20172018学年高中数学2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4.doc
(教师用书)高中数学 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组同步备课课件 苏教版选修4-2
b 是否可逆的． d
2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组 有惟一解？
【提示】 当关于 x、 y
a A＝ c ax＋by＝m 的二元一次方程组 cx＋dy＝n
的
系数矩阵
a c
x b 是可逆的，则方程组有惟一解 ＝ d y
]”改为“| |”，
把
b d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值
a det(A)＝ c
(或多项式)，记为
b ＝ad－bc d
.
2．二阶行列式与二元一次方程组 关于 x，y
a c 将
ax＋by＝m， 的二元一次方程组 cx＋dy＝n，
m b a m b d 记为 D，将 n d 记为 Dx，将 c n 记为
经 A 将 X 变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下 矩阵方程： AX ＝ B ，即
a c b x d y
＝
m n
.
当 A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘 A－1 ，则有 X d －b ad－bc ad－bc －1 － 1 ＝ A B ，其中 A ＝ . －c a ad－bc ad－bc (2)二元一次方程组与几何变换 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是 a b m 已知变换矩阵 c d 变换 和变换后的象 ，去求在这个 n 的作用下的
ax＋by＝m， 形式 cx＋dy＝n.
再分别求出 D，Dx，Dy 然后用求解公式
Dx x＝ D y＝Dy D
求解．
3x－3y－1＝0， 利用行列式解方程组 －x＋4y－3＝0.
高中数学 二阶矩阵与二元一次方程组导学案 苏教版选修4-2
课题：二阶矩阵与二元一次方程组【学习任务】1．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解二元一次方程组．2．能用变换与映射的观点认识线性方程组解的意义．3．会用系数矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组．4．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性．【课前预习】1．已知2 11,,3 22xA X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解方程AX B=2.已知方程组1 03,,,0 25xAX B A X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。
例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。
例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。
例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。
2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。
（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。
4.利用逆矩阵解下列方程组：（1）2305x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）3872yx y=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.已知在下列矩阵对应变换的作用下，△A B C'''的像是图中的△ABC，试求原像△A B C'''（1）1 00 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）4 00 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.求使等式2 4 2 0 1 03 50 10 -1M⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M。
高中数学第二章矩阵与变换2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组导学案无答案苏教版选修(1)
2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教学目标1.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。
教学过程： 一、预习阅读教材，解答下列问题： 问题1、方程⎩⎨⎧=+=+n dy cx mby ax 的解是：问题2、定义：det(A) ＝dc b a ＝关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨+=⎩，当0≠-bc ad 时, 方程的解为md bn x ad bcan cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d c b a 有什么异同？二、例题讲解例1．利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例2.用逆矩阵方法解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例3.试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性.例4.已知二元一次方程组B AX =, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.三、课堂练习1. 甲乙两个公司均生产A ，B 两种产品，已知今年两个公司 的销售业绩如下表（单位：万件），甲公司销售额为58万元， 乙公司销售额为68万元，试求出A 产品和B 产品的销售单价。
2、已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ， B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，解方程AX ＝B 。
3、已知可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡372a 的逆矩阵A －1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a b 72，求b a ,。
4、已知方程组AX ＝B ，A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡53，试从几何变换的角度研究方程组的情况。
2017_2018学年高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4_2201803021135
矩阵的简单应用设λ1、λ2是二阶矩阵A 的两个不同的特征值，α1、α2是A 的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量β，设β＝t 1α1＋t 2α2(t 1，t 2∈R )，则有A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(n ∈N *)．[对应学生用书P42][例1] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1)求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？[思路点拨] (1)先求出矩阵M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(λ1、λ2是矩阵A 的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t 1α1＋t 2α2)计算；(3)由M nβ中n 的变化情况与计算结果即可发现规律． [精解详析] (1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋2 2100.(3)当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .求A nα的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量ξ； 第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t 1ξ1＋t 2ξ2； 第三步：由公式计算A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．已知矩阵A 的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，求A 100α.解：A 100α＝λ100α＝3100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－31003101.2．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 130，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解：(1)设λ为A 的特征值，由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ＝λ(λ－2)－3＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3.