海明码及码距
海明码的计算（精）
海明码的计算（精）海明码的计算：码距：是不同码字的海明距离的最小值。
（1）可查出多少位错误：可以发现“≤码距-1”位的错误（2）可以纠正多少位错误：可以纠正“<码距/2”位的错误，因此如果要能纠正n位错误，则所需最小的码距是：2n+1。
计算：海明码是放置在2的幂次位上的即1,2,4,8,16,32,而对于信息位为m的原始数据，需加入k位的校验码，它满足m+k+1<.海明码的求法：一、有一种简单的方法，则是从第1位开始，遇到校验位留下空格。
如原始信息为101101100,并采用偶校验：1011011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13二、然后概据以下公式填充校验位：1，2，4，8B1=B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=1B2=B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1=1B4=B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0三、最后将结果填入，得到结果：11100110011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13海明码的纠错：如下给出一个加入了校验码的的信息，并说明有一位的错误，要找出错误位：11100110010001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13将B1，B2，B4，B8代入上式的公式中：B1=B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1 B2=B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1⊕0=1B4=B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1然后从高位往下写，B8+B4+B2+B1=1011=11（十进制）即11位出错。
纠错码原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种通过特定算法和编码方式，可以在数据传输过程中检测和纠正错误的技术。
它广泛应用于通信、存储、数字电视和计算机存储介质等领域，在保证数据完整性和可靠性的同时，提高了数据传输的效率。
本文将重点介绍纠错码的原理和方法。
一、纠错码的原理在数据传输过程中，由于信号传输过程中会受到干扰和噪声的影响，从而导致数据出现错误。
为保证数据的完整性和可靠性，需要引入纠错码技术进行校验和纠正。
纠错码的原理主要是通过添加冗余信息，对原始数据进行编码，从而在数据传输过程中进行误差检测和纠正。
二、纠错码的方法目前，常用的纠错码方法主要包括海明码、码距、循环冗余检验码(CRC)和卷积码等。
不同的方法在实际应用中表现各异，根据具体需求和数据特征选择适合的纠错码方法。
1. 海明码海明码是最早被广泛应用的纠错码方法之一，它通过将原始数据进行重复编码，添加奇偶校验位，从而实现了数据的纠错和检测。
海明码的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行二进制编码。
(2) 确定每个校验位控制的数据位，根据数据位反转次数的奇偶性确定校验位的值。
(3) 计算每个数据位和相应的校验位的奇偶性并组成一个编码。
(4) 将编码中出现错误的位置进行纠正。
2. 码距码距是另一种常用的纠错码方法，它通过在编码中保持相邻状态之间的距离，从而在数据传输过程中实现检测和纠正。
码距的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行编码。
(2) 确定编码之间的距离，当两个编码之间的距离超过指定的阈值时，可以检测和纠正数据的错误。
3. CRCCRC是一种不可逆的编码方式，它通过采用多项式除法的方法，对数据进行编码和校验。
它的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 选择一个固定的生成多项式，对原始数据进行除法运算，得到余数。
(2) 将余数追加到原始数据之后，形成校验码。
(3) 在数据传输过程中，对校验码进行取模运算，如果余数为0，则数据没有错误，否则存在错误，需要进行纠正。
奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC
1、奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题。
所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。
一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit ）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit 来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit 数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图图 1图 2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit 因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和图3检错能力。
码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
海明码，汉明码，hamming
海明码，汉明码，hamming code--计算法则最近最海明码很感兴趣，查了些资料，有⼀篇资料极好，所以贴出来，希望供有需求的⼈能有个参考。
1 海明码原理概述 海明码是R. Hamming提出的, ⼀种可以纠正⼀位错的差错控制编码。
了解海明码之前, 先回顾⼀下简单的奇偶校验码的情况。
