八年级数学下册 解题技巧专题 一次函数应中的综合性问题 湘教版
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习(二)教学设计
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习（二）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4《一次函数》是学生在初中阶段最后一次系统学习一次函数的知识，它是在学生已经掌握了一次函数的定义、性质、图像等基础知识的基础上进行的一次函数在实际问题中的应用。
本节课的内容包括一次函数的应用、一次函数图像的性质、一次函数与二元一次方程组的关系等。
这些内容不仅有助于学生加深对一次函数的理解，也为高中阶段的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数的基本知识，对一次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，学生在应用一次函数解决实际问题时，往往会因为对一次函数的理解不够深入而遇到困难。
此外，学生在学习一次函数图像的性质时，可能会因为对图像的理解不够直观而感到困惑。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用。
2.掌握一次函数图像的性质。
3.学会用一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数在实际问题中的应用。
2.一次函数图像的性质。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考一次函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣，培养学生的解决问题的能力。
同时，采用直观演示和小组合作的学习方式，帮助学生理解和掌握一次函数图像的性质。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学素材（实际问题案例、图像演示软件等）。
3.学习任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题案例，引导学生思考一次函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，呈现一次函数图像的性质，引导学生直观地感受一次函数图像的特点。
3.操练（15分钟）学生分组合作，利用图像演示软件，进行一次函数图像的绘制和分析，加深对一次函数图像性质的理解。
4.巩固（10分钟）学生根据学习任务单，独立完成一次函数图像性质的练习题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数图像的性质在实际问题中的应用，进行知识的拓展。
湘教版数学八年级下册 利用一次函数解决实际问题
进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？
从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12.
s /海里
10
8
AP
l2
这说明在
6
l1 B
A 逃入公海前，
4 2
O 2 4 6 8 10 12 14 t /分
我边防快艇 B 能够追上 A 船.
（6）l1 与 l2 对应的两个一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x
8 6 4
A
l2
l1 B
2
O 2 4 6 8 10
t /分
解：观察图象知，
当 t＝0 时，B 距 海岸 0 海里，即 s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追
赶时间之间的关系.
（2）A、B 哪个速度快？ t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2， l1 的纵坐标增加了 5.
s /海里
∴ 当人数为 50 以上时 ，选择乙旅行社费用较少； （3）当 y1＜y2，即 80x＜60x+1000 时，解得 x＜50.
∴ 当人数少于 50 时，选择甲旅行社费用较少.
例3 某县大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 t，B 地将采摘 300 t．若要将这些猕猴桃运到甲、乙 两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 t，乙仓库可储存 260 t，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元 和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为 x t，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA 元和 yB 元.
(3) 考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不
湘教版八年级数学下册解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题(1)
解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？◆类型二路程类问题一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？◆类型三工程类问题一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎨⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)． 答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎨⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎨⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎨⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y乙＝⎩⎨⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）. (2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20. (2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.7．①②④8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习(一)教学设计
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习（一）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4《一次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步深化对一次函数的理解和应用。
本节课的主要内容有一次函数的定义、性质、图像以及一次函数在实际生活中的应用。
教材通过丰富的例子和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数的相关知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，一次、二次函数的图像和性质。
