高等数学-函数全微分
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高等数学常用公式大全
高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。
高等数学教学： 偏导数与全微分
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
高等数学11.2多元函数的偏导数和全微分-精选文档
高等数学
主讲人 宋从芝
11.2
多元函数的偏导数与全微分
本讲概要 偏导数的概念 高阶偏导数
全微分
一、偏导数的概念
１.偏导数的定义
定义1 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义. 若极限
f ( x xy ,0 ) f ( x ,y ) 0 0 0 l i m x 0 x
2 z z z ; (x fyx ,y ) z yx y x y y x x
z z 2z y y y 2 y y
. (x fyy ,y ) z yy
(x, y) 称为二阶混合偏导数. (x, y) 及 fyx 其中 fxy
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数，
而 f ( x ,y ) , 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， x f ( x , y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. y
偏导数都存在， 那么这个偏导数是 x , y 的函数，此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 记作
z , f ( x, y), z (x fx ,y ). x 或 x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地，
代入等式左边得
u u u x y z
2 2 2
2
2
2
4 x y z 4 u 4 x 4 y 4 z
2 2 2
3.偏导数的几何意义
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数． 因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
《高等数学》第三节 全微分
当 0 时,即 x 0 ,且
y 0
xy 是比 时，
高阶的无穷小. 则 z yx xy
z z z z ,y 其中 x ，从而有 z x y x y x y
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为 y ,则面积 z xy 当边长 x, y 分别有增量 x, y 时,面积的增量为
z ( x x)( y y) xy yx xy xy
dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
+
偏导存在
连续
+
可微
二、全微分在近似计算中的应用 设函数
z f ( x, y) 在点 ( x, y )处可微，当 x, y
分别取得增量 x, y 时，
z f ( x x, y y) f ( x, y) dz f x( x, y)x f y ( x, y)y
yx y 1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充 分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上 的多元函数. y yz 例２：计算 u x sin 2 e 的全微分． 解
u 1, x u ye yz z
y u 1 yz cos ze y 2 2
15.47
y 1 dz dx ( cos ze yz ) dy ye yz dz 2 2
例３: 求 z = x4 y3 +2x 在点 (1, 2)的全微分.
高等数学第八章第三讲 多元函数的全微分
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
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第八章
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
z z 2 x 1, 2 y y ( 1,2 )
所求全微分
dz 5dx 2dy.
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第八章
y yz À2 Æ ¼ ã Ë ¯ º ý Ê u x sin e Ä µ « È ¢ Î · Ö . 2
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
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第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x , y y ) f ( x , y y )
f x ( x 1x, y y )x
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第八章
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用
§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数xz ∂∂、y z ∂∂必定存在,且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A xy x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B yz =∂∂. 所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00, 从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy x z 2=∂∂, y x yz 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe yz =∂∂, 212e x zy x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin的全微分. 解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye zu =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为 ||||||T Tg l l gdg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l T g l gδδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l TlT δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差 ||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.。
大一高等数学第八章第二节偏导数与全微分
f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y ) z lim A , x 0 x x
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例 6 设u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sinby; y
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
p V T RT R V RT 1. 2 V T p pV p R V
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
高等数学————微分
五、全微分在近似计算中的应用
( 1 ) z dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的 20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm，求 该金属体体积变化的近似值。 解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V 则有 V r 2 h 所以
2 2
u u u ( 2) du dx dy dz x y z 1 y yz ye yz dz dx ( cos ze )dy 2 2
u u u ( 3) du dx dy dz x y z
yzx
yz1
zx yz ln xdy yx yz ln xdz dx
N ( x0 x, y0 y, z0 z )
z =AN ：曲面立标的增量
z
z
B
过点M的切平面：
dz=AB : 切面立标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
z z0
dz
A
.
当x , y 很小时
0
z dz
x
P
y
y
Q
四、全微分的计算
可导 可微.