若信息位为K=n- 1位, 表⽰为a1～an- 1, 加上⼀位偶校验位(冗余位)a0, 构成⼀个n位的码字a0～an- 1, 在接收端校验时, 可按关系式: s=a0+a1+a2+…an- 1来计算, 若S=0, 则⽆错, 若S=1, 则有错。
上式可称为监督关系式, S称为校正因⼦。
在奇偶校验情况下, 只有⼀个监督关系式和⼀个校正因⼦, 其取值只有两种(0或1),分别代表了⽆错和有错的情况, ⽽不能指出差错所在的位置。
不难想象, 若增加冗余位, 也相应地增加监督关系式和校正因⼦, 就能区分更多的情况。
如, 若有两个校正因⼦, 则其取值就有4种可能: 00、01、10或11, 就能区分4种不同情况。
若其中⼀种表⽰⽆错, 另外三种不但可以⽤来指出有错, 还可以⽤来区分错误的情况, 如指出是哪⼀位错等。
⼀般⽽⾔, 信息位为K位, 增加r位冗余位, 构成n=k+ r位码字。
若希望⽤r个监督关系式产⽣的r个校正因⼦来区分⽆错和在码字中的n个不同位置的⼀位错, 则表⽰:或。
2 构造海明码的冗余位和监督关系式的⽅法 按上述设计思路, 为了叙述清楚, 下⾯以信息位K=7来讨论海明码的冗余位和监督关系式的具体构造过程和⽅法。
因为且k=7, 所以≥4, 即⾄少需要4位冗余位(对应产⽣4个校正因⼦和4个监督关系式), 形成24=16种不同取值, ⽤其中11种分别表⽰⽆错和a0～a10中⼀位错的情况。
构造表如表1: 冗余码如下: a0=a8+a9+a10 (1) a1=a5+a6+a7 (2) a2=a4+a6+a7+a9 (3) a3=a4+a5+a7+a8+a10 (4) 监督关系式如下: s0=a0+a8+a9+a10 (5) s1=a1+a5+a6+a7 (6) s2=a2+a4+a6+a7+a9 (7) s3=a3+a4+a5+a7+a8 (8)3 构造校正因⼦和监督关系式时应遵循的原则 上表1中, 构造4个校正因⼦和4个监督关系式的过程中, 为了体现前⾯所述设计思想,应遵循如下原则: 图1中共有11列, 每⼀列应保证各不相同, 即s0 s1 s2 s3 的16种组合中, 取“0000”组合表⽰⽆错, 剩下15种中取其中11种⽤来表⽰a0～a10中某⼀位出错的情况, 所以,下表2有错, 因为a5 和a7 两列均为“0111”。
海明码及码距
三、海明校验
我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码。
海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示。
信息序号
二进码字
a2 a1 a0
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
图1Байду номын сангаас
信息序号
二进码字
a3 a2 a1 a0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
2 1 0 1 0
3 0 0 1 1
4 1 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 1 1 1 1
图2
注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit的差异。因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，就成为一个不用的码字，接收机能检查出来。例如信息是1001，误收为1011，接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。然而，差错不能被纠正。假定只有一个数位是错的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010。接收者不能确定原来到底是这4个码字中的那一个。也可看到，在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
海明码码距计算公式
海明码码距计算公式
海明码码距计算公式是用来计算两个海明码之间的差异度的一种方法。
海明码是一种用于错误检测和纠正的编码方式，它通过在数据中插入冗余位来检测和纠正错误。
而海明码码距则是衡量两个海明码之间的差异程度的度量。
海明码码距计算公式可以通过以下步骤来实现：
1. 将两个海明码进行异或操作，得到一个新的码字。
异或操作是将两个码字的对应位进行比较，如果相同则结果为0，如果不同则结果为1。
2. 统计新码字中1的个数，即为码距。
通过海明码码距计算公式，我们可以得到两个海明码之间的差异度。
差异度越大，表示两个码字之间的错误越多。
海明码码距计算公式的应用非常广泛，特别是在通信和数据存储领域。
它可以帮助我们检测和纠正由于传输或存储过程中引起的错误，提高数据的可靠性和完整性。
海明码码距计算公式是一种用于计算海明码之间差异度的方法，通过统计码字中1的个数来衡量两个码字之间的差异程度。
它在通信和数据存储领域有着广泛的应用，可以帮助我们提高数据的可靠性和完整性。
海明码
1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数[font class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;"id="bks_cu2htj1g"]2.[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"][font]海明码的原理[/font]在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。
海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。
海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。
一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7 [/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"]海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal;"] [/font]3.海明码的生成与接收特注：以下的+均代表异或方法一：1)海明码的生成。
