001
2111()()a a b c
d a b c
⋅-⋅-⋅+=+-+-，即：22221111d c b a =++。

17. 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z --=，平面0=z 所围成，∑为Ω的表面外侧，V 是
Ω的体积，a 为正数。

试证明：2222
d d d d (1)d d x yz y z xy z z x z xyz x y ∑
-++⎰⎰ ＝V
证明：由高斯公式
2222d d d d (1)d d x yz y z xy z z x z xyz x y ∑
-++⎰⎰
=(12)2xyz dv V xyzdv Ω
Ω
+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=222
22
2
2
2a x y a
a x a x
V xdx
ydy
zdz -----+⎰⎰
⎰
22
22
2220
()a
a x a x V xdx
y a x y dy V ---=+--=⎰⎰
.
18. 求解微分方程初值问题"2'30
(0)1,'(0)0y y y y y +-=⎧⎨
==⎩
解 微分方程"2'30y y y +-=，的特征方程为2
12230,3,1
r r r r +-==-=
则312x
x
y c e
c e -=+.
但 (0)1,'(0)
y y ==. 121212113
,,30
44c c c c c c +=⎧==⎨-+=⎩ 故： 313.44
x x
y e e -=
+
19. 试求由b y a x y x z ≤≤≤≤+≤≤0,0,02
2
所确定的立体的体积。

解 22
2
20
().3
a b
x y ab V dv dx dy dz a b +Ω
=
==
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
或 2222220
()()().3
a
b
D
ab
V x y dxdy dx x y dy a b =
+=+=+⎰⎰⎰⎰
164
20. 计算曲线积分
⎰++L
y x y x x y d )6(d 2243，其中L 是由14
4=+y x 与Ox 轴，Oy 轴在第一象限所围成的区域D 的正向边界曲线。

解 P ＝23224364,6,
6,2y x x
Q
y y P xy x Q y +=∂∂=∂∂+= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==∂∂-∂∂=++1
10
3
32434
4
44)(d )6(d 2x D D L dy dx x dxdy x dxdy y P x Q y x y x x y
⎰-=10
4
4
4
1dx x ⎰---=1
444)1(1x d x 5
4
=。

练习十二
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 设1C 、2C 是围住原点的两条同向的封闭曲线，若已知
1222d d C x x y y
K x y +=+⎰ （常数）
，则2
222d d C x x y y
x y
++⎰
（ C ） （A ）一定等于K （B ）一定等于K -
（C ）不一定等于K ，与2C 形状有关 （D ）不一定等于K ，但与2C 形状无关 2. 设∑为曲面222()z x y =-+在xOy 平面上方部分，则d S ∑
⎰⎰等于 （ D ）
（A ）22
00d 14d r r r r πθ+⎰⎰
（B ）
2220
d 14d r r r πθ+⎰
⎰
（C ）
22
220
d (2)14d r r r r π
θ-+⎰
⎰ （D ）2220
d 14d r r r πθ+⎰⎰
3. 函数(,,)2f x y z z =-在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ） （A ）1 （B ）0 （C ）1- （D ）2-
4. 直线1L ：
721
322
x y z ---==-与直线2L ：12x t =+，23y t =--，54z t =+的位置关系是 （ C ）
（A ）平行 （B ）异面 （C ）斜交 （D ）垂直相交
二、填空题
5. 设:01,02(1)D x y x ≤≤≤≤-，由二重积分的几何意义知1
(1)d d 23D
y x x y --=⎰⎰（锥体的体积）
6. 设∑是柱面22
4x y +=介于13z ≤≤之间部分的曲面，它的法向量方向指向含Oz 轴的
165
一侧，则
222d d 0.x y z x y ∑
++=⎰⎰
7. 已知122,5e e ==，122
(,^)3
e e π=
，1217a e e λ=+，123b e e =-，若a b ⊥，则 40.λ=
三、解答下列各题 8. 设2xy z =，求x z 解 2l n 2.xy x z y =
9. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-++=0
0)(122x y xdy dx y x y 的解.
解 由微分方程22()0y x y dx xdy +
+-=，得22x y dx xdy ydx +=-及
2
2
22.x y xdy ydx dx x x +-=2
().1()y
d x dx y
x
=
+即2ln(1()).y y x C x x +=++ 1|0.x y ==则10,1C C +==- 即. 21ln(1()).y y
x x x
-=++
10. 计算
⎰⎰∑
++y x z x z y z y x d d d d d d 2
22，其中∑是立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面的外侧(0)a > 解 （法一）由高斯公式
2
2
2
d d d d d d 2()6x y z y z x z x y x y z dv xdv ∑
Ω
Ω
++=++=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2
4
63.a
a
xdx a ==⎰ （法二）因为区域对称，以及被积函数的特征，利用定义，有
⎰⎰∑
++y x z x z y z y x d d d d d d 222＝⎰⎰∑
y x z d d 32＝4
233a dxdy a D
=⎰⎰。