因此，对于一次函数的概念和性质，学生已经有了一定的认知基础。
但部分学生在应用一次函数解决实际问题时，仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，注重培养学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质，掌握一次函数的图像特点。
2.能够运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解一次函数的实际意义。
2.小组讨论法：分组讨论一次函数的性质，培养学生的团队合作精神。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对一次函数图像特点的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的相关课件，包括一次函数的定义、性质、图像等。
2.练习题：准备一些有关一次函数的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如购物时发现的商品打折问题，引导学生思考一次函数的实际意义。
让学生认识到一次函数与生活息息相关，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示一次函数的定义、性质和图像。
讲解一次函数的定义，如f(x) = kx + b（k≠0，k、b为常数），并解释k和b的含义。
接着讲解一次函数的性质，如单调性、截距等。
最后展示一次函数的图像，让学生了解一次函数图像的特点。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用例题与讲解素材 (新版)湘教版
5 一次函数的应用1．一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【例1－1】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)2 10(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．【例1－2】某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．2．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．【例2】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y 与行驶路程x 的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由图象可知y ＝kx ＋b 经过两点(0,100)和(500,20)，则有b ＝100,20＝500k ＋b .把b ＝100代入20＝500k ＋b ，得20＝500k ＋100，解得k ＝－425. ∴直线的解析式为y ＝－425x ＋100. 当y ＝100时，x ＝0；当y ＝84时，x ＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L 到84 L ，行驶时间是1 h ，行驶路程是100 km. ∴A 型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A 型汽车每行驶1 h 的路程耗油16 L.由图象可知：A 型汽车耗油80 L 所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3．一次函数图象的平移一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以看做由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度而得到(当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移)．实际上就是指一次函数y ＝kx ＋b 的图象沿y轴平移时，在b 的位置上按照“上加下减”的规律进行．如：一次函数l 1：y ＝23x ＋2的图象可以看做是由正比例函数l ：y ＝23x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l 2：y ＝23x －2的图象可以看做是由正比例函数l ：y ＝23x 的图象沿y 轴向下平移2个单位长度得到的．【例3】如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是__________．解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y＝kx(k≠0)．因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y＝2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y＝2x＋1.答案：y＝2x＋1析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变，改变的是b的值．4.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax ＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现．【例4】已知一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)．x与y的部分对应值如下表：那么方程ax＋b__________．解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数y＝ax＋b的信息．按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解．果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意．事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况．由三者之间的关系可知，求方程ax＋b＝0的解，实质上就是求一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x＝1；同理，求不等式ax＋b＞0的解集，实质上就是求当一次函数y＝ax＋b的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x＜1.答案：x＝1 x＜15.分段计费问题在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性．分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题的能力．常见的分段计费问题有：水费分段计费、电费分段计费、话费分段计费等．点评：解决问题的关键是根据已知条件构建函数在不同的条件下的解析式，再由条件选择对应的解析式求解．【例5】某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电超过a度，超过部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共缴电费30.72元，求a的值；(2)若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应缴电费多少元？分析：先判断是不是超过a度，再进行计算．解：设该户每月用电为x度，缴纳电费为y元，根据题意可分段构建函数关系式：当x≤a时，y＝0.4a①；当x＞a时，y＝0.4a＋0.4×70%(x－a)②.(1)∵0.4×84＝33.6＞30.72，∴五月份的用电超过a度，应满足解析式②.∴30.72＝0.4a＋0.4×70%(84－a)，解得a＝60.(2)∵0.36＜0.4，∴六月份用电超过a度．∴0.36x＝0.4×60＋0.4×70%(x－60)，解得x＝90.∴六月份共用电90度，应缴电费0.36×90＝32.4元．。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 一次函数的解题方法素材 (新版)湘教版
