海明码编码 - 360文档中心

海明码原理

海明码原理
海明码原理是记录和传播信息的一种编码方式。

它是由早期的美国科学家珍妮海明创建的，用来满足信息处理领域中的一些需求。

它是一种线性反馈法，允许信息以高效的方式进行编码，以及由编码到译码。

海明码原理基于二进制编码，每一位由0和1两个数字组成。

这种代码可以被用来表示字母、数字和特殊字符，并可以用于传输数据和信息。

例如，单词“hello”可以用七个比特位编码：01101000 01100101 01101100 01101100 01101111。

通过海明码原理，可以将比特串转换成码字，也就是将比特串按照一定的顺序重新排列组合，使得字符或符号可以按照正确的顺序出现。

这种编码方式有很多优势，可以有效防止传输过程中信息的失真，使得接收端可以正确地接收信息。

在传输过程中，可以使用不同的信道，比如电子邮件、短信、函件等，将海明码传输到目的地。

为了保证信息的安全，海明码技术还可以结合加密技术，使信息在传输过程中不易被破解，从而保护信息的安全性。

海明码的发明对信息处理领域产生了重大影响，在计算机科学、信息技术、电子通讯和其他相关领域都有重要的作用。

现在，海明码被广泛应用在有线通讯、无线通讯、数据存储、数据处理等领域，它更加普及，使用范围也更广。

综上所述，海明码原理是一种线性反馈法，是一种基于二进制编
码的编码方式，可以有效地保护信息在传输过程中的安全性。

它已经逐步成为现代信息处理的标准，广泛应用于各个领域，从而极大地改进了人类的生活质量。

海明编码规则

海明编码规则如下：
设k个校验位为Pk,Pk-1,...,P1,n个数据位为Dn-1,Dn-2,...,D1,D0,对应的海明码为Hn+k,Hn+k-1,...,H1。

海明码的编码位数是n+k，其中n是数据位的位数，k是校验位的位数。

校验位Pi在海明码的第2^i-1位置上，数据位则依序从低到高占据海明码中剩下的位置。

海明码中的任何一位都是由若干个校验位来校验的。

其对应关系如下：被校验的海明位的下标等于所有参与校验该位的校验位的下标之和，而校验位由自身校验。

以上就是海明编码的基本规则，按照这些规则，可以构造出海明码，实现数据的错误检测和纠正。

海明校验码

• 依次类推，便可确定每组所包含的各位。
例如：欲传递信息为b4b3b2b1(n=4)，根据 2k≥n+k+1，可求出配置成海明码需增添检测位 k=3，且它们位置的安排如下：
二进制序号 1 2 3 4 5 6 7
名称
C1 C2 b4 C4 b3 b2 b1
如果按照配偶原则来配置海明码，则
C1 应使1,3,5,7位中的“1”的个数为偶数；
• 故0101的海明码应为：C1 C2 b4 C4 b3 b2 b1，即0100101。
三、海明码的纠错过程
• 海明码的纠错过程，实际上是对传送后的海明码形成新的检测位Pi（i=1,2,4,8……），根据Pi 的状态，便可直接指出错误的位置。Pi的状态是由原检测位Ci及其所在小组内“1”的个数确定的。倘若按配偶原则配置的海明码，其传送后形成新的检测位Pi应为0，否则说明传送有错，并且还可以直接指出出错的位置。由于Pi和Ci有其对应关系，故Pi可由下式确定：
• 设n+k位代码自左至右依次编为第1，2， 3，…...，n+k位，而将k位检测位记为Ci（i=1， 2，4，8……），分别安插在n+k位代码编号的第1，2，4，8，……2k-1位上。这些检测位的位置设置，是为了保证它们能分别承担n+k位信息中，不同数位所组成的“小组”的奇偶检查任务，使检测位和它所负责检测的小组中1的个数为奇数或为偶数，具体分配如下：
C2 应使2,3,6,7位中的“1”的个数为偶数；
C4 应使4,5,6,7位中的“1”的个数为偶数；
故 C1应为3位⊕5位⊕7位，即C1＝b4⊕b3⊕b1；
C2应为3位⊕6位⊕7位，即C2＝b4⊕b2⊕b1；
C4应为5位⊕6位⊕7位，即C4＝b3⊕b2⊕b1；

