高等数学上册第五节 函数的微分及其应用优秀课件

y y f(x)
y
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
©
例3.设 y ex2 cos1 x
解:
，求 dy
d yco1d s(ex2)ex2d(c1 o)s
x
x
co s1e x2d( x2)e x2( sin1)d(1)
x
xx
ex2(2xcos11sin1)dx x x2 x
©
例4.设 y3x 32 x 31ln1x2arctanx, 求 dy
解:先化简
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
©
二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ywk.baidu.comy
dyAx 定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可且 导 A ， f(x0),即
d yf(x0) x
©
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证: “必要性”
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变式
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 ) A xo ( x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
(4) taxnx
©
例6. 半径为10 厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了0.05厘米，问面积达约增加了多少？
解: 以 A 、 r 分别表示圆片的面积及半径，
则 A r2
当 r 10 厘米， r0.05 厘米，时
面积的增量
A d A 2 r r 2 1 0 0 .0 5 （ ）厘米2
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
则 x0.1时，y0.331, dy 0.3
则 x0.01 时， y0.030301, dy 0.03
©
三、 微分运算法则 基本初等函数的微分公式 (见 P72表)
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
lim ylim (Ao( x))A x 0 x x 0 x
故 yf(x)在点 x 0 的可导, 且 f(x0)A
©
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
高等数学上册第五节 函数的微分及其应用 优秀课件
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
d yf(x0) x
“充分性”已知 yf(x)在点 x 0 的可导, 则
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
( lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f( x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 © 2) x与x0靠近 .
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) ex 1x
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
y f( x 0 ) x o ( x ) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
y1 x31 x31 2ln1(x2)arcxtan d yd(1)1d(1)1dln 1 (x2)d(arxc ) ta
x 3 x3 2
©
例+. 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s( sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
©
例7. 求 sin3013 的近似值 .