一次函数的解题方法一次函数在实际的应用当中是相当的广泛的，不论是解决实际的问题还是抽象的问题．一次函数的性质的运用是解决这些问题的途径，因此我们具体说明一次函数的解题方法．一、有关产品销售决策问题例 1 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图1表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？分析：（1）由图可得出每个图象上两点坐标，用待定数系法可求出两函数解析式；（2）根据图象和（1）可说明两种方案；（3）结合图象和（2）可选方案．解：（1）由图象知y1是x的正比例函数，y2是x的一次函数，因而可设y1=kx，y2=mx+n．将（30，600）坐标代入y1=kx，得k=20，所以y1=20x；将（0，300）、（30，600）的坐标分别代入y2=mx+n，解得m=10，n=300．所以y2=10x+300．（2）y1表示不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2表示保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y1付费方案，否则，选择y2付费方案．二、有关气温决策问题例2 春秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”，由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害．需采取预防措施．右图是气象台某天分布的该地区气象信息，预报了次日0时-8时气温随时间变化情况，其中0时-5时，5时-8时的图象分别满足一次函数关系，请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．分析：由图象知：0时-5时和5时-8时的图象都满足一次函数关系，故可设111b x k y +=，222b x k y +=，可求得3561+-=x y ，349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时， 当21,y y 分别为0时，分别求出21,x x ，再作差与3比较．解：设0时-5时的一次函数关系式为111b x k y +=，将点（0，3），（5，-3）分别代入可求得3561+-=x y ．设5时-8时的一次函数关系式为222b x k y +=，将点（8，5），（5，-3）分别代入可求得349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时，而当21,y y 分别为0时，,849,2521==x x 而38292584912〉=-=-x x ．故需要采取防霜冻措施．三、有关运输调配决策问题例3 夏天容易发生腹泻等肠道疾病，益阳市医药公司的甲乙两仓库内分别存在医治腹泻的药品80箱和70箱，现需要将库存的药品调往南县100箱和沅江50箱，已知从甲乙两仓库内运送药品到两地的费用（元∕箱）如下表所示：（1）设从运送到南县的药品为x 箱，求总费用y 元与x 箱之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案． 解：（1）由题意知从甲仓库运送到沅江的药品为（80-x ） 箱，从乙仓库运送到南县的药品为（100-x ）箱，从乙仓库运送到沅江的药品为（x-30）箱．故y=14x +10（80-x ）+20（100-x ）+8（x-30）=-8x+2560．（30≤x ≤80）．（2）因为在函数y=-8x+2560中，y 随x 的增大而减小，所以x=80时，1920min y （元），总费用最低时调配方案为：甲仓库的80箱全部运往南县，乙仓库的20箱运往南县，50箱运往江．。
湘教版八年级数学下册-解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题
解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题◆类型一 两个一次函数结合的问题1．(曲靖中考)如图，已知直线y 1＝－12x ＋1与x 轴交于点A ，与直线y 2＝－32x 交于点B .求：(1)△AOB 的面积；(2)y 1>y 2时，x 的取值范围．2．(上海中考)某物流公司引进A ，B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A (千克)与时间x (时)的函数图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B (千克)与时间x (时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y B 关于x 的函数表达式；(2)如果A ，B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？3．甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，两车离开A 城的距离y (千米)与时刻t(时)的对应关系如图所示：(1)A，B两城之间距离是多少千米？(2)求乙车出发多长时间追上甲车；(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．【方法16】◆类型二与一次函数相关的分段函数问题4．小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费用外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元．5．如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的速度为________，在CD上运动的速度为________；(2)求出点P在CD上时S与t的函数关系式；(3)t为何值时，△APD的面积为10cm2?6．(南充中考)小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．他们家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留时间需作怎样的调整？◆类型三与一次函数相关的最值或方案设计问题7．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．8．(衡阳中考)为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；【易错8】(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．参考答案与解析1．解：(1)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋1，y ＝－32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝32.所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.令y 1＝－12x ＋1＝0，得x ＝2，所以点A 的坐标为(2，0)，所以OA ＝2，OA 上的高为32，所以S △AOB ＝12×2×32＝32. (2)由图可知y 1>y 2时，x >－1.2．