海明码详解(精)

海明码详解这两天也在研究海明码的问题，把我的理解说给你吧，按照我说的可以顺利得到海明码步骤：一、确定校验码的位数k二、确定校验码的位置三、数据的位置四、求出校验位的值首先，海明码的作用是：在编码中如果有错误，可以表达出第几位出了错，二进制的数据只有0和1，修改起来很容易，求反即可，这需要加入几个校验位。

重要的知识点：海明码的组成，不是简单的在后面加上校验位，海明码≠数据位+检验位那检验位该怎么加呢？它是根据总的位置来加的，加在【2的几次幂】的位置上，这个位置不是我们通常的从右向左数位置，刚好相反，是从左右如下图：P是校验位， D是数据位：原始的数据是：101101 校验位是插到了 1 2 4 8这几个位置上的。

位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1步骤一、确定校验码的位数k公式：m+k+1≤2^k (m是数据位的位数，K是要加的校验位的位数数据长是4位，校验码就是3位4+k+1≤2^kK最小只能是3数据长是5,6,7,8,9,校验码就是4位5+k+1≤2^kK最小就只能取4101101 数据位是6位，那校验位应该是4位，那总位数是：6+4=10位步骤二、确定校验码的位置位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1（图1）注意：【位置是从左----------右编码】（网上好多都反了，都是从右往左的，这应该是错的）校验位就插在2的幂次方的位置上。

4个检验位就是插到，2的0次方=1，2的1次方=2，2的2次方=4，2的3次方=8的位置上。

始上（图1）步骤三、数据的位置数据位置就按顺序写入进去就OK了，不要写到校验位就是的了。

步骤四、求出校验位的值也就是求图1中：p1 p2 p3 p4 的值。

那这几个数该如何求值呢？这里就要引进一个线性码的概念了，就是这4位校验码和图1中的那些位置上的数有关系呢？这里有一个进制转换的问题要先解决：因为是4位校验码，所以我们可以s4 s3 s2 s1 这个数来表示这个4位校验码，也就是p4 p3 p2 p1M1号位是十进制的1 转成四位二进制数就是：0001 即M1 和s1有关系同样的道理M2 变成四位二进制数： 0010 0010----s4 s3 s2 s1 s2的位置上是1 ，所以M2和S2有关系。

海明码

1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。

它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。

它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数[font class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;"id="bks_cu2htj1g"]2.[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ��; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"][font]海明码的原理[/font]在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。

海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。

海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。

一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7 [/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ��; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"]海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ��; font-size: 12px; line-height: normal;"] [/font]3.海明码的生成与接收特注：以下的+均代表异或方法一：1)海明码的生成。

海明码及码距

然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示。
信息序号
二进码字
a2 a1 a0
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
图1
信息序号
二进码字
a3 a2 a1 a0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
同样，若三个方程式右边的值为001，说明第1位出错。若三个方程式右边的值为100，说明第4位出错。
海明码的码距应该是3，所以能纠正1位出错。而奇偶校验码的码距才是2，只能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）。无校验的码距是1，它出任何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错。
m位数字
横向奇偶位
n
个
码
字
a1 a2 … am-1 amHP1
b1 b2 … bm-1bmHP2
c1 c2 … cm-1 cmHP3
…… … … … …
n1 n2 … nm-1 nmHPn
VP1 VP2 … VPm-1VPm HPn+1
纵向奇偶位
图4用综横奇偶校验的分组奇偶校验码
研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
校验位数的位数
推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k（2的K次幂）种不同状态。这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：

海明码编码计算、检错和纠错原理解析

海明码编码计算、检错和纠错原理解析一、海明码检错/纠错基本思想海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。

它的检错、纠错基本思想如下：（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位（3）对错误位取反来将其纠正二、海明码计算海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码1. 计算校验码位数假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247校验码位数2 3 4 5 6 7 82. 确定校验码位置海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置3. 确定校验码校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。

确定每个校验码所校验的比特位：P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。

P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。

P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。

海明码——精选推荐

海明码海明码（Hamming Code）是在电信领域的一种线性检测码，以发明者理查德·卫斯里·海明的名字命名。

海明码在传输的消息流中插入验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，以侦测并更正单一比特错误。

