第三章 多维随机变量及其分布优秀课件
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如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可 列无限多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。
二维离散型随机变量的概率函数
称P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2, … 为(X,Y)的概率函数。列成表格
X Y
x1 x2 … xn …
y1
p11
p12
…
p1n
…
… ……………
ym
pm1
pm2
y (x, y)
o
x
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义
y
y2
y1
o x1
x2
x
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)
联合分布函数的性质
(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y， 当x2>x1时F(x2,y) ≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2>y1 时，F(x,y2) ≥F(x,y1)。
二维随机变量
设X1,X2, …Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量， 则向量(X1,X2, …Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。
当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y).
二维随机变量的分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函 数：
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y 的联合分布函数。
P {( X ,Y ) G } f ( x , y )dxdy .
G
[注意]
n维随机变量
设E是一个随机试验，它的样本空间S ={e}，设X1= X1(e), X2= X2(e) ,…,Xn= Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成 的一个n维向量(X1,X2, …Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。
j
j
p . j P { Y y j} P { X x i,Y y j} p ij j 1,2,
i
i
二维离散型随机变量的边缘分布
离散型随机变量的边缘分布函数为:
F X (x)F (x, )P { Xx,Y } p ij
xk xj 1
F Y(y)F ( ,y)P { X ,Yy } p ij
二维随机变量的分布函数
对于任意n个实数x1,x2, …xn，n元函数： F(x1,x2, …xn)=P{X1 ≤ x1 , X2≤ x2 , … , Xn ≤ xn, …} 称为n维随机变量(X1,X2, …Xn)的分布函数，或称为随机变量 X1,X2, …Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数 类似的性质。
(2)0 F(x, y) 1,且
limF(x, y) 0, limF(x, y) 0
x
y
lim F(x, y) 0, lim F(x, y) 1
x , y
x , y
(3)F(x, y)关于x右连续，关y也 于右连续；
(4)对 任 意(点x1, y1),(x2, y2)， 若x1 x2, y1 y2， 则 F(x2, y2)F(x2, y1)F(x1, y2)F(x1, y1) 0.
(3)在 F ( x, y)连续点，有
2 F ( x , y ) / xy f ( x , y )；
(4)在矩形域 (a x b, c x d )上，有
bd
P {a X b, c Y d } a c f ( x , y )dxdy
在任意平面域 G上，( X ,Y )取值的概率
第三章 多维随机变量及其分 布
§1 二维随机变量
为什么需要讨论多维随机变量？
前两章,我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问 题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的 随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育 情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到 他的身高H和体重W。在这里，样本空间S={e}＝{某地区的全 部学龄前儿童}，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而 横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
xy
F(x,y) f(u,v)dudv
则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为(X,Y)的 概率密度函数（或联合密度函数）。
二维连续性随机变量概率密度函数的性质
由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：
(1)f(x,y)≥0；
(2)
f ( x , y )dxdy F ( , ) 1
边缘分布函数可由F(X,Y)确定;
X Y
x1
x2
… xn
…
y1
p11
p12
…
p1n
…
…
……………
ym
pm1
pm2
…Hale Waihona Puke Baidu
pmn
…
…
……………
事件X=xi可以看成互不相容事件(X=xi, Y=yj) (j=1,2,…)的和,因此,按概率的加法原理,得:
p i . P { X x i} P { X x i,Y y j} p ij i 1,2,
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数F(X,Y);
但X, Y也是随机变量,也分别有分布函数,记 为:FX(x)与FY(y); 分别它们为二维随机变量(X,Y) 关于X,Y的边缘分布函数.
