第三章 多维随机变量及其分布优秀课件
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第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
概率论与数理统计完整课件-第三章多维随机变量及其分布
密度函数的关系:在 f ( x, y) 的连续点处，有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
例: 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
kx 0 x y 1 f ( x, y) . 0 其他
求:(1)常数 k;
解 (1)由
(2)
( (,) X YG ) P ( 证 P ( x x , yy ) ) i j
x x , y y i j
P ( xx , y y ) p i j i j
( x , y ) G i j ( x , y ) G i j
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求 （X， Y） 的联合分布律及 P( X 3, Y 2) .
1 2 2 x 1, y 1 f ( x, y) x y , 0 其它
求 ( X , Y ) 的联合分布函数.
(x ,y ) f ( uvd , )u d v 解 由 F
x y
当 x 1 或 y 1 时, f (x, y) 0 则
F(x, y) 0
y x
当x>1,y>1时,
1 1 1 F ( x ,) y f ( u ,) v d u d v d u d v ( 1) ( 1 ) 2 2 u v x y 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) x 1 , y 1 y F (x ,y ) x 0 其 它
§2 二维连续性随机变量
§2.1二维随机变量的联合分布函数
定义: 设(X,Y) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数
2019年多维随机变量及其分布.ppt
有
{YX}={(X, Y)G}, 其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分, 于是
P{Y X } P{(X ,Y ) G} f (x, y) d x d y
G
2 e-(2x y) d x d y 1 .
0y
3
21
y
O x
G
22
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到 n(n>2)维随机变量的情况. 一般, 设E是一个 随机变量, 它的样本空间是S={e}, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ..., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变 量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1, X2, ..., Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.
求例1中随机变量X和Y的联合分布函数.
解:由例1 所求的随机变量X和Y的联合分布律 得随机变量X和Y的联合分布函数为:
13
0
1
4
3
F
X
,Y
8 4
8
11
1264
24
当x 1或y 1
18
当1 x 2且y 1
24 25
当2 x 3且1 y 2 当2 x 3且y 2
14
二. (X, Y)是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X, Y)
的分布函数F(x, y), 如果存在非负的函数f(x, y)使对 于任意x, y有
yx
F (x, y)
f (u, v) d u d v,
- -
则称(X, Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x, y)称为二维随机变量(X, Y)的概率密度, 或称 为随机变量X和Y的联合概率密度.
三章节多维随机变量及其分布.ppt
P X 1或 2 | Y 1
0.0375 0.035 0.6444 0.1125
15
（三）条件分布
对 于 两 个 事 件 A , B ， 若 P ( A ) 0 , 可 以 考 虑 条 件 概 率 P ( B |A ) ，
对 于 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X ,Y )， 设 其 分 布 律 为 P (Xxi， Yyj)p ij i,j 1 ,2 ,
P (X x i) P (X x i， Y ) p ij= =p i•i 1 ,2 , j 1
11
注意：记号pi•表示是由pij关于j求和 后得到的；同样p•j是由pij关于 i求和后得到的.
X Y y1
x1
p 11
x2
p 21 …
…
xi
p i1
…
…
P Y yj p·1
y2 … yj … PX xi
第三章 多维随机变量及其分布 关键词：二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布
1
二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研 究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够 的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值， 研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义 在同一样本空间的两个随机变量。
e S
x
§1 二维离散型随机变量
（一）联合概率分布
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是 离散型随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律：
为二维离散型随机变量(X,Y) X Y y1
的联合概率分布律。可以用
x 1 p11
x 2 p21
0.0375 0.035 0.6444 0.1125
15
（三）条件分布
对 于 两 个 事 件 A , B ， 若 P ( A ) 0 , 可 以 考 虑 条 件 概 率 P ( B |A ) ，
对 于 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X ,Y )， 设 其 分 布 律 为 P (Xxi， Yyj)p ij i,j 1 ,2 ,
P (X x i) P (X x i， Y ) p ij= =p i•i 1 ,2 , j 1
11
注意：记号pi•表示是由pij关于j求和 后得到的；同样p•j是由pij关于 i求和后得到的.