当λ1＝－1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得A 属于特征值－1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3.同理，A 属于特征值3的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)设B ＝m α1＋n α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ m －3m ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，－3m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.所以B ＝α1＋α2.因此A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8278.[例2] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2，利用矩阵的特征值和特征向量计算A n.[思路点拨] 先求出矩阵A 的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用A nα＝λnα，并令A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a ，b ，c ，d .[精解详析] A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 53 λ－2＝(λ－4)(λ－2)－15 ＝λ2－6λ－7＝0，令f (λ)＝0，得A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.对λ1＝7，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝0，3x ＋5y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3为矩阵A 的属于特征值λ1＝7的特征向量．对λ2＝－1，解相应的方程组⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋5y ＝03x －3y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A 的属于特征值λ2＝－1的特征向量．于是A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7·⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3，A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤5a －3b 5c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5·7n－3·7n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1 n－1 n ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5a －3b ＝5·7n，5c －3d ＝－3·7n ，a ＋b ＝ －1 n ，c ＋d ＝ －1 n.解得a ＝5·7n＋3 －1 n 8，b ＝－5·7n ＋5 －1 n8，c ＝－3·7n＋3 －1 n8，d ＝3·7n＋5 －1n8，所以A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5·7n ＋3 －1 n8－5·7n ＋5 －1n8－3·7n＋3 －1 n8 3·7n＋5 －1 n8.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：(1)求二阶矩阵A 的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X 1，X 2，令X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2；(2)设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，根据A n X 1＝λn 1X 1，A n X 2＝λn2X 2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn 1m 1λn 1n 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn2m 2λn 2n 2；(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧am 1＋bn 1＝λn 1m 1am 2＋bn 2＝λn2m2和⎩⎪⎨⎪⎧cm 1＋dn 1＝λn 1n 1，cm 2＋dn 2＝λn2n 2，即可求得A n.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111，求A 10. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1－1 λ－1＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝0，λ2＝2，对λ1＝0，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝0，－x －y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 属于特征值λ1＝0的一个特征向量．对λ2＝2，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．于是，A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 显然，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.设A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10241024. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，c －d ＝0，a ＋b ＝1024，c ＋d ＝1024.解得a ＝512，b ＝512，c ＝512，d ＝512. 所以，A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤512 512512 512.4．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130，求A n. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3.解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.对于λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＝0，－3x －y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3是属于λ1的一个特征向量． 对λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－3x ＋3y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是属于λ2的一个特征向量． 于是A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，① A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.②设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，代入①②得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1 n－3 × －1 n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n3n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝ －1 n ，a ＋b ＝3n，c －3d ＝ －3 × －1 n，c ＋d ＝3n，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝3n ＋1＋ －1n4，b ＝3n－ －1 n4，c ＝3n ＋1＋3× －1n ＋14，d ＝3n＋3× －1 n4.因此A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3n ＋1＋ －1 n43n － －1n43n ＋1＋3× －1 n ＋143n＋3× －1 n4.[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为23；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为12，假设2013年他获利的概率为34.(1)求他2014年投资获利的概率；(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．[精解详析] (1)2013年他获利的概率为34，则投资亏损的概率为14，它可以用W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414表示.2014年他获利与亏损的概率为W 2014＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858，所以2014年获利的概率为38.(2)2015年获利与亏损的概率为W 2015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716916. 