(完整版)多维随机变量及其分布习题及答案
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第三章
多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-
2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F
3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F
4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X
5、设随机变量的概率密度为
),(Y X ，则
.⎩
⎨
⎧<<<<--=其其
04
2,20)
6(),(y x y x k y x f =k 8
16、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.
),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则
1 .
),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰
∞+∞
-)(x f X
8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0
.
),(Y X X Y =ρX
Y
012
3j
P ⋅10
8
38
30
86
3
8
10
818
2⋅
i P 8
1838
38
1
9、如果随机变量的联合概率分布为
),(Y X Y
X
123
1619118
12
3
1αβ
则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .
βα,18
6
=
+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度
Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X
，的概率密度
.
=),(y x f 2
2221
y x e +-
π
Y X Z +==)(Z f Z 4
22
21x e
-π12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为
则 A =__1___。()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22二、证明和计算题
1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球
上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.
X Y ),(Y X 解： 031
}1,1{⋅=
==Y X P 31
131}2,1{=
⋅===Y X P 31
2132}1,2{=
⋅===Y X P 3
1
2132}2,2{=
⋅===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2X Y 号信箱的信数，求的联合分布律.
),(Y X 解：的可能取值为0,1,2,3
的可能取值为0,1,2,3
X Y
3
3
1
}0,0{===Y X P 33
3
}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P X
Y 12
10
312
3
1
3
1
3
31}3,0{=
==Y X P 333}0,1{=
==Y X P 3
32
3}1,1{⨯===Y X P
33
1
3}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3
23
3
}0,2{C Y X P === 333
}1,2{=
==Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33
1
}0,3{===Y X P 0
}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P X Y
123
271273273271
1273276273
2273273
00
327
1
000
3、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
⎩⎨
⎧≤+>+1
20
1
21
y x y x 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)- - = 11 1 + 0 = 1 < 0
- - - 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设，有⎰+∞=≥0
1)(,0)(dx x g x g 且⎪
⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,
0,0,][)
(2),(2
222y x y x y x g y x f π证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
),(y x f 证明：易验证
，又),(y x f 0≥=
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ),(dxdy
y
x y x g ⎰⎰
∞+∞
+++0
2
2
22)
(2π⎰⎰
⎰
∞+∞
+==21
)()
(2
dr r g rdr r g d π
θ