X Y y1
x1
p 11
x2
p 21 …
…
xi
p i1
…
…
P Y yj p·1
y2 … yj … PX xi
第三章 多维随机变量及其分布 关键词：二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布
1
二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研 究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够 的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值， 研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义 在同一样本空间的两个随机变量。
e S
x
§1 二维离散型随机变量
（一）联合概率分布
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是 离散型随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律：
为二维离散型随机变量(X,Y) X Y y1
的联合概率分布律。可以用
x 1 p11
x 2 p21
第3章 多维随机变量及其分布
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
列表为：
X
0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
则称 (X, Y) 服从二维正态分布， 2 2 记为 (X, Y) N ( 1, 2 , 1 , 2 , ) .
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第27页
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) 0. (2) (非负性)
+
+
p( x, y ) d x d y 1 (正则性)
注意：P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy, D R2 .
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第13页
列表为：
X1 0 1
X2
0 0.0455
0
1 0.2719
0.6826
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第14页
课堂练习
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
列表为：
X
0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0
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第三章 多维随机变量及其分布
则称 (X, Y) 服从二维正态分布， 2 2 记为 (X, Y) N ( 1, 2 , 1 , 2 , ) .
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第三章 多维随机变量及其分布
第27页
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第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
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第三章 多维随机变量及其分布
第16页
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) 0. (2) (非负性)
+
+
p( x, y ) d x d y 1 (正则性)
注意：P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy, D R2 .
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列表为：
X1 0 1
X2
0 0.0455
0
1 0.2719
0.6826
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第三章 多维随机变量及其分布
第14页
课堂练习
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能
概率论与数理统计Chapter+3多维随机变量及其分布.ppt
P{X i}p{Y j|X i}141i, i1,2,3,4, j1, i.
(X ,Y)关于X的边缘分布律为
p{X i} ji 1pij ji 11i1414, i1,2,3,4.
(X ,Y)关于Y的边缘分布律为
p1 j
p2
j
p3
j
p4
j
25 48
,
j 1
p2 j p3 j p4 j 1438, j2
类似一维情形,在 f (x,y)的连续点处
lim x0,y0
p{x
X
xx, y Y xy
yy}
2F(x, xy
y)
f
(x,
y).
从而当x,y很小时 p{x X xx,yY yy} f (x,y)xy.
即(x,y)落在小长方形(x,xx](y, yy]内的
概率 f (x,y)xy. 例2:设随机变量(X ,Y)具有概率密度
0,
else
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
6, x2 y x. f (x, y)
0, else.
求边缘概率密度.
解：确定区域： x 2
y
x
0 y 1
0 x 1 y x y
fX (x)
f
(x,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)dy
x 6dy 6(x x2 ), 0 x 1
x2
这些随机变量之间有某种联系,需要作为一 个整体来考虑.
X (e)
e S
Y (e)
§1.二维随机变量
一. 二维随机变量的定义: 设为E随机实验,样本空间是 S {e},设
X X (e)和Y Y(e)是定义在S的随机变量， 由它们构成的一个向量( X ,Y )，叫做二维随 机向量或二维随机变量
(X ,Y)关于X的边缘分布律为
p{X i} ji 1pij ji 11i1414, i1,2,3,4.
(X ,Y)关于Y的边缘分布律为
p1 j
p2
j
p3
j
p4
j
25 48
,
j 1
p2 j p3 j p4 j 1438, j2
类似一维情形,在 f (x,y)的连续点处
lim x0,y0
p{x
X
xx, y Y xy
yy}
2F(x, xy
y)
f
(x,
y).
从而当x,y很小时 p{x X xx,yY yy} f (x,y)xy.
即(x,y)落在小长方形(x,xx](y, yy]内的
概率 f (x,y)xy. 例2:设随机变量(X ,Y)具有概率密度
0,
else
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
6, x2 y x. f (x, y)
0, else.
求边缘概率密度.
解：确定区域： x 2
y
x
0 y 1
0 x 1 y x y
fX (x)
f
(x,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)dy
x 6dy 6(x x2 ), 0 x 1
x2
这些随机变量之间有某种联系,需要作为一 个整体来考虑.
