高等数学-函数全微分

x
y
例4
z x yez
求 z , z . x y
解: 利用微分形式的不变性有
dz d x yez d x ezd y yezdz
(1 yez )dz d x ezd y
dz
1 1 yez
d x ez 1 yez
dy
z x
1 1 yez
z y
ez 1 yez
作业
习题册 第八章第三节
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
例4 已知 Z f (x y, x ) g y
求
2z .
y x
yx
其中 f , g 二阶连续可导
解:
z y
x
f1
x y2
f 2
1 g x
2z yx
f1 x[ y
f11
1 y
f12]
1 y2
f2
x y2
[
r2 h2
[2rhr r2h 2rrh hr2 r2h]
r, h 的一个线性函数 的高阶无穷小
当 r , h 很小时 V [2rhr r2h]
与一元函数类似此式称为函数V的全微分.
2
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
dz z dx z dy x y
7
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z)的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
采用一元函数的导数记号 dz f (u). du
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z x
f x
f1 f21
注意:
这里 z 与 f 不同, x x
z x表示固定 y 对 x 求导,
f 表示固定 v 对 x 求导 x
z y
f2 2
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
注: 对x 的偏增量
x x
x Ax o ( x )
其中 Ax 称为对 x 的偏微分 3
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff((xx, y) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
高等数学(下)
第七讲
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
解: 圆柱体的体积 V r2h V [(r r)2 (h h) r2h]
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
常用导数符号
设 z f (u, v)
z u
fu (u, v)
fu
f1
z v
fv (u, v)
1、 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du d t u d t
z dv v dt
z dw w dt
z
uvw
f1 f2 f3
2、 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
定理. 若函数 处偏导数连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t 此式是 Z 对t的导数 dz 称为全导数.
dt
z f (u,v)
z
uv tt
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v) ut, vt
yf21
1 y
f 22 ]
1 x2
g
y x3
g
f1 x y
f11
1 y2
f2
x y3
f22
1 x2
g
y x3
g
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ;
同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续
13
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例2. 计算函数
的全微分.
解: d u z csc2x yd(x y) cotx ydz
z csc2 x y[y dx x dy] cot x ydz
du dx udy udz u
8
例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解法1:
z yexy , x
z xexy y
z x
(2,1) e2 ,
z y
(2,1) 2e2
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
解法2:
z
e2 ,
x (2,1)
z
2e2 ,
y (2,1)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
4
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z Ax B y o( ) ,
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By 称为函数f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
例3. 设 z ex cos y ln x2 y 4,求dz, z , z . x y
解: 利用公式有
z ex cos y 2ln x ln y 4
z ex cos y 2
x
x
z ex sin y 1
y
y
dz (ex cos y 2)dx (ex sin y 1 )dy
例1
已知 f
可微，求
u,u ,u. x y z
u x
f1(
x y
,
y) z
u y
f1 f2
u z
f 2
例2
z
f
(x
y2 ) 已知
x
f (u)
连续,求
解
2y x2
f
(x
y2 ) x
2y x
(1
y2 x2
)
f (x
y2 ) x
例3 已知 z f (x , y2 ) f 具有二阶连续偏导数, x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
6
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z x
,
z y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
1 (d x d y d z) 4
11
例4
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
同样可证z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
5
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
Baidu Nhomakorabea
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 14
作业
习题册 第八章第二节
第四节
第九章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
一、多元复合函数求导的链式法则
中间变量是一元函数的情形
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
12
2)
fx (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim 0 0 x0 x
0,
同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
(x, x )(0,0)