解：(1)设y B 关于x 的函数表达式为y B ＝k 1x ＋b (k 1≠0)，把点E (1，0)和点P (3，180)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b ＝0，3k 1＋b ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝90，b ＝－90，所以y B 关于x 的函数表达式为y B ＝90x －90(1≤x ≤6)．(2)设y A 关于x 的函数表达式为y A ＝k 2x (k 2≠0)，把P (3，180)代入，得180＝3k 2，k 2＝60，∴y A ＝60x .当x ＝5时，y A ＝5×60＝300；当x ＝6时，y B ＝90×6－90＝450，450－300＝150(千克)．答：B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 3．解：(1)从图象中得A ，B 两地相距300千米．(2)设甲车在行驶过程中y 与t 的表达式为y 甲＝k 1t ＋b 1，∵图象过(5，0)和(10，300)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k 1＋b 1＝0，10k 1＋b 1＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝60，b 1＝－300，∴y 甲＝60t －300.设乙车在行驶过程中y 与t 的表达式为y 乙＝k 2t ＋b 2，∵图象过(6，0)和(9，300)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k 2＋b 2＝0，9k 2＋b 2＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝100，b 2＝－600，∴y 乙＝100t －600.当乙车追上甲车时，它们所行驶的路程相同，即60t －300＝100t －600，解得t＝7.5.7.5－6＝1.5(小时)，∴乙车出发1.5小时追上甲车．(3)13小时或2小时或3小时或143小时． 解析：①当y 甲＝20时，即60t －300＝20，解得t ＝163，163－5＝13(小时)；②当y 甲－y 乙＝20时，即60t －300－(100t －600)＝20，解得t ＝7，7－5＝2(小时)；③当y 乙－y 甲＝20时，即100t －600－(60t －300)＝20，解得t ＝8，8－5＝3(小时)；④当y 甲＋20＝300时，即60t －300＋20＝300，解得t ＝293，293－5＝143(小时)．∴甲车出发13小时或2小时或3小时或143小时，两车相距20千米．4．解：(1)当0<x ≤1时，y ＝6＋22＝28；当x >1时，y ＝6＋22＋10(x －1)＝10x ＋18.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0<x ≤1），10x ＋18（x >1）. (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快递的费用是43元． 5．解：(1)1cm/s 2cm/s(2)设点P 在CD 上时S 与t 的函数关系式为S ＝kt ＋b (k ≠0)．由图分析知其过(12，18)，(15，0)两点．代入得⎩⎪⎨⎪⎧18＝12t ＋b ，0＝15t ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，b ＝90，∴S ＝90－6t (12≤t ≤15)．(3)当0≤t ≤6时，S ＝3t ，△APD 的面积为10cm 2，即S ＝10时，3t ＝10，t ＝103；当12≤t ≤15时，90－6t ＝10，t ＝403.综上所述，当t 为103s 或403s 时，△APD 的面积为10cm 2.6．解：(1)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t （0≤t ≤20），1000（20<t ≤30），50t －500（30<t ≤60）.(2)设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为s ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝1000，b ＝250，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝250，则s ＝30t ＋250.当50t －500＝30t ＋250，即t ＝37.5，即小明出发37.5min 与爸爸第三次相遇．(3)30t ＋250＝2500，解得t ＝75，即小明的爸爸到达公园需要75min.∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴小明希望比爸爸早20min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.7．解：(1)设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝26，3x ＋2y ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7，所以一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元．(2)设购进A 型节能灯m 只，总费用为w 元．依题意得w ＝5m ＋7(50－m )＝－2m ＋350.∵－2<0，∴当m 取最大值时w 有最小值．又∵m ≤3(50－m )，∴m ≤37.5.而m 为正整数，∴m ＝37，∴50－m ＝13.故最省钱的购买方案是购进37只A 型节能灯，13只B 型节能灯．8．解：(1)因为从甲仓库运x 吨往A 港口，则从甲仓库运往B 港口的有(80－x )吨，从乙仓库运往A 港口的有(100－x )吨，运往B 港口的有50－(80－x )＝(x －30)吨，所以y ＝14x ＋20(100－x )＋10(80－x )＋8(x －30)＝2560－8x (30≤x ≤80)．(2)由(1)得y ＝2560－8x ，y 随x 增大而减少，所以当x ＝80时总运费最小，y 最小＝2560－8×80＝1920(元)，此时的方案为：把甲仓库的全部运往A 港口，再从乙仓库运20吨往A 港口，乙仓库的余下的全部运往B 港口．。
《一次函数的应用》PPT课件 湘教版
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
y 8 6 4 2 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
湘教·八年级下册
建立一次函数模型解决预测 y 类型的实际问题
O
x
王大强和张小勇两人比赛跑步，路程和时间的关系如图： 根据图象回答下列问题： （1）王大强和张小勇谁跑的快？
请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开， 两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：
(1)求身高y与指距x之间的函数表达式； (2)当李华的指距为22cm时，你能预测他的身 高吗？【教材P136页】
(1)解：上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系， 观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就 增加9cm，可以建立一次函数模型.
