中考数学压轴题解题技巧超详细

中考数学压轴题解题技

巧超详细

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2012年中考数学压轴题解题技巧解说

数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出

发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t

秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG

最长

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.

解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

8=16a+4b

得

0=64a+8b

解得a=-1

2

,b=4

∴抛物线的解析式为：y=-1

2

x2+4x …………………3分

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE

AP

=

BC

AB

,即

PE

AP

=

4

8

∴PE=1

2

AP=

1

2

t．PB=8-t．

∴点Ｅ的坐标为（4+1

2

t，8-t）.

∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12

t ）=-1

8t 2+8. …………………5分

∴EG=-18t 2+8-(8-t) =-1

8t 2+t.

∵-1

8＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2. …………………7分

②共有三个时刻. …………………8分

t 1=

16

3， t 2=4013，t 3． …………………11分

压轴题的做题技巧如下：

1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

注意

1、动点题肯定是图形题，图形题是中考试重点，分值在100分以上（满分150.包括统计和概率）

2、大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合，在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面积、边边关系、面积和边的关系等。特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化，如由三角形变成四边形，由四边形变成五边形，这时一定要注意分类讨论

3、知识的储备：熟练掌握所有相关图形的性质。a 、三角形（等腰、直角三角形）b 、平行四边形（矩形、菱形、正方形）c 、圆 d 、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数）

4、坐标系中的四大金刚：① 两个一次函数平行，K 值相等；② 两个一次函数互相垂直，K 值互为负倒数。③ 任意两点的中点坐标公式；④ 任意两点间距离公式。函数图形与x ，y 坐标轴的交点连线的夹角也常常用到，所以要小心;有些特殊点会形成特殊角，这一点也要特别注意。

5、做题思路，有三种。1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析（即去掉无用的图形线段）。

压轴题解题技巧题型分类解说

一、对称翻折平移旋转

1．（南宁）如图12，把抛物线2y x =-（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线1l ，抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点，线段CD 交y 轴于点

E .

（1）分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；

（2）设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P 点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形说明你的理由. （3）在抛物线1l 上是否存在点M ，使得ABM

AOED S S ??=四边形，如果存在，求出

M 点的坐标，如果不存在，请说明理由.

2．（福建宁德）如图，已知抛物线

C 1：()522

-+=x a y 的顶点为

P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；（4

分）

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平

移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）

12y x

A

O B P M 图

C 1

C 2 C 3

2y x A O B P

N 图

C 1 C 4

Q

E

F 2

（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）

二、动态：动点、动线

3．(辽宁锦州)如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交

于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE

的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形若存在，请直接写出所有符合条件的

点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（山东青岛）已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥BC

（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

5．（吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B ＝60°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时x 的值是__________秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

B

图

C

C

x x

y y

A O B

E

D A C

B C

D

G

图1 图2 6．(浙江嘉兴)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中

心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△

ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积

三、圆

7．（青海） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.

（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．

8．(天水)如图1，在平面直角坐标系

xOy ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为

(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝

1 3

． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积． 9．（湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． （1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；

（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． C

（第24

10．（潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．

（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由． 四、比例比值取值范围

11．（怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其

顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使

MAB PAB S S ??=4

5

,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

12． (湖南长沙)如图，在平面直角坐标

系中，矩形OABC 82OA = cm ， 的两边分别在x 轴和y 轴上，

OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运

动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一

个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似

时，抛物线

2

14

y x bx c =

++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

13．（成都）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点

（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，

，若将经过A C 、两点的图9

图1

B A P

x

C

Q O

y

O x

y

N C

D E

F

B

M A

直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且

:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切

五、探究型

14．（内江）如图，抛物线

()2

230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；

（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使BCM △

理由.

15．（重庆潼南）如图, A 、B ，点A 的坐标为（2，0（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 积最大时，求点D （3）在直线BC 16．（福建龙岩）x

轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

题图

26

17．（广西钦

州）如图，已知抛物线

y＝3

4

x2＋bx＋c与坐标

轴交于A、B、C三点，

A点的坐标为（－1，

0），过点C的直线y

＝3

4t

x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

18．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边

与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

5

6，那么EF＝2GO是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y＝ax2

、B两点，

＝－4(a≠0)的函

BC边运

MN，

AC

角形与△ABC相似若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板

．．．．DEF

．．．

绕点

．．E．旋转

．．，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q

【探究一】在旋转过程中，

（1）如图2，当CE

1

EA

＝时，EP与EQ满足怎样的数量关系并给出证明.

（2）如图3，当CE

2

EA

＝时EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由.

（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE

EA

＝m时，EP与EQ满足的数量关

系式

为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化不出相应S值的取值范围. 六、最值类

22．(恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数

c

bx

x

y+

+

=2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左

侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P

是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，

那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形若存在，请求出此时点

P的坐标；若不存在

请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.