11. 求级数
1232!3!4!(1)!
n
n ++++++ 的和 解 法一：令21
123()()2!3!4!(1)!n x x nx S x x n -=+
++++-∞<<+∞+ 当23()()'2!3!4!(1)!
n
x x x x x S x n -∞<<+∞=+
+++++
166
2341
()()
2!3!4!(1)!
1n x x x x x xt x x n e x
+=+++++-∞<<+∞+=-- 1().()x e x
t x x x
--=-∞<<+∞
2
11
()()'x x x e x xe e S x x x
----==。

即(1) 1.S = 法二：1111
(1)!!(1)!
n n u n n n +-=
=-
++， 121
1.(1)!
n n S u u u n =+++=-
+
lim 1,n n S →∞
=即级数的和为1.
12. 计算2dv 1xz I y Ω
=
+⎰⎰⎰，其中Ω由2
0,0,1x z z y ===-及x y =所围成
解 2
11
2200
1
dv .1148
y
y xz
xz I dy dx dz y y -Ω=
==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
13. 试求幂级数
21
1
1
(21)(1)
2
n n n
n n x -∞
-=--∑的收敛域 解 因为1()lim
()n n n
u x u x +→∞=2
12x <，即2x <，级数收敛. 2x =时，级数发散。

故收敛域为 2.x <
14. 已知点0(2,3,1)M 及直线L ：7x t =-，22y t =-，32z t =-，求一点M ，使线段
0M M 被直线L 垂直平分
解已知点0(2,3,1)M 及直线L ：设垂足为1(7,22,32)M t t t ---，
01(9,25,33)M M t t t =---与{}1,2,3垂直，则 2.t =那么垂足为1(5,2,4)
M -即(12,1,7)M -.
15. 求微分方程2324(2)0x
y x y y y y
'+
++-=的通解
167
解 （法一）3
2
422x x y dx
y dy
y y --+=
+
，3343
422
dx y y x dy y y y --+=++ 33
43
422
dx y y x dy y y y --+=++ 则 {
}
()()
()P y
dy
P y dy x e Q y e dy c -⎰
⎰=+⎰
242
3
222y C y Cy x y y y
-+-+==++ （法二）由微分方程
23
24(2)0x y x y y y y '+
++-= 得
232420x
ydx dx xdy ydy dy y y
+
++-= 整理得
23
24()(
)20x
ydx xdy dx dy ydy y y ++-+= 即
2
22()(
)0x d xy d dy y ++=及22
2x xy y C y
++= 16. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰，其中∑为上半球面222z R x y =
--的上侧，R 为正
数。

解 设222
1:,0x y R z ∑+≤=的下侧，由高斯公式
1
3d d d d d d 32x y z y z x z x y dxdydz R π∑+∑Ω
++==⎰⎰⎰⎰⎰，1
d d d d d d 0x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.即：
1
3
d d d d d d 3d d d d d d 2x y z y z x z x y dxdydz x y z y z x z x y R
π∑
Ω
∑++=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
17. 求微分方程"5'6sin 4y y y x -+=的一个特解. 解 微分方程"5'60y y y -+=的通解为：2312.x
x y c e
c e =+
168
故"5'6sin 4y y y x -+=一个特解设为*sin 4cos4y A x B x =+ 代入得
11,.5025A B =-
=故"5'6sin 4y y y x -+=一个特解为*11
sin 4cos 45025
y x x =-+。

18.将函数2()ln(1)f x x x =++展开成x 的幂级数 解1
2
222
2
11(1)13(21)'()(1)
1(1)22!
1n n
n n f x x x x x n x
-
-⋅⋅-=
=+=-+++<+
2321
1(1)13(21)ln(1)(1)62!(21)
n n n
n x x x x x x n n +-⋅⋅-++=-+++<+ 。

19. 证明：与直线0
x a y -=⎧⎨
=⎩和平面0(0)x a a +=≠等距离的点的轨迹是一抛物面。

解 证明：设满足条件的动点M (,,)x y z ，则由题意22()x a x a y +=
-+化简得：
24y ax =，即为抛物面。

20.在椭球体 222
2221x y z a b c
++=的内接长方体中，求体积最大的长方体的体积。

解 设内接长方体在第一卦限内的顶点为M (,,)x y z ，则长方体的体积为
222
2228,
1x y z V xyz a b c
=++= 令222
2228(1)x y z f xyz a b c
λ=+++-
222222
222280(1)280(2)
280(3)1
(4)
x
y z x f yz a
y f xz b z f xy c x y z a
b c λλλ⎧
=+=⎪⎪
⎪=+=⎪⎨
⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩，由（1）（2）（3）及（4）
2222221
3
x y z a b c ===， 即333,,333
x a y b z c =
==。