当t=8时，y=3.73，这说明1908年的撑杆跳高纪录也 符合公式①.
公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录y与时间t 之间的函数表达式．
能利用公式预测1912年奥运 会的男子撑杆跳高纪录吗？
y=0.05×12+3.33=3.93 实际上，1912年奥运会男子撑杆跳高纪录约为3.93m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测， 结果与实际情况比较吻合.
【教材P134页】
(1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间 的函数表达式；
解：A方案：y = 25+0.36t（t≥0） ， B方案：y = 0.5t（t≥0） .
(2)分别画出这两个函数的图象；
y /元
45 40 35 30 25 20 15 10 5
y = 25+0.36t（t≥0） y = 0.5t（t≥0）
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习(三)教学设计
湘教版八下数学4《一次函数》小结与复习（三）教学设计一. 教材分析《一次函数》是湘教版八下数学4中的一个重要内容，主要介绍了函数的概念、一次函数的性质和图像、函数的解析式等。
本节课的教学设计旨在帮助学生巩固一次函数的基本知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但部分学生对一次函数的图像和解析式的理解仍有困难，需要通过本节课的教学设计来进一步巩固。
三. 教学目标1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质和图像。
2.学会求一次函数的解析式，并能解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.一次函数的性质和图像2.一次函数的解析式的求法3.实际问题的解决五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究一次函数的性质和图像。
2.通过小组合作，让学生在实践中学会求一次函数的解析式，并解决实际问题。
3.利用多媒体辅助教学，直观展示一次函数的图像，提高学生的理解能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备2.教学课件七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
例如，某商品的售价与销售量之间的关系可以表示为一个一次函数。
2.呈现（15分钟）讲解一次函数的概念，引导学生掌握一次函数的性质和图像。
通过示例，让学生了解一次函数的解析式求法。
3.操练（20分钟）分组讨论，让学生在实践中求一次函数的解析式，并解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验对一次函数的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数在实际生活中的应用，例如经济学中的成本函数、销售函数等。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调一次函数的概念、性质和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关一次函数的练习题，要求学生在课后完成。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 知识拓展 一次函数图象“新”用途素材 (新版)湘教版
一次函数图象“新”用途通过作一次函数的图象,可以直观地确定出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集及二元一次方程组的解等问题．可以体会到方程（组）、不等式的解及二元一次方程组的解与图象上点的坐标密切关系,可品味出数学结合思想的内在的魅力．下面举例说明如下例1若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？分析：（1）一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，•两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值．（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得．解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A,B．令y=0得x=-6k；令x=0得y=6．∴A（-6k，0）、B（0，6）∴OA=|6k|、OA=│6│=6∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24∴│k│= 43∴k=±43例2 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？解：方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．【说明】：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．例3 用画图象的方法解不等式2x +1>3x +4分析：（1）可将不等式化为-x -3>0，作出直线y =-x -3，然后观察：自变量x 取何值时，图象上的点在x 轴上方？或（2）画出直线y =2x +1与y =3x +4，然后观察：对于哪些x 的值，直线y =2x +1上的点在直线y =3x +4上相应的点的上方？