海明校验码
例如：欲传递信息为b4b3b2b1(n=4)，根据 2k≥n+k+1，可求出配置成海明码需增添检测位 k=3，且它们位置的安排如下：
二进制序号 1 2 3 4 5 6 7
ห้องสมุดไป่ตู้名称
C1 C2 b4 C4 b3 b2 b1
如果按照配偶原则来配置海明码，则
C1 应使1,3,5,7位中的“1”的个数为偶数；
1234567
正确的海明码 0 1 0 0 1 0 1
接收到的海明码 0 1 0 0 1 1 1
则新的检测位为：
P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=0⊕1⊕1⊕1=1
P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=1⊕0⊕1⊕1=1
P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=0⊕0⊕1⊕1=0
• 由此可见，传送结果P4、P2均不呈偶数， 显然出了差错。那么，错位在哪一位呢？ 极为有意思的是，P4、P2、P1所构成的二 进制值恰恰是出错的位置，即P4P2P1=110， 表示第六位出错。发现错误后，计算机便 自动地将错误的第六位“1”纠正为“0”。
P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=C1⊕b4⊕b3⊕b1 P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=C2⊕b4⊕b2⊕b1 P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=C4⊕b3⊕b2⊕b1
设已知传送的正确海明码（按配偶原则配置）为 0100101，若传送后接收到的海明码为0100111， 其出错位可按下述步骤进行：
令：
二进制序号
• 又如，若收到按偶配置的海明码为1100101， 则经检测得：
P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=0⊕1⊕0⊕1=0 P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=1⊕0⊕0⊕1=0 P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=1⊕0⊕1⊕1=1 • 所以，出错位为：P4P2P1=001，即第一位。 可是第一位不是欲传送的信息位，而是检 测位，在一般情况下，可以不予纠正。
奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC(精)
1、奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题。
所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。
一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图图 1图 2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。
图3 码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
海明校验码（靠谱的解释）
海明校验码（靠谱的解释）
【定义】
海明码（Hamming Code）是利⽤奇偶性来检错和纠错的校验⽅法。
海明码的构成⽅法是在数据位之间的确定位置插⼊k个校验位，通过扩⼤吗距来实现检错和纠错。
对于数据位m的数据，加⼊k位的校验码,它应满⾜：
2^k>m+k+1
【例⼦】
设数据为01101001，试采⽤校验位求其偶校验⽅式的海明码。
（1）确定数据位D和校验位Ｐ在海明码中的位置：
由海明码编码规则可知：
p i在海明码的第2i-1
⽐如P4=2^(4-1)=8，所以位于第8位
（2）确定校验关系
这个难点在于如何确定校验位组。
举⼀个例⼦来说：H3=D0,海明码下标为3，我们必须⽤已知的校验位所对应的海明码下标（P1,P2,P3,P4，它们的海明码下标分别是1,2,4,8）来表⽰3，这⾥3就可以等于1+2。
H5为什么是1+4⽽不是2+3呢？因为H3不是校验位，是数据位。
⽐如P1 的校验位为表格中红⾊标记出来所对应的海明码的位数
故：P1校验：P1,D0,D1,D3,D4,D6
P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=1⊕0⊕1⊕0⊕1=1
⊕符号：代表异或，相同则为0，不同则为1。
只要仔细⼀定可以计算正确。
P2、P3、P4的海明码计算也是如此，关键是要找出正确的校验位组，所以海明校验码：011001001101。
海明码
CRC编码方法举例： G（X）=X4+X+1，欲发送的信息为 10110011，问在线路上传输的码字为什 么？
所加的冗余为的个数r=生成多项式的最高次幂 模2运算 当出现差错的码的多项式能被G（X）整除时， 错误就检测不出来， CRC不能保证检测出所有的错误
Building Blocks For CRC
I4 I3 I2 r2 I1 r1 r0
7 1
6 0
5 141源自3 021
1
信息比特 1 冗余比特
S2=r2+ I4+I3+I2= 1+1+0+1=1 S1=r1 + I4+I3 +I1=1+1+0+0=0 S0=r0 +I4+I2+I1=1+1+1+0=1
三个矫正因子不全为0，说明码字有错，错误的位置： S=S2S1S0 即将第5个比特位置上的1变为0
Example CRC Computation
• Input data is all 1 bits • CRC shown after 15, 16, and 17 bits shifted
• Feedback introduces zeroes in CRC
步骤四：计算校正因子
S2=r2+ I4+I3+I2 S1=r1 + I4+I3 +I1 S0=r0 +I4+I2+I1 结论：
如果没有错，校正因子都为0 如果校正因子不全为0，则有错，错误的位置 在S=S2S1S0处，将该比特取反的正确数据