由于海明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）电路。

1940年，海明于贝尔实验室（Bell Labs）工作，运用贝尔V型（Bell Model V）电脑，一个周期时间为几秒钟的机电继电器计算机。

输入终端是依靠打孔卡（Punched Card），这不免会产生读取错误。

在平日，特殊代码将发现错误并闪灯（flash lights），使得操作者能够纠正这个错误。

在周末和下班期间，在没有操作者的情况下，机器只会简单地转移到下一个工作。

海明在周末工作，他对于不可靠的读卡机发生错误后，总是必须重新开始项目变得愈来愈沮丧。

在接下来的几年中，他为了解决错误检测的问题，着手开发功能强大的检测算法。

直到1950年，他发表了著名的海明码。

与其他的错误校验码类似，海明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。

利用一个以上的校验位，海明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。

在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。

在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。

通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错，但这种方法比简单重传协议的成本要高。

海明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。

如果一条信息中包含更多用于纠错的位，且通过妥善安排这些纠错位使得不同的出错位产生不同的错误结果，那么我们就可以找出出错位了。

在一个7位的信息中，单个位出错有7种可能，因此3个错误控制位就足以确定是否出错及哪一位出错了。

海明码SECDED（single error correction, double error detection）版本另外加入一个检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。

海明码编码计算、检错和纠错原理解析

一、海明码检错/纠错基本思想海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。

它的检错、纠错基本思想如下：（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位（3）对错误位取反来将其纠正二、海明码计算海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码1. 计算校验码位数假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247校验码位数2 3 4 5 6 7 82. 确定校验码位置海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置3. 确定校验码校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。

确定每个校验码所校验的比特位：P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。

P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。

P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。

海明码和CRC编码的图解和详细计算过程

一、CRC编码1、已知多项式和原报文，求CRC编码，如：使用多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1,对报文进行CRC编码，则编码后的报文是什么？方法与步骤：步骤1：对报文，在末尾添加所给多项式的最高次阶个0，如本题为x^5，则添加5个0，变为：。

步骤2：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。

步骤3：步骤1中求得的对步骤2中求得的110011进行模二除法，所得到的余数即为校验码，把校验码添加在原报文尾部即为所求的编码报文，具体如下：2.已知道接收到的CRC编码，求原编码或判断是否出错，如：已知G(x)=x^5 + x^4 + x +1，接收的为，问是否出错步骤一：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。

步骤二：用接收的报文对步骤一的110011进行模二除法，看余数是否为0，如为0则正确，如不为0，则出错，计算余数为1，则出错。

如下图：二、海明码1.求海明码，如：求1011海明码。

步骤一：求校验码位数r，公式为：2^r ≥r+k+1的最小r。

题目中为2^3≥3+4+1,所以取r=3，即校验码为3位。

步骤二：画图，并把原码的位编号写成2的指数求和的方式,其中位编号长度为原码和校验码个数之和，从1开始。

校验码插在2的阶码次方的位编号下，且阶小于r。

如下：原码的位编号写成2的指数求和：7=2^2+2^1+2^0;6=2^2+2^1;5=2^2+2^0;3=2^1+2^0;步骤三：求校验位，即每个校验位的值为步骤二中“原码的位编号写成2的指数求和”式子中相应2的阶出现的位编号下原码的值异或。

即：r0=I4异或I2异或I1=1；(2^0次出现在7，5，3位，其对应的值为I4，I2，I1) r1=I4异或I3异或I1=0；(2^1次出现在7，6，3位，其对应的值为I4，I3，I1) r2=I4异或I3异或I2=0；(2^0次出现在7，6，5位，其对应的值为I4，I3，I2) 把r0,r1,r2带入海明码，得所求的海明码为：10101012.已知海明码，求原码或判断是否出错并改正错位，如：信息位8位的海明码，接收时，判断是否出错，并求出发送端信息位。