X (e)
e S
Y (e)
§1.二维随机变量
一. 二维随机变量的定义: 设为E随机实验,样本空间是 S {e},设
X X (e)和Y Y(e)是定义在S的随机变量， 由它们构成的一个向量( X ,Y )，叫做二维随 机向量或二维随机变量
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第3章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度Z=Y/X及Z=XY的概率密度M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度例：研究某一地区学龄儿童的发育情况。
仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间（即某地区全部学龄前儿童）的两个随机变量。
问题的提出实际中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。
每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
S ey()()(),X e Y ex(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于X,Y间的相互关系，需将(X,Y)作为整体研究二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数x , y ，二元函数称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
{}(,)()()(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成1、定义：若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标，则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率2、几何意义：(X ,Y )落在矩形区域[x 1<x ≤x 2, y 1<y ≤y 2]上的概率为x 1x 2yy 1y 20xy(x,y )1212(,)P x x x y y y <≤<≤()()()()22211211,,,,F x y F x y F x y F x y --+=3、性质：1212,(,)(,)y x x F x y F x y <⇒≤任意固定当x 1x 2(x 1,y )(x 2,y )yy 2xy 1(x ,y 1)(x ,y 2)1212,(,)(,)x y y F x y F x y <⇒≤任意固定0(,)1F x y ≤≤ (,)0 (,)0(,)0,(,)1y F y x F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=对任意固定，对任意固定，(1) 不减性:F (x , y )关于x , y 单调不减，即(2) 有界性:且(3) 右连续性0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=(),,F x y x y 关于右连续，即：()222112111212(,)(,)(,)(,),0F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y --+=<≤<≤≥ 1x 2x 1y 2y 01212,,x x y y <<若则22211211(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥(4)三、二维离散型随机变量及其分布律1、定义：,,,,21m x x x X 的可能值为设,,,,21n y y y Y 的可能值为中心问题：(X ,Y )取这些可能值的概率分别为多少？若二维随机变量（X ,Y ）所有可能的取值是有限对或可列无限对，则称（X ,Y ）是二维离散型随机变量。
概率论与数理统计(浙大版)第三章课件多维随机变量及其分布
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y,
如果存在非负函数f x, y，使对于任意x, y，
kxy, 0 x y 1
y
f (x, y) 0, 其他
1
(1) 求常数k；(2) 求概率 P( X Y 1)
yx
解：
1 利用
f (x, y)dxdy 1
0
得：1
f (x, y)dxdy
1
y
kxydxdy
00
x
1 k y3dy k k 8
02
8
2 P(X Y 1)
x2 p21 p22 p23
p j p1 p2 p3
pi1
i 1
pi3
i 1
pi
p 1
p1 j
j 1
p2 p2 j
j 1
1
例: 求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的 边缘分布律.
X0
Y
1
2
3 p. j
1
0 3/8 3/8 0 6
8
3
1/8 0 0 1/8 2
8
pi. 1
0.5
例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机
变量(X,Y)具有概率密度
1 A, (x, y) G
f (x, y) 0 , 其他
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
第3章 多维随机变量及其分布
0，
x 0, y 0，求(1)A ? 其它
(2)( X ,Y )的联合分布函数; (3)P{Y X }; (4)P{ X 1}.
解(1)由 f ( x, y)dxdy 1，得
y
1=
f ( x, y)dxdy=
dx
Ae (2 x y)dy
0
0
O
x
A
e2 xdx
(X1, X2, , Xn) 本章主要以二维随机变量 ( X ,Y ) 为例进行讨论。
3
第一节 二维随机变量的联合分布
1、联合分布函数
定义1 设( X ,Y )是二维随机变量, 对于任意实数x, y, 称二元函数
F ( x, y) P{X x，Y y}
为二维随机变量( X ,Y )的分布函数或X和Y的联合分布函数。
（乘法公式）
P{Y y j }P{ X xi Y y j }；
(2) ( X ,Y )的联合分布函数为F ( x, y) P{ X x,Y y} p ij xi x y j y
8
例1 箱子中有10张彩票，其中3张可中奖，甲乙二人先后各抽取
一张彩票，定义两个随机变量X ,Y：
则称( X ,Y )是连续性二维随机变量，并将f ( x, y)称为( X ,Y )的联
合概率密度函数.
概率密度f ( x, y)的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)
f ( x, y)dxdy F (, ) 1;
10
(3)若f ( x, y)连续, 则F ( x, y)偏导存在且 2F ( x, y) f ( x, y); xy
0
e ydy
0
e2 x
A
2
0
(ppt) 第三章 多维随机变量及其分布
14 August 2013
D
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章 多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示 随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域 内的概率.
14 August 2013
第三章 多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y
x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
18
联合概率密度函数的基本性质
D
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章 多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示 随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域 内的概率.