而内接长方体中体积最大的长方体的体积为
169
83
.9
V abc =。

练习十三
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 设32(,)231f x y x y xy x y =+-+-，则(3,2)x f '的值为 （ B ） （A ）59 （B ）56 （C ）58 （D ）55
2. 曲线弧 AB 上的曲线积分和 BA
上的曲线积分有关系 （ B ） （A ）(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =-⎰⎰ （B ）(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =⎰
⎰ （C ）
(,)d (,)d 0AB
BA
f x y s f x y s +=⎰
⎰
（D ）(,)d (,)d AB BA
f x y s f x y s =--⎰
⎰
3. 设∑为曲面222()z x y =-+在xOy 平面上方的部分，则zd S ∑
⎰⎰等于 （ D ）
（A ）222220
d (2)14d r r r r r πθ--+⎰
⎰
（B ）22220
d (2)14d r r r r πθ-+⎰
⎰
（C ）
222
d (2)d r r r πθ-⎰
⎰
（D ）22220
d (2)14d r r r r π
θ-+⎰⎰
4. 方程22
2
1925
y z x +
-=-是 （ B ） （A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）双曲抛物面 二、填空题
5. 函数2(,,)2f x y z x =-在22222x y z --=条件下的极大值是 4- 因为222(,,)242(2)4f x y z x y z =-=--+≤-
6. 函数22
(,,)arcsin x y u x y z z ⎛⎫+
⎪= ⎪⎝⎭的定义域为22(,,)|11.x y x y z z ⎧⎫+⎪
⎪
-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
7. 过点(1,2,3)A 且平行于向量{}11,2,1s =-及{}20,1,2s =的平面的方程为
52 6.x y z +-=
三、解答下列各题 8. 设22sin()x y
z e
xy +=，求
,z z
x y
∂∂∂∂ 解
222
2(s i n ()c o s ()),
x y z
e xy y xy x
+∂=+∂
170
2222(sin()cos()).x y z
e xy xy xy y
+∂=+∂ 9. 求微分方程02)(3=--xdy dx x y 的通解.
解 由微分方程02)(3=--xdy dx x y 得
21122
dy y x dx x -=- 则
()()31
[()].5
p x d x P x d x y e Q x e d x C x C
x -⎰⎰=+=-+⎰ 10. 计算(y -z )d d ()d d ()d y z z x z x x y x y ∑
+-+-⎰⎰，其中∑是圆锥面222z x y =+在
0z h ≤≤范围内的一部分曲面的下侧，h 为正数。

解 设2221:,x y h z h ∑+≤=的上侧，由高斯公式
1
(y-z)d d ()d d ()d d 00y z z x z x x y x y dv ∑+∑Ω
+-+-==⎰⎰⎰⎰⎰，
222
1
(y-z)d d ()d d ()d d ()x y h y z z x z x x y x y x y dxdy ∑+≤+-+-=-⎰⎰⎰⎰
22
(cos sin )0h
d r dr =-=⎰⎰πθθθ 。

即：
(y-z)d d ()d d ()d d 0y z z x z x x y x y ∑
+-+-=⎰⎰.
11. 设Ω是由2223,4y z z y ≤≤-以及02x ≤≤所确定的有界闭区域，试计算
d z v Ω
⎰⎰⎰
解
2
2
42
3
3
28
d 2 3.5
y y z v dx dy
zdz -Ω
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
12. 试求幂级数
2
1
31
n n n x n ∞
=+∑
的收敛域
解因为1()lim
()n n n
u x u x +→∞=2231lim 31(1)1n x n x n →∞+=<++，即13x <，级数收敛. 13x =时，级数发散. 1
3x =-时，级数收敛.故收敛域为11.33
x -≤< 13. 已知1(0)2
f =，试确定()f x ，使得[()]d ()d 0x
e f x y x f x y ++=为全微分方程，并解此全微分方程。

解 由全微分方程[()]d ()d 0x
e f x y x f x y ++= ()'(),()(),x
x
e f x f x f x e x C +==+
171
1(0)2f =
.1
()()2x f x e x =+， [()]d ()d ()0x e f x y x f x y df x y ++==，()f x y C =.即: 1
()
2
x C
y e x -=
+. 14. 设C 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分21
d d 0C y x y x x
-=⎰
证明 因C 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线 则由格林公式 得
222111d d ()0C D
y x y dxdy x x x x -=-+=⎰⎰⎰ 15. 过两点(0,4,3)M -和(6,4,3)N -作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上截距之和等于零，求此平面方程。

解 因在坐标轴上截距之和等于零 故设平面方程为
1x y z
a b a b
+-=+。

平面过两点(0,4,3)M -和(6,4,3)N -，则
431,6431,b a b
a b a b ⎧+=⎪⎪+⎨
⎪--=⎪+⎩
3,a = 2,b =-或6. 即 平面2366,x y z --=或63218.x y z +-=
16. 设级数1n n a ∞
=∑收敛且01n a <<，证明：当1p ≥时，级数1()1p
n n n
a a ∞
=-∑也收敛
证明 因为 ()11,
1lim 01,
p
n n n n a p a p a →∞=⎧-=⎨
>⎩ 又已知 1n n a ∞
=∑收敛， 故级数1()1p
n n n
a a ∞
=-∑也收敛.
17. 证明：曲面23
(2)(3)z x z y -=-上任一点处的法线都平行于平面32610x y z ++-= 证明：曲面上任一点(,,)x y z 处的法线向量
{}2
2
4(2),9(3),2(2)3(3)z x z y z x z y ------，
而平面的法线向量{}3,2,6
{}2
4(2),9(3),2(2)3(3)z x z y z x z y ------{}3,2,6⋅=0.
172
曲面上任一点处的法线都平行于平面。

