利用递归思想解决计数问题

利用递归思想解决计数问题
福建省永定第一中学 简绍煌
我们常会遇到一些看似排列组合应用题的计数问题，但其复杂的情形有时令人无从下手，若是利用递归思想建立递归方程加以求解，则往往能够迎刃而解．
【例1】有一楼梯共10级，如果规定每步只能跨上一级或二级，要上10级，共有多少种走法？
解 设上n 级楼梯共有n a 种走法，当1n =时，11a =；当2n =时，22a =．
当有(2)n n >级楼梯时，其走法分两类．
第一类：走完前面1n -级楼梯有1n a -种走法，走第n 级只有1种走法；
第二类：走完前面2n -级楼梯有2n a -种走法，走第1n -级与第n 级楼梯时一步走，也是1种走法．
由分类计数原理，知n 级楼梯的走法为21(2)n n n a a a n N n --=+∈>且，．
由此可以算出1089a =．
点评 其通项公式可用换元法转化为一阶线性递归数列求解．
令11n n n c a x a +=-，使数列{}n c 是以2x 为公比的等比数列(12x x 、待定)．
即211211()n n n n a x a x a x a +++-=-，∴212112()n n n a x x a x x a ++=+-．对照已给递归式，
有12121
1x x x x +==-，，即12x x 、是方程210x x --=的两个根．
从而121211112222x x x x +=
===
∴211111(222n n n n a a a a +++-=-) ①
或211111(222n n n n a a a +++-=-) ②
由式①得1
1131(222n n n a a -++-=；
由式②得1
1131(222
n n n a a -++--=．
消去
1n a +，得11n n n a --⎤
=⎥⎦
． 【例2】将数字123n ，，，，填入标号为123n ，，，，的n 个方格内，每格一个数字，则
标号与所填数字均不同的填法共有多少种？ 解 设这n 个自然数的错排数为n a ．
当1n =时，10a =；当2n =时，21a =．
当3n ≥时，n 个自然数的错排数可以分两类情况计算．
第一类：自然数(11)k k n ≤≤-与n 互换，这时错排数为2n a -；
第二类：自然数n 在第k 位上，但自然数不在第n 位上．这时就把第n 位看做第k 位，相当于将n 以外的1n -个自然数进行错排，错排数为1n a -．
所以，自然数n 在第k 位上的错排数共有21n n a a --+种，由于k 可以是121n - ，，，共
1n -种可能，故n 个自然数的错排数为21(1)()(3)n n n a n a a n --=-+≥．①
由①式得，112[(1)]n n n n a a a n a ----=---，∴112
(1)[]!!!!
n n n n a na a n a n n n n -----=--，
即
1121[]!(1)!(1)!(2)!
n n n n a a a
a n n n n n ----=-----． 用累乘法得2111
(1)(1)!(1)!!!n n n n a a n n n n ---=-=--；
再用累加法得21111
(1)!2!3!4!!n n a n n -=-+-+- ，
故!!!!
(1)2!3!4!!n n n n n n a n =-+-+-
234(2)!(3)!(4)!(1)n n n n n n C n C n C n C =---+--+- ．②
利用此递推式，可以计算1993年的一道高考试题：
同室四个各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有几种？
解 10a =，21a =，3122()2a a a =+=，4233()9a a a =+=．所以，四张贺年卡不同的分配方式有9种．或直接用公式②计算．
【例3】有三根杆子A ，B ，C ．A 杆上有64个穿孔圆盘，盘的尺寸由下往上依次变小．要求按下列规则将所有圆盘移至C 杆：1. 每次只能移动一个圆盘；2. 大盘不能叠在小盘上面．问最少要移动多少次？
解 设最少需要移动的次数为n a ．我们这样来操作： 最底下的一个圆盘先不动它，把上面余下1n -个圆盘按规则移至B 杆（其移动次数为1n a -），然后把最底下的那个圆盘移至C 杆，最后再把1n -个圆盘转移到C 杆．这样，总共移动的次数为121(2)n n a a n -=+≥．下面我们求它的通项公式．
方法1（转化为1()n n a p q a p ++=+型递归数列）．显然，11a =．
∵121(2)n n a a n -=+≥，∴112(1)(2)n n a a n -+=+≥．又112a +=，故数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．∴12n
n a +=，即21n n a =-．故64
6421a =-（次）．
方法2．转化为211()n n n n a a q a a +++-=-型递推数列． ∵121(2)n n a a n -=+≥， ① ∴121n n a a +=+． ②
②－①，得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故1{}n n a a +-是首项为212a a -=，
公比为2的等比数列，即1
1222n n n n a a -+-==
，再用累加法得21n n a =-．
方法3（用迭代法）．
21221
2
3
1212(21)12212
2
2
2121n n n n n n n n
a a a a a ------=+=++=++==+++++=- ．
此外,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
点评 这是著名的汉诺塔问题（又称河内塔问题）．据说创世紀时Benares 有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag ）所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc ），並命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将损毁，而也就是世界末日來临之时.
根据上面的结果，如果一秒钟能移动一块圆盘，仍将需5845.54亿年．目前按照宇宙大爆炸理论的推测，宇宙的年龄仅为137亿年．
【例4】四个人互相传球，由甲开始发球，这称为第一次传球，经过5次转球后，球仍然回到甲手中，试求所有不同的传球方式有多少种？
解 设第n 次传球时球仍然回到甲手中的不同方式共有n a 种，显然，10a =．第
1(2)n n -≥次传球时共有13n -种，而只有当球不在甲手中时才有可能传给甲，所以有
113n n n a a --=-．①
将①式化为111(1)(2)333n n n n a a n --=--≥，② 令3n n n a b =，则11
(1)3n
n b b -=--．③ 设11()3n n b b λλ--=--，比较系数，可得14λ=，则1111
()(2)434
n n b b n --=--≥．
所以，14n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为14-，公比为13-的等比数列，
于是，1111()443n n b --=-- ，即1111
()434n n b -=--+ ，
故31(1)3(2)44
n n
n a n =-+≥ ．③
当1n =时，由③式可得10a =，所以，31(1)3(*)44
n n n a n N =-+∈ ． 当5n =时，有5531(1)36044n a =-+= ．故所有不同的传球方式有60种． 点评 λ 亦可有方程1
(9)3
x x =--（不动点）直接求得．此传球问题是染色问题的一
个特例．传球次数对应为多边形的边数，人的个数对应为使用颜色的种数，球不传给自己对应为多边形相邻点染不同颜色，球每次只传到一个人手里对应为每个点只染一种颜色，指定从甲发球相当于给甲染确定的颜色．一般地，用(3)m m ≥种颜色给(3)n n ≥边形染色，要求每一个顶点染上一种颜色，且同一条棱上的两端异色，若其不同的染法为n a ，则
3(1)(2)a m m m =--，当4n ≥时，有递推式11(1)m n n a a m m --+=-，其通项公式为(1)(2)3(1)(1)(1)4n n n
m m m n a m m n --=⎧=⎨--+-≥⎩，，，．。