第3章多维随机变量及其分布习题解答

y)
=
⎧⎪ 3 ⎨2 ⎪⎩
e−3x， 0，
x
>
0, 0 ≤ y 其他
≤
2
7
（1）求边缘概率密度 pX (x), pY ( y) ；（2）求 Z = max{X ,Y} 的分布函数；（3）求概率 P{1/ 2 < Z ≤ 1} ．
pij = pi. ⋅ p. j (i, j = 1, 2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅) ．
2
13 ． 设
X
与Y
相互独立，分布函数分别为
FX
(
x)
=
⎧⎪1− e−x2 x ⎨ ⎪⎩ 0 x < 0
≥
0
，
FY
(
y)
=
⎧⎪1 − e−2 y2 ⎨ ⎪⎩ 0 y < 0
y
≥
0
，则
(X ,Y )
的联合分布函数为
F
(
x,
y)
=
⎧ ⎨
Ae−( x+2
y)
,
⎩ 0,
x
> 0, y > 其他
0
，（1）求常数
A
；
（2）求 P{X + 2Y ≤ 1} ．
∫ ∫ 解:
（1）由 A
∞⎡ 0 ⎢⎣
∞ 0
e−(
x+2
y ) dy ⎤⎥⎦dx
=
1
得
A
=
2
∫∫ ∫ ∫ （2） P{X + 2Y ≤ 1} =
p(x, y)dxdy =
1
dx
解：（1） X 与 Y 的边缘分布律如下表
Y
X
-1
0
1
0
0.07
0.18
0.15
1
0.08
0.32
0.2
P{X = i}
0.15
0.5
0.35
1 0.15 0.2
P{Y = j}
0.4 0.6
（2）由于 P{X = −1,Y = 0} = 0.07 ≠ P{X = −1}P{Y = 0} = 0.15× 0.4 ，所以 X 与Y
U = XY 的概率密度 pU (u) 为
pU (u) = FU′ (u) = 0.2 pY (u / 2) ⋅ (u / 2)′ + 0.8 pY (u / 3) ⋅ (u / 3)′
=
1 10
pY
(u
/
2)
+
4 15
pY
(u
/ 3)
29．设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的联合概率密度为
p(x,
=
1 3
⎛⎜⎝α
+
1 9
⎞ ⎟⎠
β +1/18
P(X
= 1,Y
= 3)
=
P( X
= 1)P(Y
= 3) ，即 1 18
=
1 3
⎛ ⎜⎝
β
+
1 18
⎞ ⎟⎠
5
解得
⎧α ⎨⎩β
= 2/9 = 1/ 9
⎧1
24．设
(
X
,
Y
)
的联合密度函数为
p
(
x,
y
)
=
⎪ ⎨
2
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 ，求 X 与Y 中至少
⎪⎩0 其它
有一个小于 1 的概率． 2
解： X 与 Y 中至少有一个小于 1 的概率为 2
P ({X
<1/
2} ∪ {Y
<1/
2})
=1−
P
⎧ ⎨
X
⎩
≥
1 2
,Y
≥
1⎫
2
⎬ ⎭
∫ ∫ = 1−
1 1 2
21
1 2
2
dxdy
=1− 3 = 5 88
25.
设 ( X ,Y ) 的联合概率密度为
p(x,
=
12
∫ ∫ （2） P{X ≤ 1/ 2} =
1 2
⎡
0 ⎢⎣
x 0
y 2 dy ⎤⎥⎦dx
=1 96
∫ （3）
pX
(x)
=
⎧⎪ x ⎨0 ⎪⎩0
y2dy, 0 <
=
⎧x3 ⎨ ⎩0
/
3
,0< x <1 , 其它
∫ （4）
pY
(
y)
==
⎧⎪ 1 ⎨y ⎪⎩0
y2dx, 0 < y , 其它
P{X = xi | Y = y j} =
pij (i = 1, 2, )
．
p. j
19．在整数 0 至 9 中先取一数 X 后不放回再取一数Y ，则在Y = k (0 ≤ k ≤ 9) 的条件下 X
的分布律为
P{X
=
i
|Y
=
k}
=
⎧⎪ 1 ⎨9
i ≠ k i = 0,1,
9
．
⎪⎩0 i = k
3
三．应用计算题 20．现有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品．从中随机抽取 2 次，每次抽取 1 件，
1− x
2 2e−(x+2 y)dy = 1− 2e−1
0
0
x+2 y≤1
26．设 X 与 Y 相互独立， X与Y 的概率密度分别为
p
X
(
x)
=
⎧1, ⎨⎩0,
0≤ x ≤1， 其他
pY
(
y
)
=
⎧8 ⎨ ⎩
y, 0,
0 < y <1/ 2 其他
（1） ( X ,Y ) 的联合概率密度 p(x, y) ；（2）求 P{X > Y} ．
y
)
=
⎧⎪(1 ⎨
−
e−
x2
)(1
−
e−2
y2
)
x ≥ 0,y ≥ 0
．
⎪⎩ 0
其它
14 ． 设 ( X ,Y ) 的 联 合 分 布 密 度
p
(
x,
y
)
=
⎧⎪2e−( ⎨
2
x+
y
)
x > 0, y > 0 ， 则
⎪⎩ 0
其它
P{X > 1,Y > 2}=
e−4
．
15 ． 设
X1,
X2,
X3
相互独立，且
6．掷两颗均匀骰子， X 与Y 分别表示第一和第二颗骰子所出现点数，则
P{X = Y}=_____1/6_________．
7 ． 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 联 合 分 布 函 数 F (x, y) 的 定 义 是 对 任 意 实 数 x, y ，
F (x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) ．
0.2
0.8
解：U = XY 的分布函数为
FU (u) = P( XY ≤ u) = P( X = 2)P(Y ≤ u / 2 | X = 2) + P( X = 3)P(Y ≤ u / 3 | X = 3)
= 0.2P(Y ≤ u / 2) + 0.8P(Y ≤ u / 3) = 0.2FY (u / 2) + 0.8FY (u / 3)
解：（1）由于 X 与Y 相互独立，所以 ( X ,Y ) 的联合概率密度 p(x, y) 为
p( x,
y)
=
pX
(x) pY ( y)
=
⎧8 y, ⎨
⎩
0 ≤ x ≤ 1, 0 < y < 1/ 2
0,
其他
∫ ∫ （2） P{X > Y} =
1/2 ⎡ 0 ⎢⎣
1 y
8
ydx
⎤⎥⎦dy
=
2 3
27. 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
P{Xi
>
x}
=
1
⎛⎜⎝1
+
x 2
⎞2 ⎟⎠
0 ≤ x < +∞, i = 1, 2,3 ， 则
P{X1 > 4, X 2 > 4, X3 > 4} =
1 729
．
16．设 X 与Y 相互独立，且 P{X = 0} = P{Y = 0} = 1 , P{X = 1} = P{Y = 1} = 2
3
3
X
Y
1
1
1/6
2
3
1/9
1/18
2
1/3
解： X 与 Y 的边缘分布律如下表
X
Y
1
α
2
3
β P(X = i)
1
1/6
1/9
1/18
1/3
2
1/3
α
β
α + β +1/3
P(Y = j)
1/2
α +1/9
由于要求 X 与 Y 相互独立，所以有
P(X
= 1,Y
=
2) =
P( X
= 1)P(Y
=
2) ，即 1 9
D．1− F (2, +∞) − F (−∞, 3) + F (2, 3) ．
2．设随机变量 X ， Y 相互独立，其分布律为：
X
0
2
Y
0
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
则下列各式正确的是( D )．
A． X = Y ．
B． X + Y = 2 X ．