18. 利用二重积分计算由曲面226,1,0,0z x y x y x y =--+===及0z =所围成的曲顶柱体的体积 解 112
2
22
00
5(6)(6)2.6x
D V x y dxdy dx x y dy -=
--=--=⎰⎰⎰⎰ 19. 已知221
16n n π∞
==∑，试求级数22
11
(1)n n n ∞=+∑的和 证明
2
2221111()()(1)(1)1n n n n n n ==-+++
222221211111
2()
1(1)(1)
1n n n n n n n n
-=
+++=++-++++ 级数 222
2222
1111111(2())(1)2 3.(1)(1)1663n n n n n
n n n πππ∞
∞
===++-=+--=-+++∑∑ 20. 已知函数sin x 和cos x 均为微分方程"()'()(y p x y q x y f x
++=的解,证明:sin()y x θ=+也是该方程的解,这里θ是常数. 证明 sin''()()sin'()()sin()x p x x q x x +++++θθθ
=sin()()cos()()sin()x p x x q x x θθθ-+++++
cos (sin ()cos ()sin )x p x x q x x θ=-++sin (cos ()sin ()cos )x p x x q x x +--+θ
= 0
练习十四
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
2. 设1,2a b ==
，且a 与b 的夹角为
4
π
，则a b +为 （ A ） （A ）5 （B ）12+ （C ）2 （D ）1
3. a 为任意正的实数，若级数1!n n n a n n ∞
=∑收敛，2
22
a
n n n n ∞
=+--∑发散，则 （ D ）
173
（A ）a e > （B ）a e = （C ） 12a e << （D ）102
a <≤
4. 方程223()d (2)d 0x y x y xy y +++=是 （ C ） （A ）齐次方程 （B ）一阶线性方程
（C ）全微分方程 （D ）可分离变量方程 二、填空题 5. 如果级数
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，在3x =处发散，则它的收敛域是 【-1 3 ）
6. 若2(,)cos()x f x y e y x -=-，则2(,)x f x x '=2((,))'x x f x x e -=-
7. 设2
32
111
(sin tan 3)d y x y z I e y z x v ≤≤≤=
++⎰⎰⎰，则I =324.V = 8. 直线
12
102x z y +-=-=-在xOz 平面上的投影直线方程为1,0.
x y =-⎧⎨=⎩ 三、解答下列各题 9. 设222()
x x y z u e
++=，求x u ，y u ，z u
解2
222
22()
222()
222[()2](3)x x
y z x x
y z x u e x y z x x e x y z ++++=+++⋅=++，
同理2
22()
2,x x
y z y u xye
++=2
22()
2.x x
y z z u xze ++=
10. 求函数2322z x y xy y =-+++的极值
解 2
220,3210,x y
z x y z y x =+=⎧⎨
=-++=⎩得驻点11
(,),(1,1).33-- 2,2,6xx xy yy z z z y ===-。

列表：
(,)x y
A （2xx z =）
B （2xy z =）
(6)yy C z y =- 2AC B -
结果 11(,)33- 2 2 2- 80-< 不是极值点 (1,1)-
2
2
6
8
是极小值点
min (1,1) 1.z -=
11. 求微分方程x
xe y xy =+'满足条件0
1x y
==的特解.
174
解 由微分方程x xe y xy =+'得()'()'x x xy xe e =-。

即(1)x xy x e C =-+。

条件
1,1x y
C ===，
即(1)1x xy x e =-+.
12. 求微分方程x x y y cos "+=+的通解.
解 齐次微分方程"0y y +=的通解为12cos sin y c x c x =+.
x x y y cos "+=+的特解为*(cos sin )y x a x b x x =++
代入得0,1a b ==，所以x x y y cos "+=+的通解为
12cos sin sin y c x c x x x x =+++.
13. 试求幂级数13(1)n
n n n x n ∞
=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
∑的收敛域
解3(1)3(1)lim lim 0n
n
n n
n n n n →∞
→∞⎡⎤+-+-==⎢⎥⎣⎦
，所以R=+∞，收敛域为(,)-∞+∞。

14. 计算
2d d x y z ∑
⎰⎰，其中∑是球面2222
x y z R ++=在第一卦限部分的上侧，R 为正数 解
222
22
2
2
d d ()()R
D
x y z R
y z dydz d R r rdr π
θ∑
=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
4
8
R π.
15. 求下列平面方程：
（1）过z 轴和点0(3,1,2)M -- （2）平行x 轴且过两点1(4,0,2)P -和2(5,1,7)P 解（1）过z 轴的平面方程为0Ax By +=，过点0(3,1,2)M --，3B A =-.所以平面方程为
30.x y -=
（2）设平面方程为0,By Cz D ++=过1(4,0,2)P -和2(5,1
,7)P ，故20
,70,C D B C D -+=⎧⎨++=⎩
得平
面方程为920.y z --= 16. 计算曲线积分(2)d ln d y L
x e x x y -+⎰
，其中L 为沿曲线ln y x =从点(,1)A e 到(1,0)
B 的弧段。