海明码举例1： 已知信息I=1001，采用7-4海明码，则发送的码字 为什么？ 解：
海明码
海明码由R Hamming 在1950年提出的，它是一种可以纠正一位差错的编码。
用到的基础内容：1、二进制异或运算⊕2、奇偶校验3、码字4、海明距离码字：一个帧包括d个数据位，R个校验位，N=d+R，则此N比特单元称为N位码字海明距离（Hamming distance）：两个码字之间不同的比特的位数目。
也叫码距。
在奇偶校验情况下，只有一个监督关系式，一个校正因子，其取值只有两种（0或1），分别代表了无错和有错两种情况，而不能指出差错所在的位置。
所以人们想要增加冗余位，就相应地增加监督关系式和校正因子，就能区分更复杂的情况。
例如：若有两个（2位）校正因子，则其取值就有4钟可能：00、01、10或11，就能区分4种不同情况。
若其中一种表示无错，另外三种不但可以用来指出有错，还可用来区分错误的情况，如指出具体的码字是哪一位错等。
一般而言，数据位为D位，增加R位冗余位，构成N=D+R 位码字。
若希望用R个监督关系式产生的R个校正因子来区分无错和在码字中的N个不同位置的一位错，则要求：2R≧N+1或者2R≧D+R+1下面取信息位为6位时4位的纠错情况。
1、确定R的位数由2R≧D+R+1得R=4构成10位码字。
a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0其中：a9 a8 a7 a6 a5 a4位数据位a3 a2 a1 a0位冗余位，用于指出码字出错的错误位置。
a3 a2 a1 a0分别由4位数据位中的某几位异或计算而得到其值规定该码字纠错位编码规则为下表：码字传送后接收方接收码字为：D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10如此。
那么要生成海明码的具体算法怎么做呢？假设要计算D=101101这组二进制的海明码，按下面的步骤：1、自然是先确定校验码的位数R。
这里R=4，由前面的介绍可知。
2、确定检验码的位置。
这里设4位校验为P1、P2、P3、P4，信息位由左到右为：D1 D2 D3 D4 D5 D6编码后共6+4=10位，计为M1、M2、M4、…、M10校验码Pi取（i取0、1、2、3）在编码中的位置为2i对应如下表：3、确定数据的位置，对应填入就可以了4、求出冗余校验位的值数据位的位值可以由校验位的位值相加（+）计算得出：D1（3=2+1）= P2 + P1D2（5=4+1）= P3 + P1D3（6=4+2）= P3 + P2D4（7=4+2+1）= P3 + P2 + P1D5（9=8+1）= P4 + P1D6（10=9+1）= P4 + P2然后用异或⊕计算相关的校验位的值P1与D1、D2、D4、D5相关P1=D1⊕D2⊕D4⊕D5=1⊕0⊕1⊕0，P1=0P2与D1、D3、D4、D6 相关P2= D1⊕D3⊕D4⊕D6=1⊕1⊕1⊕1，P2=0P3与D2、D3、D4相关P3= D2⊕D3⊕D4=0⊕1⊕1，P3=0P4与D5、D6相关P4= D5⊕D6 =0⊕1，P4=1于是结果为：用海明编码的D1、D2、…、D6的码字M1、M2、M4、…、M10为：001 001 110 1小结：编写海明码的过程：1、确定校验位R的位数2、确定校验R各个位在码字中的位置3、确定数据位的位置4、计算校验R的各个位的值如果接收的数据出错要如何纠错呢？请接着往下看。
海明码距离及检错纠错问题和CRC校验
海明码距离及检错纠错问题和CRC校验海明校验码两个长度相等的字符串的海明距离是在相同位置上不同的字符的个数，也就是将⼀个字符串替换成另⼀个字符串需要的替换的次数。
海明距离与检错和纠错的关系:1.海明距离为d+1的编码能检测出d位差错。
因为在距离为d+1的检验码中，只改变d位的值，不可能产⽣另⼀个合法码。
如奇偶校验码，海明距离为2，能查出单个错。
2.海明距离为2d+1的编码，能纠正d位差错。
因为此时，如果⼀个码字有d位发⽣差错，它仍然距离原来的码字距离最近，可以直接恢复为该码。
（奇偶校验码，海明距离为2，可以检出单个错）纠正单⽐特错的冗余位下界,m为数据位数，r为校验位数 (m+R+1)≤2^r1.每⼀个码字从左到右编号，最左边为第1位2.校验位和数据位凡编号为2的乘幂的位是校验位，如1、2、4、8、16、……。
其余是数据位，如3、5、6、7、9、……。
3.每⼀个校验位设置根据：包括⾃⼰在内的⼀些位的集合的奇偶值(奇数或偶数)。
海明码纠错过程(只纠错1位)⾸先将差错计数器置“0”。
当海明码数据到达接收端后，接收端逐个检查各个校验位的奇偶性。
如发现某⼀校验位和它所检测的集合的奇偶性不正确，就将该检验位的编号加到差错计数器中。
待所有校验位核对完毕：若差错计数器仍为“0”值，则说明该码字接收⽆误。
⾮“0”值，差错计数器的值为出错位的编号，将该位求反就可得到正确结果。
循环冗余检错码CRC可以检测到所有长度⼩于等于r的突发错误⼴泛⽤于各种⽹络，⼏乎所有的局域⽹使⽤CRC编码时发送⽅和接收⽅必须预先商定⼀个⽣成多项式G(x),假设有⼀个m为的帧M(x)，使⽤G(x)⽣成的帧的步骤如下：假设G(x)的阶为r，那么M(x)在末尾添加r个0，得到 m+r位的位模式。
利⽤模2出发，⽤G(x)去除 ,得到对应的余数（总是⼩于等于r位）。
利⽤减去(模2减法)第2步中得到的余数，得到的位模式就是即将被传输的带校验和的帧⼩结：Sender在数据帧的低端加上r个零，对应多项式为XrM(x)采⽤模2除法，⽤G(x)去除XrM(x)，得余数采⽤模2减法，⽤XrM(x)减去余数，得到带CRC校验和的帧Receiver⽤收到的幀去除以G（x）为零：⽆错误产⽣。
码距
码距是对于一串编码(至少两个)来说的...
两个码组对应位上数字的不同位的个数称为码组的距离，简称码距，又称海明（Hamming）距离。
比如说到码A和码B的码距，就是看从A到B有几个2进制位翻转...
比如：
1100
1101之间码距为1，因为只有最低位翻转了。
而1001和0010之间码距则为3，因为只有1位没有变化。
在应用中，码距小的话，可以使得逻辑器件在输出各个编码是，有更少的触发器发生翻转，这样既提高效率，也减少功耗。
最后,格雷码的码距总是1，很NB