解：方法（1）原不等式为：-x -3>0，在直角坐标系中画出函数y =-x -3•的图象（图1）．从图象可以看出，当x <-3时这条直线上的点在x 轴上方，即这时y =-x -3>0，因此不等式的解集是x <-3．方法（2） 把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y =2x +1与y =3x +4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x =-3，因此当x <-3时，对于同一个x 的值，直线y =2x +1上的点在直线y =3x +4•上相应点的上方，此时有2x +1>3x +4，因此不等式的解集是x <-3．（1） （2）例4 在直角坐标系中有两条直线：L 1：y =35x +95和L 2：y =-32x +6，它们的交点为P ，•第一条直线L 与x 轴交于点A ，第二条直线L 与x 轴交于点B ．（1）A 、B 两点的坐标；（2）用图象法解方程组：3593212x y x y -=-⎧⎨+=⎩；（3）求△P AB 的面积．分析：（1）由“直线上点的坐标与二元一次方程的解的关系”以及“直线与x轴的交点的纵坐标为0”确定A,B两点的坐标．（2）方程组中的两个方程变形后正好是该题中的两个函数，交点P（2，3）•的坐标即方程组的解．（3）AB=7，AB边上的高是P点纵坐标的绝对值，从而求出面积．解：（1）由y=35x+95，当y=0时，x=-3，∴A（-3，0）由y=-32x+6，当y=0时，x=4，∴B（4，0）（2）由3x-5y=-9，可得y=35x+95同理，由3x+2y=12，可得y=-32x+6在同一直角坐标系内作出一次函数y=35x+95的图象和y=-32x+6的图象，观察图象（如图），得L1、L2的交点为P（2，3）∴方程组3593212x yx y-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩（3）S△AB P=12×（OA+OB）×3=10．5【说明】：1．解关于x,y的方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩，从“数”的角度看，•相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y=kx+b与y=mx+n的交点坐标．2．两条直线的交点坐标，•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．例5 两种移动电话计费方式如下：用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．解:解法一：设每月通话时间累计x 分钟，则全球通月消费y =0.40x +50元；•神州行月消费：y =0.60x 元．在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．解方程组：0.4050,0.60.y x y x =+⎧⎨=⎩得250,150.x y =⎧⎨=⎩所以两图象交于点（250，150）．由图象可以看出：当0<x <250时 0.40x +50>0.60x ，当x =250时 0.40x +50=0.60x ，当x >250时 0.40x +50<0.60x ．因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；•当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．解法二： 设一个通话时间累计为x 分，全球通与神州行两种计费差额为y 元，则y 随x 变化的函数关系式为：y =（0.40x +50）－0.60x化简为：y =－0.20x +50在直角坐标系中画出这个函数图象．计算出直线y=－0.20x+50与x轴的交点为（250，0）．由图象可以看出：当0<x<250时，y>0，即选神州行省钱．当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．当x>250时，y<0，即选全球通省钱．由此可以得到与方法一相同的结论．例6已知直线y=（1－3k）x+2k－1．k为何值时,直线经过原点；k为何值时,直线与y轴的交点坐标是（0,－2）；k为何值时,直线与x轴的交于（34,0）；k为何值时,y随x增大而增大；k为何值时,直线与直线y=－3x－5平行？研析：此题综合考查了一次函数的基本性质:（1）直线过原点⇔2k－1=0．（2）直线与y轴交点为（0,－2）⇔当x=0时,y=－2．（3）直线于x轴交于(34,0) ⇔当x=34时,y=0．（4） y随x增大而增大⇔1－3k＞0．（5）直线与y=－3x－5平行⇔1－3k=－3．解:当2k－1=0,即k=12时,直线经过原点．当x=0时,y=－2,即2k－1=－2,k=－12时,直线与y轴的交点坐标是（0,－2）．当x=34时,y=0,即0=34（1－3k）+2k－1,k=－1．当k=－1时,直线与x轴交于（34,0）．当1－3k＞0,即k＜13时, y随x增大而增大．当1－3k=－3,即k=43时,直线于y=－3x－5平行．【说明】：对于直线y=kx+B,直线过原点⇔B=0, y随x增大而增大（减小）⇔k＞0（k ＜0）;与另一直线y=mx+n平行⇔k=m．把数与形有机地结合起来思考问题、解决问题,有时会取得非常良好的效果,这种数形结合的思想方法是本章的一个主线．。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 一次函数易错点分析素材 (新版)湘教版