解
1
ln 1(2)d ln d (2ln )y
x
L e
x e x x y x e x dx x -+=-+⎰⎰
175
22212
1112(ln )|(1).2222
e e x x e -=-+=---+= 17. 求曲面22xz yz e e e -+=在点(1,1,2)--处的切平面和法线方程。

解 令2(,,)2xz yz F x y z e e e -=+-，则切平面的法向量为
{}
{}222(1,1,2)
,,2,2,2xz
yz xz yz ze
ze xe ye e e e -----+=-。

则 在点(1,1,2)--处的切平面方程(1)(1)(2)0,40x y z x y z +++--=+-+=。

法线方程为
112
.111
x y z ++-==- 18. 设函数(,)z z x y =由方程(,)1F x y x z ++=所确定，其中F 有二阶连续偏导数，且
20F ≠ 求 22z
y
∂∂
解 对方程(,)1F x y x z ++=两边y 求偏导数，得：
''12(,)0,y F x y x z F z +++=
继续对上式两边y 求偏导数，得：
'''''''''2111222122(,)0,y yy y F x y x z F z F z F F z ++++++=
所以
''''''''2'''2''''''''
'22111221221121212212212''322()2().()
y y F F z F F z F F F F F F F F z y F F +++-++∂=-=-∂ 19. 求和11111(1)1(1)2
2n n n n n n s n n +∞
∞+==⎡⎤⎡⎤
--=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 解 111111(1)
,,22n
n n n n n n
∞
∞∞+===-∑∑∑全部收敛，所以有
1
111111111(1)1(1)113
24()().11222221122
n
n n n n n n n n n s n n +∞∞∞
∞++====--=+++=+=+=--∑∑∑∑
20. 证明：若级数
1n
n u
∞
=∑满足（1）lim 0;n n u →∞
= （2）
21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛.
证明：设级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和数列为n s ，则2122122,lim n n n n n s u u u u s s -→∞
=++++= 。

而
176
2122121,lim 0n n n n n s s u u +++→∞
=+=从而21lim n n s s +→∞
=则lim n n s s →∞
=即1
n n u ∞
=∑收敛.
练习十五
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 直线158
121x y z --+==
--与直线60230x y y z --=⎧⎨+-=⎩
的夹角为 （ B ） （A ）
2π （B ）3π （C ） 4π （D ）6
π 2. 设有下列命题： （1）若
21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛；
（2）若1
n n u ∞
=∑收敛，则10001
n n u ∞
+=∑收敛； （3）若1
lim 1n n n
u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散；
（4）若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞
=∑都收敛。

则以上命题中正确的是 （ B ） （A ）（1）（2） （B ）（2）（3） （C ）（3）（4） （D ）（1）（4）
3. 若2222(,),(,)x x x f x x x e f x x x e --'==-，则2
(,)y f x x '为 （ C ）
（A ）2x
xe
- （B ）2(2)x x x e --+ （C ）
x
e - （D ）(21)x x e -- 因为 2222
(,),(,)x x
x f x x x e f x x x e --'==-，所以(,)x f x y ye -= 4. 设积分区域Ω为2221x y z ++≤，1Ω为Ω的
0z ≥部分，以下等式不正确的是 （ C ） （A ）22d 0x y z v Ω
=⎰⎰⎰ （B ）2
d 0yz v Ω
=⎰⎰⎰ （C ）
1
22d 0x y z v Ω=⎰⎰⎰ （D ）1
2d 0yz v Ω=⎰⎰⎰ 二、填空题
5. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则点00(,)x y 是函数z 的极值点的必要条件为 点00(,)x y 是函数z 的驻点.
6. 函数ln(ln )z x y =的定义域为{}(,)|0,1x y x y >>或{}(,)|0,01.x y x y <<<
7. 设级数为
1
21
2n
n n ∞
=-∑，其和是 3.
177
解 1
1
1
11
1
()(21)2n n n n n n S x n x n x x
∞
∞
∞
---====
-=
-∑
∑
∑
1
11
2(
)'2()'111n n x x x x x ∞
==-
=----∑22
211(1)1(1)
x x x x +=-=--- 1212n n n ∞
=-∑=1
1
1111(21)() 3.2222n n n S ∞-=-==∑ 8. 点(0,1,3)到直线114:122x y z L -+-==-的距离为 5
.3
三、解答下列各题 9. 证明：直线13:
122
x y z L +-==-与平面:2210II x y z +--=垂直，并求L 与II 的交点。

证明：直线L 的方向向量{}1,2,2.s =-
平面:2210II x y z +--=的法线向量为{}122,,=-=n s . 故13
:
122
x y z L +-==-与平面:2210II x y z +--=垂直. 直线L 与II 的交点为(,21,23)t t t --+代入平面方程得1,t =即交点(1,1,1)。

10. 设222
x y z u e
++=，而2sin z x y =，求
,u u
x y
∂∂∂∂ 解
222
2
2
2
(222s i n )2(12s i n ),
x y z x y z u
e x z x y x z y e x
++++∂=+⋅=+∂
22222222(22cos )2(cos ),x y z x y z u
e y z x y y x z y e y
++++∂=+⋅=+∂ 11. 求函数333z x axy y =-+的极值。