两个码组对应位上数字的不同位的个数称为码组的距离，简称码距，又称海明（Hamming）距离。
码距是编码体制里的一个概念。
两个代码之间不同位的个数称为这两个码字间的距离。
对于一个编码体制，将其中所有的合法码字的最小距离值称为这个编码体制的码距。
而校验码的目的就是为了扩大码距，通过校验规律来识别错误代码
8421码码距d=1无查错、纠错能力。
偶校验 1011001
1011011 码距d=1
d个单比特错就可以把一个码字转换成另一个码字，为了检查出d个错(单比特错)，需要使用海明距离为d+1的编码；为了纠正d个错，需要使用海明距离为2d+1的编码。
例如对于信息位长度为K，监督码长度为r，则要指示一位错的N(N=K+r)个可能位置，即纠正一位错，则必须满足如下关系：
2^r-1≥N=K+r
因此当信息位为5时，满足2^r-1≥K+r=5+r，则r=4。
海明码
1.海明码概念：海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
它必须满足以下瓜葛式：2^r=n+1或2^r=k+r+1。
海明码的编码效率为：R=k/(k+r)(式中k为信息位位数，r为增长冗余位位数)1.>表名称的词诠释：码字：表示一个帧包孕的k个数据位，r个校验位，n=k+r，则此n比特单元称为n位码字。
码距：两个码字之间差别的比特位数量。
例如，000与010的码距为1；000与110的码距为2；000与111的码距为3。
2.海明码的步骤：1.>0确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。
2．>原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。
选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。
3．>对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。
4．>如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
3海明码的编码规则1.>每一个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.>海明玛的每中央电视台位(Hi)是由多个/一个校验值进行校验的，被校验码的位置码是所有校验这位的校验位位置码之和。
4海明码的特点1.>如果两个码字之间的码距为d，则需要d个比特就可以把一个码字转换成另外一个码字2.>为了检查出d个纰缪(单比特错)，需要使用的码距为d+一个编码3.>为了纠正d个纰缪，需要使用码间隔为2d+1的编码5编码步调(1)按照信息位数，确定校验位数，2的k次方≥k+r+1，其中，k为信息位数，r 为校验位数。
海明码
海明码一、海明码的定义海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：2r－1>=r+m 即：2r>=r+m+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r) 式中k为信息位位数，r为增加冗余位位数码字：一个帧包括m位数据，r个校验位，n=m+r，则此n比特单元称为n位码字。
海明距离：两个码字之间不同的比特数目。
例：00000000000000011111 的海明距离为5.（1）如果两个码字的海明距离为d，则需要d个单比特错就可以把一个码字转换成另一个码字。
（2）为了检查出d个错（单比特错），则需要使用海明距离为d+1的编码。
（3）为了纠正d个错，需要使用海明距离为2d+1的编码。
二、编码规则（2）位号为2的幂的位是校验位，其余是信息位（3）每个校验位强迫自己包括自己在内的一些位的奇偶值为偶数（或奇数）。
三、海明码的校验位排列规则海明码的校验位排列在2i-1（i＝1，2，3.……）的位置上。
海明码的计算海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建：1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位(2,3,6,7,10,11,14,15,…)位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位(4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)…如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.举例说明：一个字节的数据：10011010构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):位置1检查1,3,5,7,9,11:? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置2检查2,3,6,7,10,11:0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置4检查4,5,6,7,12:0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0位置8检查8,9,10,11,12:0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0因此码字为: 011100101010.查找并纠错一位错误上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。
海明码距和检测位数关系
海明码距和检测位数关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠海明码距和检测位数的关系。
你想想啊，这海明码距就像是我们生活中的安全防线。
码距越大，就好像这防线越牢固，能抵御的“攻击”就越多。
而检测位数呢，就像是防线里的一个个小卫士。
比如说，我们把信息比作要保护的宝贝。
如果海明码距比较小，那就好比防线很脆弱，稍微有点风吹草动可能就被突破了，宝贝就有危险啦。
可要是海明码距大了呢，那可就不一样了，就像给宝贝围上了一层厚厚的铠甲。