一次函数的易错点分析一、忽视b kx y +=中0≠k 的条件造成错误例1．已知3)2(32+-=-m x m y ，当m =_____时，y 是x 的一次函数．错解 由于y 是x 的一次函数，故132=-m ，解得2±=m ，填“2±”．点评 一次函数b kx y +=中的k 必须满足0≠k ，当2=m 时，02=-m 必须舍去，故2-=m ．二、忽视正比例函数是特殊的一次函数而造成错误例2．一次函数b kx y +=不经过第三象限，则下列正确的是（ ）．A ．0,0><b kB ．0,0<<b kC ．0,0≤<b kD ．0,0≥>b k错解 由于一次函数b kx y +=不经过第三象限，则它必经过一、二、四象限，故0,0><b k ，选A ．点评 由于正比例函数是特殊的一次函数，因而b kx y +=不经过第三象限，则它可能经过一、二、四象限，此时满足0,0><b k ，也可能是只经过二、四象限的正比例函数，此时满足0,0=<b k ，故应选D ．三、忽视一次函数图象的性质而造成错误例3．一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是63≤≤-x ，相应函数值的取值范围是25-≤≤-y ，求这个函数的解析式．错解 把5,3-=-=y x 和2,6-==y x 分别代入b kx y +=中，得到⎩⎨⎧+=-+-=-b k b k 6235，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==431b k ，所以一次函数的解析式为431-=x y ． 点评 由于此题中没有明确k 的正负，而一次函数b kx y +=只有在0>k 时，y 随x 的增大而增大，而在0<k 时，y 随x 的增大而减小，故此题要分0>k 和0<k 两种情况进行讨论．（1）当0>k 时，解法如上；（2）当0<k 时，把2,3-=-=y x 和5,6-==y x 分别代入b kx y +=中，解得3,31-=-=b k ，所以一次函数的解析式为331--=x y ．综上所述，一次函数的解析式为431-=x y 或331--=x y ． 四、忽视自变量的取值范围而造成错误 例4．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费4.2元，以后每增加1分钟收1元，则电话费y （元）与通话时间t （分）之间的函数关系式是 ．错解 根据题意，通话费y 应等于前3分钟的通话费用4.2元加上超过3分钟的部分的通话费用，所以6.01)3(4.2-=⨯-+=x x y ．点评 此题中的通话时间t 是大于3分钟还是小于3分钟不清楚，故而上述解法缺少了t 小于3分钟的情况，正确结果为⎩⎨⎧>-≤<=)3(6.0)30(4.2t x t y ． 五、对两个不同函数的比例系数看成一个造成错误例5．已知y y y =+12，而y 1与x +1成正比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，2=y ；x =0时，2=y ，求y 与x 的函数关系式．错解 设)1(1+=x k y ，22kx y =，得221)1(kx x k y y y ++=+=，把x =1，2=y 得到k k +=22，解32=k 得，所以)1(322++=x x y ． 点评 由于y 1和y 2是两个不同的函数，故要设两个不同的k 即1k 、2k ，不可草率地将1k 、2k 都写成k ，题中给出了两对数值，从而决定了可利用方程组求出1k 、2k 的值．正确的解答如下：设)1(11+=x k y ，222x k y =，得22121)1(x k x k y y y ++=+=，把x =1，2=y 及x =0，2=y 代入得到⎩⎨⎧=+=121222k k k ，解得⎩⎨⎧-==2221k k ，所以2222++-=x x y ． 六、对成正比例与正比例函数的混淆造成错误例6．若y 与1-x 成正比例，且当2=x 时，1=y ．求y 与x 的函数解析式．错解 既然y 与1-x 成正比例，就设其解析式为)1(-=x k y ，把点2=x ，1=y 代入即可解得k=1，故其解析式为x y =．点评 若y 与1-x 成正比例，并不就是指y 是x 的正比例函数，此题的y 是x 的一次函数，正确解为1-=x y ．七、对自变量或函数代表的实际意义理解不准确而造成错误例7． 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的关系用图象表示应为（ ）．A B C D错解 由于路程等于速度乘以时间，在速度一定的条件下，路程是时间的正比例函数，选B ． 点评 此题中路程s 并不是汽车行驶的距离，而是剩下来没有走的路程，不能被思维定势所左右，要仔细看清题目，理解题意，实际上s 与t 的函数关系式为t s 100400-=，s 是t 的一次函数，故选C ．八、不能正确的用坐标表示线段而造成错误例8．若一次函数2+=kx y 与两坐标轴围成的三角形面积是4，求k 的值．错解 因为一次函数2+=kx y 与两坐标轴的交点坐标分别为（k 2-，0）和（0，2）， 由于线段不可能为负数，所以得42221=⨯⨯k ，解得21=k ． 点评 用坐标表示线段时，若不知道坐标的符号应加绝对值．事实上一次函数2+=kx y 的图象是始终经过定点（0，2）的一条直线，可以经过一、三象限，也可经过二、四象限，k 的值应有两解．正确解法可分类讨论，也可这样解：42221=⨯-⨯k ，解得21±=k ． 400200。
2024八年级数学下册第4章一次函数练素养3利用一次函数解决方案问题习题课件新版湘教版
【解】(3)由两方案的图象交点
(30，1 200)可知，若生产件数
x的取值范围为0≤x＜30，则选
择方案二；
若生产件数x＝30，则选择两种
方案都可以；
若生产件数x的取值范围为x＞
30，则选择方案一.