解 2
2
330,330,x y z x a y z y a x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩
得驻点(0,0),(,).a a
6,3,6xx xy yy z x z a z y ==-=.列表：
(,)x y
A （6xx z x =）
B （3xy z a =-）
(6)yy C z y = 2AC B - 结果 (0,0) 2 2 2-
2
90a -< 不是极值
点 (,)a a
6a 3a - 6a
227a >0
是极值点
178
33min max 0(,);0(,).a z a a a a z a a a >=-<=-
12. 求微分方程x x y y cos cot '=+的通解。

解 由微分方程 x x y y c o s c o t '=+ 得 s i n 'c o s s i n c
o x y y x x x ⋅+=
21
sin '(sin )'(sin )',2
x y y x x ⋅+=
即通解为
2
1sin sin .2
y x x C =
+
13. 计算二重积分：
22
d d D
x y x x y -⎰⎰其中D 是由直线0,1x y ==及y x =所围成的区域。

解
122
22
d d y
D
x y x x y dy x y x dx -=-⎰⎰⎰⎰ 11
3
22222220000
11()()|23y
y
dy y x d y x y x dy =---=--⎰⎰⎰
1
30
1
3y dy =⎰1.12=
14. 计算
2d d xy z x y ∑
⎰⎰，其中∑为柱面222
x z R +=在0,0x y ≥≥两卦限内被平面0y =及 y H =所截下部分曲面的外侧，R 及H 均为正数。

解
2
2
2
2
2
2d d 2D
x y
z x y
x y z d x d y x y z d x d y x y R x d x d y
∑
∑∑=+=-⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰下
上
=22
2
33
22.9
R
H
x R x dx y dy R H =-=
⎰
⎰
15. 利用拉格朗日乘数法，求函数2
u xyz =在条件2
2
2
2
4,x y z z x y ++==+，0x >，
0y >，0z >下的极大值或极小值。

解 令2
2
2
2
2
(4)().F xyz x y z x y z λμ=+++-++-
179
则222222220,220,20,40,0x y z F yz x x F xz y y F xyz x y z x y z λμλμλμ⎧=++=⎪=++=⎪⎪
=+-=⎨⎪++-=⎪⎪+-=⎩
得驻点(1,1,2)M 且() 4.u M = 由于非负连续函数2
u xyz =在曲线2222
4,x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩
位于第一卦限部分的边界上为零，故u 在第一卦限内取最大值，所以M 是最大值点，也是极大值点，因此函数u 在点M 取极大值
(1,1,2) 4.u =
16. 求曲线:()0AB y f x =≥的方程，使曲线()y f x =与两个坐标轴及过点(,0)(0)x x >的垂直于x 轴的直线所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于
4
5
x 。

解 旋转体的体积V=20
()x
f x dx π
⎰。

由已知
14
5
v xdxdydz x V =⎰⎰⎰，又 2
(),x
x
x
v
D xdxdydz xdx dydz x f
x dx π==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
故有2
2
4()(),5x
x
x f x dx x f x dx =⎰⎰ππ
两边对x 求导 得微分方程
()3
,()2df x dx f x x
= 因此得3
2
()(f x Cx C =为任意常数）。

17.求级数
11()
211n
n x
n x ∞
=-++∑的收敛域.
解 求级数1
111()
()231lim lim 11()()
211n n n n n n x u x n x x u x n x
++→∞→∞-++=-++=111x
x -<+，则(,0)x ∈-∞.故级数的收敛
域为(,0)-∞.
180
18.已知2
2
01(21)8n n π∞
==+∑，证明2
20
12ln .24x dx x x π+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰ 解1111
1211(1)(1)ln [ln(1)ln(1)][()()]22222n n n n
n n x x x x x x x x x n n --∞∞==+--⎛⎫=+--=-- ⎪-⎝⎭∑∑ (2)x <
1222122
11111(1)112[()()]()(2).22212(21)2
n n n n n n n n n n x x x x x x n n x n n --∞∞∞∞--====-=+==<--∑∑∑∑ 则2
2
22212222222
1
11001222ln .2(21)2(21)2(21)4n n n n n n n x x dx dx x x n n n π--∞∞∞--===+⎛⎫==== ⎪----⎝⎭∑∑∑⎰⎰ 19.设()f x 有连续的二阶导数，且满足
[ln '()]'()0c
y x f x dx f x dy x -+=⎰ 其中C 为xoy 平面上第一象限内的任一条闭曲线，已知(1)'(1)0,f f ==求()f x .
解 因为
[ln '()]'()0c
y
x f x dx f x dy x -+=⎰ 且 C 为xoy 平面上第一象限内的任一条闭曲线，所以有
l n '()
''()x f x f x x
-=，ln ''()'()('())'x xf x f x xf x =+=，
'()ln xf x x x x C =-+。

由'(1)0,f = 得C=1. 从而
1
'()ln 1,()ln 2ln f x x f x x x x x d x
=-+=-++
及 (1)0,2,f d =
=
. 即()(1)ln 2 2.f x x x x =+-+
20.已知
2
1
n
n u ∞
=∑收敛，证明级数1
n
n u n ∞
=∑
收敛。