所以2015年获利的概率为716，2015年投资获利机会大．对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下： 明文X 加密,密文Y 发送,密文Y 解密,明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X 写为“a 11a 21a 12a 22”的形式，先左乘矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－22，再左乘矩阵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85，得到密文Y .现在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，试破解该密码．解：由题意知，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 46 8， ∴(BA )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1234 －14. 又(BA )X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22，∴X ＝(BA )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1234 －14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 102，即发送的数据信息是2 012.6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0.确定的平面区域为F 0，点M 0(a ，b )在平面区域F 0内，点M 1(a ＋b,2b )在平面区域F 1内．(1)求平面区域F 1的面积；(2)若点M 1(a 1，b 1)在平面区域F 1内，则点M 2(a 1＋b 1,2b 1)便在平面区域F 2内，若点M 2(a 2，b 2)在平面区域F 2内，则点M 3(a 2＋b 2,2b 2)便在平面区域F 3内，…，依次类推，试判断平面区域F n 的形状，并求其面积S n (n ∈N *)．解：(1)设M 1(a 1，b 1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋b ，b 1＝2b ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b .由于平面区域F 0是由三个点O 0(0,0)，A 0(2,0)，B 0(0,2)组成的，故平面区域F 1是由三个点O 1(0,0)，A 1(2,0)，B 1(2,4)组成的，其面积S 1＝4.(2)设M n ＋1(a n ＋1，b n ＋1)(n ∈N *)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b n ，b n ＋1＝2b n ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ， 求得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ1＝1对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，λ2＝2对应的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2α1， 故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2λn 1α1＝2×1n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2α1＋2α2，故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2×λn 1α1＋2×λn2α2＝－2×1n α1＋2×2nα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－22n ＋1. 由题意知矩阵A 所对应的变换是线性变换，即在矩阵A 的作用下，将直线A 0B 0变换成A 1B 1，将A 1B 1变换成A 2B 2，…，将直线A n －1B n －1变换为A n B n ，∴平面区域F n 是由三点O n (0,0)，A n (2,0)，B n (2n ＋1－2,2n ＋1)组成的三角形，其面积S n＝2n ＋1(n ∈N *)．[对应学生用书P45]1．已知向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，把α用ξ1，ξ2线性表出．解：设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2即⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2t 1＋t 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝2，t 1＋t 2＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1，t 2＝2.∴α＝ξ1＋2ξ2.2．若矩阵A 有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们对应的特征向量分别为i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10和j ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01(1)求矩阵A 及逆矩阵A －1；(2)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，试求A 100α.解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Ai ＝λ1i ，Aj ＝λ2j ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 －1.所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 －1. (2)设α＝m i ＋n j ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .所以m ＝1，n ＝16.所以A 100α＝m λ 1001i ＋n λ 1002j ＝1·2100⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋16·(－1)100·⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210016.3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3452，求A n (n ∈N *)． 解：矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －4－5 λ－2＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，令f (λ)＝0得矩阵A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－2. 把λ1＝7，λ2＝－2代入线性方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－3 －4－5 λ－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00 得各自对应的一个特征向量α1、α2，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.∴A α1＝λ1α1，A α2＝λ2α2，A n α1＝λn 1α1，A n α2＝λn2α2.设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝7n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5＝(－2)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.解得：a ＝19[5×7n ＋(－1)n ·2n ＋2]，b ＝49[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，c ＝59[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，d ＝19[4×7n ＋(－1)n ×5×2n ]．∴A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤19[5×7n ＋ －1 n ·2n ＋2] 49[7n ＋ －1 n ＋1·2n ]59[7n＋ －1 n ＋1·2n] 19[4×7n＋ －1 n×5×2n].4．若M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 12 12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2，求[(MN )－1]100β.解：∵MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 12 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －11 0， ∴det(MN )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 －1 1 0＝1.∴(MN )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 －2.