类型3
购买方案
3.[2023·恩施州]为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号
的进价为y元.
+ = ，
= ，
依题意得ቊ
解得ቊ
= .
+ = ，
答：A类图书每本的进价为35元，B类图书每本的进价
为50元.
(2)该书店计划购进A，B两类图书共90本，且A类图书的购
进数量不少于B类图书的购进数量的 .已知A类图书每本的
售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才
式所支付费用最低？
【解】(2)根据题意，得 ＋ ＝1，
整理得a＝
−
＝18－ b.
∵a，b为正整数，且a≤6，b≤24，∴b为3的倍数.
∴当b＝24时，a＝2；当b＝21时，a＝4；当b＝18时，
a＝6.
∴有三种时间安排方式.
方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方式二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
630.∴购进B类图书90－30＝60(本).
答：购进30本A类图书，60本B类图书才能使书店所获利润
最大，最大利润是630元.
类型5
工程方案
5.
[2023·德阳 情境题·环境保护]2022年8月27日至29日，以“新
能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在
湘教版八年级下册数学教案设计：4.5一次函数的应用
八年级（下册）数学教案应用：教材P134 例1 （一次函数简单应用）。
学法P72探究一补例1 （一次函数图像应用）。
练习：教材P134“练习”T1、T2。
（学生板演）小结归纳1、函数解决实际问题的步骤。
2、注意事项。
3、数形结合思想。
作业布置必做：教材习题4.5A组P139 T1；T2。
选做：学法P73 “课堂达标”。
反思回顾八年级（下册）数学教案课题一次函数的应用（2）课时安排3课时教学目标1、能根据数据确定一次函数的解析式。
2、根据获得的一次函数模型进行预测，解决实际应用问题。
3、体验数形结合法的思想，培养学生数学应用的意识。
一次函数应用课件展示1、步骤2、图像信息3、注意事项应用：例1补例学生板演教材P137“练习”T1、T2。
（学生板演）小结归纳1、函数解决实际问题的注意事项。
2、预测问题。
3、数形结合思想。
作业布置必做：教材习题4.5A组P140 T3；T4；B组T6。
选做：学法P74～P75 “课后提升”。
反思回顾八年级（下册）数学教案课题一次函数的应用（3）课时安排3课时教学目标1、进一步掌握利用二元一次方程组确定一次函数的解析式方法。
2、理解一次方程与函数图像的关系，会用图像法解一次方程。
3、体验数形结合法的思想。
重点理解一元一次方程与一次函数的关系。
难点理解用图像法解一次方程的。
教学过程问题导入展示教材P138“动脑筋”（多媒体显示）：通过解答你觉得这两个问题有怎样的联系？一次函数应用课件展示1、识图分析2、预测问题3、注意事项应用：例2补例学生板演学生回答，全班交流。
引入课题：一次函数的应用（3）。
自学指导提出问题，学生带着问题自学教材P P138～P139内容： 1、一次方程和一次函数有怎样的联系？ 2、怎样用图像法解一次方程？ 完成学法P75“课前预习”。
合作交流讲述：1、一般一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像与X 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。