14 August 2013
第三章 多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y
x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
18
联合概率密度函数的基本性质
浙大概率论与数理统计课件第三章多维随机变量及其分布
PXxi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
j1
i1,2,
Xxij 1 Xxi,Yyj
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
PYyj PX x i,Yyj p ijp .j
i 1
i 1
j1,2,
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2
=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
3 2
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…
pmn
…
… ……………
称联合分布律。 概率函数pij满足
pij 0,
pij 1
i1 j1
二维离散型随机变量的分布函数
二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为
F(x,y)pij xixyjy
二维连续型随机变量、概率密度函数
如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在 非负可积函数f(x,y)，使对于任何实数x,y，有
边缘分布函数可由F(X,Y)确定;
X Y
x1
x2
… xn
…
y1
p11
p12
…
p1n
…
…
……………
ym
pm1
pm2
…
pmn
…
…
……………
事件X=xi可以看成互不相容事件(X=xi, Y=yj) (j=1,2,…)的和,因此,按概率的加法原理,得:
p i . P { X x i} P { X x i,Y y j} p ij i 1,2,
xy
F(x,y) f(u,v)dudv
则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为(X,Y)的 概率密度函数（或联合密度函数）。
二维连续性随机变量概率密度函数的性质
由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：
(1)f(x,y)≥0；
(2)
f ( x , y )dxdy F ( , ) 1
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数F(X,Y);
但X, Y也是随机变量,也分别有分布函数,记 为:FX(x)与FY(y); 分别它们为二维随机变量(X,Y) 关于X,Y的边缘分布函数.
分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x), FY(y); fX(x), fY(y); pi. p.j
y (x, y)
o
x
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义
y
y2
y1
o x1
x2
x
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)
联合分布函数的性质
(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y， 当x2>x1时F(x2,y) ≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2>y1 时，F(x,y2) ≥F(x,y1)。
二维随机变量
设X1,X2, …Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量， 则向量(X1,X2, …Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。
当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y).
二维随机变量的分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函 数：
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y 的联合分布函数。
(3)在 F ( x, y)连续点，有
2 F ( x , y ) / xy f ( x , y )；
(4)在矩形域 (a x b, c x d )上，有
bd
P {a X b, c Y d } a c f ( x , y )dxdy
在任意平面域 G上，( X ,Y )取值的概率
P {( X ,Y ) G } f ( x , y )dxdy .
G
[注意]
n维随机变量
设E是一个随机试验，它的样本空间S ={e}，设X1= X1(e), X2= X2(e) ,…,Xn= Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成 的一个n维向量(X1,X2, …Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。
j
j
p . j P { Y y j} P { X x i,Y y j} p ij j 1,2,
i
i
二维离散型随机变量的边缘分布
离散型随机变量的边缘分布函数为:
F X (x)F (x, )P { Xx,Y } p ij
xk xj 1
F Y(y)F ( ,y)P { X ,Yy } p ij
(2)0 F(x, y) 1,且
limF(x, y) 0, limF(x, y) 0
x
y
lim F(x, y) 0, lim F(x, y) 1
x , y
x , y
(3)F(x, y)关于x右连续，关y也 于右连续；
(4)对 任 意(点x1, y1),(x2, y2)， 若x1 x2, y1 y2， 则 F(x2, y2)F(x2, y1)F(x1, y2)F(x1, y1) 0.
yk yi 1
二维随机变量的边缘分布
二维随机变量的分布函数
对于任意n个实数x1,x2, …xn，n元函数： F(x1,x2, …xn)=P{X1 ≤ x1 , X2≤ x2 , … , Xn ≤ xn, …} 称为n维随机变量(X1,X2, …Xn)的分布函数，或称为随机变量 X1,X2, …Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数 类似的性质。
第三章 多维随机变量及其分 布
§1 二维随机变量
为什么需要讨论多维随机变量？
前两章,我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问 题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的 随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育 情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到 他的身高H和体重W。在这里，样本空间S={e}＝{某地区的全 部学龄前儿童}，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而 横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
[思考]
1, xy0 G(x)0, xy0
问G(x,y)能否作为分布函数？ 答 不能。
虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个 性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，
G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-1<0
二维离散型随机变量的概念
如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可 列无限多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。
二维离散型随机变量的概率函数
称P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2, … 为(X,Y)的概率函数。列成表格
X Y
x1 x2 … xn …
y1
p11
p12
…
p1n
…ห้องสมุดไป่ตู้
… ……………
ym
pm1
pm2