设(MN )－1的特征值为λ，特征向量为ξ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ －1 1 －2－λ＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2＋2λ＋1＝0. ∴λ＝－1，ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.∴β＝2ξ. ∴[(MN )－1]100β＝λ100·2ξ＝2ξ＝β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b 的一个特征值为λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74.求a 、b 及A 5β.解：由题意可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21 即：⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4－2＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3.显然λ1＝2时的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设λ2＝3时的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x－x ＋4y ＝3y ，得y ＝x ，不妨令α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3α1＋α2，∴A 5β＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×26＋353×25＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1254及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34， (1)计算A n α，并分析讨论当n 的值越来越大时，A nα的变化趋势； (2)给出A nα的一个近似公式，并利用这一公式计算A 100α. 解：(1)f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－5 λ－4＝λ2－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)，则矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝6. 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝6的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝α1＋α2.A nα＝λn1α1＋λn2α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 n＋2×6n－1 n ＋1＋5×6n .当n 的值越来越大时，(－1)n 和(－1)n ＋1可忽略不计，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n .(2)由(1)可得，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n ，∴A 100α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×61005×6100.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2，求点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标．解：矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 0 0 λ－2＝(λ－12)(λ－2)， 由f (λ)＝0得λ1＝12，λ2＝2.当λ＝12时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧0x －0y ＝0，0x －32y ＝0，令x ＝1，y ＝0，得属于特征值12的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.同理属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以A 50⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12 50⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3 12 503·250， 即点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1250，3·250. 8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响．现假设在第n 年时，兔子的数量为a n ，狐狸的数量为b n ，在初始时刻时(即第0年)，兔子有a 0＝100只，狐狸有b 0＝30只，且两种群之间满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1.1a n －1－0.15b n －1，b n ＝0.1a n －1＋0.85b n －1.(n ≥1) (*)试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？ 解：令βn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.1 －0.150.1 0.85，则(*)式可以改写成βn ＝M βn －1(n ≥1)．由此可知βn ＝M βn －1＝M 2βn －2＝…＝M nβ0.经过计算，矩阵M 有两个特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分别可取α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为对应的特征向量，显然α1，α2不共线，又不妨假设β0＝s α1＋t α2(其中s ，t 待定)．则有⎩⎪⎨⎪⎧100＝3s ＋t ，30＝2s ＋t ，解得s ＝70，t ＝－110，即β0＝70α1－110α2.从而由特征向量性质知βn ＝M nβ0＝M n(70α1－110α2)＝70λn1α1－110λn2α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝70×1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110×0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210140－0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110110. 即第n 年兔子和狐狸的数量为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝210－110×0.95n，b n ＝140－110×0.95n .由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．。
高中数学苏教版选修《2.4.二阶矩阵与二元一次方程组》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版选修4-2矩阵与变换《2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课
教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.会用行列式的方法解二元一次方程组
2.理解行列式的观点判定二元一次方程组是否有解
2学情分析
学生已学习过二阶矩阵的概念,对二阶矩阵有初步认识,那二阶矩阵在那些方面应用去进一步探讨
3重点难点
1.二阶行列式的概念:
2.用二阶行列式求逆矩阵、解方程组:
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】知识梳理
1.如果矩阵A = 是可逆的,则__________.其中称为二阶行列式,记作 ,即 ____________,也称为行列式的展开式。
符号记为:detA或|A|.
2.方程组写成矩阵的形式为______________,对于系数矩阵,当__________时,方程组有唯一解;当__________________时,方程组有无数组解.
3.令 , , ,则方程组的解是______________.
2【活动】例题讲解
例1.利用行列式和逆矩阵的知识两种方法解方程组 .。
苏教版高中数学选修4矩阵与变换二阶矩阵与二元一次方程组
复习回顾
三、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵
若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆， 且(AB)－1＝B－1 A－1
四、二阶矩阵满足消去律的条件
已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC. 若A可逆，则B=C
问题情境
消元法求解二元一次方程组
当ad－bc≠0时，方程组的解为
建构数学
数学运用
克莱姆法则（Cramer ’ s Rule）是高等 数学线性代数中一个关于求解线性方程组
的定理。它适用于变量和方程数目相等的
线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（17041752）于1750年，在他的《线性代数分析 导言》中发表的。
一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计 算量是比较大的,对具体的数字线性方程组，当未知数 较多时往往可用计算机来求解.用计算机求解线性方程
1、课本P65页习题第6、 8题
2、训练案
3、 预习
组目前已经有了一整套成熟的方法.