计算机组成原理--海明码的编码和校验方法（易懂）

计算机组成原理--海明码的编码和校验⽅法（易懂）海明码（也叫汉明码）具有⼀位纠错能⼒。

本⽂以1010110这个⼆进制数为例解释海明码的编码和校验⽅法。

编码确定校验码的位数x 设数据有n位，校验码有x位。

则校验码⼀共有2x种取值⽅式。

其中需要⼀种取值⽅式表⽰数据正确，剩下2x-1种取值⽅式表⽰有⼀位数据出错。

因为编码后的⼆进制串有n+x位，因此x应该满⾜2x-1 ≥　n+x 使不等式成⽴的x的最⼩值就是校验码的位数。

在本例中，n=7，解得x=4。

确定校验码的位置校验码在⼆进制串中的位置为2的整数幂。

剩下的位置为数据。

如图所⽰。

位置1234567891011内容x1x21x3010x4110 求出校验位的值以求x2的值为例。

为了直观，将表格中的位置⽤⼆进制表⽰。

位置00010010001101000101011001111000100110101011内容x1x21x3010x4110 为了求出x2,要使所有位置的第⼆位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。

即x2^1^1^0^1^0 = 0。

因此x2 = 1。

同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置00010010001101000101011001111000100110101011内容01110100110 因此1010110的海明码为01110100110。

校验假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。

***1: 0^1^0^0^1^1 = 1 **1*: 1^1^1^0^1^1 = 1 *1**: 1^0^1^0 = 0 1***: 0^1^1^1 = 1 以上四组中，如果⼀组异或值为1，说明该组中有数据出错了。

***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。

海明码简单分析确定校验位个数海明码的码组长度需要符合：2^r – 1 （r代表校验位个数）为什么是这个公式呢？因为：只有这样才能保证校验位⾜够覆盖整个需要校验的码组。

海明编码实验报告

海明编码实验报告学科专业：计算机科学与技术姓名：学号：指导教师：天津工业大学计算机科学与技术学院二零一零年十二月一．海明编码原理海明码是一种可以纠正一位差错发现两位差错的编码。

它是利用在信息位为k 位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。

它必需满足以下关系式：２r>=n+1 或 2r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中 k为信息位位数r为增加冗余位位数2.海明码的生成与接收二．海明编码方法1）海明码的生成（顺序生成法）。

例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)求：海明码码字。

解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。

码位分别为1,2,4,8。

2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)A->1,3,5,7,9,11；B->2,3,6,7,10,11；C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)D->8,9,10,11,12。

3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：A=∑(0,1,1,0,1,0)=1B=∑(0,1,0,0,1,0)=0C=∑(0,1,0,0,0)=1D=∑(0,1,1,0,0)=04)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"2)海明码的接收。

例.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)求：发送端的信息码。

校验码（海明码）

校验码（海明码）
海明码⼀般指汉明码，与其他的错误校验码类似，汉明码也利⽤了的概念，通过在后⾯增加⼀些⽐特，可以验证数据的有效性。

利⽤⼀个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。

　确定校验码的位数x
设数据有n位，校验码有x位。

则校验码⼀共有2x种取值⽅式。

其中需要⼀种取值⽅式表⽰数据正确，剩下2x-1种取值⽅式表⽰有⼀位数据出错。

因为编码后的⼆进制串有n+x位，因此x应该满⾜
2x-1 ≥　n+x
使不等式成⽴的x的最⼩值就是校验码的位数。

在本例中，n=7，解得x=4。

就是说，当n=校验位的值的时候，X等于多少？
题⽬⼀般会说给出⼀定位数的数据。

⾸先根据下⾯这个表格，⼆进制次⽅表。

看看这个位数对应多少次⽅，只能⼤不能⼩
⽐如说32位的校验码。

根据上⾯的公式，2x ≥ 32+1+X ,将位数代⼊到N⾥。

将1移到右边。

简化公式就是：2x ≥ 33+X 根据这个简化公式，其实就可以理解为，2的多少次⽅可以⼤于等于33
根据2次⽅表就可以知道，6个次⽅！！
最后代⼊公式，26 ≥ 33+6 即26 ≥ 39 ，即X=6 就是说需要加⼊6位校验码
遇到此种题⽬，⾸先看给出的信息位是多少，⽐如16，那么2的多少个次⽅可以⽐16⼤？。

2的4次⽅刚好是16，2的5次⽅⽐16⼤。

那么就代⼊公式看看，答案是5次⽅。

奇偶效验码和海明码

原编码奇校验偶校验00000000 10000 000100010 00010 111001100 11100 010101010 11010 0垂直奇校验垂直偶校验原编码1010010110100101001101100011011011001100 11001100 1010101110101011校验码0000101111110100位置12345678910111213原始信息位11111奇偶效验码和海明码奇偶效验码奇偶校验码是奇校验码和偶校验码的统称。