检测位数也是很重要的呀！如果检测位数少，那不就相当于卫士少，能发现的问题也就有限。
但要是检测位数多了，那简直就是里三层外三层的保护啊，任何小毛病都很难逃过这些小卫士的眼睛。
你看啊，要是只有一两个检测位，那不就跟形同虚设差不多嘛，能起到多大作用呢？但如果有很多检测位，那可就大不一样啦，就跟一群警惕的小哨兵似的。
咱们再打个比方，海明码距就像是一个大网，网眼越大，能捞到的东西就越有限；网眼越小，能拦住的东西就越多。
而检测位数呢，就是这网上的线，线越多，网就越结实，越不容易破呀。
你说这海明码距和检测位数的关系是不是很奇妙呢？它们相互配合，才能让我们的信息传输更安全可靠呀。
如果只注重海明码距，而忽略了检测位数，那不就像只有坚固的城墙却没有尽职的士兵一样吗？反过来，如果检测位数很多，海明码距却很小，那也不行呀，这就好比有很多士兵但城墙却不牢固。
所以啊，我们在实际应用中，可不能只盯着一方面看，要综合考虑海明码距和检测位数，让它们共同发挥最大的作用，为我们的信息保驾护航。
不然，等出了问题可就麻烦啦，那损失可就大了去了。
我们得像爱护宝贝一样爱护我们的信息，让海明码距和检测位数这对好搭档好好为我们服务，不是吗？大家说是不是这个理儿呀！。
海明码
海明码.txtゅ你不用一上线看见莪在线，就急着隐身，放心。
莪不会去缠你。
说好的不离不弃现在反而自己却做不到╮海明码海明码是由R.HmIMI1ing在1950年首次提出的,它是一种可以纠正一位差错的编码。
可以借用简单奇偶校验码的生成原理来说明海明码的构造方法。
若k(=n-1)位信息位an-1an-2…a1加上一位偶校验位a0,构成一个n位的码字an-1an-2...a1a0,则在接收端校验时,可按关系式S=an-1+an-2+…+a1+a0来计算。
若求得S=0,则表示元错;若S=1,则有错。
上式可称为监督关系式,S称为校.正因子。
.在奇偶校验情况下,只有一个监督关系式和一个校正因子,其取值只有0或1两种情.况,分别代表元错和有错两种结果,还不能指出差错所在的位置。
不难设想,若增加冗余位,也即相应地增加了监督关系式和校正因子,就能区分更多的情况。
如果有两个校正因子.S1和S0,则S1S0取值就有00、01、10或11四种可能的组合,也即能区分四种不同的情况。
若其中一种取值用于表示无错(如00),则另外三种(01、10及11)便可以用来指出.不同情况的差错,从而可以进一步区分出是哪一位错。
设信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字。
若希望用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分元错和在码字中的n个不同位置的一位错,则要求满足以下关系式:2r>=n+1 或 2r>=k+r+1以k=4为例来说明,则要满足上述不等式,必须r>=3。
假设取r=3,则n=k+r=7,即在4位信息位a6a5a4a3后面加上3位冗余位a2a1a0,构成7位码字a6a5a4a3a2a1a0,其中a2、a1和a0分别由4位信息位中某几位半加得到,在校验时,a2、a1和a0就分别和这些位半.加构成三个不同的监督关系式。
在无错时,这三个关系式的值S2、S1和S0全为"0"。
若a2错,则S2=1,而S1=S0=0;若a1错,则S1=1,而S2=S0=0;若a0错,则s0=1,而S2=S1=0。
海明码及码距
海明码及码距海明码及码距一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示。
信息序号二进码字a2 a1 a00 0 0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 1 0 05 1 0 16 1 1 07 1 1 1图1信息序号二进码字a3 a2 a1 a00 0 0 0 01 1 0 0 12 1 0 1 03 0 0 1 14 1 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 1 1 1 1图2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit的差异。
因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，就成为一个不用的码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011，接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
假定只有一个数位是错的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010。
接收者不能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，码间最小距离必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
编码信息纠错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。
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海明码及码距一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示。
信息序号二进码字a2 a1 a00 0 0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 1 0 05 1 0 16 1 1 07 1 1 1图1信息序号二进码字a3 a2 a1 a00 0 0 0 01 1 0 0 12 1 0 1 03 0 0 1 14 1 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 1 1 1 1图2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit的差异。