**用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过 程。
数学运用 用逆矩阵方法求二元一次方程组的解
例2：利用逆矩阵求解二元一次方程组
数学运用
例3 ：
数学运用
例4 ：
课堂小结
1、消元法求解二元一次方程组 2、二阶行列式有关概念,及用行列式求解二元一次方程组. 3、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 4、用几何变换的观点讨论二元一次方程的解的情况.
2.4.2 二阶矩阵与 二元一阵
对于二阶矩阵 A,B 若有 AB=BA=
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵。 A的逆矩阵记为 A-1
若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。
二、求解逆矩阵的常用方法 1、待定系数法. 2、公式法. 3、用几何变换的观点求解逆矩阵
高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案 苏教版选修4-2-苏教版
.4.2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a b c d＝ad －bc 因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 例1 求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad-bc ） 例2 若x=θθsin con θθcon sin （θ∈R ） 试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。
解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵 应用： 一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解 解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3 y ＝2（2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高中数学教案：《二元一次方程组》苏教版
教学目标1、理解二元一次方程及其解，二元一次方程组及其解的含义。
2、会熟练地解方程组。
3、会用二元一次方程组解决一些简单的数学问题，形成用数学的意识。
一、教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法及应用。
难点：从数学问题中寻找相等关系，抽象出方程的模型。
二、教学过程（1）认识二元一次方程及其解1.下列方程中，哪些是二元一次方程？⑴x/3+2y=1 ⑵x+1/y=7 ⑶3pq=8⑷2y2- 6y+1=02.已知x=3 是mx- 2y= - 4的解，则m=y= - 13.已知x=2，y=2时，ax+by=3，那么当x= - 2，y= - 2时，ax+by+3=（2）认识二元一次方程组及其解4.下列方程组⑴3y- x=3 ⑵3x+y=1 ⑶x- 3=yy=5z+7 2x+4y=0 3y- x2=5 中，属于二元一次方程组的是（）A ⑵⑶B ⑴⑶C ⑴⑵D ⑵5.已知x=2是方程组2x+y=3m 的解，则m= ，n=y=3 nx- my= - 4（3）解二元一次方程组6.已知二元一次方程：⑴x+y=4 ⑵2x- y=2 ⑶x- 2y=1 ，请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解。
7.解下列方程组⑴2x+4y=5 ⑵u+v=10 ⑶x- y=2 ⑷5x- 2y=4x+y=1 3u- 2v=5 x+1=2（y- 1）2x- 3y=- 58.三个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1的解是x=3a2x+b2y=c2y=4求方程组3a1x+2b1y=5c1 的解。
”提出各自的想法.甲说:“这个题目3a2x+2b2y=5c2好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”。
参考他们的讨论，你能求出这个方程组的解吗？四、课堂小结：请同学们回顾一下，今天我们主要复习了哪些内容？五、布置作业：试卷。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组》
二阶矩阵与二元一次方程组无锡市第六高级中学 辛志立学习目标1、 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2、 能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3、 会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4、 体会数学史，通过数学史理解数学结构与数学知识的形成。
学习过程：一、故事引入：英女王很喜欢《爱丽丝漫游仙境》，写信给作者，希望能够得到他的下一部著作。
却等来了《行列式基础论述》。
原来童话作者是数学家。
行列式是什么？有什么用？日本数学家关孝和（行列式创立者之一）：用行列式解决方程组问题。
二、新知讲授：我们怎样解方程？时引入记号：于是，方程的根就能写成：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩①②21212121212121::a a a x b a y c a a a a x b a y c a ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩①②()12211221-a b a b y a c a c =-⇒两式相减21212121212121::b a b x b b y c b b a b x b b y c b ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩①②()12211221-a b a b x c b c b =-⇒两式相减1221122112211221--c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩12210a b a b -≠11122122a b a b a b a b =-122112c b c b x a b a b -=-D =x D 12211221a c a c y a b a b -=-y D其中莱布尼兹（行列式发明者之一）使用并给出了行列式，还给出方程组的系数行列式为零的条件。
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
我们也来尝试一下行列式的计算例一：1、计算（1）3526-- （2）aa a a cos sin sin cos -2、若1122-y x =yy x x -，求的值。
2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2
ax＋by＝m 2．方程组 写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝ ， B ＝ ，当 ________ A 可逆 时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ， 所以矩阵可逆， 逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的． 矩阵 A 不是一个数， 而是 4 个数按顺序排列成的一个 数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵 可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解 ． 此方程组有_______
5．二阶矩阵 ＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d
高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4-2(2021学年)
201７－2０18学年高中数学2.４逆变换与逆矩阵２.4.２二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修４-2编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２017-20１8学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.４.2 二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4-２）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为201７－２01８学年高中数学 2．４逆变换与逆矩阵 2.4.２二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4－2的全部内容。
2.4。
2 二阶矩阵与二元一次方程组1.把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝错误!=aｄ－bc。