证明 因为2211()2n n u u n n ≤+，而2
1n n u ∞=∑，211n n ∞
=∑收敛，所以级数1n n u n
∞=∑收敛.
练习十六
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
181
一、选择题 1. 直线
531
223
x y z -+-==
-与平面25110x y z +--=的位置关系是（ D ） （A ）平行但不在平面上 （B ）在平面上
（C ）垂直 （D ）斜交 2. 曲线arctan x t =，2ln(1)y t =+，2
5
4(1)
z t =-
+在点P 处的切线向量与三个坐标轴的夹角相等，则点P 对应的t 值为 （ D ） （A ）0 （B ）
5
2
（C ）174 （D ）12
3. 设(,)f x y 是连续函数，则二次积分2011
1
d (,)d x x x f x y y +-+⎰
⎰
为 （ C ）
（A ）2112
10
1
1
1
dy (,)d dy (,)d y y f x y x f x y x ----+⎰
⎰
⎰⎰
（B ）1101dy (,)d y f x y x --⎰
⎰
（C ）21
1
2101
1
1
dy (,)d dy (,)d y y f x y x f x y x -----+⎰
⎰
⎰
⎰
（D ）
2210
1
dy (,)d y f x y x ---⎰
⎰
1． 函数x x x xe e C e C y ++=-221满足的一个微分方程是 （ D ）. A."'23x y y y xe --=; B."'23x y y y e --=; C."'23x y y y xe +-= ; D."'23x y y y e +-=. 二、填空题 5. 已知级数
1
n n u ∞
=∑的前n 项部分和3(1,2,)1
n n
s n n =
=+ ，则此级数的通项13
(1)
n n n u S S n n -=-=
+
6. 设L 是单连通域上任意简单闭曲线，,a b 为常数，则
L (d d )0a x b y +
+=⎰
7. 微分方程2
"4sin y y x x +=+的用待定系数法确定的特解（不必求出系数）形式为
*2cos 4sin 4.y ax bx c A x B x =++++
8. 设a 与b 互相垂直，5a =，12b =，则22
226a b a b a b ++-=+= 三、解答下列各题
182
9. 设322()x z y xy =++，求,,x y xy z z z 解 2
2l n 2
2;x x z x y
=+2232;y z y x y =+ 4.xy z xy =
10. 求曲线22,cos(),2ln x t y t z t π===在对应于2t =点处的切线及法平面方程。

解 2t =对应的点(8,1,2ln 2),对应的切线方向向量{}8,0,1， 切线方程
812ln 2
801
x y z ---==
， 法平面方程8(8)2ln 20x z -+-=或8(642ln 2)0.x z +-+= 11. 求极限200
1lim()sin x y x y x
→→+
解2210()sin
0x y x y x
≤+≤+→。

则2
1lim()sin 0.x y x y x →→+=
12. 设Ω是由,2,0y x y x z ===及6x z +=所围的区域，试计算d I x v Ω
=⎰⎰⎰
解
6260
d 36.x x
x
x v dx
dy
xdz -Ω
==⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
13. 试求幂级数1(0,0)n
n n
n x a b a b
∞
=>>+∑的收敛半径及收敛域. 解 1
111111()lim lim lim 1()n n n n n n n n n n n n n n n
x a b
x u x a b a a b x u x a b x x a b
a b b
++++++→∞→∞→∞⎧>⎪+⎪+===⎨
+⎪≤+⎪⎩，
当a b >时，R a =.而x a =级数都发散，即当a b >时，级数的收敛域为则(,)a a -. 当a b ≤时，R b =.而x b =级数都发散，即当a b ≤时，级数的收敛域为则(,)b b -. 14.求微分方程'sin cos 0y y x y x +++=的通解 解 由微分方程'sin 'sin (cos 1)0,
01cos 1y y
y y x y x y cosy
+++=++=++
183
且sin '
(
)'11cos y y cosy y
=
++. 因此sin sin (
)'()'((1))'11x x x x y y
e e xe x e C cosy cosy
+=-=-+++.
sin (1)1x
x y e x e C cosy =-++或sin (1)1x y x Ce cosy
-=-++.
15. 设()y
z xf x
=其中0x ≠，如果当1x =时，2
1z y =+，试确定()f x 及z 。

解 当1x =时，2
1()z y f y =+=，
所以2()1f x x =+及
222()1().y y x z xf x x y x x x
==+=
+
16.展开1()x d e dx x -为x 的幂级数，并证明1 1.(1)!
n n n ∞==+∑ 解 0
(,),!n
x
n x x e n ∞
=∈-∞+∞=∑，
121
1211(1)()!!(1)!
x n n n n n n d e d x n x nx dx x dx n n n ---∞∞∞===--===+∑∑∑
， 即 1
21
1(1)!x x n n x e e n x
x n -∞=-+=+∑
. 1112
111
|| 1.(1)!(1)!n x x x x n n n nx xe e n n x -∞
∞
====-+===++∑∑ 17、 证明级数
1111112121313111
11n n -
+
-
++
-
+-+-++-++ 发散 证明 反证法：设1
1
1
1
1
1
21213131
1111
n n -
+
-
++
-
+-+-++-++ 收敛，
则
11
1111
()()()21
2131311111
n n -
+-++-+-+-++-++ =2222
123n
+++++ 发散，与假设矛盾。