因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，就成为一个不用的码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011，接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
假定只有一个数位是错的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010。
接收者不能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，码间最小距离必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
编码信息纠错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。
码距码能力检错纠错1 0 02 1 03 2 或14 2 加15 2 加26 3 加27 3 加3图3码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
例如，单个的奇偶校验将使码的最小距离由一增加到二。
一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性。
例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性。
同样，偶性码字具有偶数个1。
注意奇性检测等效于所有码元的模二加，并能够由所有码元的异或运算来确定。
对于一个n位字，奇性由下式给出：奇性=a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验。
例如，在图8-2 中，就是这样做的。
可以看出，附加码元d2，是简单地用来使每个字成为偶性的。
因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性。
奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。
因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。
再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1。
接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）。
若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。
但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。
接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）。
所以奇偶校验不能发现。
奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：偶校验位an =a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1，奇校验位an =NOT（a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1）。
在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。
原有信息中的数字在接收机中被检测，如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。
在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码。
现在考虑一个系统，它传输若干个长度为m位的信息。
如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验。
图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。
m位数字横向奇偶位n个码a1 a2 … am-1 am HP1b1 b2 … bm-1 bm HP2c1 c2 … cm-1 cm HP3…… … … … …n1 n2 … nm-1 nm HPnV P1 VP2 … VPm-1 VPm HPn+1纵向奇偶位图4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。
并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。
在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目。
一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）是奇校验还是偶校验。
并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）。
然后找只有一个未知数的行或列，根据校验性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数。
【例】2001年初级程序员试题由6 个字符的7 位ASCII 编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位，最后一行为垂直奇偶校验位）:字符7 位ASCII 码HP3 0 X1 X2 0 0 1 1 0Y1 1 0 0 1 0 0 X3 1+ X4 1 0 1 0 1 1 0Y2 0 1 X5 X6 1 1 1 1D 1 0 0 X7 1 0 X8 0= 0 X9 1 1 1 X10 1 1VP 0 0 1 1 1 X11 1 X12则X1 X2 X3 X4 处的比特分别为__(36)__ ；X5 X6 X7 X8 处的比特分别为____ ；X9 X10 XI1 X12 处的比特分别为__(38)__ ；Y1 和Y2 处的字符分别为__(39)__ 和__(40)__ 。
[解]从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验。
则：从第1列可知X4=0；从第3行可知水平也是偶校验。