2.方程组错误!写成矩阵形式为AZ=B，其中A=错误!，称为系数矩阵,Z＝错误!,B=错误!,当A 可逆时,方程组有唯一解,当A不可逆时，方程组无解或有无数组解．3.对于方程组错误!，令D＝错误!,Ｄx=错误!,D y＝错误!，当D≠０时,方程组有唯一组解，为x=错误!,y＝错误!.４.对于方程组错误!,令D＝错误!，当D＝0时,此方程组有非零解.5.二阶矩阵Ａ=错误!可逆的充要条件是deｔ（Ａ)≠0且A－１=错误!。
错误!求行列式的值［例1] 求错误!的最大值(其中λ∈Ｒ)．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] 错误!=（λ-2)(5λ+８）－(2λ-2)（３λ＋5）＝-λ２－6λ-６=－（λ+3)2＋3≤３,∴错误!的最大值为３．(1）矩阵A＝错误!与它的行列式deｔ（Ａ)=错误!的意义是不同的.矩阵A不是一个数,而是４个数按顺序排列成的一个数表,行列式det（Ａ）是由矩阵A算出来的一个数,不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2）错误!＝ａd-ｂｃ,它是位于两条对角线上的元素的乘积之差.１．计算下列行列式的值：（1)错误!;(2）错误!解:(1）错误!=6×（-3)-(-5)×２=-8；(2)错误!=coｓ2θ－(-sin2θ)=１。
江苏省铜山县高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2
.4。
2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组错误!当ad －bc≠0时，方程组的解为错误!二、二阶行列式定义:det(A ） ＝a b c d ＝ad －bc 因此方程组的解为错误! 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为错误! 例1 求下列行列式的值⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4—2×3=—2 ⑵21 43-=1×4—2×（—3）=10 ⑶21 - 40=-1×4—2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad —bc) 例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ） 试求f(x)=x 2+2x —3 的最值。
解:∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f （x)=x 2+2x —3=(x+1）2-4∴当x=—1时f （x ） 取得最小值 -4； 当x=1时f （x ）取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵 应用:一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解 解：已知方程组可以写为:⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）错误!(2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
2017_2018学年高中数学2.1二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念教学案苏教版选修4_2(含答案)
2．1.1 矩阵的概念[对应学生用书P1]1．矩阵在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3m 3 －24，⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9065 85这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A ，B ，…或者(a ij )来表示矩阵，其中i ，j 分别表示元素所在的行和列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.2．行矩阵，列矩阵一般地，我们把像[a 11 a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．平面上向量α＝(x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )都可以看做是行矩阵[x ，y ]，也可以看做是列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，我们又称[x y ]为行向量，称⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为列向量，在本书中，我们把平面向量(x ，y )的坐标写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式．3．矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .[对应学生用书P1][例1] 画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11所表示的三角形，并求该三角形的面积．[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可．[精解详析] 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 3 1 －11所表示的三角形的三个顶点分别为(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面积为4.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11可以表示点A (－1,1)，B (4，－1)，C (3,1)或由它们构成的三角形；2．表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 4 －1 3 1等表示；3．空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组．1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求画出相应向量即可．2．已知A (0,0)，B (2,3)，C (6,3)，D (4,0)，写出表示四边形ABCD 的一个矩阵．解：表示四边形ABCD 的矩阵可以为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 6 40 3 3 0或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 02 36 34 0等．[例2] 已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识．用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)．[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可．[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下：故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样．3．某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．解：列表如下(单位：万吨)：记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300，则矩阵M 就是上述数据关系的一个表示．4．两类药片有效成分如下表所示：试用矩阵表示A 、B 两种药品每片中三种成分所含的质量．解：表示A 、B 两种药品成分的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 5 11 7 6.[例3] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．[精解详析] 因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，由矩阵相等的意义可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋2，c －d ＝d －7，c ＋d ＝6－c ，b ＝2a －4，由此解得a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝4.。
高中数学二阶矩阵与二元一次方程组导学案苏教版选修
课题：二阶矩阵与二元一次方程组【学习任务】1．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解二元一次方程组．2．能用变换与映射的观点认识线性方程组解的意义．3．会用系数矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组．4．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性．【课前预习】1．已知2 11,,3 22xA X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解方程AX B=2.已知方程组1 03,,,0 25xAX B A X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560 x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。