分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x), FY(y); fX(x), fY(y); pi. p.j
[思考]
1, xy0 G(x)0, xy0
问G(x,y)能否作为分布函数？ 答 不能。
虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个 性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，
G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-1<0
二维离散型随机变量的概念
yk yi 1
二维随机变量的边缘分布
…
pmn
…
… ……………
称联合分布律。 概率函数pij满足
pij 0,
pij 1
i1 j1
二维离散型随机变量的分布函数
二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为
F(x,y)pij xixyjy
二维连续型随机变量、概率密度函数
如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在 非负可积函数f(x,y)，使对于任何实数x,y，有
二维离散型随机变量的概率函数
称P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2, … 为(X,Y)的概率函数。列成表格
X Y
x1 x2 … xn …
y1
p11
p12
…
p1n
…
… ……………
ym
pm1
pm2
y (x, y)
o
x
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义
y
y2
y1
o x1
x2
x
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)
联合分布函数的性质
(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y， 当x2>x1时F(x2,y) ≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2>y1 时，F(x,y2) ≥F(x,y1)。
二维随机变量
设X1,X2, …Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量， 则向量(X1,X2, …Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。
当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y).
二维随机变量的分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函 数：
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y 的联合分布函数。
P {( X ,Y ) G } f ( x , y )dxdy .
G
[注意]
n维随机变量
设E是一个随机试验，它的样本空间S ={e}，设X1= X1(e), X2= X2(e) ,…,Xn= Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成 的一个n维向量(X1,X2, …Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。
j
j
p . j P { Y y j} P { X x i,Y y j} p ij j 1,2,
i
i
二维离散型随机变量的边缘分布
离散型随机变量的边缘分布函数为:
F X (x)F (x, )P { Xx,Y } p ij
xk xj 1
F Y(y)F ( ,y)P { X ,Yy } p ij
二维随机变量的分布函数
对于任意n个实数x1,x2, …xn，n元函数： F(x1,x2, …xn)=P{X1 ≤ x1 , X2≤ x2 , … , Xn ≤ xn, …} 称为n维随机变量(X1,X2, …Xn)的分布函数，或称为随机变量 X1,X2, …Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数 类似的性质。
(2)0 F(x, y) 1,且
limF(x, y) 0, limF(x, y) 0
x
y
lim F(x, y) 0, lim F(x, y) 1
x , y
x , y
(3)F(x, y)关于x右连续，关y也 于右连续；
(4)对 任 意(点x1, y1),(x2, y2)， 若x1 x2, y1 y2， 则 F(x2, y2)F(x2, y1)F(x1, y2)F(x1, y1) 0.
(3)在 F ( x, y)连续点，有
2 F ( x , y ) / xy f ( x , y )；
(4)在矩形域 (a x b, c x d )上，有
bd
P {a X b, c Y d } a c f ( x , y )dxdy
在任意平面域 G上，( X ,Y )取值的概率
第三章 多维随机变量及其分 布
§1 二维随机变量
为什么需要讨论多维随机变量？
前两章,我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问 题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的 随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育 情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到 他的身高H和体重W。在这里，样本空间S={e}＝{某地区的全 部学龄前儿童}，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而 横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
xy
F(x,y) f(u,v)dudv
则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为(X,Y)的 概率密度函数（或联合密度函数）。
二维连续性随机变量概率密度函数的性质
由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：
(1)f(x,y)≥0；
(2)
f ( x , y )dxdy F ( , ) 1
边缘分布函数可由F(X,Y)确定;
X Y
x1
x2
… xn
…
y1
p11
p12
…
p1n
…
…
……………
ym
pm1
pm2
…Hale Waihona Puke Baidu
pmn
…
…
……………
事件X=xi可以看成互不相容事件(X=xi, Y=yj) (j=1,2,…)的和,因此,按概率的加法原理,得:
p i . P { X x i} P { X x i,Y y j} p ij i 1,2,
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数F(X,Y);
但X, Y也是随机变量,也分别有分布函数,记 为:FX(x)与FY(y); 分别它们为二维随机变量(X,Y) 关于X,Y的边缘分布函数.
分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x), FY(y); fX(x), fY(y); pi. p.j
[思考]
1, xy0 G(x)0, xy0
问G(x,y)能否作为分布函数？ 答 不能。
虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个 性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，
G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-1<0
二维离散型随机变量的概念
yk yi 1
二维随机变量的边缘分布
…
pmn
…
… ……………
称联合分布律。 概率函数pij满足
pij 0,
pij 1
i1 j1
二维离散型随机变量的分布函数
二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为
F(x,y)pij xixyjy
二维连续型随机变量、概率密度函数
如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在 非负可积函数f(x,y)，使对于任何实数x,y，有