它们都是通过在要校验的编码上加⼀位校验位组成。

奇校验码：加上校验位后,编码中 1 的个数为奇数个。

偶校验码：加上校验位后,编码中 1 的个数为偶数个。

⽔平奇偶效验码例：垂直奇偶效验码例：有32位数据 10100101 00110110 11001100 10101011缺点:只能检测出奇数位出错，且⽆法检测出哪位出错。

设原编码为0000，传输的过程中变成了1001。

若使⽤奇校验，原编码是00001，传输过后会变成10011，1仍然是奇数个，⽆法校验；如果使⽤偶校验，原编码是00000，传输过后会变成10010，1仍然是偶数个，同样⽆法校验。

海明码海明码也是利⽤奇偶性来校验数据的，它是⼀种多重奇偶校验检错系统。

通过在数据位之间插⼊k 个校验位，来扩⼤码距，从⽽实现检错和纠错。

注：码距指两个码组对应位上数字的不同位的个数。

假设数据位数为m ，向其（2的幂次⽅，如1，2，4，8……）各位插⼊k 位校验码，且满⾜m+k+1<2k 例：101101100，求海明码。

101101100，9+k+1<2k解得，k=4，即校验码位数为4位即得每个校验位校验了哪些位置： bit1=3,5,7,9,11,13 bit2=3,6,7,10,11 bit4=5,6,7,12,13 bit8=9,10,11,12,13通过原始信息位，对各位进⾏模2运算（异或：相同为0，不同为1）得： bit1=1，0，1，0，1，0=1 bit2=1，1，1，1，1=1 bit4=0，1，1，0，0=0 bit8=0，1，1，0，0=0得校验码分别为：1，1，0，0。

海明码的原理

3.海明码的计算
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。码字(Code Word)按如下方法构建： 1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置) 2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置) 3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…) 位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…) 位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…) 位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…) … 如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0. 举例说明：一个字节的数据：10011010 构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位): 位置1检查1,3,5,7,9,11: ? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 位置2检查2,3,6,7,10,11: 0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 位置4检查4,5,6,7,12: 0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0 位置8检查8,9,10,11,12: 0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 因此码字为: 011100101010. 查找并纠错一位错误上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置.

海明码

海明码一、海明码的定义海明码是一种可以纠正一位差错的编码。

它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。

它必需满足以下关系式：2r－1>=r+m 即：2r>=r+m+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r) 式中k为信息位位数，r为增加冗余位位数码字：一个帧包括m位数据，r个校验位，n=m+r，则此n比特单元称为n位码字。

海明距离：两个码字之间不同的比特数目。

例：00000000000000011111 的海明距离为5.（1）如果两个码字的海明距离为d，则需要d个单比特错就可以把一个码字转换成另一个码字。

（2）为了检查出d个错（单比特错），则需要使用海明距离为d+1的编码。

（3）为了纠正d个错，需要使用海明距离为2d+1的编码。

二、编码规则（2）位号为2的幂的位是校验位，其余是信息位（3）每个校验位强迫自己包括自己在内的一些位的奇偶值为偶数（或奇数）。

三、海明码的校验位排列规则海明码的校验位排列在2i-1（i＝1，2，3.……）的位置上。

海明码的计算海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。

码字(Code Word) 按如下方法构建：1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。

位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位(2,3,6,7,10,11,14,15,…)位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位(4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)…如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.举例说明：一个字节的数据：10011010构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):位置1检查1,3,5,7,9,11:? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置2检查2,3,6,7,10,11:0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置4检查4,5,6,7,12:0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0位置8检查8,9,10,11,12:0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0因此码字为: 011100101010.查找并纠错一位错误上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。

海明码的基本原理

一、海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。

它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。

它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数二、海明码的原理海明码是一种多重奇偶检错系统。

它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。

用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。

每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。

这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能指示出来在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。

海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。

海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。

一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错三、编码步骤(1)根据信息位数，确定校验位数，2^r >= k+r+1，其中，k为信息位数，r为校验位数。

hammin(汉明)码编码规则

计算机汉明码编码规则若编成的海明码为Hm，Hm-1…H2H1，则海明码的编码规律为：(1)校验位分布：在m位的海明码中，各校验位Pi分布在位号为2^(i-1)的位置，即校验位的位置分别为1，2，4，8，…，其余为数据位；数据位按原来的顺序关系排列。