A f ( x0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
3、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N
o( x )
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
z z dz x y x y
证明： 由函数 z f ( x , y ) 在点（x，y）处可微有
简述全微分的定义
简述全微分的定义全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。
全微分的定义可以简述为：在数学中，函数的全微分是指函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。
全微分的定义可以通过以下方式进行描述：设函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处可微分，那么函数在该点处的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别为函数f(x,y)对自变量x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小变化量。
全微分的定义可以理解为，当自变量x和y发生微小变化dx和dy 时，函数f(x,y)的取值也会发生微小变化df。
全微分df可以看作是函数f(x,y)对自变量x和y的微小变化量的线性近似。
全微分的概念在实际应用中具有重要意义。
它可以用于描述函数在某一点的局部变化情况，从而帮助我们理解函数的性质和特点。
通过计算全微分，我们可以得到函数在某一点处的斜率，进而判断函数在该点的增减性和凹凸性。
全微分在物理学、经济学等领域中也有广泛的应用。
例如在物理学中，全微分可用于描述物体在某一点处的位移和力的关系，从而帮助我们理解物体的运动规律。
在经济学中，全微分可用于描述经济变量之间的相互关系，从而帮助我们分析经济现象和制定经济政策。
全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。
全微分的定义可以简述为函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。
全微分的概念在理论和应用中都具有重要意义，它帮助我们理解函数的性质和特点，以及分析和解决实际问题。
通过深入理解和应用全微分的概念，我们可以更好地掌握微积分的基本原理和方法，为相关学科的研究和应用提供有力支持。
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d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
例4 已知 Z f (x y, x ) g y
求
2z .
y x
yx
其中 f , g 二阶连续可导
解:
z y
x
f1
x y2
f 2
1 g x
2z yx
f1 x[ y
f11
1 y
f12]
1 y2
f2
x y2
[
du dx udy udz u
8
例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解法1:
z yexy , x
z xexy y
z x
(2,1) e2 ,
z y
(2,1) 2e2
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
解法2:
z
e2 ,
x (2,1)
z
2e2 ,
y (2,1)
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
常用导数符号
设 z f (u, v)
z u
fu (u, v)fuf1z vfv (u, v)
定理. 若函数 处偏导数连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t 此式是 Z 对t的导数 dz 称为全导数.
dt
z f (u,v)
z
uv tt
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v) ut, vt
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
4
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
例1
已知 f
可微，求
u,u ,u. x y z
u x
f1(
x y
,
y) z
u y
f1 f2
u z
f 2
例2
z
f
(x
y2 ) 已知
x
f (u)
连续,求
解
2y x2
f
(x
y2 ) x
2y x
(1
y2 x2
)
f (x
y2 ) x
例3 已知 z f (x , y2 ) f 具有二阶连续偏导数, x
1 (d x d y d z) 4
11
例4
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
z Ax B y o( ) ,
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By 称为函数f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
x
y
例4
z x yez
求 z , z . x y
解: 利用微分形式的不变性有
dz d x yez d x ezd y yezdz
(1 yez )dz d x ezd y
dz
1 1 yez
d x ez 1 yez
dy
z x
1 1 yez
z y
ez 1 yez
作业
习题册 第八章第三节
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ;
同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续
13
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
r2 h2
[2rhr r2h 2rrh hr2 r2h]
r, h 的一个线性函数 的高阶无穷小
当 r , h 很小时 V [2rhr r2h]
与一元函数类似此式称为函数V的全微分.
2
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
同样可证z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
5
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 14
作业
习题册 第八章第二节
第四节
第九章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
一、多元复合函数求导的链式法则
中间变量是一元函数的情形
高等数学(下)
第七讲
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
解: 圆柱体的体积 V r2h V [(r r)2 (h h) r2h]
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
6
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z x
,
z y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
dz z dx z dy x y
7
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z)的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
采用一元函数的导数记号 dz f (u). du
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z x
f x
f1 f21
注意:
这里 z 与 f 不同, x x
z x表示固定 y 对 x 求导,
f 表示固定 v 对 x 求导 x
z y
f2 2
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
注: 对x 的偏增量
x x
x Ax o ( x )
其中 Ax 称为对 x 的偏微分 3
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0