故 原级数发散。

184
18. 求内接于半径为a 的球的最大的长方体的体积
解 设内接长方体在第一卦限内的顶点为M (,,)x y z ，则长方体的体积为
22228,V xyz x y z a =++=
令22228()f xyz x y z a λ=+++-
2222820(1)
820(2)
820(3)(4)
x y z f yz x f xz y f xy z x y z a
λλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨
=+=⎪⎪++=⎩，由（1）（2）（3）及（4）22221
3
x y z a ===，
即33x a y z =
==。

而内接长方体中体积最大的长方体的体积为383.9
V a = 19. 设()f x 有连续的二阶导数，(0)0,'(0)1,f f ==又设
(,)
2(0,0)
'()'()1x y xy
I f x dx f x dy x =
++⎰与积分路径无关。

使确定函数()f x ；并当(,)(1,1)x y =，计算I . 解 因为(,)
2(0,0)
'()'()1x y xy
I f x dx f x dy x =
++⎰与积分路径无关. 即有 222
''()''()'(),,'()1.1'()1x f x x
f x f x f x C x x f x x
=
==+++ 因 '(0)1,1f C ==. 即 2
'()1.f x x
=
+ 2211
()1ln(1);(0)0,0.22
f x x x x x d f d =
+++++== 且(1,1)
(1,1)(0,0)2(0,0)
'()'()'()| 2.1xy I f x dx f x dy f x y x =
+==+⎰ 20. 设(,),(,)u u x y v v x y ==都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分
1
d d L u x v y +⎰
与2
d d L v x u y -⎰都与积分路径无关. 试证：对于函数(,),(,)u u x y v v x y ==，
恒有22220u u x y ∂∂+=∂∂和22220.v v
x y
∂∂+=∂∂
185
证明
1
d d L u x v y +⎰
与积分路径无关, 故
.v u x y ∂∂=∂∂ 2
d d L v x u y -⎰
与积分路径无关, 故 .u v x y
∂∂-
=∂∂ 又(,),(,)u u x y v v x y ==都是具有二阶连续偏导数的二元函数，
即 222
2
,.v v u u x y y x x y y x
∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂
222,v u v u x y x y y ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂，2222u v x y ∂∂-=∂∂， 即 22220u u x y ∂∂+=∂∂。

同理 22220.v v x y
∂∂+=∂∂
练习十七
（微分方程 空间解析几何 多元微积分 级数）
一、选择题
1. 曲线222,x y z x ==在某一点处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相等，求此点相应的
x 值等于 （ C ）
（A ）
12 （B ）2 （C ）1
4
（D ）1 2. 已知向量{}1,1,1a =，则垂直于a 且垂直于z 轴的单位向量是 （ C ） （A ）{}31,1,13±
（B ）{}3
1,1,13±- （C ）{}21,1,02±
- （D ）{}2
1,1,02
± 3. 累次积分
cos 2
d (cos ,sin )d f π
θθρθρθρρ⎰
⎰
可以写成 （ D ）
（A ）2
10
dy (,)d y y f x y x -⎰
⎰
（B ）21
100dy (,)d y f x y x -⎰⎰
（C ）
110
d (,)d x f x y y ⎰⎰
（D ）2
1
00
d (,)d x x x f x y y -⎰⎰
4.微分方程')'("2
y y x y =+满足初始条件1'
1
1
====x x y y
的解是（ A ）.
A.32
2133y x =+ ; B.433144
y x =+ ;
186
C.233122y x =- ;
D.3
44133y x =- .
二、填空题 5. 设22:0,0D y a x x a ≤≤-≤≤，由二重积分的几何意义知222d d D
a x y x y --⎰⎰
=316
a π。

6. 若∑为光滑封闭曲面，V 为其所围立体的体积，cos ,cos ,cos αβγ为∑的外法线的方向余弦，则曲面积分
(cos cos cos )d x y z S αβγ∑
++⎰⎰
= 3V 。

7. 若()2()40q x p x -+=,则微分方程"()'()0y p x y q x y ++=有一条过原点的积分曲线是
2x y e -=
8. 通过曲线2228
0x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩作一柱面∑，使其母线垂直于xOy 面，则∑的方程为
224x y xy ++=。

三、解答下列各题
9. 求微分方程(12)2(1)0x x y
y
x
e dx e dy y
++-
=的通解。

解 因为(12)2(1)0x x y
y y e dx e dy x ++-
=, 令,x dx du u u y y dy dy
==+ 1
2(1)2(1)
12(12)
x u y
x u y y e e du dx x u u y dy dy e
e --+==-=-++ 2(1)21212u u u u
du e u e u
y u dy e e
---=-=++, (12),ln(12)ln ln 2u u u
e du dy
e y C e u y
+=-++=+。

即微分方程的通解为 (2),2.
x
u y
u e y C x y e C +=+= 10. 计算
2d d y z x ∑
⎰⎰，其中∑是圆柱面222x y R +=上由0,03y z ≥≤≤所限定的部分曲面的右侧，R 为正数。