从第2行可知X3=1；从第7列可知X8=0；从第8列可知X12=1；从第7行可知X11=1；从第6列可知X10=0；从第6行可知X9=1；从第2列可知X1=1；从第1行可知X2=1；从第3列可知X5=1；从第4行可知X6=0；从第4列（或第5行）可知X7=0；整理一下：(36) X1X2X3X4 = 1110(37) X5X6X7X8 = 1000(38) X9X10X11X12 = 1011(39) 由字符Y1的ASCII码1001001=49H知道，Y1即是“I”（由“D”的ASCII码是1000100=44H推得）(40) 由字符Y2的ASCII码0110111=37H知道，Y2即是“7”（由“3”的ASCII码是0110011=33H 推得）假如你能记住“0”的ASCII码是0110000=30H；“A”的ASCII码是1000001=41H，则解起来就更方便了。
三、海明校验我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。
实现这种纠正的方法之一是海明码。
海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：1、确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。
2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。
选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。
3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。
4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
校验位数的位数推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。
考虑长度为m位的信息，若附加了k 个校验位，则所发送的总长度为m+k。
在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。
这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k（2的K次幂）种不同状态。
这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。
于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。
于是导出下一关系：2k-1≥m+k码字格式从理论上讲，校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、…的位置上。
图5列出了m=4，k=3时，信息位和校验位的分布情况。
码字位置B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7校验位x x x信息位x x x x复合码字P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4图5 海明码中校验位和信息位的定位校验位的确定k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。
其中：P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P1、D1、D2、D4、…）位，（包括P1自己）P2负责校验海明码的第2、3、6、7、…（P2、D1、D3、D4、…）位，（包括P2自己）P3负责校验海明码的第4、5、6、7、…（P3、D2、D3、D4、…）位，（包括P3自己）对m=4，k=3，偶校验的例子，只要进行三次偶性测试。
这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位的位置上进行。
奇偶条件码字位置1 2 3 4 5 6 7 ABCxxxxxxxxxxxx图6 奇偶校验位置因此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0 得P1=D1⊕D2⊕D4B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0 得P2=D1⊕D3⊕D4C=B4⊕B5⊕B6⊕B7=0 得P3=D2⊕D3⊕D4若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位P1、P2、P3值。
和海明码，如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。
而图8中则列出了全部16种信息（D1D2D3D4=0000～1111）的海明码。
码字位置B1B2B3B4B5B6B7码位类型P1P2D1P3D2D3D4信息码---1校验位-1---编码后的海明码0111图7 四位信息码的海明编码P1 P2 D1 P3 D2 D3 D40 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 10 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 11 0 0 1 1 0 00 1 0 0 1 0 11 1 0 0 1 1 00 0 0 1 1 1 11 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 11 0 1 1 0 1 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 1 0 1 0 10 0 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1图8 未编码信息的海明码上面是发送方的处理在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0；B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0；C=B4⊕B5⊕B5⊕B7=0。