如有效信息码为…D5D4D3D2D1，则编成的海明码为…D5P4D4D3D2P3D1P2P1。

(2)校验关系：校验关系指海明码的每一位Hi要有多个校验位校验，其关系是被校验位的位号为校验位的位号之和。

如D1(位号为3)要由P2(位号为2) 与P1(位号为1)两个校验位校验，D2(位号为5)要由P3(位号为4)与P1两个校验位校验，D3(位号为6)要由P2与P3两个校验位校验，D4(位号为7)要由P1，P2，P3三个校验位校验，……。

这样安排的目的是希望校验的结果能正确反映出出错位的位号。

(3)在增大合法码的码距时，使所有码的码距尽量均匀增大，以保证对所有码的校验能力平衡提高。

汉明距离在一个码组集合中，任意两个码字之间对应位上码元取值不同的位的数目定义为这两个码字之间的汉明距离。

即d(x,y)=∑x[i]⊕y[i]，这里i=0,1,..n-1，x,y都是n位的编码，⊕表示异或例如，(00)与(01)的距离是1，(110)和(101)的距离是2。

在一个码组集合中，任意两个编码之间汉明距离的最小值称为这个码组的最小汉明距离。

最小汉明距离越大，码组越具有抗干扰能力。

下面我们用d表示码组的最小汉明距离。

1。

当码组用于检测错误时，设可检测e个位的错误，则d >=e + 1设有两个距离为d的码字A和B，如果A出现了e个错误，则A变成了以A为圆心，e位半径的球体表面的码字。

为了能够准确地分辨出这些码字既不是A也不是B，那么A误码后变成的球面上的点与B至少应该有一位距离（如果B在球面上或在球面内部则无法分辨出到底B是不是A的错误码），即A与B之间的最小距离d >= e+1。

海明码详解(精)

海明码详解这两天也在研究海明码的问题，把我的理解说给你吧，按照我说的可以顺利得到海明码步骤：一、确定校验码的位数k二、确定校验码的位置三、数据的位置四、求出校验位的值首先，海明码的作用是：在编码中如果有错误，可以表达出第几位出了错，二进制的数据只有0和1，修改起来很容易，求反即可，这需要加入几个校验位。

重要的知识点：海明码的组成，不是简单的在后面加上校验位，海明码≠数据位+检验位那检验位该怎么加呢？它是根据总的位置来加的，加在【2的几次幂】的位置上，这个位置不是我们通常的从右向左数位置，刚好相反，是从左右如下图：P是校验位， D是数据位：原始的数据是：101101 校验位是插到了 1 2 4 8这几个位置上的。

位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1步骤一、确定校验码的位数k公式：m+k+1≤2^k (m是数据位的位数，K是要加的校验位的位数数据长是4位，校验码就是3位4+k+1≤2^kK最小只能是3数据长是5,6,7,8,9,校验码就是4位5+k+1≤2^kK最小就只能取4101101 数据位是6位，那校验位应该是4位，那总位数是：6+4=10位步骤二、确定校验码的位置位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1（图1）注意：【位置是从左----------右编码】（网上好多都反了，都是从右往左的，这应该是错的）校验位就插在2的幂次方的位置上。

4个检验位就是插到，2的0次方=1，2的1次方=2，2的2次方=4，2的3次方=8的位置上。

始上（图1）步骤三、数据的位置数据位置就按顺序写入进去就OK了，不要写到校验位就是的了。

步骤四、求出校验位的值也就是求图1中：p1 p2 p3 p4 的值。

那这几个数该如何求值呢？这里就要引进一个线性码的概念了，就是这4位校验码和图1中的那些位置上的数有关系呢？这里有一个进制转换的问题要先解决：因为是4位校验码，所以我们可以s4 s3 s2 s1 这个数来表示这个4位校验码，也就是p4 p3 p2 p1M1号位是十进制的1 转成四位二进制数就是：0001 即M1 和s1有关系同样的道理M2 变成四位二进制数： 0010 0010----s4 s3 s2 s1 s2的位置上是1 ，所以M2和S2有关系。