【数学】四川省成都经济技术开发区2020届高三数学5月模拟试题一理

【关键字】数学
四川省成都经济技术开发区2017届高三数学5月模拟试题（一）理注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1．设集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{1，﹣1} D．{﹣1，0，1}
2．已知复数，则
A．的共轭复数为B．的实部为1 C．D．的虚部为
3.一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n－2}(n∈N*)的第2项和第4项，则这个样本的方差是
A.3
B.4
C.5
D.6
4．设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b ＞2；③ +＞2．其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③ D．①②③
5. 已知为如图所示程序框图输出的结果，则二项式
的展开式的常数项是
A．B．
C．D．
6.已知M为不等式组表示的平面区域，直线，当a从-2连续变化到0时，则区域M被直线l 扫过的面积为
A.．B． C. D．
7.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是
A.72 cm3
B.90 cm3
C.108 cm3
D.138 cm3
8. 已知条件；条件直线与圆相切. 则是成立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于点、，交抛物线的准线于点（在、之间），若，则
A.1
B.2
C.3
D.4
10.若双曲线的一个焦点为，过F点的直线与双曲线交于A,B两点，且的中点为，则E的方程为
A．B．C．D．
11．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是
A.P=lg（1+）
B．P=
C．P=
D．P=×
12. 已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为
A．B．64π C．100π D．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．
13.已知，且，则向量与向量的夹角是
14.已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于。

15．已知圆的方程为x2+y2﹣6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是．
16．我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩（，满分150分），
统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有人.
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.
18. （本题满分12分）已知，向量，向量，集合．
（1）判断“”是“”的什么条件；
（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为2，则．判断，，的真假，并说明理由．19.（本题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的
中点.
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
20.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量
这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)作出这些数据的频数分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中间值来代表这种产品质量的指标值)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的85%”的规定？
21．（本题满分12分）设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号。

22．（本题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．
23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数()|21|f x x =-，x R ∈．
（1）解不等式()1f x x <+；
（2）若对于x ，y R ∈，有1|1|3x y --≤，1|21|6
y +≤，求证：()1f x <． 数 学(理工类)参考答案
1—5 DDCDB 6—10 DBBDD 11—12 AC 13. 4π 14. 3- 15. 2 16. 200 17．解：（Ⅰ）∵
sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a b a b a c +=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-，即222a c b ac +-=，
又∵2222cos a c b ac B +-=，∴1cos 2B =，∵(0,)B π∈，∴3
B π=． （Ⅱ）在AB
C ∆中由余弦定理知：2
22(2)22cos603c a a c +-⋅⋅⋅︒=，∴2(2)932a c ac +-=⋅，
∵ 222(
)2a c ac +≤，∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32
a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6． 18.解：（1）若//a
b ，则63(1)m m m =+，∴1m =（0m =舍去），此时，(1,3)a =，||10a =．
则22m m =-，∴1m =或2m =-，故q 为假命题．
∴p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题．
19.(1)证明 设E 为BC 的中点，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE ，因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC .
故AE ⊥平面A 1BC .
由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得
DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，
所以AA 1DE 为平行四边形.于是A 1D ∥AE .
又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .
(2)解 作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .
因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .
因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .
所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .
所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角.
由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.
由DE ＝BB 1＝4.DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝
72
. 所以sin ∠A 1BF ＝
78. 20.解 (1)
(2)质量指标值的样本平均数为 x ＝80×6＋90×26＋100×38＋110×22＋120×8100
＝100， 质量指标值的样本方差为
s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104，
∴这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.
(3)依题意38＋22＋8100
＝68%<80%. ∴该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
21.（Ⅰ）f'（x ）=x 2+2ax+b ，g'（x ）=e x
，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…
（Ⅱ）f'（x ）=x 2+2ax+1=（x+a ）2+1﹣a 2，
当a 2≤1时，即﹣1≤a ≤1时，f'（x ）≥0，从而函数f （x ）在定义域内单调递增， 当a 2＞1时，，此时
若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e x﹣2．
当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，
令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．
先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；
又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；
故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；
又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，
从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．
接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，
令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．
由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，
当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，
又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．
从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．
综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…
22.【选修4—4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．
由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得
x2+（y﹣2）2=4；
（Ⅱ）由x 2+（y ﹣2）2
=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，
则圆心到直线的距离为：d==3， 而点P 在圆上，即O′P +PQ=d （Q 为圆心到直线l 的垂足），
所以点P 到直线l 的距离最小值为3
﹣2． 23．【选修4—5：不等式选讲】
解：（1）(0,2)；（2）证明见解析.
试题解析：（1）解：()1f x x <+，即1211x x -<-<+，解得02x <<．
(2)()|21||2(1)(21)|f x x x y y =-=--++1152|21||21|21366
x y y ≤--++≤⨯+=<．
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