例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。
例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。
例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。
2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。
（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。
4.利用逆矩阵解下列方程组：（1）2305x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）3872yx y=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.已知在下列矩阵对应变换的作用下，△A B C'''的像是图中的△ABC，试求原像△A B C'''（1）1 00 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）4 00 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.求使等式2 4 2 0 1 03 50 10 -1M⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M。
数学：2.4.2《二阶矩阵与二元一次方程组》教学案(苏教版选修4-2)
§2。
4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学目标:知识与技能:1。
掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同.2。
掌握运用行列式解方程组的方法。
3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程:一、问题情境:关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n+=⎧⎨+=⎩当ab －bc ≠0时， 方程的解为md bn x ad bc an cmy ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?二、建构数学:1.二阶行列式及运算公式；2。
二元一次方程组的行列式解法;3。
利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用:例1、利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。
例3、试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性。
例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ； 2。
已知方程组Ax=B ， A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M=11λ-⎡⎢⎣ 42⎤⎥⎦, 且det(M)=0 ， 求λ.2.设A=12⎡⎢-⎣ 23⎤⎥⎦， B=12⎡⎢⎣ 24⎤⎥⎦。
江苏省涟水县高中数学 第二章 矩阵与变换 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组导学案(无答案)苏教版选修42
2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教学目标1.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。
教学过程： 一、预习阅读教材，解答下列问题： 问题1、方程⎩⎨⎧=+=+n dy cx mby ax 的解是：问题2、定义：det(A) ＝dc ba ＝ 关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨+=⎩，当0≠-bc ad 时, 方程的解为md bn x ad bcan cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d c b a 有什么异同？二、例题讲解例1．利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例2.用逆矩阵方法解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩例3.试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性.例4.已知二元一次方程组B AX =, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.三、课堂练习1. 甲乙两个公司均生产A ，B 两种产品，已知今年两个公司 的销售业绩如下表（单位：万件），甲公司销售额为58万元， 乙公司销售额为68万元，试求出A 产品和B 产品的销售单价。
2、已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ， B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，解方程AX ＝B 。
3、已知可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡372a 的逆矩阵A －1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a b 72，求b a ,。
4、已知方程组AX ＝B ，A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡53，试从几何变换的角度研究方程组的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad－bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝Dx D ，y ＝DyD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d －b －ca.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x2 y2 －1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在． (2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d －b －ca，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 1 1 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 12 12 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝Dx D ，y ＝DyD 求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝Dx D ＝1010＝1y ＝Dy D ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f.并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd⎦⎥⎤e f. 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝Dx D ＝139，y ＝Dy D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝Dx D ＝3，y ＝DyD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－－2y ＝0，x －＋＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋＝0， 即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝bd，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x－3×1＝a －3＝0， 即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD＝－4，y ＝Dy D ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解 如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋2y ＝0，x ＋－λ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。